常微分方程教案

第一章緒論在初等數(shù)學(xué)中，我們已經(jīng)學(xué)過一些代數(shù)方程（如元個(gè)一次聯(lián)立方程），并且用它們解決了一些有趣的應(yīng)用問題，使我們初步體會(huì)到方程論（主要是設(shè)未知量、列方程和求解方程的方法）對(duì)于解決實(shí)際問題的重要性。在解析幾何與微積分中，我們又碰到一類不同的方程——方程的個(gè)數(shù)少于未知量的個(gè)數(shù)，也就是通常所說的函數(shù)方程。例如，1）(設(shè)是自變量，則是未知函數(shù))；2），（設(shè)是自變量，則和是兩個(gè)未知函數(shù)）。這類函數(shù)方程與開頭所說的代數(shù)方程相比，在概念上進(jìn)了一步——確定自變量與因變量之間的函數(shù)關(guān)系。利用這類方程可以解決一類新的問題，例如某些軌跡問題和極值問題等。本課程所要講述的方程與剛才說的那種函數(shù)方程又不一樣，它們除了自變量和未知函數(shù)外，還包含了未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(即微商)。例如:1）（是自變量，是未知函數(shù)，是未知函數(shù)對(duì)的導(dǎo)數(shù)。）2）（是自變量，是未知函數(shù)，是未知函數(shù)對(duì)的導(dǎo)數(shù)等等）。這種聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式,數(shù)學(xué)上稱之為微分方程。其中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分是不可缺少的。下面我們通過幾個(gè)具體的例子，粗略地介紹常微分方程的一些物理背景和方程的建立問題，并講述一些最基本的概念。第一節(jié)微分方程：某些物理過程的數(shù)學(xué)模型在這一節(jié)中列舉幾個(gè)簡單的實(shí)際例子，說明怎樣從實(shí)際問題列成微分方程的問題。例子雖然簡單，但是從中能夠簡明地誘導(dǎo)出微分方程的一些基本概念，成為進(jìn)一步探討其他較復(fù)雜問題的借鑒。掌握好這些例子，會(huì)有助于增進(jìn)我們分析問題的能力。例1物體冷卻過程的數(shù)學(xué)模型將某物體放置于空氣中，在時(shí)刻時(shí)，測(cè)量得它的溫度為，10分鐘后測(cè)得溫度為。我們要求決定此物體的溫度和時(shí)間的關(guān)系，并計(jì)算20分鐘后物體的溫度。這里我們假定空氣的溫度保持為。解為了解決上述問題，需要了解有關(guān)熱力學(xué)的一些基本規(guī)律。例如，熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo)的；在一定的溫度范圍內(nèi)（其中包括了上述問題的溫度在內(nèi)），一個(gè)物體的溫度變化速度與這一物體的溫度和其所在介質(zhì)溫度的差值成比例。這是已為實(shí)驗(yàn)證明了的牛頓（Newton）冷卻定律。設(shè)物體在時(shí)刻的溫度為，則溫度的變化速度以來表示。由牛頓冷卻定律得到這里是比例常數(shù)。方程（1.1.1）就是物體冷卻過程的數(shù)學(xué)模型,它含有未知函數(shù)及它的一階導(dǎo)數(shù)，這樣的方程,我們稱為一階微分方程。為了決定物體的溫度u和時(shí)間t的關(guān)系，我們要從方程（1.1.1）中“解出”。注意到是常數(shù)，且，可將（1.1.1）改寫成這樣，變量和被“分離”開來了。兩邊積分，得到

（1.1.3）這里是“任意常數(shù)”。根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，得到

令，即得

（1.1.4）根據(jù)“初始條件”：當(dāng)時(shí)，

（1.1.5）

容易確定“任意常數(shù)”的數(shù)值。故把和代入（1.1.4），得到于是

（1.1.6）這時(shí)如果的數(shù)值確定了，（1.1.6）就完全決定了溫度和時(shí)間的關(guān)系。根據(jù)條件時(shí)，，得到

由此，

用給定的，和代入，得到

從而（1.1.7）這樣根據(jù)方程（1.1.7）,就可以計(jì)算出任何時(shí)刻t物體的溫度u的數(shù)值了。例如20分鐘后物體的溫度就是。由方程(1.1.7)可知，當(dāng)時(shí)，這可以解釋為：經(jīng)過一段時(shí)間后，物體的溫度和空氣的溫度將會(huì)沒有什么差別了。事實(shí)上,經(jīng)過2小時(shí)后，物體的溫度已變?yōu)椋c空氣的溫度已相當(dāng)?shù)慕咏?。而?jīng)過3小時(shí)后，物體的溫度為,我們的一些測(cè)量儀器已測(cè)不出它與空氣的溫度的差別了。在實(shí)用上，人們認(rèn)為這時(shí)物體的冷卻過程已基本結(jié)束。微分方程的“解”可以用圖形表示出來，這往往給我們一個(gè)簡明直觀的了解。圖（1.1）就是“解”（1.1.7）的圖形。

從例1中可以大體看出用微分方程解決實(shí)際問題的基本步驟:（1）建立起實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，也就是建立反映這個(gè)實(shí)際問題的微分方程；(2）求解這個(gè)微分方程；（3）用所學(xué)的數(shù)學(xué)結(jié)果解釋實(shí)際問題，從而預(yù)測(cè)到某些物理過程的特定性質(zhì)，以便達(dá)到能動(dòng)地改造世界，解決實(shí)際問題的目的。建立起實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型一般比較困難的，因?yàn)檫@需要對(duì)與問題有關(guān)的自然規(guī)律有一個(gè)清晰的了解（例如，例１中就要了解熱力學(xué)中的牛頓冷卻定律），同時(shí)也需要有一定的數(shù)學(xué)知識(shí)。微分方程往往可以看作是各種不同物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。我們?cè)诮⑽⒎址匠痰臅r(shí)候，只能考慮影響這個(gè)物理現(xiàn)象的一些主要因素，而把其他的一些次要因素忽略掉，如果的確考慮到了那些最主要的因素，那么我們所得到的微分方程，它的解和所考慮的物理現(xiàn)象比較接近的。這時(shí)，我們得到的數(shù)學(xué)模型是有用；否則，我們還應(yīng)該考慮其他的一些因素，以便建立起更為合理的數(shù)學(xué)模型。下面再舉幾個(gè)例子說明如何建立微分方程的問題，至于如何求解這些微分方程，則留待以后再討論。例2鐳、鈾等放射性元素因不斷地放出各種射線而逐漸減少其質(zhì)量（稱為衰變）。根據(jù)實(shí)驗(yàn)知道衰變速度與剩余物的質(zhì)量成正比，問這種元素的質(zhì)量是時(shí)間的什么樣的函數(shù)？解由題意可知有

這里表示衰變的速度，即關(guān)于的變化率。是比例常數(shù)，因元素的不同而異。等式右邊的負(fù)號(hào)表示當(dāng)時(shí),即當(dāng)增加時(shí)鐳的質(zhì)量總是減少的。例3

電路如圖(1.2)的電路，它包含電感，電阻和電源。設(shè)時(shí)，電路中沒有電流。我們要求建立：當(dāng)開關(guān)合上后，電流應(yīng)該滿足的微分方程。這里假設(shè)、、都是常數(shù)。解為了建立電路的微分方程，我們引用關(guān)于電路的基爾霍夫第二定律：在閉合回路中，所有支路上的電壓的代數(shù)和等于零。注意到經(jīng)過電阻的電壓降是，而經(jīng)過電感的電壓降是，由基爾霍夫第二定律得到

即求出的應(yīng)滿足條件：當(dāng)時(shí)，

如果假定在時(shí)，，電源突然短路，因而變?yōu)榱悖撕笠啾３譃榱?。那末電流滿足方程及條件：當(dāng)時(shí)，。圖（1.2）例4

研究懸掛重物的彈簧的振動(dòng)。假設(shè)彈簧的質(zhì)量與重物的質(zhì)量相比是很小，以致可以略去不計(jì)，試建立其微分方程。圖(1.3)解

如圖(1.3)，當(dāng)重物（質(zhì)量為）靜止不動(dòng)時(shí)，它所受到的兩個(gè)力，即重力和彈簧的恢復(fù)力，互相平衡。如果把它向下拉(或向上推)一小段距離，然后放手。根據(jù)常識(shí)，知道重物將作上下振動(dòng)若干次,振幅愈來愈小，最后仍歸于靜止。今取軸的正方向鉛直向下，取重物靜止不動(dòng)時(shí)其重心的位置為。在振動(dòng)過程中，重物受到三個(gè)力的作用：1.重力，方向向下。2.彈簧的恢復(fù)力，其中是彈簧的剛度，即把它拉長一個(gè)單位茶館年度所需的力。這個(gè)力的方向要看還是而定。在前一情況，彈簧的長度比沒有懸掛重物時(shí)要長，因此恢復(fù)力方向向上；在后一情況則相反，恢復(fù)力向下。3.空氣阻力。根據(jù)實(shí)驗(yàn)知道空氣阻力的大小與重物運(yùn)動(dòng)的速度成正比，而方向與運(yùn)動(dòng)方向相反。這樣，應(yīng)用牛頓第二定律，就得到:

(1.1.10)其中稱為阻尼系數(shù)，等式中間第二，三兩項(xiàng)前面的負(fù)號(hào)已經(jīng)在上面解釋過。從以上所舉的幾個(gè)例子中不難發(fā)現(xiàn)，完全無關(guān)、本質(zhì)上不同的物理現(xiàn)象有時(shí)可以由同類型的微分方程來描述。例如，反映物體冷卻過程的方程和反映電路中電流變化規(guī)律的方程都可以寫成

