第七章立體幾何復(fù)習(xí)教案

【考綱下載】1．認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)．2．能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)法畫(huà)出它們的直觀圖．3．會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式．4．會(huì)畫(huà)某些建筑物的三視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等沒(méi)有嚴(yán)格要求)．一、必備知識(shí)1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征多面體結(jié)構(gòu)特征棱柱有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形且每相鄰兩個(gè)面的交線都平行且相等棱錐有一個(gè)面是多邊形，而其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形棱臺(tái)棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫做棱臺(tái)(2)旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形矩形一邊所在的直線圓錐直角三角形一直角邊所在的直線圓臺(tái)直角梯形或等腰梯形直角腰所在的直線或等腰梯形上下底中點(diǎn)連線球半圓或圓直徑所在的直線2.空間幾何體的三視圖(1)三視圖的名稱幾何體的三視圖包括：正視圖、側(cè)視圖、俯視圖．(2)三視圖的畫(huà)法①在畫(huà)三視圖時(shí)，重疊的線只畫(huà)一條，擋住的線要畫(huà)成虛線．②三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體的正投影圖．3．空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫(huà)法來(lái)畫(huà)，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸，y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度為原來(lái)的一半．二、必記結(jié)論1．常見(jiàn)旋轉(zhuǎn)體的三視圖(1)球的三視圖都是半徑相等的圓．(2)水平放置的圓錐的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰三角形．(3)水平放置的圓臺(tái)的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰梯形．(4)水平放置的圓柱的正視圖和側(cè)視圖均為全等的矩形．2．斜二測(cè)畫(huà)法中的“三變”與“三不變”“三變”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(坐標(biāo)軸的夾角改變，,與y軸平行的線段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，,圖形改變.))“三不變”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行性不改變，,與x，z軸平行的線段的長(zhǎng)度不改變，,相對(duì)位置不改變.))3．直觀圖與原圖形面積的關(guān)系S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形(或S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖)．一、思考辨析判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(3)棱臺(tái)是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分．()(4)夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是圓柱．()(5)上下底面是兩個(gè)平行的圓面的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)．()(6)用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是一個(gè)圓面．()提示：(1)錯(cuò)誤．如圖所示，該幾何體有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形，但不是棱柱．(2)錯(cuò)誤．根據(jù)棱錐定義，其余各面必須是有公共頂點(diǎn)的三角形．(3)正確．根據(jù)棱臺(tái)的定義可知正確．(4)錯(cuò)誤．兩個(gè)平行平面必須與圓柱底面平行才是圓柱．(5)錯(cuò)誤．圓臺(tái)的母線延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)．(6)正確．根據(jù)球的結(jié)構(gòu)特征可知正確．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×(6)√二、牛刀小試1．關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，下列說(shuō)法不正確的是()A．棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)都相等B．棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等C．三棱臺(tái)的上、下底面是相似三角形D．有的棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等解析：選B根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征知，棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)不一定都相等．2．用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是()A．圓柱B．圓錐C．球體D．圓柱、圓錐、球體的組合體解析：選C當(dāng)用過(guò)高線的平面截圓柱和圓錐時(shí)，截面分別為矩形和三角形，只有球滿足任意截面都是圓面．3．下面三視圖如圖所示，則該幾何體是()A．三棱錐B．四棱錐C．四棱臺(tái)D．三棱臺(tái)解析：選B由三視圖知該幾何體為四棱錐，其中有一側(cè)棱垂直于底面，底面為直角梯形．4．如圖△A′B′C′是△ABC的直觀圖，那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形解析：選B由于△A′B′C′的邊A′C′∥y′軸，所以AC⊥x軸，故△ABC為直角三角形．考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征[例1]給出下列四個(gè)命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；④棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3[聽(tīng)前試做]①不一定，只有這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；②正確；③錯(cuò)誤．當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐．如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；④錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面是相似且對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等．答案：B空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問(wèn)題的解答技巧(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．(2)通過(guò)舉反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可．給出下列四個(gè)命題：①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱；②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長(zhǎng)方體；④若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱．其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)是________．解析：認(rèn)識(shí)棱柱一般要從側(cè)棱與底面的垂直與否和底面多邊形的形狀兩方面去分析，故①③都不正確；②中對(duì)等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說(shuō)明，故也不正確；④平行六面體的兩個(gè)相對(duì)側(cè)面也可能與底面垂直且互相平行，故④也不正確．答案：①②③④高頻考點(diǎn)，發(fā)散思維空間幾何體的三視圖考點(diǎn)二空間幾何體的三視圖是每年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，題型多為選擇題或填空題，難度適中，屬中低檔題．歸納起來(lái)，且主要有以下幾個(gè)命題角度：角度一：由空間幾何體的三視圖還原出幾何體的形狀[例2](2015·鄭州模擬)若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()ABCD[聽(tīng)前試做]A，B的正視圖不符合要求，C的俯視圖顯然不符合要求，故選D.