成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

“統(tǒng)計”數(shù)據(jù)獲取數(shù)據(jù)記錄數(shù)據(jù)分析抽樣統(tǒng)計圖表數(shù)據(jù)特征變量關(guān)系

在必修課程中，我們學習了單個變量的觀察數(shù)據(jù)的直觀表示和統(tǒng)計特征的刻畫等知識與方法.例如，用直方圖描述樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，用均值刻畫樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢，用方差刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度等.這些方法主要適用于通過樣本認識單個變量的統(tǒng)計規(guī)律.在現(xiàn)實中，我們還經(jīng)常需要了解兩個或兩個以上變量之間的關(guān)系.例如，教育部門為掌握學生身體健康狀況，需要了解身高變量和體重變量之間的關(guān)系；醫(yī)療衛(wèi)生部門要制定預(yù)防青少年近視的措施，需要了解有哪些因素會影響視力，以及這些因素是如何影響視力的；商家要根據(jù)顧客的意見改進服務(wù)水平，希望了解哪些因素影響服務(wù)水平，以及這些因素是如何起作用的；等等.為此，我們需要進一步學習通過樣本推斷變量之間關(guān)系的知識和方法.章首語

本章的學習內(nèi)容有成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性、一元線性回歸模型和2×2列聯(lián)表等，這些知識與方法在解決實際問題中非常有用.可以發(fā)現(xiàn)，兩個隨機變量的相關(guān)性可以通過成對樣本數(shù)據(jù)進行分析；利用一元線性回歸模型可以研究變量之間的隨機關(guān)系，進行預(yù)測；利用2×2列聯(lián)表可以檢驗兩個隨機變量的獨立性.本章的學習對于提高我們解決實際問題的能力，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模等素養(yǎng)都是非常有幫助的.章首語變量A：變量B：該如何著手分析不同變量間的關(guān)系？分析順序1先分析是否相關(guān)2判斷是何種相關(guān)關(guān)系4判斷擬合效果是否良好3能否量化關(guān)系

相關(guān)關(guān)系的概念

相關(guān)關(guān)系的概念相關(guān)關(guān)系的概念兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.相關(guān)關(guān)系的概念例(多選)下列兩個變量存在相關(guān)關(guān)系的為A.扇形的半徑與面積之間的關(guān)系B.降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系C.人的身高與體重之間的關(guān)系D.家庭的支出與收入之間的關(guān)系BCD函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量的關(guān)系.函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系.（課本p104）.某地區(qū)的環(huán)境條件適合天鵝棲息繁衍.有人發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象，該地區(qū)有5個村莊，其中3個村莊附近棲息的天鵝較多，嬰兒出生率也較高；2個村莊附近棲息的天鵝較少，嬰兒的出生率也較低.有人認為嬰兒出生率和天鵝數(shù)之間存在相關(guān)關(guān)系，并得出一個結(jié)論：天鵝能夠帶來孩子.你同意這個結(jié)論嗎?為什么?子女身高y與父親身高x之間的關(guān)系商品銷售收入y與廣告支出x之間的關(guān)系空氣污染指數(shù)y與汽車保有量x之間的關(guān)系糧食畝產(chǎn)量y與施肥量x之間的關(guān)系在相關(guān)關(guān)系中，無法直接用函數(shù)去描述變量y與變量x之間的關(guān)系。根據(jù)以往積累的經(jīng)驗做出推斷，“經(jīng)驗之中有規(guī)律”，經(jīng)驗的確可以為我們的決策提供一定的依據(jù)，但僅憑經(jīng)經(jīng)驗推斷又有不足，比如：不同經(jīng)驗的人對同一情形可能會得出不同的結(jié)論，不是所有的情形都有經(jīng)驗可循等.借助數(shù)據(jù)說話，即通過樣本數(shù)據(jù)分析，從數(shù)據(jù)中提取信息，并構(gòu)建適當?shù)哪Ｐ?，再利用模型進行估計或推斷.相關(guān)關(guān)系的概念油膩大叔是怎樣煉成的年齡越大越“油”？變量1：年齡變量2：脂肪含量變量間的相關(guān)關(guān)系編號1234567年齡/歲23273941454950脂肪含量/%9.517.821.225.927.526.328.2編號891011121314年齡/歲53545657586061脂肪含量/%29.630.231.430.833.535.234.6問題1：脂肪含量隨著年齡的變化有什么規(guī)律嗎？答：從整體上看，脂肪含量隨著年齡的增大而增大變量間的相關(guān)關(guān)系編號1234567年齡/歲23273941454950脂肪含量/%9.517.821.225.927.526.328.2編號891011121314年齡/歲53545657586061脂肪含量/%29.630.231.430.833.535.234.6追問1：根據(jù)規(guī)律，23歲的脂肪含量一定比30歲的脂肪含量低嗎？答：不一定變量間的相關(guān)關(guān)系編號1234567年齡/歲23273941454950脂肪含量/%9.517.821.225.927.526.328.2編號891011121314年齡/歲53545657586061脂肪含量/%29.630.231.430.833.535.234.6問題2：如果用橫軸表示年齡，縱軸表示脂肪含量，上述數(shù)據(jù)用直角坐標系中的點表示出來，圖有什么特征？變量間的相關(guān)關(guān)系散點圖特征：散點大致落在一條從左下角到右上角的直線附近正相關(guān)：從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值