不同的物理現(xiàn)象可以具有相同的數(shù)學(xué)模型這一事實(shí)，正是現(xiàn)代許多應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者和工程人員應(yīng)用模擬方法解決物理或工程問題的理論依據(jù)。例如，利用電路來模擬某些力學(xué)系統(tǒng)或機(jī)械系統(tǒng)等等在現(xiàn)時(shí)已相當(dāng)普遍。第二節(jié)基本概念1）常微分方程和偏微分方程定義1

微分方程就是聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)以及它的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。如果在微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，我們稱這種微分方程為常微分方程；自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上的微分方程稱為偏微分方程。方程是常微分方程的例子，這里是未知函數(shù)，是自變量。方程

(1.1.16)就是偏微分方程的例子，這里是未知函數(shù)，、、、是自變量。微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階數(shù)。例如，方程（1.1.13）是二階常微分方程，而方程（1.1.15）、（1.1.16）都是二階偏微分方程。一般的階常微分方程具有形式(1.1.17)

這里是的已知函數(shù)，而且一定含有；是未知函數(shù),是自變量。練習(xí)1

指出下面微分方程的階數(shù)，并回答方程是常微分方程還是偏微分方程：2）線性和非線性定義2

如果方程(1.1.17)的左端為及，...，的一次有理整式，則稱（1.1.17）為n階線性微分方程。一般的階線性微分方程具有形式這里是的已知函數(shù)。不是線性方程的方程稱為非線性方程。例如，方程是二階非線性方程，而方程（1.1.14）是一階非線性方程。練習(xí)2指出下面微分方程的階數(shù)，并回答是否線性的：3）解和隱式解定義3

如果函數(shù)代入方程（1.1.17）后，能使它變?yōu)楹愕仁剑瑒t稱函數(shù)為方程（1.1.17）的解。例如，§1.1的例1中,函數(shù)就是方程(1.1.1)的解。如果關(guān)系式?jīng)Q定的隱函數(shù)是（1.1.17）的解，我們稱為方程(1.1.17)的隱式解。例如，一階微分方程有解和；而關(guān)系式就是方程的隱式解。練習(xí)3

驗(yàn)證下列各函數(shù)是相應(yīng)微分方程的解：(c是任意常數(shù))4）通解和特解定義4

把含有個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)的解稱為階方程（1.1.17）的通解。同樣，可以定義階方程（1.1.17）的隱式通解。為了簡單起見，以后我們也不把通解和隱式通解加以區(qū)別，統(tǒng)稱為方程的解。為了確定微分方程的一個(gè)特定的解，我們通常給出這個(gè)解所必須滿足的條件，這就是所謂的定解條件。常見的定解條件是初始條件。所謂階微分方程（1.1.17）的初始條件是指如下的個(gè)條件：當(dāng)時(shí)，

（1.1.19）這里是給定的個(gè)常數(shù)，初始條件（1.1.19）有時(shí)可寫為

（1.1.20）求微分方程滿足定解條件的解，就是所謂定解問題。當(dāng)定解條件為初始條件時(shí)，相應(yīng)的定解問題，就稱為初值問題。滿足初始條件的解稱為微分方程的特解。初始條件不同，對(duì)應(yīng)的特解也不同。一般來說，特解可以通過初始條件的限制，從通解中確定任意常數(shù)而得到。例如，在§1.1的例1中，含有一個(gè)任意常數(shù)解就是一階方程（1.1.1）的通解；而就是滿足初始條件當(dāng)時(shí)，的特解。練習(xí)4給定一階微分方程,（1）求出它的通解；（2）求通過點(diǎn)（1，4）的特解。5）積分曲線和方向場(chǎng)定義5

一階微分方程

（1.1.21）的解代表平面上的一條曲線，我們稱它為微分方程的積分曲線。而微分方程(1.1.21)的通解對(duì)應(yīng)于平面上的一族曲線，我們稱這族曲線為積分曲線族。滿足初始條件的特解就是通過點(diǎn)的一條積分曲線。此外方程(1.1.21）的積分曲線的每一點(diǎn)上的切線斜率剛好等于函數(shù)在這點(diǎn)的值，也就是說,積分曲線的每一點(diǎn)及這點(diǎn)上的切線斜率恒滿足方程（1.1.21）；反之，如果在一條曲線每點(diǎn)上其切線斜率剛好等于函數(shù)在這點(diǎn)的值，則這一條曲線就是方程(1.1.21）的積分曲線。設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈。在每一點(diǎn)處畫上一個(gè)小線段，其斜率等于。我們把帶有這種直線段的區(qū)域稱為由方程（1.1.21）規(guī)定的方向場(chǎng)。這樣，求微分方程（1.1.21）經(jīng)過點(diǎn)的曲線，就是在D內(nèi)求一條經(jīng)過的曲線，使其上每一點(diǎn)處切線的斜率都與方向場(chǎng)在該點(diǎn)的方向相吻合。在方向場(chǎng)中，方向相同的點(diǎn)的幾何軌跡稱為等斜線。微分方程（1.1.21）的等斜線方程為=其中是參數(shù)。給出參數(shù)的一系列充分接近的值，就可得足夠密集的等斜線族，借此可以近似地作出微分方程（1.1.21）的積分曲線。當(dāng)然，要想更精確地作出積分曲線，還必須進(jìn)一步弄清楚積分曲線的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)等。顯然，極值點(diǎn)和拐點(diǎn)如果存在的話，一般地，它們將滿足方程=0及。例1求解方程。

解等斜線是雙曲線。特別地當(dāng)時(shí)雙曲線退化為一對(duì)直線和，就是說，在軸和軸上積分曲線有相同的切線方向。進(jìn)一步考慮積分曲線的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)。為此，令時(shí)得，在此雙曲線上，可見積分曲線在雙曲線的一支（對(duì)應(yīng)于）上取得極小值，而在其另一支（對(duì)應(yīng)于）上達(dá)到極大。同樣易知積分曲線的拐點(diǎn)位于曲線上。由以上分析,我們既可近似地畫出積分曲線的分布概況如圖（1.4）。圖(1.4)綜合練習(xí)一、判斷題1．自變量個(gè)數(shù)不只有一個(gè)的微分方程稱為常微分方程。對(duì)錯(cuò)2．不是方程的解。對(duì)錯(cuò)3．是方場(chǎng)的通解。對(duì)錯(cuò)4．是方程的通解。對(duì)錯(cuò)5．是方程的特解。對(duì)錯(cuò)二、計(jì)算題（一）、一容器內(nèi)盛鹽水10升，含鹽2克?，F(xiàn)將含1克/升的鹽水注入容器內(nèi)，流速為3升/分，同時(shí)以流速為4升/分流出。試求容器內(nèi)在任意時(shí)刻所含鹽量的微分方程式。（二）、設(shè)（1）驗(yàn)證函數(shù)是方程的通解；（2）求滿足初始條件的特解；（3）求滿足初始條件的特解。（三）（1）試確定之值，使函數(shù)是方程的解。（2）試確定之值，使函數(shù)是方程的解。二、計(jì)算題(一)、(二)、(三)、第二章

一階微分方程的初等解法微分方程的一個(gè)中心問題是“求解”。但是，微分方程的求解問題通常并不是容易解決的。本章將介紹一階方程的初等解法，即把微分方程的求解問題化為積分問題。一般的一階方程是沒有初等解法的，本章的任務(wù)就在于介紹若干能有初等解法的方程類型及其求解的一般方法，雖然這些類型是很有限的，但它們卻反映了實(shí)際問題中出現(xiàn)的微分方程的相當(dāng)部分。第一節(jié)

變量分離方程與變量變換2.1.1變量分離方程定義1

形如

(2.1.1.1)的方程，稱為變量分離方程，這里分別是，的連續(xù)函數(shù)。例如，都是變量分離的方程，而萊布尼茲方程則不是。現(xiàn)在說明方程(2.1.1.1)的求解方法。如果，我們可將(2.1.1.1)改寫成

這叫做分離變量。兩邊積分，得到所滿足的隱函數(shù)方程

(2.1.1.2)（這里我們把積分常數(shù)明確寫出來，而把分別理解為的某一個(gè)原函數(shù)。如無特別聲明，以后也作這樣的理解。）于是，對(duì)于任一常數(shù)，微分(2.1.1.2)的兩邊，就知(2.1.1.2)所確定的隱函數(shù)滿足方程(2.1.1.1)。因而，(2.1.1.2)是(2.1.1.1)的通解。如果存在,使=0,直接代入，可知也是(2.1.1.1)的解?？赡芩话诜匠痰耐ń?2.1.1.2)中，必須予以補(bǔ)上。例1求解方程

。解將變量分離，得到兩邊積分，即得

因而，通解為

這里是任意常數(shù)?；蛘撸獬觯瑢懗鲲@函數(shù)形式的解

。例2求解方程并求滿足初始條件：的特解。解分離變量得兩邊積分得因而，通解為

這里為任意常數(shù)。此外，方程還有解。

為了確定所求的特解，以代入通解中以決定任意常數(shù)，得到。因而，所求特解為

。例3求方程

(2.1.1.3)的通解，其中是的連續(xù)函數(shù)。解將變量分離，得到兩邊積分，即得

這里是任意常數(shù)。由對(duì)數(shù)定義，即有

即令，得到通解

(2.1.1.4)此外，顯然也是方程的解。如果在(2.1.1.4)中允許，則也就包括在(2.1.1.4)中，因而，微分方程(2.1.1.3)的通解為(2.1.1.4)，其中為任意常數(shù)。2.1.2