答案：D角度二：由空間幾何體的直觀圖判斷三視圖[例3](2014·江西高考)一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是()ABCD[聽(tīng)前試做]由直觀圖可知，該幾何體由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)截角三棱柱組成．從上往下看，外層輪廓線是一個(gè)矩形，矩形內(nèi)部有一條線段連接的兩個(gè)三角形．答案：B角度三：由空間幾何體的部分視圖畫(huà)出剩余部分視圖[例4](2015·吉林模擬)已知某組合體的正視圖與側(cè)視圖相同，如圖所示，其中AB＝AC，四邊形BCDE為矩形，則該組合體的俯視圖可以是________(把你認(rèn)為正確的圖的序號(hào)都填上)．[聽(tīng)前試做]直觀圖如圖1的幾何體(上部是一個(gè)正四棱錐，下部是一個(gè)正四棱柱)的俯視圖為①；直觀圖如圖2的幾何體(上部是一個(gè)正四棱錐，下部是一個(gè)圓柱)的俯視圖為②；直觀圖如圖3的幾何體(上部是一個(gè)圓錐，下部是一個(gè)圓柱)的俯視圖為③；直觀圖如圖4的幾何體(上部是一個(gè)圓錐，下部是一個(gè)正四棱柱)的俯視圖為④.答案：①②③④三視圖問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)由幾何體的直觀圖求三視圖．注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實(shí)線，不能看到的部分用虛線表示．(2)由幾何體的部分視圖畫(huà)出剩余的部分視圖．先根據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推測(cè)直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分三視圖的可能形式．當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入，再看看給出的部分三視圖是否符合．(3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀．要熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖．1．(2013·四川高考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是()解析：選D由于俯視圖是兩個(gè)圓，所以排除A，B，C，故選D.2．(2015·濟(jì)寧一模)點(diǎn)M，N分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中點(diǎn)，用過(guò)A，M，N和D，N，C1的兩個(gè)截面截去正方體的兩個(gè)角后得到的幾何體如圖1，則該幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖依次為圖2中的()①②③④圖1圖2A．①②③B．②③④C．①③④D．②④③解析：選B由正視圖的定義可知：點(diǎn)A，B，B1在后面的投影點(diǎn)分別是點(diǎn)D，C，C1，線段AN在后面的投影面上的投影是以D為端點(diǎn)且與線段CC1平行且相等的線段，另外線段AM在后面的投影線要畫(huà)成實(shí)線，被遮擋的線段DC1要畫(huà)成虛線，正視圖為②；同理可得側(cè)視圖為③，俯視圖為④.3．如圖是一幾何體的直觀圖、正視圖和俯視圖．在正視圖右側(cè)，按照畫(huà)三視圖的要求畫(huà)出的該幾何體的側(cè)視圖是()ABCD解析：選B由直觀圖和正視圖、俯視圖可知，該幾何體的側(cè)視圖應(yīng)為面PAD，且EC投影在面PAD上，故B正確．題根遷移，多維探究幾何體的直觀圖考點(diǎn)三[例5]如圖所示，△A′B′C′是△ABC的直觀圖，且△A′B′C′是邊長(zhǎng)為a的正三角形，求△ABC的面積．[聽(tīng)前試做]建立如圖所示的坐標(biāo)系xOy′，△A′B′C′的頂點(diǎn)C′在y′軸上，邊A′B′在x軸上，把y′軸繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得y軸，在y軸上取點(diǎn)C使OC＝2OC′，A、B點(diǎn)即為A′、B′點(diǎn)，長(zhǎng)度不變．已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得eq\f(OC′,sin∠OA′C′)＝eq\f(A′C′,sin45°)，所以O(shè)C′＝eq\f(sin120°,sin45°)a＝eq\f(\r(6),2)a，所以原三角形ABC的高OC＝eq\r(6)a，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×a×eq\r(6)a＝eq\f(\r(6),2)a2.[探究1]若本例改為“已知△ABC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，求其直觀圖△A′B′C′的面積”，應(yīng)如何求？解：由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則可知，直觀圖△A′B′C′一底邊上的高為eq\f(\r(3),2)a×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),8)a，故其面積S△A′B′C′＝eq\f(1,2)a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.[探究2]本例中的直觀圖若改為如圖所示的直角梯形，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則原圖形的面積為_(kāi)_______．解析：如圖①，在直觀圖中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，則在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝eq\f(\r(2),2).而四邊形AECD為矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1.∴BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1.由此可還原原圖形如圖②，是一個(gè)直角梯形．圖①圖②在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴原圖形的面積為S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).答案：2＋eq\f(\r(2),2)方法規(guī)律平面圖形直觀圖與原圖形面積間的關(guān)系對(duì)于幾何體的直觀圖，除掌握斜二測(cè)畫(huà)法外，記住原圖形面積S與直觀圖面積S′之間的關(guān)系S′＝eq\f(\r(2),4)S，能更快捷地進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的計(jì)算．如果一個(gè)水平放置的圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角均為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是()A．2＋eq\r(2)B.eq\f(1＋\r(2),2)C.eq\f(2＋\r(2),2)D．1＋eq\r(2)解析：選A由題意畫(huà)出斜二測(cè)直觀圖及還原后原圖，由直觀圖中底角均為45°，腰和上底長(zhǎng)均為1，得下底長(zhǎng)為1＋eq\r(2)，所以原圖是上、下底分別為1，1＋eq\r(2)，高為2的直角梯形．所以面積S＝eq\f(1,2)×(1＋eq\r(2)＋1)×2＝2＋eq\r(2).———————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————eq\a\vs4\al(2)點(diǎn)注意——畫(huà)三視圖和直觀圖時(shí)應(yīng)注意的兩個(gè)問(wèn)題(1)注意空間幾何體的不同放置對(duì)三視圖的影響．(2)畫(huà)直觀圖注意平行性、長(zhǎng)度兩個(gè)要素．eq\a\vs4\al(3)條規(guī)則——畫(huà)三視圖時(shí)應(yīng)遵循的三條規(guī)則(1)畫(huà)法規(guī)則：“長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊”．(2)擺放規(guī)則：側(cè)視圖在正視圖的右側(cè)，俯視圖在正視圖的正下方．(3)實(shí)虛線的畫(huà)法規(guī)則：可見(jiàn)輪廓線和棱用實(shí)線畫(huà)出，不可見(jiàn)線和棱用虛線畫(huà)出．eq\a\vs4\al([全盤(pán)鞏固])一、選擇題1．充滿氣的車輪內(nèi)胎(厚度忽略不計(jì))可由下面某個(gè)圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成，這個(gè)圖形是()ABCD解析：選C選項(xiàng)A得到的是空心球；D得到的是球面；B得到的是空心的環(huán)狀幾何體；選項(xiàng)C得到的是車輪內(nèi)胎．2．(2015·長(zhǎng)春模擬)已知三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，那么該三棱錐的側(cè)視圖可能為()ABCD解析：選B由正視圖可看出長(zhǎng)為2的側(cè)棱垂直于底面，側(cè)視圖為直角三角形，直角邊長(zhǎng)為2，另一直角邊為底邊三角形的高eq\r(3).故側(cè)視圖可能為B.3．給出下列四個(gè)命題：①各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱；②對(duì)角面是全等矩形的六面體一定是長(zhǎng)方體；③有兩側(cè)面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④長(zhǎng)方體一定是正四棱柱．