數(shù)學探究：楊輝三角與二項式系數(shù)的性質(zhì)高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

數(shù)學探究：楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用一二三學習目標體會研究數(shù)陣的方法、體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)的歷程利用楊輝三角的知識解決簡單的實際問題鞏固二項式系數(shù)的相關(guān)性質(zhì)問題1：按照確定的順序排列的一列數(shù)是數(shù)列，如果研究的內(nèi)容從一維拓展到二維，那么將數(shù)字按照一定順序組合成的圖形就是數(shù)陣，你之前接觸過數(shù)陣嗎？賈憲開方作法本源圖11世紀13世紀17世紀楊輝帕斯卡研究概率問題“帕斯卡三角”<<從楊輝三角談起>>華羅庚20世紀問題2：你知道楊輝三角的歷史由來嗎？一、認識“楊輝三角”11121133114641151010511615201561

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1第1行第2行第3行第4行第0行第5行第6行第n行一、認識“楊輝三角”問題3：楊輝三角是按照怎樣的規(guī)則構(gòu)成的？問題4：你認為可從哪些方面探究楊輝三角？研究內(nèi)容性質(zhì)應(yīng)用研究方法觀察歸納猜想證明研究方向局部整體楊輝三角與二項式系數(shù)楊輝三角與數(shù)列楊輝三角的“形”11121133114641151010511615201561

1我們該如何探究楊輝三角的性質(zhì)？如何觀察？二、“楊輝三角”的探究方向11121133114641151010511615201561

1橫看斜看橫看，斜看，豎看，連續(xù)看，隔行看等；采取畫一畫，連一連，算一算，進行歸納和猜想.橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同.二、“楊輝三角”的探究方向?qū)ΨQ性：11121133114641151010511615201561

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1第0行第1行第2行第3行第4行第5行第6行遞推性：探究1：“楊輝三角”與二項式系數(shù)11121133114641151010511615201561

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816324求和11121133114641151010511615201561

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20706求和第1行第2行第3行第4行第0行第5行第6行

聯(lián)想結(jié)構(gòu)，如何證明？探究1：“楊輝三角”與二項式系數(shù)探究2：“楊輝三角”與數(shù)列第5行

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14641常數(shù)1正整數(shù)三角形數(shù)四面體數(shù)思考1：換個角度觀察楊輝三角，觀察由這些數(shù)字構(gòu)成的數(shù)列，你能否發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律?探究2：“楊輝三角”與數(shù)列第5行

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14641常數(shù)1正整數(shù)三角形數(shù)四面體數(shù)思考2：第r斜列的通項為？

思考3：第r斜列通項對應(yīng)

的組合數(shù)為？······探究2：“楊輝三角”與數(shù)列第5行

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14641常數(shù)1正整數(shù)三角形數(shù)四面體數(shù)

思考4：從每一斜列的和，你能提出哪些猜想？在第r+1條斜線上(從右上到左下)前n個數(shù)字的和，等于第r+2條斜線上的第n個數(shù).

文字語言：數(shù)學符號語言：楊輝三角簡單應(yīng)用應(yīng)用1:楊輝《詳解九章算法》有一個這樣的問題：三角垛，下廣，一面十二個，上尖，問計幾何.應(yīng)用2:試底層是每邊堆n個圓球的三角形，向上逐層每邊減少一個，頂層是1個，求總數(shù).

探究2：“楊輝三角”與數(shù)列第5行

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14641第8行18285670562881······112358132134還可以用何種角度觀察？思考5：斜線上各行數(shù)字之和有什

么規(guī)律?試給出推理證明.

斐波那契數(shù)列數(shù)學文化拓展視野中世紀意大利數(shù)學家斐波那契的《算術(shù)之法》中提出：假定一對剛出生的兔子一個月就能長成大兔子，再過一個月就開始生下一對小兔子，并且以后每個月都生一對小兔子．設(shè)所生一對兔子均為一雄一雌，且均無死亡．問一對剛出生的小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對兔子？

1，1，2，3，5，8，13，21，34．．．

斐波那契數(shù)列與“兔子繁殖問題”斐波那契探究3：“楊輝三角”的形第5行 15101051第6行 1615201561第7行172135352171第1行 11第0行 1第2行 121第3行 1331第4行 14641如果把相鄰的偶數(shù)與奇數(shù)分別標出，會出現(xiàn)什么現(xiàn)象？謝爾賓斯基三角形

類比楊輝三角，你能得出哪些結(jié)論？三、類比猜想主題升華四、小結(jié)與收獲知識鞏固了二項式系數(shù)的性質(zhì)；學習了楊輝三角的相關(guān)性質(zhì)利用楊輝三角的知識解決部分簡單