高考數(shù)學(xué)橢圓專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)高考數(shù)學(xué)橢圓專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．已知橢圓的右頂點(diǎn)為，上、下頂點(diǎn)分別為，，是的中點(diǎn)．若，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．2．已知點(diǎn)為橢圓：的上焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，且軸，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．3．已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，，若，則（

）A． B． C． D．4．已知離心率為的橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上位于第一象限的一點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．5．橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，若的最大值為3，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的面積為（

）A．4 B． C．3 D．26．已知曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，曲線的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作軸垂線，該垂線與直線交點(diǎn)為，若且的面積為，則曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．7．已知農(nóng)歷每月的第天（，）的月相外邊緣近似為橢圓的一半，方程為，其中為常數(shù).根據(jù)以上信息，下列說(shuō)法中正確的有（

）A．農(nóng)歷每月第（，）天和第天的月相外邊緣形狀相同B．月相外邊緣上的點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的距離的最大值為C．月相外邊緣的離心率與無(wú)關(guān)D．農(nóng)歷初六至初八的月相外邊緣離心率在區(qū)間內(nèi)8．設(shè)，是橢圓與雙曲線（，）的公共焦點(diǎn)，P為它們的一個(gè)交點(diǎn)，，分別為，的離心率，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．若曲線C上存在點(diǎn)M，使M到平面內(nèi)兩點(diǎn)，距離之差的絕對(duì)值為8，則稱(chēng)曲線C為“好曲線”．以下曲線是“好曲線”的有（

）A． B． C． D．10．已知為橢圓的左、右焦點(diǎn),為平面上一點(diǎn),若,則（

）A．當(dāng)為上一點(diǎn)時(shí),的面積為9B．當(dāng)為上一點(diǎn)時(shí),的值可以為C．當(dāng)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)均在內(nèi)部時(shí),則的離心率小于D．當(dāng)點(diǎn)在的外部時(shí),在上必存在點(diǎn),使得11．“蒙日?qǐng)A”涉及幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，必在一個(gè)與橢圓同心的圓上.稱(chēng)此圓為該橢圓的“蒙日?qǐng)A”，該圓由法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日最先發(fā)現(xiàn)，已知長(zhǎng)方形R的四條邊均與橢圓相切，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．橢圓C的離心率為 B．橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為C．橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為 D．長(zhǎng)方形R的面積的最大值為三、填空題12．已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，則的最大值為.13．如圖所示，當(dāng)籃球放在桌面并被斜上方一個(gè)燈泡P（當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)）發(fā)出的光線照射后，在桌面上留下的影子是橢圓，且籃球與桌面的接觸點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，若籃球的半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度，燈泡與桌面的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，燈泡垂直照射在平面上的點(diǎn)為A，橢圓的右頂點(diǎn)到A點(diǎn)的距離為3個(gè)單位長(zhǎng)度，則此時(shí)橢圓的離心率e=.

14．如圖，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長(zhǎng)與橢圓交于點(diǎn)Q，若，則直線的斜率為

四、解答題15．已知橢圓的左右頂點(diǎn)距離為，離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)，斜率存在且不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求弦垂直平分線的縱截距的取值范圍.16．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)斜率為的直線與交于A，B兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），直線，分別與軸交于點(diǎn)M，N，求的值．17．已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓的方程．(2)設(shè)為橢圓的左，右頂點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，且與橢圓交于點(diǎn)．若直線斜率之和為．求直線的方程．18．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖所示，設(shè)點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn).過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，且都在軸的上方.在軸上是否存在點(diǎn)，使，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，若一條斜率不為0的直線過(guò)點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．D【分析】根據(jù)題意，先求的中點(diǎn)，再由得，從而得到橢圓的方程.【詳解】由題可得，，，，，的中點(diǎn)為，，，，，，橢圓的方程為．故選:D．2．A【分析】由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則由題意可得，再由列方程化簡(jiǎn)可求出橢圓的離心率.【詳解】由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，因?yàn)辄c(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，，得，所以，因?yàn)檫^(guò)原點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，得，所以，，解得或（舍去），故選：A

3．C【分析】設(shè)焦距為，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，由已知離心率的關(guān)系得出，然后由橢圓與雙曲線的定義把用表示，再由余弦定理求解可得．【詳解】設(shè)焦距為，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，則，，，∴，不妨設(shè)，由得，，是三角形的內(nèi)角，所以，故選：C．4．C【分析】由離心率得，根據(jù)橢圓定義及余弦定理求得，然后由兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)在橢圓上列方程組求解．【詳解】設(shè)，則，由，得，由余弦定理得，解得或（舍去），又，在橢圓上，則，由解得，故選：C.