其中正確的命題個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3解析：選A①直平行六面體底面是菱形，滿足條件但不是正棱柱，故①錯(cuò)；②底面是等腰梯形的直棱柱，滿足條件但不是長(zhǎng)方體，故②錯(cuò)；③④顯然錯(cuò)誤，故選A.4．(2015·煙臺(tái)模擬)一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的正視圖，側(cè)視圖如圖所示，則其俯視圖不可能為：①長(zhǎng)方形；②直角三角形；③圓；④橢圓．其中正確的是()A．①B．②C．③D．④解析：選C當(dāng)該幾何體的俯視圖為圓時(shí)，由三視圖知，該幾何體為圓柱，此時(shí)正視圖和側(cè)視圖應(yīng)相同，所以該幾何體的俯視圖不可能是圓，其余都有可能．故選C.5．(2015·江西八校聯(lián)考)底面水平放置的正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，當(dāng)其正視圖有最大面積時(shí)，其側(cè)視圖的面積為()A．2eq\r(3)B．3C.eq\r(3)D．4解析：選A當(dāng)正視圖的面積最大時(shí)，可知其為正三棱柱某個(gè)側(cè)面的面積，可以按如圖所示放置，此時(shí)S側(cè)＝2eq\r(3).二、填空題6．在如圖所示的直觀圖中，四邊形O′A′B′C′為菱形且邊長(zhǎng)為2cm，則在xOy坐標(biāo)系中，四邊形ABCO為_(kāi)_______，面積為_(kāi)_______cm2.解析：由斜二測(cè)畫(huà)法的特點(diǎn)，知該平面圖形的直觀圖的原圖，即在xOy坐標(biāo)系中，四邊形ABCO是長(zhǎng)為4cm，寬為2cm的矩形，所以四邊形ABCO的面積為8cm2.答案：矩形87.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐P-ABC的正視圖與側(cè)視圖的面積的比值為_(kāi)_______．解析：三棱錐P-ABC的正視圖與側(cè)視圖為底邊和高均相等的三角形，故它們的面積相等，兩者面積的比值為1.答案：18．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)均為eq\r(3)，其正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰三角形，則正視圖的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．解析：由題意知，正視圖就是如圖所示的截面PEF，其中E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，則BF＝1，在Rt△PBF中，BF＝1，PB＝eq\r(3)，于是PF＝eq\r(2)，同理PE＝eq\r(2)，故其正視圖的周長(zhǎng)為2＋2eq\r(2).答案：2＋2eq\r(2)三、解答題9．已知：圖①是截去一個(gè)角的長(zhǎng)方體，試按圖示的方向畫(huà)出其三視圖；圖②是某幾何體的三視圖，試說(shuō)明該幾何體的構(gòu)成．解：圖①幾何體的三視圖為：圖②所示的幾何體是上面為正六棱柱、下面為倒立的正六棱錐的組合體．10．已知正三棱錐V-ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖，如圖所示．(1)畫(huà)出該三棱錐的直觀圖；(2)求出側(cè)視圖的面積．解：(1)直觀圖如圖所示．(2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC＝2eq\r(3)，∴側(cè)視圖中VA＝eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)×2\r(3)))\s\up12(2))＝2eq\r(3)，∴S△VBC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2eq\r(3)＝6.eq\a\vs4\al([沖擊名校])(2015·長(zhǎng)沙模擬)將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()ABCD解析：選D如圖所示，點(diǎn)D1的投影為C1，點(diǎn)D的投影為C，點(diǎn)A的投影為B，故選D.【考綱下載】了解球體、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積計(jì)算公式(不要求記憶)．一、必備知識(shí)1．多面體的表(側(cè))面積因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和．2．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋r′)l3.空間幾何體的表面積和體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3二、必記結(jié)論1．與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論(1)一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．(2)等底面面積且高相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等．2．幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論(1)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(2)長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.一、思考辨析判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)錐體的體積等于底面面積與高之積．()(2)球的體積之比等于半徑之比的平方．()(3)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差．()(4)圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2πS.()提示：(1)錯(cuò)誤．由錐體的體積公式可知錯(cuò)誤．(2)錯(cuò)誤．由球的體積公式可知球的體積之比等于半徑之比的立方．(3)正確．根據(jù)臺(tái)體與錐體之間的關(guān)系可知正確．(4)錯(cuò)誤．由條件可知，圓柱的底面周長(zhǎng)為正方形的邊長(zhǎng)，設(shè)圓柱的底面半徑為r，則有S＝πr2，從而圓柱側(cè)面積為4πS.答案：(1)×(2)×(3)√(4)×二、牛刀小試1．一個(gè)正方體的體積是8，則這個(gè)正方體的內(nèi)切球的表面積是()A．8πB．6πC．4πD．π解析：選C設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則a3＝8，即a＝2.故該正方體的內(nèi)切球的半徑r＝1，所以該正方體的內(nèi)切球的表面積S＝4πr2＝4π.2．一個(gè)幾何體的三視圖及尺寸如圖所示，則該幾何體的體積為()A．2π＋4B．2π＋8C．4π＋4D．4π＋8解析：選B由三視圖知該幾何體的上面是一個(gè)半圓柱，下面是一個(gè)長(zhǎng)方體，則由三視圖的尺寸知該幾何體的體積為V＝1×2×4＋eq\f(1,2)×π×12×4＝8＋2π.3．側(cè)面都是直角三角形的正三棱錐，底面邊長(zhǎng)為a時(shí)，該三棱錐的表面積是________．解析：側(cè)面都是直角三角形，故側(cè)棱長(zhǎng)等于eq\f(\r(2),2)a，所以S＝eq\f(\r(3),4)a2＋3×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))eq\s\up12(2)＝eq\f(3＋\r(3),4)a2.答案：eq\f(3＋\r(3),4)a24．表面積為3π的圓錐，它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面直徑為_(kāi)_______．解析：設(shè)圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r，由題意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl(wèi)＝2πr.解得r＝1，即直徑為2.答案：25.如圖所示，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一點(diǎn)，且PB1＝eq\f(1,4)A1B1，則多面體P-BCC1B1的體積為_(kāi)_______．解析：由題意知，VP-BCC1B1＝eq\f(1,3)SBCC1B1·PB1＝eq\f(1,3)×42×1＝eq\f(16,3).答案：eq\f(16,3)考點(diǎn)一空間幾何體的表面積[例1](1)(2015·臨沂模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖中的圓弧是半圓，則該幾何體的表面積為()A．92＋14πB．82＋14πC．92＋24πD．82＋24π(2)(2015·天水模擬)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．6＋7eq\r(3)B．10＋eq\r(3)C．12＋eq\r(3)D．12(3)(2014·山東高考)一個(gè)六棱錐的體積為2eq\r(3)，其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為_(kāi)_______．[聽(tīng)前試做](1)由幾何體的三視圖，知該幾何體的下半部分是長(zhǎng)方體，上半部分是半徑為2，高為5的圓柱的一半．