2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí) 正弦定理、余弦定理

2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí)正弦定理、余弦定理解三角形是高考考查的熱點，三角恒等變換單獨考查的題目較少，多以解三角形為背景，在用正弦定理、余弦定理的同時，經(jīng)常應(yīng)用三角恒等變換進(jìn)行化簡，綜合性較強(qiáng)，難度中等.考情分析思維導(dǎo)圖內(nèi)容索引典型例題熱點突破考點一利用正余弦定理進(jìn)行邊角計算典例1

由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA，解得bc＝1.變形可得sin(A－B)－sin(A＋B)＝sinB，即－2cosAsinB＝sinB，而0<sinB≤1，又0<A<π，跟蹤訓(xùn)練1

典例2

(2023·聊城模擬)在四邊形ABCD中，AB∥CD.(1)證明：AD·sin∠BAD＝BC·sin∠BCD；考點二與多邊形有關(guān)的解三角形問題因為AB∥CD，所以∠ABD＝∠BDC，在△ABD中，由正弦定理可知在△BCD中，由正弦定理可知所以AD·sin∠BAD＝BD·sin∠ABD，BC·sin∠BCD＝BD·sin∠BDC，故有AD·sin∠BAD＝BC·sin∠BCD.由(1)可知，AD·sin∠BAD＝BC·sin∠BCD，設(shè)∠BAD＝2∠BCD＝2α，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝7，設(shè)△BCD外接圓的半徑為R，在△BCD中，由正弦定理可知所以△BCD外接圓的面積S＝πR2＝7π.跟蹤訓(xùn)練2

(1)求角B的值；所以△ACD為等邊三角形，考點三解三角形在實際生活中的應(yīng)用典例3

(1)(2021·全國甲卷)2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86(單位：m)，三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′滿足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C點測得B點的仰角為15°，BB′與CC′的差為100，由B點測得A點的仰角為45°，則A，C兩點到水平面A′B′C′的高度差A(yù)A′－CC′約為(≈1.732)A.346B.373C.446D.473√如圖所示，根據(jù)題意過C作CE∥C′B′，交BB′于E，過B作BD∥A′B′，交AA′于D，則BE＝100，在△A′B′C′中，∠C′A′B′＝75°，又在B點處測得A點的仰角為45°，所以高度差A(yù)A′－CC′＝AD＋BE√由兩角和的正弦公式得，sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°在△MNS中，由正弦定理得，解得a＝20.跟蹤訓(xùn)練3

(1)(2023·雙鴨山模擬)如圖，某公園內(nèi)有一個半圓形湖面，O為圓心，半徑為1千米，現(xiàn)規(guī)劃在半圓弧岸邊上取點C，D，E，滿足∠AOD＝∠DOE＝2∠AOC，在扇形AOC和四邊形ODEB區(qū)域內(nèi)種植荷花，在扇形COD區(qū)域內(nèi)修建水上項目，并在湖面上修建棧道DE，EB作為觀光路線，則當(dāng)DE＋EB取最大值時，sin∠AOC＝________.則∠DOE＝2θ，∠EOB＝π－4θ，在△DOE中，由余弦定理得在△BOE中，由余弦定理得(2)(2023·杭州模擬)雷峰塔初名黃妃塔，又名西關(guān)磚塔，位于浙江省杭州市西湖區(qū)，地處西湖風(fēng)景區(qū)南岸夕照山(海拔46米)之上，是吳越國王錢俶為供奉佛螺髻發(fā)舍利、祈求國泰民安而建.始建于北宋太平興國二年(977年)，歷代屢加重修.現(xiàn)存建筑以原雷峰塔為原型設(shè)計，重建于2002年，是“西湖十景”之一、中國九大名塔之一，為中國首座彩色銅雕寶塔.李華同學(xué)為測量塔高，在西湖邊相距400米的A，C兩處(海拔均約16米)各放置一架垂直于地面高為1.5米的測角儀AB，CD(如圖所示).在測角儀B處測得兩個數(shù)據(jù)：塔頂M的仰角∠MBP＝30°及塔頂M與觀測儀D點的視角∠MBD＝16.3°，在測角儀D處測得塔頂M與觀測儀B點的視角∠MDB＝15.1°，李華根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計雷峰塔MN的高度約為(參考數(shù)據(jù)：sin15.1°≈0.2605，sin31.4°≈0.5210)A.70.5米