可化為變量分離方程的類型

這里只介紹二種簡單的情形：1）形如

(2.1.2.1)的方程，稱為齊次方程，這里是的連續(xù)函數(shù)?，F(xiàn)在引進(jìn)新的未知函數(shù)

(2.1.2.2)，即

，于是

(2.1.2.3)將(2.1.2.2)、(2.1.2.3)代入(2.1.2.1)，則原方程變?yōu)?，整理后，得?/p>

(2.1.2.4)方程(2.1.2.4)是一個(gè)變量分離方程。可改寫為，再積分，得到在算出等式左邊的積分后，仍以代替其中的，即得方程(2.1.2.1)的通積分。但如果有實(shí)根，那末（i=1，2，…，k）都是丟掉的特解，應(yīng)該補(bǔ)上。例4求解方程

。解

這是齊次方程，以及代入，則原方程變?yōu)?，?/p>

(2.1.2.5)將上式分離變量，即有

，兩邊積分，得到

這里是任意常數(shù)整理后，得到

令，得到

(2.1.2.6)

此外，方程(2.1.2.5)還有解

即如果在(2.1.2.6)中允許,則也就包括在(2.1.2.6)中,這就是說，方程(2.1.2.5)的通解為(2.1.2.6)。代回原來的變量，得到原方程的通解為

（這里為任意常數(shù)）。例5求解方程

。解將方程改寫為

，可見它是齊次方程。以及代入，則可得或，積分以后化簡，再以代入，最后得到通積分：。例6求解方程解將方程改寫為

這是齊次方程。以及代入，則原方程變?yōu)?/p>

(2.1.2.7)分離變量，得到兩邊積分，得到(2.1.2.7)的通解即(2.1.2.8)這里是任意常數(shù)。此外，方程(2.1.2.7)還有解

此解并不包括在通解(2.1.2.8)中。代回原來的變量，即得原方程的通解

及解。順帶指出，我們也可將原方程的通解表為它定于整個(gè)負(fù)半軸上。2）形如

(2.1.2.9)的方程也可經(jīng)變量變換化為變量分離方程。這里均為常數(shù)。我們分別三種情形來討論：（1）

的情形。這時(shí)方程(2.1.2.9)屬齊次方程，事實(shí)上，我們有因此，只要作變換，則方程就化為變量分離方程。（2），即的情形。設(shè)此比值為，即=，則方程可寫成令，則方程化為，這是變量分離方程。（2）現(xiàn)討論及不全為零的情形。這時(shí)方程(2.1.2.9)右端的分子、分母都是的一次式，因此

(2.1.2.10)代表平面上兩條相交直線，設(shè)交點(diǎn)為。顯然，或，否則，即交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么必有，這正是情形（1）。從幾何上知道要將所考慮的情形化為情形（1）只需進(jìn)行坐標(biāo)平移，將坐標(biāo)原點(diǎn)移至就行了。事實(shí)上，若令

(2.1.2.11)則(2.1.2.10)化為從而(2.1.2.9)變?yōu)?/p>

(2.1.2.12)因此，我們得到這種情形求解的一般步驟如下：解聯(lián)立代數(shù)方程(2.1.10),設(shè)其解為；作變換(2.1.11)將方程化為齊次方程(2.1.2.12)；再經(jīng)變換將(2.1.2.12)化為變量分離方程；求解上述變量分離方程，最后代回原方程(2.1.2.9)的解。我們指出，上述解題的方法和步驟也適用于比方程(2.1.2.9)更一般的方程類型

此外，諸如、、、以及（其中為的齊次函數(shù)，次數(shù)可以不相同）等一些方程類型，均可通過適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q化為變量分離方程。例7求解方程

(2.1.2.13)解

解方程組

得。令

代入方程(2.1.2.13),則有

(2.1.2.14)。這是齊次方程，解之得

?；卦瓉淼淖兞浚愕玫椒匠痰耐ń?。2.1.3應(yīng)用舉例例8電容器的充電和放電如圖(2.1)所示的電路,開始時(shí)電容上沒有電荷，電容兩端的電壓為零。我們把開關(guān)合上“1”后，電池就對(duì)電容充電,電容C兩端的電壓逐漸升高。經(jīng)過相當(dāng)時(shí)間后,電容充電完畢，我們?cè)侔验_關(guān)合上“2”，這時(shí)電容就開始放電過程?，F(xiàn)在要求找出充、放電過程中，電容兩端的電壓隨時(shí)間的變化規(guī)律。圖(2.1)解對(duì)于充電過程，由閉合回路的基爾霍夫第二定律，有

(2.1.3.1)對(duì)電容充電時(shí)，電容上的電量逐漸增多，根據(jù)得到（2.1.3.2）將(2.1.3.2)代入(2.1.3.1)，得到滿足的微分方程(2.1.3.3)這里、、都是常數(shù)。方程(2.1.3.3)屬于變量分離方程。將(2.1.3.3)分離變量，得到

兩邊積分，得到

即

這里為任意常數(shù)。將初始條件：時(shí)，=0代入，得到

所以

(2.1.3.4)這就是電路充電過程中電容C兩端的電壓的變化規(guī)律。由(2.1.

3.4)知道,電壓從零開始逐漸增大，且當(dāng)時(shí)，，見圖（2.2）。在電工學(xué)中，通常稱為時(shí)間常數(shù)，當(dāng)時(shí)，，就是說，經(jīng)過的時(shí)間后，電容上的電壓已達(dá)到外加電壓的95%。實(shí)用上，通常認(rèn)為這時(shí)電容的充電過程已基本結(jié)束。易見充電結(jié)果。對(duì)于放電過程的討論，可以類似地進(jìn)行。圖(2.2)例9若有兩種化學(xué)藥品及互相作用而成化合物。若已知每一個(gè)分子是由個(gè)分子及個(gè)分子所組成，而和各原有及個(gè)分子。今若化合成之速率是與及尚未起變化的量之乘積成正比，試求在時(shí)刻時(shí)的分子量。解假定在時(shí)刻時(shí)，的分子量為，則在這個(gè)時(shí)刻已經(jīng)用掉了個(gè)分子及個(gè)分子，故此時(shí)及尚未起變化者各有及。于是由題意得方程

，其中為正的常數(shù)。由此分離變量即有為了計(jì)算左端這個(gè)積分，先假定，即。此時(shí)，。所以。因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故，代入上式得。去分母，并化去對(duì)數(shù)，即可解出為。若，即。則因，故。所以，。于是由解出。第二節(jié)

線性方程與常數(shù)變易法一階線性微分方程在的區(qū)間上可以寫成

(2.2.1)今后我們主要討論形如(2.2.1)的方程，對(duì)于有零點(diǎn)的情形分別在的相應(yīng)區(qū)間上討論。這里假設(shè)在考慮的區(qū)間上是x的連續(xù)函數(shù)。定義1

若，(2.2.1)變?yōu)?/p>

(2.2.2)(2.2.2)稱為一階齊線性方程。若，(2.2.1)稱為一階非齊線性方程。(2.2.2)是變量分離方程。我們?cè)凇?.1例3中求得它的通解為

(2.2.3)這里是任意常數(shù)?，F(xiàn)在討論非齊線性方程(2.2.1)的通解的求法。(2.2.1)不能用分離變量法求解，因此得想其他辦法。不難看出，（2.2.2）是(2.2.1)的特殊情形，兩者既有聯(lián)系又有差別。因此可以設(shè)想他們的解也應(yīng)該有一定的聯(lián)系而又有一定的差別。下面試圖利用方程(2.2.2)的通解(2.2.3)的形式去求出方程(2.2.1)的通解。顯然，如果(2.2.3)中c恒保持為常數(shù)，它必不可能是(2.2.1)的解。我們?cè)O(shè)想：在(2.2.3)中，將常數(shù)變易為的待定函數(shù),使它滿足方程(2.2.1)，從而求出。為此，令

(2.2.4)微分之，得到=

(2.2.5)以(2.2.4)、(2.2.5)代入(2.2.1)，得到=即積分后得到(2.2.6)這里是任意常數(shù)。將(2.2.6)代入(2.2.4)，得到（）

(2.2.7)這就是方程(2.2.1)的通解。這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，我們通常稱為常數(shù)變易法。我們看到,常數(shù)變易法實(shí)際上是一種變量變換的方法,通過變換(2.2.4)可將方程(2.2.1)化為變量分離方程。它不但適用于一階線性方程，而且也適用于高階線性方程和線性方程組。例1求方程的通解，這里為常數(shù)。解將方程改寫為

(2.2.8)首先，求齊線性方程=0的通解，從=得到齊線性方程的通解。

其次，應(yīng)用常數(shù)變易法求非齊線性方程的通解。為此，在上式中把看成的待定函數(shù)，即

(2.2.9)微分之，得到

(2.2.10)以(2.2.9)及(2.2.10)代入(2.2.8)，得到

積分之，求得把求得的代入(2.2.9)，即得原方程的通解這里是任意常數(shù)。例2求方程的通解。解本題不是線性方程，但不難經(jīng)過代換化為線性方程。以乘以等式兩邊，再令，便得：

因此，，由公式(2.2.7),得：這里為任意常數(shù)。練習(xí)1

求下列方程的解：參考答案：以上為任意常數(shù)。不如例2這樣明顯，但亦可經(jīng)過類似的變量代換化為線性方程的，是所謂伯努里（Bernoulli）方程：(2.2.11)這里為的連續(xù)函數(shù)，是常數(shù)。利用變量變換可將伯努利方程化為線性方程。事實(shí)上，對(duì)于，用乘(2.2.11)兩邊，得到