在長(zhǎng)方體中EH＝4，HG＝4，GK＝5，所以長(zhǎng)方體的表面積(去掉一個(gè)上底面)為2(4×4＋4×5)＋4×5＝92.半圓柱的兩個(gè)底面積為π×22＝4π，半圓柱的側(cè)面積為π×2×5＝10π，所以整個(gè)組合體的表面積為92＋4π＋10π＝92＋14π，選A.(2)由三視圖知，原幾何體為一個(gè)三棱柱截去一個(gè)三棱錐，三棱柱的底面為邊長(zhǎng)是2的等邊三角形，高為2，所以該幾何體的表面積為S＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＋3×2×2－2×eq\f(1,2)×2×1＋eq\f(1,2)×2×2＝12＋eq\r(3).故選C.(3)由題意可知，該六棱錐是正六棱錐，設(shè)該六棱錐的高為h，則eq\f(1,3)×6×eq\f(\r(3),4)×22×h＝2eq\r(3)，解得h＝1，底面正六邊形的中心到其邊的距離為eq\r(3)，故側(cè)面等腰三角形底邊上的高為2，故該六棱錐的側(cè)面積為eq\f(1,2)×12×2＝12.答案：(1)A(2)C(3)12空間幾何體表面積的求法(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問(wèn)題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量．(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為_(kāi)_______．解析：該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體為長(zhǎng)為4，寬為3，高為1的長(zhǎng)方體內(nèi)部挖去一個(gè)底面半徑為1，高為1的圓柱．∴S表＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38.答案：38高頻考點(diǎn)，發(fā)散思維空間幾何體的體積考點(diǎn)二空間幾何體的體積是每年高考的熱點(diǎn)之一，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度較小，屬容易題．歸納起來(lái)，且主要有以下幾個(gè)命題角度：角度一：求以三視圖為背景的幾何體的體積[例2](2014·安徽高考)一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的體積為()A.eq\f(23,3)B.eq\f(47,6)C．6D．7[聽(tīng)前試做]如圖，由三視圖可知，該幾何體是由棱長(zhǎng)為2的正方體從右后和左下分別截去一個(gè)小三棱錐得到的，其體積為V＝8－2×eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(23,3).答案：A角度二：求簡(jiǎn)單幾何體的體積[例3](2014·山東高考)三棱錐P-ABC中，D，E分別為PB，PC的中點(diǎn)，記三棱錐D-ABE的體積為V1，P-ABC的體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝________．[聽(tīng)前試做]如圖，設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為h，△PAB的面積為S，則V2＝eq\f(1,3)Sh，V1＝VE-ADB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)S×eq\f(1,2)h＝eq\f(1,12)Sh，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)角度三：求組合體的體積[例4](2014·天津高考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_(kāi)_______m3.[聽(tīng)前試做]由三視圖可得該幾何體是組合體，上面是底面圓的半徑為2m、高為2m的圓錐，下面是底面圓的半徑為1m、高為4m的圓柱，所以該幾何體的體積是eq\f(1,3)×4π×2＋4π＝eq\f(20π,3)m3．答案：eq\f(20π,3)空間幾何體體積問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解．(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解．1．(2013·山東高考)一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面是正方形，其正(主)視圖如右圖所示，則該四棱錐側(cè)面積和體積分別是()A．4eq\r(5)，8B．4eq\r(5)，eq\f(8,3)C．4(eq\r(5)＋1)，eq\f(8,3)D．8，8解析：選B由題意可知該四棱錐為正四棱錐，底面邊長(zhǎng)為2，高為2，側(cè)面上的斜高為eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，所以S側(cè)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(5)))＝4eq\r(5)，V＝eq\f(1,3)×22×2＝eq\f(8,3).2.如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為()A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,2)解析：選A如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，容易求得EG＝HF＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2)，∴S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，∴V＝VE-ADG＋VF-BHC＋VAGD-BHC＝2VE-ADG＋VAGD-BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).故選A.3．(2013·湖北高考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個(gè)簡(jiǎn)單幾何體組成，其體積分別記為V1，V2，V3，V4，上面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為多面體，則有()A．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V4解析：選C由題意可知，由于上面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為多面體．根據(jù)三視圖可知，最上面一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體是上底面圓的半徑為2，下底面圓的半徑為1，高為1的圓臺(tái)，其體積V1＝eq\f(1,3)π×(12＋22＋1×2)×1＝eq\f(7π,3)；從上到下的第二個(gè)簡(jiǎn)單幾何體是一個(gè)底面圓半徑為1，高為2的圓柱，其體積V2＝π×12×2＝2π；從上到下的第三個(gè)簡(jiǎn)單幾何體是棱長(zhǎng)為2的正方體，其體積V3＝23＝8；從上到下的第四個(gè)簡(jiǎn)單幾何體是一個(gè)棱臺(tái)，其上底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，下底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，棱臺(tái)的高為1，故體積V4＝eq\f(1,3)×(22＋2×4＋42)×1＝eq\f(28,3)，比較大小可知答案選C.題根遷移，多維探究與球有關(guān)的切、接問(wèn)題考點(diǎn)三[例5](2015·沈陽(yáng)模擬)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D．3eq\r(10)[聽(tīng)前試做]如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))\s\up12(2)＋62)＝eq\f(13,2).答案：C[探究1]本例若將直三棱柱改為“棱長(zhǎng)為4的正方體”，則此正方體外接球和內(nèi)切球的體積各是多少？解：由題意可知，此正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為其外接球的直徑，正方體的棱長(zhǎng)即為其內(nèi)切球的直徑．設(shè)該正方體外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r.又正方體的棱長(zhǎng)為4，故其體對(duì)角線長(zhǎng)為4eq\r(3)，從而V外接球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×(2eq\r(3))3＝32eq\r(3)π，V內(nèi)切球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32π,3).[探究2]本例若將直三棱柱改為“正四面體”，則此正四面體的表面積S1與其內(nèi)切球的表面積S2的比值為多少？解：正四面體棱長(zhǎng)為a，則正四面體表面積為S1＝4·eq\f(\r(3),4)·a2＝eq\r(3)a2，其內(nèi)切球半徑r為正四面體高的eq\f(1,4)，即r＝eq\f(1,4)·eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(6),12)a，因此內(nèi)切球表面積為S2＝4πr2＝eq\f(πa2,6)，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(\r(3)a2,\f(πa2,6))＝eq\f(6\r(3),π).[探究3]本例中若將直三棱柱改為“側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)都是3eq\r(2)的正四棱錐”，則其外接球的半徑是多少？