棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積 人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊

人教2019A版必修第二冊棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積

在本節(jié)中我們會涉及到常用平面多邊形面積，你能熟練地計算它們的面積嗎?矩形正方形三角形┐┐┐平行四邊形正六邊形

在初中已經(jīng)學(xué)過了正方體和長方體的表面積，你知道正方體和長方體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？幾何體表面積展開圖平面圖形面積空間問題平面問題復(fù)習(xí)：思考探究

棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計算它們的側(cè)面積和表面積？多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和．棱柱棱錐棱臺知識梳理1．棱錐的側(cè)面展開圖棱錐的側(cè)面展開圖是由若干三角形組成的平面圖形．知識梳理1．棱柱的側(cè)面展開圖棱柱的側(cè)面展開圖是由若干平行四邊形組成的平面圖形知識梳理1．棱臺的側(cè)面展開圖棱臺的側(cè)面展開圖是由梯形組成的平面圖形知識梳理1．棱柱、棱錐、棱臺的表面積

棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的側(cè)面展開圖還是平面圖形，計算它們的表面積就是計算它的各個側(cè)面面積和底面面積之和．

例1四面體P-ABC的各棱長均為a，求它的表面積．BCAP所以：解：因為是正三角形，其邊長為a，

因此，四面體P-ABC

的表面積練習(xí)

1.正六棱臺的上，下底面邊長分別是2cm和6cm，側(cè)棱長是5cm，求它的表面積.解：

如圖，棱臺ABCDEF-A′B′B′C′D′E′F′為正六棱臺，且AB=6cm，A′B′=2cm，AA′=5cm.過A′作A′H?AB于H，則∴此棱臺的表面積為問題1長方體和正方體的體積公式是什么？探究2棱柱的體積長方體體積公式V長方體=abc

=Sh正方體的體積公式V正方體=a3(這里a為棱長)問題2取一摞書放在桌面上，并改變它們的位置，觀察改變前后的體積是否發(fā)生變化？祖暅原理冪勢既同，則積不容異.PQ祖暅原理提示：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．冪勢既同，則積不容異問題3棱柱的體積是什么？提示：柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積S

和高h的積.h長方體h棱柱V柱體=Sh正方體、長方體，以及正棱柱的體積公式可以統(tǒng)一為：V=Sh（S為底面面積，h為高）一般棱柱的體積公式也是V=Sh，其中S為底面面積，h為高（即兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點向另一個底面作垂線，這點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離。hs柱體問題1底面積相等、高也相等的棱柱和棱錐，它們的體積也相等，那么棱錐的體積和棱柱的體積有什么聯(lián)系呢？探究3棱錐的體積Sh

Sh問題1底面積相等、高也相等的棱柱和棱錐，它們的體積也相等，那么棱錐的體積和棱柱的體積有什么聯(lián)系呢？探究3棱錐的體積Sh

Sh

棱錐的高是指從頂點向底面作垂線，頂點與垂足之間的距離。它是同底同高的棱柱的體積的

問題1

根據(jù)下圖觀察你能發(fā)現(xiàn)棱臺與棱錐的區(qū)別嗎？如何根據(jù)棱錐體積公式來求棱臺體積？探究4棱臺的體積S′Sh提示：棱臺可以看成棱錐用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，剩余的部分就是棱臺．臺體(棱錐、圓錐)的上、下底面積分別為S、S′，高是h.

由于棱臺是由棱錐截成的，因此可以利用兩個錐體的體積差．得到棱臺的體積公式(過程略)．根據(jù)臺體的特征，如何求臺體的體積？棱臺的高是指兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點向下底面作垂線，這點與垂足之間的距離。例2.如圖，一個漏斗的上面部分是一個長方體，下面部分是一個四棱錐，兩部分的高都是0.5cm，公共面ABCD是邊長為1cm的正方形，那么這個漏斗的容積是多少立方米（精準到0.01