(2.2.12)引入變量變換(2.2.13)從而(2.2.14)將(2.2.13)、(2.2.14)代入(2.2.12)，得到

(2.2.15)這是線性方程，可按上面介紹的方法求得它的通解，然后代回原來的變量,便得到(2.2.11)的通解。此外，當(dāng)時(shí),方程還有解。例3求方程的通解。解這是時(shí)的伯努利方程。令，算得代入原方程得到

這是線性方程，求得它的通解為代回原來的變量，得到，或者這里為任意常數(shù)。這就是原方程的通解。此時(shí)，方程還有解。例4求方程

(2.2.16)的通解。解原方程不是未知函數(shù)的線性方程，但我們可將它改寫為，它是伯努利方程，故可用代換，把它化為線性方程：

(2.2.17)(2.2.17)的通解是，從而(2.2.16)的通積分是：（2.2.18）這里為任意常數(shù)。練習(xí)2

求解下列方程：

參考答案：以上為任意常數(shù)。第三節(jié)

恰當(dāng)方程與積分因子

§2.3.1恰當(dāng)方程下面將一階方程寫成微分形式或把平等看待，寫成下面具有對(duì)稱形式的一階微分方程

(2.3.1.1)這里假設(shè)在某矩形域內(nèi)是的連續(xù)函數(shù)，且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。定義1

如果方程(2.3.1.1)的左端恰好是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，即

(2.3.1.2)則稱(2.3.1.1)為恰當(dāng)方程。容易驗(yàn)證，(2.3.1.1)的通解就是

(2.3.1.3)

這里是任意常數(shù)。這樣，我們自然會(huì)提出如下問題：(1)如何判別(2.3.1.1)是恰當(dāng)方程？(2)如果(2.3.1.1)是恰當(dāng)方程，如何求得函數(shù)？為了回答以上問題，我們首先察看，如果(2.3.1.1)是恰當(dāng)方程時(shí)，函數(shù)應(yīng)該具有什么性質(zhì)？從(2.3.1.2)得到

(2.3.1.4)

和

(2.3.1.5)將(2.3.1.4)、(2.3.1.5)分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，得到。由于的連續(xù)性，可得，故

(2.3.1.6)因此，（2.3.1.6）是（2.3.1.1）為恰當(dāng)方程的必要條件?，F(xiàn)在證明(2.3.1.6)也是(2.3.1.1)為恰當(dāng)方程的充分條件，或更進(jìn)一步證明：如果方程(2.3.1.1)滿足條件(2.3.1.6)，我們能找到函數(shù)，使它同時(shí)適合方程(2.3.1.4)和(2.3.1.5)。接下來從關(guān)系式(2.3.1.2)出發(fā),把看作參數(shù),解這個(gè)方程,得到

(2.3.1.7)這里是的任意可微函數(shù)。我們現(xiàn)在來選擇使同時(shí)滿足(2.3.1.5)，即由此

(2.3.1.8)下面證明，(2.3.1.8)的右端與無關(guān)。為此只需證明(2.3.1.8)的右端對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)恒等于零。事實(shí)上，[]=[]=[]=0由于在假設(shè)條件下，上述交換求導(dǎo)的順序是允許的。于是(2.3.1.8)右端的確只含有，積分之，得到=

(2.3.1.9)將(2.3.1.8)代入(2.3.1.7)，即求得=+因此，恰當(dāng)方程(2.3.1.1)的通解就是+=(2.3.1.10)這里是任意常數(shù)。例1求的通解。解這里，這時(shí)，因此方程是恰當(dāng)方程?，F(xiàn)在求，使它同時(shí)滿足如下兩個(gè)方程：=(2.3.1.11)，=(2.3.1.12)由(2.3.1.11)對(duì)積分，得到+

(2.3.1.13)為了確定，將(2.3.1.13)對(duì)求導(dǎo)數(shù)，并使它滿足(2.3.1.12)，即得==，于是積分后可得，將代入(2.3.1.11)，得到因此，方程的通解為這里是任意常數(shù)。不過在判斷方程是恰當(dāng)方程后，并不需要按照上述一般方法來求解，而是采取“分項(xiàng)組合”的辦法，先把那些本身已構(gòu)成全微分的項(xiàng)分出，再把剩下的項(xiàng)湊成全微分。這種方法要求熟記一些簡單二元函數(shù)的全微分，如現(xiàn)在試用這種方法求解下面例題。例2用“分項(xiàng)組合”的辦法，求解例1。解把方程重新“分項(xiàng)組合”，得到

即

或者寫成于是方程的通解為

這里是任意常數(shù)。例3求解方程。解因?yàn)?，故方程是恰?dāng)方程。把方程重新“分項(xiàng)組合”，得到

即或者寫成于是，方程的通解為

這里是任意常數(shù)。§2.3.2積分因子恰當(dāng)方程可以通過積分求出它的通解。因此能否將一個(gè)非恰當(dāng)方程化為恰當(dāng)方程就有很大的意義。積分因子就是為了解決這個(gè)問題而引進(jìn)的概念。根據(jù)一階微分的形式不變性，易見變量代換法在這里是無能為力的。但是分離變量法卻卻可以推廣而成為對(duì)方程(2.3.1.1)能夠適用的積分因子法。定義2

如果存在連續(xù)可微的函數(shù)，使得為一恰當(dāng)方程，即存在函數(shù)，使

(2.3.2.1)則稱為方程(2.3.1.1)的積分因子。

這時(shí)是(2.3.2.1)的通解。因而也就是(2.3.1.1)的通解。由(2.3.1.14)看到，同一方程可以有不同的積分因子?？梢宰C明，只要方程有解存在，則必有積分因子存在，并且不是唯一的。因此，在具體解題過程中，由于求出的積分因子不同從而通解可能具有不同的形式。

根據(jù)2.3.1，函數(shù)為(2.3.1.1)的積分因子的充要條件是即

(2.3.2.2)這是一個(gè)以為未知函數(shù)的一階線性偏微分方程。對(duì)于一般的一次連續(xù)可微函數(shù)，雖然可證(2.3.2.2)的解一定存在，但要找出的表達(dá)式卻不一定能辦到。下面介紹幾種常用的，求積分因子的簡便方法。I.當(dāng)滿足一定的條件時(shí)，(2.3.2.2)可化為常微分方程而求得其解。例如，對(duì)于方程(2.3.1.1)，如果存在只與有關(guān)的積分因子，則，這時(shí)方程(2.3.2.2)變成

即

(2.3.2.3)由此可知，方程（2.3.1.1）有只與有關(guān)的積分因子的充要條件是

(2.3.2.4)這里僅為的函數(shù)。假設(shè)條件(2.3.2.4)成立，則根據(jù)方程(2.3.2.3)，可以求得方程(2.3.1.1)的

一個(gè)積分因子

(2.3.2.5)同樣，(2.3.1.1)有只與有關(guān)的積分因子的充要條件是這里僅為的函數(shù)。從而求得方程(2.3.1.1)的一個(gè)積分因子。例4試用積分因子法解線性方程

(2.2.1)解把方程改寫為

(2.3.2.6)這時(shí)，，算得，因而，線性方程有只與有關(guān)的積分因子。以乘(2.3.2.5)得到

即或者寫成因此，(2.3.2.6)的通解為

或者改寫為

這與前面得到的結(jié)果(2.2.7)完全一樣。II分組求積分因子法設(shè)將方程(2.3.1.1)的左端分成兩組，即寫成：并已找出兩組分別各有積分因子，使得：（）=，（）=設(shè)，分別是，的任一可微函數(shù)，則是第一組的積分因子，是第二組的積分因子。如果能找到適當(dāng)?shù)目晌⒑瘮?shù)，，使得==，那末也就是原方程(2.3.1.1)的積分因子了。例5求解方程。解把方程改寫為。前一組有積分因子和通積分，因而它有更一般的積分因子

。后面一組顯見有積分因子和通積分，因而有更一般的積分因子。為了使關(guān)系式=，只須取

==，=。這樣，可知原方程有積分因子，且：

[=

=+=0積分，即得：=這里C為任意常數(shù)。此外，原方程還有解和，它們是在用乘方程的兩端時(shí)丟掉的。III觀察法。為此，需要熟記象(2.3.1.14)中那些微分公式。例6求解方程1）；2）。解不難看出，這兩個(gè)方程分別有積分因子和，因?yàn)?，由此積分，立刻得到兩方程的通積分為：和這里C為任意常數(shù)。例7求解方程。解這里，，，，方程不是恰當(dāng)方程。方法1因?yàn)橹慌c有關(guān)，故方程有只與有關(guān)的積分因子，以乘方程兩邊，得到，或者寫成，因而，通解為

這里為任意常數(shù)。方法2

將方程改寫為，則左端有積分因子或，…，但考慮到右端只與有關(guān)，故取為方程的積分因子，由此得到，因此，通解為這里為任意常數(shù)。方法3方程可以寫為

，這是齊次方程，令，代入得到

即，因此，通解為，代回原來的變量，即得

這里為任意常數(shù)。方法4把看作未知變量，看作自變量，方程變?yōu)榫€性方程，同樣解得這里為任意常數(shù)。此外，易見也是原方程的解。第四節(jié)一階隱方程與參數(shù)表示一階隱微分方程的一般形式可表示為：如果能從此方程中解出導(dǎo)數(shù)，其表達(dá)式為，則可依的具體形狀如何而選擇前面所講的某一方法進(jìn)行求解。但如果難以從方程中解出，或即使解出，而其表達(dá)式相當(dāng)復(fù)雜的情況下，則宜采用引進(jìn)參數(shù)的辦法使之變?yōu)閷?dǎo)數(shù)已解出的方程的類型，這正是本節(jié)討論的主要思想。這里主要介紹以下四種類型：1），2），3），

4）2.4.1可以解出（或）的方程1）討論形如

(2.4.1.1)的方程的解法，這里假設(shè)函數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。引進(jìn)參數(shù)，則(2.4.1.1)變?yōu)?2.4.1.2)將(2.4.1.2)兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)，并以代入，得到(2.4.1.3)方程(2.4.1.3)是關(guān)于的一階微分方程，但它的導(dǎo)數(shù)已解出。于是我們可以按前面講的方法求出它的解。若已求得(2.4.1.3)的通解形式為,將它代入(2.4.1.