5．C【分析】由題意，求得，再由公式算得通徑長(zhǎng)度以及當(dāng)取得最小值時(shí)，的面積【詳解】由的最大值為3，即右焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離，得，即，兩邊同時(shí)平方得，所以，．易知當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，取得最小值，此時(shí)，所以.故選：C6．D【分析】依據(jù)，可求出以及，再依據(jù)的面積為，列出方程，結(jié)合，求出，從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】由題意，設(shè)橢圓方程為，左焦點(diǎn)為，則，，因?yàn)?，所以，故，所以，解得，，又，，解得，，故橢圓方程為.故選：D7．D【分析】利用已知條件求出第天和第天的方程即可判斷A，根據(jù)橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為，求出的范圍即可判斷B，求出離心率的表達(dá)式判斷C，利用離心率的表達(dá)式，求出農(nóng)歷初六至初八時(shí)的的范圍即可判斷D.【詳解】由方程（，）知：對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，橢圓方程為，當(dāng)時(shí)，橢圓方程為，化簡(jiǎn)為，即，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B：月相外邊緣上的點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的距離的最大值為：，，，，，因?yàn)?，，所以，所以，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C：月相外邊緣的離心率為：，即，所以月相外邊緣的離心率與有關(guān)，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D：農(nóng)歷初六至初八，即時(shí)，即，此時(shí)月相外邊緣離心率：，即，因?yàn)?，，所以，，所以，故D正確.故選：D.8．A【分析】根據(jù)橢圓以及雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)是，在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，則，，所以，，在中，由余弦定理可得：，即，故令，則，所以，故,故選：A9．AC【分析】根據(jù)題意可知M的軌跡為：，即與其有公共點(diǎn)的曲線都是“好曲線”，依次判斷各選項(xiàng)，即可得到結(jié)論.【詳解】由題意知：M到平面內(nèi)兩點(diǎn)，距離之差的絕對(duì)值為8，由雙曲線定義知，M的軌跡以為焦點(diǎn)的雙曲線且，所以，方程為：，∴“好曲線”一定與有公共點(diǎn)，對(duì)于A，直線過(guò)點(diǎn)，符合題意，故A正確；對(duì)于B，方程代入，可得，其中，方程無(wú)解，不符合題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，橢圓的右頂點(diǎn)為，符合題意，故C正確；對(duì)于D，圓的圓心為，半徑，與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，不符合題意，故D錯(cuò)誤；故選：AC10．ACD【分析】設(shè),根據(jù)橢圓定義得,根據(jù)得,兩式聯(lián)立可得,根據(jù)直角三角形的面積公式即可得選項(xiàng)A的正誤;將以上結(jié)論代入中可求得與矛盾,由于,所以點(diǎn)在以為直徑的圓上,半徑為,若點(diǎn)均在內(nèi)部,只需,解出離心率范圍即可,若點(diǎn)在外部,只需,此時(shí)該圓與橢圓一定有交點(diǎn),在交點(diǎn)處滿(mǎn)足,可得選項(xiàng)D正誤.【詳解】解:由題知,所以,因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn),且,所以為直角三角形,設(shè),在中,由勾股定理可得①,由橢圓定義可知:②,②式的平方減①式可得:,所以,故選項(xiàng)A正確;若,因?yàn)?所以,解得(舍),故不存在,即選項(xiàng)B錯(cuò)誤;因?yàn)?則點(diǎn)在以為直徑的圓上,所以該圓的圓心為原點(diǎn),半徑為,若均在內(nèi)部時(shí),則只需即可,即,即,化簡(jiǎn)可得,解得,故選項(xiàng)C正確;由于點(diǎn)在以為直徑的圓上,且半徑,當(dāng)在的外部時(shí)有,所以該圓與橢圓一定有交點(diǎn),記交點(diǎn)為,則該點(diǎn)既在圓上又在橢圓上,所以有成立,故選項(xiàng)D正確.故選:ACD11．ACD【分析】根據(jù)題意，根據(jù)橢圓離心率公式即可判斷A；聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理即可得到橢圓方程，從而判斷BC；根據(jù)三角形面積公式即可判斷D.【詳解】橢圓C的離心率為，設(shè)兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)為，當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線中有斜率不存在或斜率為0時(shí)，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)是，或.當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線中的斜率均存在且均不為0時(shí)，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，（，且），所以可設(shè)曲線C的過(guò)點(diǎn)P的切線方程是.由，得，由其判別式的值為0，得，因?yàn)椋?，為過(guò)P點(diǎn)互相垂直的兩條直線的斜率）是這個(gè)關(guān)于k的一元二次方程的兩個(gè)根，所以，由此，得，即的蒙日?qǐng)A方程為：；因?yàn)槊扇請(qǐng)A為長(zhǎng)方形的外接圓，設(shè)，，則矩形面積公式為，顯然，即矩形四條邊都相等，為正方形時(shí)，.故選:ACD.12．/【分析】最大當(dāng)且僅當(dāng)最大，即最小，再利用余弦定理結(jié)合橢圓的定義求解作答.【詳解】因?yàn)闉榈膬?nèi)切圓圓心，則，顯然是銳角，當(dāng)且僅當(dāng)最大時(shí)，最大，且最大，又，即有最小，在橢圓中，，在中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此當(dāng)，即為正三角形時(shí)，取得最大值，取最大值，所以的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱(chēng)為橢圓的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正余弦定理，橢圓定義．13．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合直線方程和點(diǎn)到直線距離公式得到與，解出，求出離心率.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