解：依題意得，該正四棱錐的底面對(duì)角線的長(zhǎng)為3eq\r(2)×eq\r(2)＝6，高為＝3，因此底面中心到各頂點(diǎn)的距離均等于3，所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3.與球有關(guān)的組合體的類型及解法(1)球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常作出它們的軸截面解題．(2)球與多面體的組合，通常過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題．(2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)如圖所示，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深6cm，如果不計(jì)容器厚度，則球的體積為()A.eq\f(500π,3)cm3B.eq\f(866π,3)cm3C.eq\f(1372π,3)cm3D.eq\f(2048π,3)cm3解析：選A設(shè)球半徑為Rcm，根據(jù)已知條件知正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4cm，球心到截面的距離為(R－2)cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500π,3)cm3.————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————eq\a\vs4\al(1)種思想——轉(zhuǎn)化與化歸思想計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)，一般是將側(cè)面展開(kāi)化為平面圖形，“化曲為直”來(lái)解決，因此要熟悉常見(jiàn)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開(kāi)圖的形狀及平面圖形面積的求法．eq\a\vs4\al(2)種方法——割補(bǔ)法與等積法(1)割補(bǔ)法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時(shí)，常用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決．(2)等積法：等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過(guò)已知條件可以得到，利用等積法可以用來(lái)求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時(shí)，這一方法回避了通過(guò)具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過(guò)直接計(jì)算得到高的數(shù)值．eq\a\vs4\al(2)個(gè)注意點(diǎn)——求空間幾何體的表面積應(yīng)注意兩點(diǎn)(1)求組合體的表面積時(shí)，要注意各幾何體重疊部分的處理．(2)底面是梯形的四棱柱側(cè)放時(shí)，容易和四棱臺(tái)混淆，在識(shí)別時(shí)要緊扣定義，以防出錯(cuò)．eq\a\vs4\al([全盤(pán)鞏固])一、選擇題1．(2015·許昌模擬)如圖所示，一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是一個(gè)直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的表面積為()A．4πB.eq\f(3π,2)C．3πD．2π解析：選B由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱，S表＝2×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋π×1×1＝eq\f(3π,2).2．用平面α截球O所得截面圓的半徑為3，球心O到平面α的距離為4，則此球的表面積為()A.eq\f(100π,3)B.eq\f(500π,3)C．75πD．100π解析：選D易求得球的半徑為eq\r(32＋42)＝5，所以球的表面積為S＝4πr2＝100π.3．(2014·遼寧高考)某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．8－2πB．8－πC．8－eq\f(π,2)D．8－eq\f(π,4)解析：選B直觀圖為棱長(zhǎng)為2的正方體割去兩個(gè)底面半徑為1的eq\f(1,4)圓柱，所以該幾何體的體積為23－2×π×12×2×eq\f(1,4)＝8－π.4．已知圓錐的表面積為a，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面直徑是()A.eq\f(a,2)B.eq\f(\r(3πa),3π)C.eq\f(2\r(3πa),3π)D.eq\f(2\r(3a),3π)解析：選C設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，由題意知2πr＝πl(wèi)，∴l(xiāng)＝2r，則圓錐的表面積S表＝πr2＋2πr2＝a，∴r2＝eq\f(a,3π)，∴2r＝eq\f(2\r(3πa),3π).5．(2014·重慶高考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．12B．18C．24D．30解析：選C此幾何體是由一個(gè)三棱柱截去一個(gè)三棱錐得到的，三棱柱和三棱錐的底面都是直角三角形，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，其面積為6，三棱柱的高為5，三棱錐的高為3，所以該幾何體的體積為6×5－eq\f(1,3)×6×3＝24，選C.二、填空題6．(2015·南京模擬)已知圓錐的母線長(zhǎng)為2，高為eq\r(3)，則該圓錐的側(cè)面積是________．解析：由圓錐的性質(zhì)知其底面圓的半徑為eq\r(22－（\r(3)）2)＝1，所以圓錐的側(cè)面積為S側(cè)＝πrl＝π×1×2＝2π.也可以將圓錐側(cè)面展開(kāi)成扇形來(lái)處理．答案：2π7．球O與底面邊長(zhǎng)為3的正三棱柱的各側(cè)面均相切，則球O的表面積為_(kāi)_______．解析：設(shè)球O的半徑為R，底面正三角形內(nèi)切圓半徑就是球O的半徑，則R＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，因此球O的表面積S＝4πR2＝3π.答案：3π8．(2014·江蘇高考)設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2，若它們的側(cè)面積相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，則eq\f(V1,V2)的值是________．解析：設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面半徑分別是r1，r2，母線長(zhǎng)分別是l1，l2.則由eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)可得eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).又兩個(gè)圓柱的側(cè)面積相等，即2πr1l1＝2πr2l2，則eq\f(l1,l2)＝eq\f(r2,r1)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(S1l1,S2l2)＝eq\f(9,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)三、解答題9.如圖所示，已知E、F分別是棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中點(diǎn)，求四棱錐C1-B1EDF的體積．解：連接EF，B1D.設(shè)B1到平面C1EF的距離為h1，D到平面C1EF的距離為h2，則h1＋h2＝B1D1＝eq\r(2)a.由題意得，VC1-B1EDF＝VB1-C1EF＋VD-C1EF＝eq\f(1,3)·S△C1EF·(h1＋h2)＝eq\f(1,6)a3.10.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示．已知正視圖是底邊長(zhǎng)為1的平行四邊形，側(cè)視圖是一個(gè)長(zhǎng)為eq\r(3)，寬為1的矩形，俯視圖為兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼成的矩形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的表面積S.解：(1)由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)平行六面體(如圖)，其底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，高為eq\r(3).所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三視圖可知，該平行六面體中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，側(cè)面ABB1A1，CDD1C1均為矩形，所以S＝2×(1×1＋1×eq\r(3)＋1×2)＝6＋2eq\r(3).eq\a\vs4\al([沖擊名校])正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為4，高為6，則它的外接球的表面積為_(kāi)_______．