2),得到，這就是(2.4.1.1)的通解。若求得(2.4.1.3)的通解形式為，則得到(2.4.1.1)的參數(shù)形式的通解為，其中是參數(shù)，是任意常數(shù)。若求得(2.4.1.3)的通解形式為，則得到(2.4.1.1)的參數(shù)形式的通解為，其中是參數(shù),是任意常數(shù)。例1求方程的解。解令，則

(2.4.1.4)兩端對(duì)求導(dǎo)數(shù)并以代替，得到，或（）（）=0。從=0解得，將它代入(2.4.1.4),得到原方程的通解

(2.4.1.5)從解得，以此代入(2.4.1.4)，又得原方程的一個(gè)特解(2.4.1.6),此解稱為奇解。奇解的概念將在下一章給出。例2求方程的解。解解出，并令，得到

(2.4.1.7)兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得到

即當(dāng)時(shí)，上式乘以，得到積分之，注意到中間一項(xiàng)為，得到解出，得到，以此代入(2.4.1.6)，即得。因此，得到方程的參數(shù)形式的通解為

當(dāng)時(shí)，由(2.4.1.6)直接推知也是方程的解。2）形如

(2.4.1.8)的方程的求解方法與方程(2.4.1.1)的求解方法完全類似。這里假定函數(shù)

有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。引進(jìn)參數(shù)，則(2.4.1.8)變?yōu)?/p>

(2.4.1.9)將(2.4.1.9)兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)，并以代入，得到

(2.4.1.10)方程(2.4.1.10)是關(guān)于的一階微分方程，但它的導(dǎo)數(shù)已解出。于是可以按前面§2.1—§2.3講的方法去求解。設(shè)求得通解為，則得(2.4.1.8)的通解為，其中是參數(shù)，是任意常數(shù)。例3解方程

(2.4.1.11)解解出，并以代入，得到

(2.4.1.12)對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得到

或由此得

解第一個(gè)方程得

（這里為任意常數(shù)），以之代入(2.4.1.12)，整理得

（），所以方程(2.4.1.11)的通解為（這里為任意常數(shù)）由第二個(gè)方程得，代入(2.4.1.12)，整理得，所以也是方程(2.4.1.11)的一個(gè)解。

2.4.2不顯含（或）的方程3）現(xiàn)在討論形如

(2.4.1.13)

的方程的解法。記。把（）看作平面的一組直角坐標(biāo)，則表示平面上的一條曲線。設(shè)這曲線有參數(shù)表示，

(2.4.1.14)

這里為參數(shù)。由于沿方程(2.4.1.13)的任何一條積分曲線上，恒滿足基本關(guān)系式，故把(2.4.1.14)代入上式，得=，兩邊積分，得到于是得到方程(2.4.1.13)的參數(shù)形式的通解為，這里為任意常數(shù)。例4求解方程

（這里）解令，則由方程得，從而，于是，積分之，得到=因此，方程的通解表成參數(shù)形式：這里為任意常數(shù)。4）形如

(2.4.1.15)

的方程，其求解方法同方程(2.4.1.13)的求解方法類似。記，引入?yún)?shù)，將方程表為適當(dāng)?shù)膮?shù)形式：，由基本關(guān)系式，得，由此得于是得到方程(2.4.1.15)的參數(shù)形式的通解為，這里為任意常數(shù)。此外，不難驗(yàn)證，若有實(shí)根，則

也是方程的解。例5求解方程。

解令，則與原微分方程消去后，有由此得

，因?yàn)?，積分之，得到于是原方程的參數(shù)形式的通解為

，或者消去參數(shù)，得

其中為任意常數(shù)。此外，當(dāng)時(shí)，原方程變?yōu)椋谑且彩欠匠痰慕?。小結(jié)熟練地掌握本章的初等積分法是求解常微分方程的基本訓(xùn)練。在這一章里，我們討論了一階方程的若干類型的初等解法，歸納起來就是：1.若方程能就

解出，即方程取形式或可按§2.1—§2.3介紹的方法去求解。例1求解方程。解這里方程不是恰當(dāng)方程。將方程改寫為，則左端有積分因子或，…，但考慮到右端只與有關(guān)，故取為方程的積分因子，由此得到,因此,通解為即這里是任意常數(shù)。此外，易見也是原方程的解。2.若方程能就（或）解出[或]，則令后，把問題化為求解關(guān)于與（或）之間的一階方程：

(2.4.1.3)或

(2.4.1.10)若按§2.1—§2.3介紹的方法求得方程(2.4.1.3)[或(2.4.1.10)]的通解為

[或]則它與

[或]一起構(gòu)成原方程的通解的參數(shù)形式為

[或

]。例2求方程的解。解令，則

(2.4.1.4)解出得兩端對(duì)求導(dǎo)數(shù)并以代替，得到即或。由解得這里是任意常數(shù)。因此，原方程的通解為這里為任意常數(shù)。由直接推得也是方程的解。3.若方程不能就，或解出，對(duì)于形如或的方程，可按介紹2.4.2介紹的方法處理：引入?yún)?shù),將方程表示為參數(shù)形式，再注意到關(guān)系式，就將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于（或）與的一階方程，且其導(dǎo)數(shù)（或）已表示為的已知函數(shù)，最后的工作就是求積分問題。例3求解方程（這里）。解令，則由方程得。于是,積分之，得到這里是任意常數(shù)。因此，方程的通解表成參數(shù)形式：。例4求解方程（這里）。解令，則由方程得。兩邊對(duì)求導(dǎo)得

即。解得這里是任意常數(shù)。因此，方程的通解表成參數(shù)形式：。所有上列情形都?xì)w結(jié)到形如

或

的方程的求解問題。在§2.1—§2.3里，我們主要介紹了五種類型的方程（變量分離方程，齊次方程，線性方程，伯努利方程及恰當(dāng)方程）的初等解法。實(shí)際上作為基礎(chǔ)的不外是變量分離方程和恰當(dāng)方程，其他類型的方程均可借助變量變換或積分因子化為這兩種類型的方程，這可簡略地表示如下圖。熟悉各種類型方程的解法，正確而又敏捷地判斷一個(gè)給定的方程屬于何種類型，從而按照所介紹的方法進(jìn)行求解，這自然是最基本的要求，但僅僅能做到這一點(diǎn)還不夠，因?yàn)槲覀兯龅降姆匠涛幢囟记『檬撬榻B的那幾種方程類型，因此還要求注意學(xué)習(xí)解題的技巧，從中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)自己的機(jī)智和靈活性；還有一點(diǎn)也很重要，就是要善于根據(jù)方程的特點(diǎn)，引進(jìn)適宜的變換,將方程化為能求解的新類型，從而求解。例5求方程的解。解方程可變?yōu)?。這是一個(gè)線性方程。所以

這里是任意常數(shù)。例6求方程的解。解這是的伯努利方程。故可令則代入原方程得這是一個(gè)線性方程。解得從而這里是任意常數(shù)。此外，易見也是原方程的解。最后，我們要強(qiáng)調(diào)指出：能有初等解法的微分方程是很有限的，例如形式很簡單的黎卡提（Riccati）方程：一般就沒有初等解法（當(dāng)然，若我們有辦法找到方程的一個(gè)特解，則經(jīng)變換后，方程就變?yōu)椴匠蹋蚨山猓?。這一事實(shí)為法國數(shù)學(xué)家劉維爾（Liouvile）在1841年所證明，這就迫使人們放棄將主要注意力放在尋求各種微分方程的通解的原有想法，微分方程研究的主要目標(biāo)和主要方法從此逐漸開始轉(zhuǎn)移。練習(xí)：求下列方程的解：參考答案：

這里c為任意常數(shù)綜合練習(xí)一、解下列兩方程二、證明方程在代換之下，可化為變量可分離型的方程。利用這個(gè)方法解下列各方程（正的常數(shù)，為常數(shù)）；三、解下列微分方程四、解下列方程，并求當(dāng)時(shí)，的特解。參考答案一、