由題意得，，則直線，即，設(shè)，則，所以點(diǎn)到直線的距離為，解得，所以，即，直線，即，所以點(diǎn)到直線的距離為，解得或，因?yàn)椋?，即直線，令得，即，所以，即，聯(lián)立與，解得，故橢圓離心率為.故答案為：14．【分析】根據(jù)橢圓的定義及直徑所對(duì)的圓周角等于，利用勾股定理及銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及斜率的定義即可求解.【詳解】連接，如圖所示

設(shè)則，由橢圓的定義得所以在中，,所以,即，整理得，所以，所以直線的斜率為.故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)與橢圓的離心率求得，進(jìn)而得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)與橢圓方程聯(lián)立后，得到韋達(dá)定理的形式，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到方程；令可求得在軸的截距，利用函數(shù)值域的求解方法可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意，，即，又，所以，故，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）如圖，由題意知：直線的斜率存在且不為零，設(shè)，，，，中點(diǎn)，聯(lián)立，消去并整理得：，恒成立，則，，，，則方程為：，即，化簡(jiǎn)得：設(shè)直線在軸上截距為，令得，由可知，所以直線在軸上的截距的取值范圍為.16．(1)(2)1【分析】（1）根據(jù)，把點(diǎn)代入，即可求出橢圓方程．（2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，得，所以，，計(jì)算直線的斜率與直線的斜率的和，即可根據(jù)對(duì)稱(chēng)求解.【詳解】（1）由于，設(shè)所求橢圓方程為，把點(diǎn)代入，得，，橢圓方程為．（2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，整理得，設(shè)，，，，所以,直線直線斜率為，直線直線斜率為，則所以，，即直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，故直線與直線關(guān)于對(duì)稱(chēng)，因此．故【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值與范圍問(wèn)題的常見(jiàn)求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由橢圓的離心率以及點(diǎn)的坐標(biāo)列出方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，設(shè)直線得方程為，聯(lián)立與橢圓的方程，可得，再由可得，從而可得直線的方程，再聯(lián)立與橢圓的方程，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓離心率為，所以，即，所以橢圓方程為．因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以橢圓的方程為．（2）由題設(shè)，直線不過(guò)點(diǎn)，所以設(shè)直線得方程為．由得，所以，，．因?yàn)?，所以，所以①．由題設(shè)，②．因?yàn)?，所以③．①②③得，，所以直線的方程為．由，消去可得，則，其中，則，所以，所以所以，即，所以直線的方程為．18．(1)(2)存在，坐標(biāo)為【分析】（1）利用已知和的關(guān)系，列方程組可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可得，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡(jiǎn)，可得直線所過(guò)定點(diǎn)．【詳解】（1）依題意得解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）存在點(diǎn)，使，點(diǎn)的坐標(biāo)為.理由如下：直線過(guò)點(diǎn)，與橢圓交于不同的兩點(diǎn).且都在軸上方.直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程消去可得：.此時(shí)，設(shè)，則.，.存在點(diǎn)滿(mǎn)足條件.點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)