解析：由圖可知正六棱柱的對(duì)角線BC，即為外接球的直徑，因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為4，所以AB＝8，所以BC＝eq\r(82＋62)＝eq\r(100)＝10，即2R＝10，所以外接球的半徑R＝5，所以外接球的表面積為4πR2＝4π×25＝100π.答案：100π【考綱下載】1．理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義．2．了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理．3．能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．一、必備知識(shí)1．平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．(2)公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．2．空間中兩直線的位置關(guān)系(1)空間中兩直線的位置關(guān)系eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)))(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：．(3)平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．(4)定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．3．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況．(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．二、必記結(jié)論1．公理2的三個(gè)推論推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面；推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面．2．異面直線判定的一個(gè)定理過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．一、思考辨析判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說(shuō)α，β相交于過(guò)A點(diǎn)的任意一條直線．()(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面．()(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合．()(4)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線．()提示：(1)錯(cuò)誤．由公理3可知錯(cuò)誤．(2)正確．如空間直角坐標(biāo)系中三條坐標(biāo)軸可以確定三個(gè)平面．(3)錯(cuò)誤．根據(jù)公理2可知，只有當(dāng)三個(gè)公共點(diǎn)不在一條直線上時(shí)兩個(gè)平面才重合．(4)錯(cuò)誤．沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線可能平行或異面．答案：(1)×(2)√(3)×(4)×二、牛刀小試1．已知空間中有三條線段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是()A．AB∥CDB．AB與CD異面C．AB與CD相交D．AB∥CD或AB與CD異面或AB與CD相交解析：選D若三條線段共面，如果AB，BC，CD構(gòu)成等腰三角形，則直線AB與CD相交，否則直線AB與CD平行；若不共面，則直線AB與CD是異面直線．2.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：選C連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.3．已知a、b是異面直線，直線c∥直線a，那么c與b()A．一定是異面直線B．一定是相交直線C．不可能是平行直線D．不可能是相交直線解析：選C假設(shè)c∥b，由公理4可知，a∥b，與a、b是異面直線矛盾，故選C.4．平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，既與AB共面又與CC1共面的棱有________條．解析：與AB平行，與CC1相交的直線是CD，C1D1；與CC1平行，與AB相交的直線是BB1，AA1；與AB，CC1都相交的直線是BC，故滿足條件的棱有5條．答案：55．若三個(gè)平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個(gè)平面把空間分成________個(gè)部分．解析：通過(guò)舉實(shí)例說(shuō)明，如三棱柱三個(gè)側(cè)面所在平面滿足兩兩相交，且三條交線互相平行，這三個(gè)平面將空間分為7部分．答案：7考點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用[例1](1)(2013·安徽高考)在下列命題中，不是公理的是()A．平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行B．過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面C．如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)D．如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(2)以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．A．0B．1C．2D．3[聽(tīng)前試做](1)選項(xiàng)A是面面平行的性質(zhì)定理，是由公理推證出來(lái)的，而公理是不需要證明的．(2)①顯然是正確的，可用反證法證明；②中若A、B、C三點(diǎn)共線，則A、B、C、D、E五點(diǎn)不一定共面；③構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體，如圖顯然b、c異面，故不正確；④中空間四邊形中四條線段不共面．故只有①正確．答案：(1)A(2)B共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明(1)證明點(diǎn)或線共面問(wèn)題的兩種方法：①首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．(2)證明點(diǎn)共線問(wèn)題的兩種方法：①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上．(3)證明線共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)．已知：空間四邊形ABCD(如圖所示)，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，G、H分別是BC、CD上的點(diǎn)，且CG＝eq\f(1,3)BC，CH＝eq\f(1,3)DC.求證：(1)E、F、G、H四點(diǎn)共面；(2)三直線FH、EG、AC共點(diǎn)．證明：(1)連接EF、GH，∵E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD.又∵CG＝eq\f(1,3)BC，CH＝eq\f(1,3)DC，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E、F、G、H四點(diǎn)共面．(2)易知FH與直線AC不平行，但共面，∴設(shè)FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，∴M∈EG，∴FH、EG、AC共點(diǎn)．高頻考點(diǎn)，發(fā)散思維空間兩條直線的位置關(guān)系考點(diǎn)二空間兩條直線位置關(guān)系的判斷是每年高考?？純?nèi)容，并且常作為某一選項(xiàng)來(lái)考查，其中異面直線及平行關(guān)系是考查的重點(diǎn)．歸納起來(lái)，且主要有以下幾個(gè)命題角度：角度一：異面直線的判定[例2](2015·金華模擬)在圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．(填上所有正確答案的序號(hào))①②③④[聽(tīng)前試做]圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H面GMN，因此GH與MN異面．所以在圖②④中，GH與MN異面．答案：②④角度二：兩直線位置關(guān)系的判斷[例3](2014·廣東高考)若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行D．l1與l4的位置關(guān)系不確定[聽(tīng)前試做]構(gòu)造如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1，取l1為AD，l2為AA1，l3為A1B1，當(dāng)取l4為B1C1時(shí)，l1∥l4，當(dāng)取l4為BB1時(shí)，l1⊥l4，故排除A、B、C，選D.答案：D角度三：異面直線的條數(shù)[例4](2015·濰坊模擬)如圖為正方體表面的一種展開(kāi)圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面的對(duì)數(shù)為_(kāi)_______對(duì)．[聽(tīng)前試做]平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對(duì)位置的變化，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．故互為異面的直線有且只有3對(duì)．