也呈現(xiàn)增加的趨勢負相關(guān)：從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值

也呈現(xiàn)減少的趨勢線性相關(guān)：兩個變量呈正相關(guān)或負相關(guān)，且散點圖落在一條直線附近變量間的相關(guān)關(guān)系結(jié)論：脂肪含量與年齡成線性正相關(guān)關(guān)系練習.下列四個散點圖中，變量x與y之間具有負的線性相關(guān)關(guān)系的是（

）D練習鞏固問題3：這兩組成對變量都是線性正相關(guān)，你能判斷哪一組的線性相關(guān)性更強嗎？答：不能探究：線性相關(guān)的定量分析問題：散點圖雖然直觀,但無法確切地反映成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度,也就無法量化兩個變量之間相關(guān)程度的大小.能否像引入平均值、方差等數(shù)字特征對單個變量數(shù)據(jù)進行分析那樣,引入一個適當?shù)摹皵?shù)字特征”,對成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進行定量分析呢?探究：線性相關(guān)的定量分析線性負相關(guān)線性正相關(guān)無相關(guān)關(guān)系非線性相關(guān)觀察下面四個散點圖所表示的四組成對變量

，從兩類變量數(shù)據(jù)的正負、大小角度比較，是否有明顯區(qū)別？探究：線性相關(guān)的定量分析

數(shù)據(jù)預(yù)處理的常用方法：中心化（零均值化）數(shù)據(jù)平移以后，作出散點圖如下探究：線性相關(guān)的定量分析線性負相關(guān)線性正相關(guān)無相關(guān)關(guān)系非線性相關(guān)（x，y）基本異號（x，y）基本同號一般情形下,Lxy>0表明成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān);Lxy<0表明成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān).根據(jù)散點圖特征，初步構(gòu)造統(tǒng)計量.利用散點的橫縱坐標是否同號，可以構(gòu)造一個量探究：線性相關(guān)的定量分析在研究體重與身高之間的相關(guān)程度時,如果體重的單位不變,把身高單位由米改為厘米,單位的改變不會改變體重與身高之間的相關(guān)程度.變換單位前變換單位后變換單位后是變換前的100倍我們發(fā)現(xiàn),Lxy的大小與數(shù)據(jù)的度量單位有關(guān)，所以不能直接用它度量成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程度的大小.探究：線性相關(guān)的定量分析為了消除單位的影響，進一步做“標準化”處理，用