其中為任意常數(shù)；

其中為任意常數(shù)；二、

其中為任意常數(shù)；

其中為任意常數(shù)；三、

其中為任意常數(shù)；

其中為任意常數(shù)；四、（1）通解為

其中為任意常數(shù)；特解為

（1）通解為

其中為任意常數(shù)；特解為

第三章一階微分方程的解的存在定理微分方程來源于生產(chǎn)實(shí)際，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客觀規(guī)律，能動(dòng)地解釋所出現(xiàn)的各種現(xiàn)象并預(yù)料未來的可能情況。對(duì)于反映某一運(yùn)動(dòng)規(guī)律的微分方程,如果能找出其通解的表達(dá)式，一般來說，就能按給定的一定條件相應(yīng)地選定其中的任意常數(shù)，獲得所需要的特解并通過其表達(dá)式了解它對(duì)某些參數(shù)的依賴情況，從而適當(dāng)?shù)剡x擇這些參數(shù)，使得對(duì)應(yīng)的解——“運(yùn)動(dòng)”具有所需的性能。在第二章里，我們已經(jīng)介紹了能用初等解法的一階方程的若干類型，但同時(shí)指出，大量的一階方程一般是不能用初等解法求出它的通解的，而實(shí)際問題中所需要的往往是要求滿足某種初始條件的解。因此，對(duì)初值問題的研究被提到了重要的地位。自然要問：初值問題的解是否存在？如果存在是否唯一呢？容易舉出解存在而不唯一的例子。例如方程過點(diǎn)的解就不是唯一的。事實(shí)上，易知是方程的過點(diǎn)的解。此外，容易驗(yàn)證或更一般地,函數(shù)都是方程的過點(diǎn)而定義與區(qū)間上的解，這里的滿足的任一數(shù)。本章介紹的存在唯一定理完滿地回答了上面提出的問題，它明確地肯定了方程的解在一定條件下的存在性和唯一性，它是常微分方程理論中最基本的定理，有其重大的理論意義。另一方面，由于能求得精確解的微分方程為數(shù)不多，微分方程的近似解法具有十分重大的實(shí)際意義，而解的存在和唯一又是進(jìn)行近似計(jì)算的前提。因?yàn)槿绻飧静淮嬖?，卻要去近似地求它，顯然問題本身是沒有意義的；如果有解存在而不唯一，由于不知道要確定是哪一個(gè)解，卻要去近似地確定它，問題也是不明確的。解的存在唯一性定理保證了所要求的解的存在和唯一，因此它也是近似求解法的前提和基礎(chǔ)。此外，我們將看到在定理的證明過程中還具體地提供了求近似解的途徑，這就更增添了存在唯一性定理的實(shí)用意義。由于種種條件的限制，實(shí)際測(cè)出的初始數(shù)據(jù)往往是不精確的，它只能近似地反映初始狀態(tài)。因此我們以它作為初始條件所得到的解是否能用做真正的解呢？這就產(chǎn)生了了解對(duì)初始值的連續(xù)依賴性問題，即當(dāng)初始值微小變動(dòng)時(shí)，方程的解的變化是否也是很小呢？如果不然的話，這樣所求得的解就失去實(shí)用的意義，因它可能與實(shí)際情況產(chǎn)生很大的誤差。本章重點(diǎn)介紹和證明一階方程的解的存在唯一性定理。并敘述解的一些一般性質(zhì),如解的延拓、解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性等。此外，還引進(jìn)奇解的概念及介紹求奇解的方法。第一節(jié)

解的存在唯一性定理與逐步逼近法3.1.1存在唯一性定理1）首先考慮導(dǎo)數(shù)已解出的一階微分方程(3.1.1.1)這里是在矩形域(3.1.1.2)上的連續(xù)函數(shù)。定義1

如果存在常數(shù)，使得不等式

對(duì)于所有

都成立，則函數(shù)稱為在上關(guān)于滿足利普希茨（Lipschitz）條件，稱為利普希茨常數(shù)。定理1如果在上連續(xù)且關(guān)于滿足利普希茨條件，則方程(3.1.1.1)存在唯一的解，定義于區(qū)間上，連續(xù)且滿足初始條件

(3.1.1.3)這里，。我們采用皮卡（Picard）的逐步逼近法來證明這個(gè)定理。為簡單起見，只就區(qū)間來討論，對(duì)于的討論完全一樣。現(xiàn)在簡單敘述一下運(yùn)用逐步逼近法證明定理的主要思想。首先證明求微分方程的初值問題的解等價(jià)于求積分方程

的連續(xù)解。然后去證明積分方程的解的存在唯一性。任取一個(gè)連續(xù)函數(shù)代入上面積分方程右端的,就得到函數(shù)

，顯然也是連續(xù)函數(shù)，如果,那末就是積分方程的解。否則,我們又把代入積分方程右端的，得到

，如果，那末就是積分方程的解。否則我們繼續(xù)這個(gè)步驟。一般地作函數(shù)

(3.1.1.4)這樣就得到連續(xù)函數(shù)序列：，，…，，…如果，那末就是積分方程的解。如果始終不發(fā)生這種情況，我們可以證明上面的函數(shù)序列有一個(gè)極限函數(shù)，即

存在，因而對(duì)(3.1.1.4)取極限時(shí)，就得到即，這就是說是積分方程的解。這種一步一步地求出方程的解的方法就稱為逐步逼近法。由(3.1.1.4)確定的函數(shù)稱為初值問題(3.1.1.1)、(3.1.1.3)的第次近似解。在定理的假設(shè)條件下，以上的步驟是可以實(shí)現(xiàn)的。下面我們分五個(gè)命題來證明定理1。命題1設(shè)是方程(3.1.1.1)的定義于區(qū)間上，滿足初始條件(3.1.1.3)的解，則是積分方程(3.1.1.5)的定義于上的連續(xù)解。反之亦然。證明

因?yàn)槭欠匠?3.1.1.1)的解，故有，兩邊從到取定積分得到

把(3.1.1.3)代入上式，即有

因此，是(3.1.1.5)的定義于上的連續(xù)解。反之，如果是(3.1.1.5)的連續(xù)解，則有

(3.1.1.6)微分之，得到，又把代入（3.1.1.6），得到。因此，是方程(3.1.1.1)的定義于

上，且滿足初始條件(3.1.1.3)的解。命題1證畢?，F(xiàn)在取，構(gòu)造皮卡逐步逼近函數(shù)序列如下：

(3.1.1.7)命題2

對(duì)于所有的，(3.1.1.7)中函數(shù)在上有定義、連續(xù)且滿足不等式(3.1.1.8)。證明

當(dāng)時(shí)，。顯然在上有定義、連續(xù)且有

即命題2當(dāng)時(shí)成立?，F(xiàn)在我們用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于任何正整數(shù)，命題2都成立。為此，設(shè)命題2當(dāng)時(shí)成立，也即在上有定義、連續(xù)且滿足不等式,這時(shí),由假設(shè),命題2當(dāng)成立,知道在上有定義、連續(xù)且有

即命題2當(dāng)時(shí)也成立。由數(shù)學(xué)歸納法得知命題2對(duì)于所有均成立。命題2證畢。命題3

函數(shù)序列在上是一致收斂的。證明

考慮級(jí)數(shù)(3.1.1.9)它的部分和為因此，要證明函數(shù)序列在上是一致收斂，只須證明級(jí)數(shù)(3.1.1.9)在上一致收斂。為此，我們進(jìn)行如下的估計(jì)。由(3.1.1.7)有

(3.1.1.10)及利用利普希茨條件及(3.1.1.10)，得到設(shè)對(duì)于正整數(shù)，不等式

成立，則由利普希茨條件，當(dāng)時(shí)，有

于是，由數(shù)學(xué)歸納法得知，對(duì)于所有的正整數(shù)，有如下估計(jì)

(3.1.1.11)從而可知，當(dāng)時(shí)，

(3.1.1.12)(3.1.1.12)的右端是正項(xiàng)收斂級(jí)數(shù)

的一般項(xiàng)。由維爾斯特拉斯(Weietstrass)判別法（簡稱維氏判別法），級(jí)數(shù)(3.1.1.9)在上一致收斂，因而序列也在上一致收斂。

命題3證畢?，F(xiàn)設(shè)

則也在上連續(xù)，且由(3.1.1.8)又可知。命題4

是積分方程(3.1.1.5)的定義于上的連續(xù)解。證明

由利普希茨條件，以及在上一致收斂于，即知序列在上一致收斂于。因而，對(duì)(3.1.1.7)兩邊取極限，得到即

，這就是說，是積分方程(3.1.1.5)的定義于上的連續(xù)解。

命題4證畢。命題5

設(shè)是積分方程(3.1.1.5)的定義于上的一個(gè)連續(xù)解，則，

。證明

我們首先證明也是序列的一致收斂極限函數(shù)。為此，從，

，我們可以進(jìn)行如下估計(jì)現(xiàn)設(shè)

，則有

故由數(shù)學(xué)歸納法得知，對(duì)于所有的正整數(shù)，有下面的估計(jì)式

(3.1.1.13)因此，在上有

(3.1.1.14)

是收斂級(jí)數(shù)的公項(xiàng)，故時(shí)。因而在上一致收斂于。根據(jù)極限的唯一性，即得

。

命題5證畢。綜合命題1—5，即得到存在唯一性定理的證明。存在唯一性定理如果在上連續(xù)且關(guān)于滿足利普希茨條件，則方程(3.1.1.1)存在唯一的解，定義于區(qū)間上，連續(xù)且滿足初始條件

(3.1.1.3)這里，。圖(3.1)附注1存在唯一性定理中數(shù)的幾何意義（參看圖(3.1)):這里,定理證明方程(3.1.1.1)的過點(diǎn)的積分曲線在區(qū)間上確定。因?yàn)榉e分曲線的切線斜率介于直線和的斜率與之間。所以，當(dāng)時(shí)，積分曲線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足不等式=也就是說，積分曲線弧夾在域及的內(nèi)部，當(dāng)然，也就不超出矩形。命題2中所有函數(shù)都可在上確定,它的圖形都夾在域的內(nèi)部，自然，它的極限圖形即積分曲線也不超出域的范圍。附注2由于利普希茨條件比較難于檢驗(yàn)，常用在上有對(duì)的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)來代替。事實(shí)上，如果在上存在且連續(xù)，則在上有界。設(shè)在上，這時(shí)這里，，。但反過來滿足利普希茨條件的函數(shù)不一定有偏導(dǎo)數(shù)存在。例如，函數(shù)在任何區(qū)域都滿足利普希茨條件，但它在處沒有導(dǎo)數(shù)。附注3設(shè)方程(3.1.1.1)是線性的，即方程為