答案：3兩條直線位置關(guān)系判斷的策略(1)異面直線的判定常用的是反證法，先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面．此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到．(2)點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系可借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，準(zhǔn)確判定線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直．(3)對(duì)于異面直線的條數(shù)問(wèn)題，可以根據(jù)異面直線的定義逐一排查．1．(2015·昆明模擬)若直線l不平行于平面α，且lα，則()A．α內(nèi)的所有直線與l異面B．α內(nèi)不存在與l平行的直線C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D．α內(nèi)的直線與l都相交解析：選B如圖，設(shè)l∩α＝A，α內(nèi)直線若經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，則與直線l相交；若不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則與直線l異面．2．(2015·江西七校聯(lián)考)已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，aα，aβ，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是()A．相交或平行B．相交或異面C．平行或異面D．相交、平行或異面解析：選D依據(jù)題意，b，c分別為a在α，β內(nèi)的射影，可判斷b，c相交、平行或異面均可．3．如果兩條異面直線稱為“一對(duì)”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線________對(duì)．解析：如圖所示，與AB異面的直線有B1C1，CC1，A1D1，DD1四條，因?yàn)楦骼饩哂胁煌奈恢茫艺襟w共有12條棱，排除兩棱的重復(fù)計(jì)算，共有異面直線eq\f(12×4,2)＝24對(duì)．答案：24題根遷移，多維探究異面直線所成的角考點(diǎn)三[例5](2015·湛江模擬)如圖在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)[聽(tīng)前試做]連接BC1，易證BC1∥AD1，則∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角．連接A1C1，設(shè)AB＝1，則AA1＝2，A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，故cos∠A1BC1＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5).答案：D[探究]在本例條件下，若點(diǎn)P在平面A1C1內(nèi)且不在對(duì)角線B1D1上，過(guò)點(diǎn)P在平面A1C1內(nèi)作一直線m，使m與直線BD成α角，且α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).這樣的直線可作幾條？解：在平面A1C1內(nèi)作m，使m與B1D1相交成α角．∵BD∥B1D1，∴直線m與BD也成α角，即m為所求直線．且m與BD是異面直線，當(dāng)α＝eq\f(π,2)時(shí)，m只有一條，當(dāng)α≠eq\f(π,2)時(shí)，這樣的直線有兩條．用平移法求異面直線所成的角的三步法(1)一作：即據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．如圖所示，點(diǎn)A是平面BCD外一點(diǎn)，AD＝BC＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，且EF＝eq\r(2)，則異面直線AD和BC所成的角為_(kāi)_______．解析：如圖，設(shè)G是AC的中點(diǎn)，連接EG，F(xiàn)G.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，故EG∥BC且EG＝eq\f(1,2)BC＝1，F(xiàn)G∥AD，且FG＝eq\f(1,2)AD＝1.即∠EGF為所求異面直線AD和BC所成的角，又EF＝eq\r(2)，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°.答案：90°————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————eq\a\vs4\al(2)個(gè)注意點(diǎn)——判斷點(diǎn)、線、面位置關(guān)系時(shí)的注意點(diǎn)(1)異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，不能錯(cuò)誤地理解為不在某一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線就是異面直線．(2)在判斷直線與平面的位置關(guān)系時(shí)易忽視“線在平面內(nèi)”．eq\a\vs4\al(2)種方法——異面直線的判定方法(1)判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．(2)反證法：證明兩直線不可能平行、相交或證明兩直線不可能共面，從而可得兩直線異面．eq\a\vs4\al(3)個(gè)作用——3個(gè)公理的作用(1)公理1的作用：①檢驗(yàn)平面；②判斷直線在平面內(nèi)；③由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點(diǎn)在平面內(nèi)；④由直線的“直”刻畫(huà)平面的“平”．(2)公理2的作用：公理2及其推論給出了確定一個(gè)平面或判斷直線共面的方法．(3)公理3的作用：①判定兩平面相交；②作兩平面相交的交線；③證明多點(diǎn)共線．eq\a\vs4\al([全盤(pán)鞏固])一、選擇題1．若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件解析：選A兩直線異面?兩直線沒(méi)有公共點(diǎn)，反之不然，所以“兩直線異面”是“這兩直線沒(méi)有公共點(diǎn)”的充分不必要條件，故選A.2．若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，b⊥c，則直線a與c()A．一定平行B．一定相交C．一定是異面直線D．平行、相交或異面都有可能解析：選D當(dāng)a，b，c共面時(shí)，a∥c；當(dāng)a，b，c不共面時(shí)，a與c可能異面也可能相交．3．若直線a⊥b，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關(guān)系是()A．b?αB．b∥αC．b?α或b∥αD．b與α相交或b?α或b∥α解析：選Db與α相交或b?α或b∥α都可以．4．(2015·濟(jì)南模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是()A．相交B．異面C．平行D．垂直解析：選A如圖所示，直線A1B與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且兩直線不平行，故兩直線相交．5．(2015·青島模擬)在正四棱錐V-ABCD中，底面正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則異面直線VA與BD所成角的大小為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)解析：選D如圖所示，設(shè)AC∩BD＝O，連接VO，由于四棱錐V-ABCD是正四棱錐，所以VO⊥平面ABCD，故BD⊥VO.又四邊形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC.所以BD⊥VA，即異面直線VA與BD所成角的大小為eq\f(π,2).二、填空題6.如圖是正四面體的平面展開(kāi)圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________．解析：還原成正四面體知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN.答案：②③④7.如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，將△ABD沿對(duì)角線BD折起到△A′BD的位置，使點(diǎn)A′在平面BCD內(nèi)的射影點(diǎn)O恰好落在BC邊上，則異面直線A′B與CD所成角的大小為_(kāi)_______．解析：如題圖所示，由A′O⊥平面ABCD，可得平面A′BC⊥平面ABCD，又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，故DC⊥A′B，即得異面直線A′B與CD所成角的大小為90°.答案：90°8．設(shè)a，b，c是空間中的三條直線，下面給出五個(gè)命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；④若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線；⑤若a，b與c成等角，則a∥b.其中正確的命題是________(寫(xiě)出全部正確結(jié)論的序號(hào))．解析：由公理4知①正確；當(dāng)a⊥b，b⊥c時(shí)，a與c可以相交、平行，也可以異面，故②不正確；當(dāng)a與b相交，b與c相交時(shí)，a與c可以相交、平行，也可以異面，故③不正確；a?α，b?