仿照Lxy的構(gòu)造,可以得到我們稱r為變量x和變量y的樣本線性相關(guān)系數(shù)，簡稱樣本相關(guān)系數(shù).接下來我們來考察r的合理性探究：線性相關(guān)的定量分析相關(guān)系數(shù)是最早由統(tǒng)計學家卡爾·皮爾遜設(shè)計的統(tǒng)計指標，是研究變量之間線性相關(guān)程度的量，一般用字母r表示。由于研究對象的不同，相關(guān)系數(shù)有多種定義方式，較為常用的是皮爾遜相關(guān)系數(shù)。當r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當其中一個數(shù)據(jù)的值變小時,另一個數(shù)據(jù)的值通常也變小;當其中一個數(shù)據(jù)的值變大時,另一個數(shù)據(jù)的值通常也變大。當r<0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān)；當其中一個數(shù)據(jù)的值變小時,另一個數(shù)據(jù)的值通常會變大:當其中一個數(shù)據(jù)的值變大時,另一個數(shù)據(jù)的值通常會變小。問題4：樣本相關(guān)系數(shù)r的正負能反映出成對變量的什么關(guān)系？樣本的相關(guān)系數(shù)類似于平面或空間向量的坐標表示，對于向量我們有設(shè)“標準化”處理后的成對數(shù)據(jù)

的第一分量構(gòu)成n維向量第二分量構(gòu)成向量樣本的相關(guān)系數(shù)問題5：樣本相關(guān)系數(shù)r的取值與成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度有什么內(nèi)在聯(lián)系？觀察r的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到二維(平面)向量、三維(空間)向量數(shù)量積的坐標表示，我們將向量的維數(shù)推廣到n維，n維向量的

數(shù)量積仍然定義為其中

為向量

的夾角.首先我們來考察r的取值范圍樣本的相關(guān)系數(shù)思考：

時，成對樣本數(shù)據(jù)之間有怎樣的關(guān)系

？樣本的相關(guān)系數(shù)

或共線由向量的共線定理得即這表明成對樣本數(shù)據(jù)

都落在直線

上

說明成對樣本數(shù)據(jù)的兩個分量之間滿足一種線性關(guān)系樣本的相關(guān)系數(shù)

由此可見，樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[-1，1].樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對值大小可以反映成對數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度。問題5：樣本相關(guān)系數(shù)r的取值與成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度有什么內(nèi)在聯(lián)系？當|r|越接近0時，成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.當|r|越接近1時，成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強;答：樣本的相關(guān)系數(shù)追問5：樣本相關(guān)系數(shù)r=0時，樣本一定是無相關(guān)關(guān)系嗎？r=0時，只表明成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系，但不排除它們之間有其他相關(guān)關(guān)系.答：小貼士：利用相關(guān)系數(shù)r來檢驗線性相關(guān)顯著性水平時，通常與0.75作比較，

若|r|>0.75，則線性相關(guān)較為顯著，否則不顯著．樣本的相關(guān)系數(shù)①r的正負：反映成對樣本數(shù)據(jù)的變化趨勢②r的范圍：?1≤r≤1③|r|的大?。悍从吵蓪颖緮?shù)據(jù)線性相關(guān)的程度(即散點集中于某條直線的程度)：|r|越接近1：線性相關(guān)程度越強；|r|越接近0：線性相關(guān)程度越弱.r=0時，只表明成對樣本數(shù)據(jù)間無線性相關(guān)關(guān)系，但不排除它們有其他相關(guān)關(guān)系.④樣本容量越大，用樣本相關(guān)系數(shù)估計兩個變量的相關(guān)系數(shù)的效果越好.樣本相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)總結(jié)例1.根據(jù)表中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù)，推斷兩個變量是否線性相關(guān)，計算樣本相關(guān)系數(shù)，并推斷它們的相關(guān)程度.編號1234567891011121314年齡2327394145495053545657586061脂肪9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6解：先畫出散點圖，如圖所示.觀察散點圖，可看出樣本點都集中在一條直線附近，由此推斷脂肪含量和年齡線性相關(guān).代入公式可得樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.97，可以推斷脂肪含量和年齡這兩個變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強.例題點撥練習鞏固練習.有一個同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲料銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當天氣溫的數(shù)據(jù)的散點圖和對比表.解：觀察散點圖，可看出樣本點都集中在一條直線附近，由此推斷脂肪含量和年齡線性相關(guān).代入公式可得樣本相關(guān)系數(shù)r≈﹣0.97，可以推斷脂肪含量和年齡這兩個變量的負線性相關(guān)程度很強.攝氏溫度x-5471015233036熱飲杯數(shù)y16212811513589716337畫出散點圖，并用相關(guān)系數(shù)r判斷熱飲杯數(shù)與當天氣溫的關(guān)