(2.2.1)那么容易知道，當(dāng)在區(qū)間上為連續(xù)時(shí)，定理1的條件就能滿足。不僅如此，這時(shí)由任一初值，所確定的解在整個(gè)區(qū)間上都有定義。事實(shí)上，對(duì)于一般方程(3.1.1.1)，由初始值所確定的解只能定義在上，這是因?yàn)樵跇?gòu)造逐步逼近函數(shù)序列時(shí)，要求它不越出原來的矩形區(qū)域。而現(xiàn)在,右端函數(shù)對(duì)沒有任何限制，為了證明我們的結(jié)論，譬如取，而逐字重復(fù)定理的證明過程，即可證由(3.1.1.7)所作出的函數(shù)序列在整個(gè)區(qū)間上都有定義和一致收斂。例1方程有通解和奇解。由該處所畫的積分曲線的圖形立刻看出：經(jīng)過帶域中每一點(diǎn)有唯一的積分線；而經(jīng)過任一點(diǎn)，總有兩條積分線，其中一條是正弦曲線段，另一條是直線。不難驗(yàn)證，本題中的

在中以任何一點(diǎn)為中心的，足夠小的閉矩形內(nèi)存在著有界的微商，因而也在此閉矩形中滿足利普希茨條件。但若一點(diǎn)在直線上，那末不但利普希茨條件不能滿足，而且

在此點(diǎn)也不存在了。例2方程

(3.1.1.15)

的右端在包含的任何區(qū)域不滿足利普希茨條件，當(dāng)然在也不存在微商，但是(3.1.1.15)有通解

(3.1.1.16)及特解（對(duì)應(yīng)于）。對(duì)于的任何有限值，曲線(3.1.1.16)都不與相遇。因此，對(duì)軸上的點(diǎn)，仍只有唯一的積分線經(jīng)過此點(diǎn)（圖(3.1.1)）。由此可見，利普希茨條件并非唯一性的必要條件。2）現(xiàn)在考慮一階隱方程

(3.1.1.17)根據(jù)隱函數(shù)存在定理，若于的某一領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，且，而，則必可把唯一地表為的連續(xù)函數(shù)

(3.1.1.18)并且于的某一鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿足

。更進(jìn)一步，如果關(guān)于所有變?cè)嬖谶B續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)也存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且(3.1.1.19)顯然它是有界的。于是依定理1，紡車功能(3.1.1.18)滿足初始條件的解存在且唯一，即方程(3.1.1.17)的過點(diǎn)且切線斜率為的積分曲線存在且唯一。這樣就得到下面定理。定理2如果在點(diǎn)的某一領(lǐng)域中：對(duì)所有變?cè)B續(xù)，且存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；；則方程(3.1.1.17)存在唯一解

（為足夠小的正數(shù)）滿足初始條件，

(3.1.1.20)§3.1.2

近似計(jì)算和誤差估計(jì)存在唯一性定理不僅肯定了解的存在唯一性，并且在證明中所采用的逐步逼近法在實(shí)用上也是求方程近似解的一種方法。在估計(jì)式(3.1.1.14)中令，我們就得到第次近似解和真正解在區(qū)間內(nèi)的誤差估計(jì)式

(3.1.2.1)這樣，我們?cè)谶M(jìn)行近似計(jì)算時(shí)，可以根據(jù)誤差的要求，選取適當(dāng)?shù)闹鸩奖平瘮?shù)。例1方程

定義在矩形域：上，試?yán)么嬖谖ㄒ恍远ɡ泶_定經(jīng)過點(diǎn)的解的存在區(qū)間，并求在此區(qū)間上與真正解的誤差不超過的近似解的表達(dá)式。解這里是及

二數(shù)中的最小者，故，在上函數(shù)的利普希茨常數(shù)可取為，因?yàn)?/p>

根據(jù)(3.1.2.1)，有因而可取。事實(shí)上，。我們可以作出如下的近似表達(dá)式就是所求的近似解。在區(qū)間上，這個(gè)解與真正解的誤差不會(huì)超過。第二節(jié)

解的延拓§3.1中解的存在唯一性定理的優(yōu)點(diǎn)是：在相當(dāng)廣泛的條件下，肯定方程(3.1.1.1)有滿足初值條件的,唯一的解存在。但它是局部性的，它只能肯定這種解在附近的一個(gè)區(qū)間中存在。有時(shí)所得的區(qū)間很小，因而相應(yīng)的積分曲線有只是很短的一段。例如，3.1.2中的例1，

當(dāng)定義區(qū)域?yàn)椋簳r(shí)，；

當(dāng)定義區(qū)域?yàn)椋簳r(shí)，。這種局部性使我們感到非常不滿意，而且實(shí)踐上也要求解的存在區(qū)間能盡量擴(kuò)大，解的延拓的概念就自然產(chǎn)生了。下面討論解的延拓的概念，通過它我們可以將§3.1中存在唯一性定理中的局部結(jié)果變?yōu)檫m用于較大的范圍。假設(shè)方程(3.1.1.1)右端函數(shù)在某一區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于滿足局部的利普希茨條件，即對(duì)于區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)，有以其為中心的完全含于內(nèi)的閉矩形存在，在上關(guān)于滿足利普希茨條件（對(duì)于不同的點(diǎn)，域的大小和常數(shù)可能不同）。圖(3.2)設(shè)方程(3.1.1.1)的解已定義在區(qū)間上，現(xiàn)在取，然后以為中心，(這里即圖(3.2)中的點(diǎn)，）作一小的矩形，使它連同其邊界都含在區(qū)域的內(nèi)部。再運(yùn)用§3.1中存在唯一性定理,知道存在,使得在區(qū)間上，方程(3.1.1.1)有過的解,且在處有。由于唯一性，顯然在解和解都有定義的區(qū)間上,。但是在區(qū)間上,解仍有定義,我們把它看成是原來定義在區(qū)間上的解向右方的延拓,這樣我們就在區(qū)間上確定方程的一個(gè)解,即將解延拓到較大的區(qū)間上。再令，，如果，我們又可以取為中心，作一小矩形，使停止連同其邊界都含在區(qū)域內(nèi)。仿照前面，又可以將解延拓到更大的區(qū)間上，其中是某一正常數(shù)。對(duì)于值減小的一邊可以同樣討論,使解向左方延拓。用幾何的語言來說，上述解的延拓，就是在原來的積分曲線左右兩端各接上一個(gè)積分曲線段（參看圖（3.2））。上述解的延拓的辦法還可繼續(xù)進(jìn)行，最后我們將得到一個(gè)解，它已經(jīng)再也不能向左右兩方繼續(xù)延拓了。這樣的解稱為方程(3.1.1.1)的飽和解。任一飽和解的最大存在區(qū)間必定是一個(gè)開區(qū)間。因?yàn)槿绻@個(gè)區(qū)間的右端是閉的，那么便是有限數(shù)，且點(diǎn)。這樣一來，解還能繼續(xù)向右方延拓，從而它是非飽和的。對(duì)于左端點(diǎn)可同樣討論。我們要問，究竟解向兩邊延拓的最終情況如何呢？這一問題可以由下面的解的延拓定理來回答。現(xiàn)在我們不加證明地引進(jìn)下面的定理。解的延拓定理

如果方程(3.1.1.1)右端的函數(shù)在有界區(qū)域中連續(xù)，且在內(nèi)關(guān)于滿足局部利普希茨條件，那末方程(3.1.1.1)的通過內(nèi)任何一點(diǎn)的解可以延拓，直到點(diǎn)任意接近區(qū)域的邊界。以向增大的一方的延拓來說，如果只能延拓到區(qū)間上，則當(dāng)時(shí)，趨于的邊界。推論

如果是無界區(qū)域，在上面解的延拓定理的條件下，方程(3.1.1.1)的通過點(diǎn)的解可以延拓，以向增大的一方的延拓來說，有下面的兩種情況：

（1）解可以延拓到區(qū)間；

或

（2）解只可以延拓到區(qū)間，其中為有限數(shù)，則當(dāng)時(shí)，或者無界，或者點(diǎn)趨于的邊界。例1討論方程

的分別通過點(diǎn)、的解的存在區(qū)間。圖(3.3)解此方程右端函數(shù)確定在整個(gè)平面上且滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件。容易確定此方程的通解為。故通過點(diǎn)的解為，這個(gè)解的存在區(qū)間為。通過點(diǎn)的解為，這個(gè)解的存在區(qū)間為（參看圖(3.3)）。注意，通過點(diǎn)的解向右方可以延拓到，但對(duì)于減少的一方來說，向左方只能延拓到0，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，。這相當(dāng)于解的延拓定理推論中（2）的第一種情況。例2討論方程