β，并不能說(shuō)明a與b“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”，故④不正確；當(dāng)a，b與c成等角時(shí)，a與b可以相交、平行，也可以異面，故⑤不正確．答案：①三、解答題9．A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)．(1)求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．解：(1)證明：假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)相矛盾．故直線EF與BD是異面直線．(2)取CD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則EG∥BD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝eq\f(1,2)AC，求得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.10.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn)．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱錐P-ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．解：(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱錐P-ABC的體積為V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).(2)如圖，取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).eq\a\vs4\al([沖擊名校])1．(2015·臨沂模擬)過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A作直線l，使l與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，這樣的直線l可以作()A．1條B．2條C．3條D．4條解析：選D如圖，連接體對(duì)角線AC1，顯然AC1與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都為eq\r(2).聯(lián)想正方體的其他體對(duì)角線，如連接BD1，則BD1與棱BC，BA，BB1所成的角都相等，∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴體對(duì)角線BD1與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，體對(duì)角線A1C，DB1也與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，過(guò)A點(diǎn)分別作BD1，A1C，DB1的平行線都滿足題意，故這樣的直線l可以作4條．2．設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1，1，1，1，eq\r(2)和a，且長(zhǎng)為a的棱與長(zhǎng)為eq\r(2)的棱異面，則a的取值范圍是()A．(0,eq\r(2))B．(0,eq\r(3))C．(1,eq\r(2))D．(1,eq\r(3))解析：選A如圖所示，AB＝eq\r(2)，CD＝a，設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，則ED⊥AB，EC⊥AB，則ED＝eq\r(AD2－AE2)＝eq\f(\r(2),2)，同理EC＝eq\f(\r(2),2).由構(gòu)成三角形的條件知0<a<ED＋EC＝eq\r(2)，所以0<a<eq\r(2).【考綱下載】1．能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理．2．能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．一、必備知識(shí)1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)l∥a，a?α，l?α?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)l∥α，l?β，α∩β＝b?l∥b2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α?α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b二、必記結(jié)論平面與平面平行的六個(gè)性質(zhì)(1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面．(2)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段長(zhǎng)度相等．(3)經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．(4)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．(5)如果兩個(gè)平面分別和第三個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面互相平行．(6)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行．一、思考辨析判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面．()(2)若一條直線平行于一個(gè)平面，則這條直線平行于這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線．()(3)若直線a與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行，則a∥α.()(4)若直線a∥α，P∈α，則過(guò)點(diǎn)P且平行于a的直線有無(wú)數(shù)條．()(5)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．()(6)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．()提示：(1)錯(cuò)誤．根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知該結(jié)論錯(cuò)誤．(2)錯(cuò)誤．根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知，此直線與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行而不是與任意直線平行．(3)錯(cuò)誤．若直線a與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行，則a∥α或aα.(4)錯(cuò)誤．直線a與點(diǎn)P確定一個(gè)平面β，若α∩β＝b，則a∥b.(5)錯(cuò)誤．如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行或相交．(6)正確．分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則它們平行或異面．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√二、牛刀小試1．若兩條直線都與一個(gè)平面平行，則這兩條直線的位置關(guān)系是()A．平行B．相交C．異面D．以上均有可能解析：選D與一個(gè)平面平行的兩條直線可能平行、相交，也可能異面．2．一條直線l上有相異三個(gè)點(diǎn)A、B、C到平面α的距離相等，那么直線l與平面α的位置關(guān)系是()A．l∥αB．l⊥αC．l與α相交但不垂直D．l∥α或lα解析：選Dl∥α?xí)r，直線l上任意點(diǎn)到α的距離都相等；lα?xí)r，直線l上所有的點(diǎn)到α的距離都是0；l⊥α?xí)r，直線l上有兩個(gè)點(diǎn)到α距離相等；l與α斜交時(shí)，也只能有兩個(gè)點(diǎn)到α距離相等．故選D.3．a(chǎn)、b、c為三條不重合的直線，α、β、γ為三個(gè)不重合的平面，現(xiàn)給出四個(gè)命題：①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,β∥c))?α∥β；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥γ,β∥γ))?α∥β；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,a∥c))?a∥α；④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥γ,α∥γ))?α∥a.其中正確的命題是()A．①②③B．①④C．②D．①③④解析：選C②正確．①錯(cuò)在α與β可能相交．③④錯(cuò)在a可能在α內(nèi)．4．已知平面α∥β，直線aα，有下列命題：①a與β內(nèi)的所有直線平行；②a與β內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行；③a與β內(nèi)的任意一條直線都不垂直．其中真命題的序號(hào)是________．解析：由面面平行和線面平行的性質(zhì)可知，過(guò)a與β相交的平面與β的交線才與a平行，故①錯(cuò)誤；②正確；平面β內(nèi)的直線與直線a平行，異面均可，其中包括異面垂直，故③錯(cuò)誤．答案：②5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系是________．解析：如圖所示，連接BD交AC于F，連接EF，則EF是△BDD1的中位線，∴EF∥BD1，又EF平面ACE，BD1平面ACE，∴BD1∥平面ACE.答案：BD1∥平面ACE