B.71米

C.71.5米

D.72米√在△BDM中，BD＝400，∠MBD＝16.3°，∠MDB＝15.1°，所以∠BMD＝180°－16.3°－15.1°＝180°－31.4°，在Rt△MBP中，MP＝BM·sin∠MBP＝200sin30°＝100，延長BA至Q，設(shè)Q處海拔為0，延長MP至O，O處海拔為0，連接QO，由題意知MP＝100，OP＝QA＋AB＝16＋1.5＝17.5，ON＝46，MN＝MP－NP＝MP－(ON－OP)＝100－(46－17.5)＝71.5.總結(jié)提升1.正、余弦定理的適用條件(1)“已知兩角和一邊”或“已知兩邊和其中一邊的對角”應(yīng)采用正弦定理.(2)“已知兩邊和這兩邊的夾角”或“已知三角形的三邊”應(yīng)采用余弦定理.總結(jié)提升2.解三角形實際問題的步驟12345678910√12345678910∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得123456789102.(2023·天津模擬)已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若(a＋b－c)(b＋c＋a)＝3ab，且sinC＝2sinBcosA，那么△ABC是A.直角三角形B.鈍角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形√12345678910由(a＋b－c)(b＋c＋a)＝3ab，得(a＋b)2－c2＝3ab，整理得a2＋b2－c2＝ab，又由sinC＝2sinBcosA及正弦定理得，所以△ABC為等邊三角形.12345678910√3.(2023·長沙模擬)逢山開路，遇水架橋，我國摘取了一系列高速公路“世界之最”，鍛造出中國路、中國橋等一張張閃亮的“中國名片”.如圖，一輛汽車在一條水平的高速公路上直線行駛，在A，B，C三處測得道路一側(cè)山頂P的仰角依次為30°，45°，60°，其中AB＝a，BC＝b(0<a<3b)，則此山的高度為12345678910如圖，設(shè)點P在地面上的正投影為點O，則∠PAO＝30°，∠PBO＝45°，∠PCO＝60°，由題意知，cos∠ABO＝－cos∠CBO，12345678910√12345678910因為(b－2c)cosA＝acos(A＋C)，所以由正弦定理得(sinB－2sinC)cosA＝sinAcos(A＋C)，因為cos(A＋C)＝－cosB，所以(sinB－2sinC)cosA＝－sinAcosB，即sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosA，所以sin(A＋B)＝sinC＝2sinCcosA，又C∈(0，π)，所以sinC>0，12345678910123456789105.(多選)(2023·永州模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列說法中正確的是A.若△ABC為銳角三角形且A>B，則sinA>cosBB.若sin2A＝sin2B，則△ABC為等腰三角形C.若A>B，則sinA>sinBD.若a＝8，c＝10，B＝60°，則符合條件的△ABC有兩個√√12345678910∴△ABC為等腰三角形或直角三角形，B錯誤；12345678910∵A>B?a>b，根據(jù)正弦定理a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴A>B?a>b?2RsinA>2RsinB?sinA>sinB，C正確；b2＝a2＋c2－2accosB，符合條件的△ABC只有一個，D錯誤.12345678910√√√1234567891012345678910設(shè)CD＝a，則BC＝2a，在△BCD中，由余弦定理，得BC2＝CD2＋BD2－2BD·CD·cos∠CDB，12345678910因為∠ADC＝π－∠CDB，所以cos∠ADC＝cos(π－∠CDB)在△ADC中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·DC·cos∠ADC，所以△ABC的周長為AB＋AC＋BC12345678910因為AB＝8為最大邊，即∠ACB為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形，故D正確.12345678910212345678910方法一在△ABC中，由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC，即6＝b2＋22－2×b×2×cos60°，解得AD＝2.由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得，12345678910方法二在△ABC中，由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC，即6＝b2＋22－2×b×2×cos60°，所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°，又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，即AD＝AB＝2.1234567891012345678910在△ABD中，∠CAE＝30°，∴CF＝CE＝1.12345678910∴在△FCB中，由余弦定理的推論得123456789109.(2023·武漢模擬)在△ABC中，D為邊BC上一點，∠BAD＝90°，∠B＝∠DAC，12BD＝7AC.(1)求tan2B；12345678910設(shè)∠B＝∠DAC＝