滿足條件的解的存在區(qū)間。解方程右端函數(shù)于右半平面上定義且滿足解的延拓定理的條件。這里區(qū)域（右半平面）是無界開域，軸是它的邊界。容易求得問題的解，它于區(qū)間上定義、連續(xù)且當(dāng)時(shí)，，即所求問題的解向右方可以延拓到，但向左方只能延拓到0，且當(dāng)時(shí)，積分曲線上的點(diǎn)趨向于趨于的邊界上的點(diǎn)，這對(duì)應(yīng)于延拓定理推論中（2）的第二種情況。最后我們指出，應(yīng)用上述定理推論的結(jié)果不難證明：如果函數(shù)于整個(gè)平面上定義、連續(xù)、有界，同時(shí)存在關(guān)于的一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則方程(3.1.1.1)的任一解均可以延拓到區(qū)間

。第三節(jié)

解對(duì)初值的連續(xù)性

在這一節(jié)中，我們簡單地介紹一下微分方程的解對(duì)初值的連續(xù)性。在§3.1存在唯一性定理的證明中，我們把初值看作固定的。顯然，假如變動(dòng)，則相應(yīng)的初值問題的解也將隨之變動(dòng)，也就是說，初值問題的解不單依賴于自變量，同時(shí)也依賴于初值。因此，在考慮初值變動(dòng)時(shí)，解可以看作三個(gè)變?cè)暮瘮?shù),記為，它滿足。例如,方程滿足初值條件的解就是，它是的函數(shù)。下面我們著重討論解關(guān)于初值的一些基本性質(zhì)。解關(guān)于初值的對(duì)稱性

設(shè)方程(3.1.1.1)的滿足初始條件的解是唯一的,記為,則在表達(dá)式中,與可以調(diào)換其相對(duì)位置，即在解的存在范圍內(nèi)成立著關(guān)系式事實(shí)上，在上述解的存在區(qū)間內(nèi)任取一值，且記，則由解的唯一性知過點(diǎn)的解與過點(diǎn)的解是同一條積分曲線，即此解也可為，并且，顯然有。注意到點(diǎn)是積分曲線上任意一點(diǎn)，因此關(guān)系式對(duì)該積分曲線上的任意點(diǎn)均成立，這就證實(shí)了我們的論斷。解對(duì)初值的連續(xù)依賴性由前面的例子知道方程滿足初值條件的解就是明顯地是自變量和初值的三元函數(shù)，而且關(guān)于是連續(xù)可微的。下面我們將從理論上來論證這一事實(shí)。首先，我們證明下面的引理。引理

如果函數(shù)于某域內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于滿足利普希茨條件（利普希茨常數(shù)為），則對(duì)方程(3.1.1.1)的任意兩個(gè)解及，在它們的公共存在區(qū)間內(nèi)成立著不等式

(3.3.1)

其中為所考慮區(qū)間內(nèi)的某一值。證明

設(shè)于區(qū)間上均有定義，令則于是因此，對(duì)，有，對(duì)于區(qū)間，令，并記，則方程(3.1.1.1)變?yōu)椴⑶乙阎薪夂?。類似上述推演過程，令，可得，注意到及，就有，因此，，兩邊取平方根即得(3.3.1)。解對(duì)初值的連續(xù)依賴定理

假設(shè)于域內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于滿足局部利普希茨條件，，是方程（3.1.1.1）的滿足初始條件的解，它于區(qū)間上有定義（），那末，對(duì)任意給定的，必能找到正數(shù)，使得當(dāng)

時(shí)，方程(3.1.1.1)的滿足條件的解在區(qū)間上也有定義，并且

，（參看圖(3.4)）圖(3.4)證明

首先，注意到積分曲線段

是平面上一個(gè)有界閉集，又按假定對(duì)上每一點(diǎn)必存在一個(gè)以它為中心的開圓，，使在其內(nèi)函數(shù)關(guān)于滿足利普希茨條件。因此，根據(jù)有限覆蓋定理，可以找到有限個(gè)具有這種性質(zhì)的圓（），并且它們的全體覆蓋了整個(gè)積分曲線段。設(shè)為圓的半徑，表于內(nèi)的相應(yīng)的利普希茨常數(shù)。令，則有，且的邊界與的距離。對(duì)預(yù)先給定的，若取

及

，則以上每一點(diǎn)為中心，以為半徑的圓的全體，連同它們的圓周一起構(gòu)成包含的有界閉域，且在上關(guān)于滿足利普希茨條件，利普希茨常數(shù)為。其次，我們斷言，必存在這樣的正數(shù)（），使得只要，滿足不等式，則解必然在區(qū)間上也有定義。事實(shí)上，由于是一個(gè)有界閉域，且于其內(nèi)關(guān)于滿足利普希茨條件，由上面延拓定理知道，解必能延拓到區(qū)域的邊界上。設(shè)它在的邊界上的點(diǎn)為和，，這時(shí)必然有。因?yàn)榉駝t設(shè)，則由引理就有，注意到的連續(xù)性，對(duì)，必有存在，使當(dāng)時(shí)有。取，則當(dāng)時(shí)，就有

，

(3.3.2)于是

對(duì)一切成立，特別地有，即點(diǎn)及均落在域的內(nèi)部，而不可能位于的邊界上。這與假設(shè)矛盾，因此，解在區(qū)間上有定義。在不等式(3.3.2)中將區(qū)間換成，可知，當(dāng)時(shí)就有

，這正是所要證的結(jié)論。附注

當(dāng)把解視為自變量和初值的三元函數(shù)時(shí)，從上述定理可以推知它是三元連續(xù)函數(shù)。事實(shí)上，對(duì)在閉區(qū)間上連續(xù)，因而對(duì)任給必能找到使得當(dāng)時(shí)有

，

另一方面，由解對(duì)初值的連續(xù)依賴定理，總存在這樣的，使當(dāng)

時(shí)有

，取

，則只要，就有這說明在連續(xù)。對(duì)于任一，由解的存在唯一性定理及解的延拓定理得知，存在，使得(3.1.1.1)有飽和解定義于上。令這時(shí)，解作為三元函數(shù)存在于上，我們可以推得在上是連續(xù)的。事實(shí)上，任給,解作為的函數(shù)，它的最大存在區(qū)間必會(huì)包含。所以存在閉區(qū)間，使得在其上有定義，其中。由附注即知在連續(xù)。再注意到的任意性，我們可將解對(duì)初值的依賴關(guān)系用下面定理來表述。解對(duì)初值的連續(xù)性定理

若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于滿足局部利普希茨條件，則方程(3.1.1.1)的解作為的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的。關(guān)于解對(duì)參數(shù)的連續(xù)性，只須注意下列兩點(diǎn)：1.如果方程右端含有參數(shù)：

(3.3.3)用表示域：：。設(shè)在內(nèi)連續(xù)，且在內(nèi)一致地關(guān)于滿足局部利普希茨條件（也就是說，對(duì)內(nèi)的每一點(diǎn)都存在以為中心的球，使得對(duì)任何，，成立不等式

，其中是與無關(guān)的正數(shù)。），則可以用方程組：

(3.3.4)來代替方程(3.3.3)。2.解對(duì)初值的連續(xù)依賴定理對(duì)方程組(3.3.4)依然成立，只須改用空間的區(qū)域來代替圖(3.4)的平面區(qū)域，并用向量的模來代替數(shù)量的絕對(duì)值以得到不等式(3.3.1)。由解的存在唯一性定理，對(duì)每一，方程(3.3.3)的通過點(diǎn)的解就唯一確定。我們把這個(gè)解記為，于是就有。類似地，我們可以得到下面的結(jié)果：解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴定理

設(shè)在內(nèi)連續(xù)，且在內(nèi)一致地關(guān)于滿足局部利普希茨條件，，是方程(3.3.3)通過點(diǎn)的解，在區(qū)間上有定義，其中，那末，對(duì)任意給定的，可以找到正數(shù)，使得當(dāng)

時(shí)，方程(3.3.3)通過點(diǎn)的解在區(qū)間上也有定義，并且，解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性定理

設(shè)在內(nèi)連續(xù)，且在內(nèi)一致地關(guān)于滿足局部利普希茨條件，則方程(3.3.3)的解作為的函數(shù)在它們存在范圍內(nèi)是連續(xù)的。上節(jié)我們講了解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性，這一節(jié)我們進(jìn)一步討論解對(duì)初值的可微性，即解關(guān)于初值的偏導(dǎo)數(shù)的存在性和連續(xù)性，我們有如下定理。解對(duì)初值的可微性定理

若函數(shù)以及都在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則方程(3.1.1.1)的解作為的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)可微的。證明

由在區(qū)域內(nèi)連續(xù),推知在內(nèi)關(guān)于滿足局部利普希茨條件。因此，在定理的條件下，解對(duì)初值的連續(xù)性定理成立，即

在它的存在范圍關(guān)于是連續(xù)的。下面進(jìn)一步證明對(duì)于函數(shù)的存在范圍內(nèi)任一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)，，存在且連續(xù)。先證存在且連續(xù)。設(shè)由初值和（||，為足夠小的正數(shù)）所確定的方程的解分別為

和

即

和于是=其中。注意到及的連續(xù)性，我們有這里具有性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，。類似地，有其中與具有相同的性質(zhì)，因此對(duì)有即

是初值問題

的解，在這里被看成參數(shù)。顯然，當(dāng)時(shí)，上述初值問題仍然有解。根據(jù)解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)定理，知是的連續(xù)函數(shù)。從而存在

。而是初值問題

的解。不難求得

，顯然它是的連續(xù)函數(shù)。同樣可證存在且連續(xù)。事實(shí)上，設(shè)為初值

（||）所確定的解。類似上述的推演可證是初值問題

的解。因而

，其中具有性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，

。故有

，顯然它是的連續(xù)函數(shù)。至于的存在及連續(xù)性，只需注意到是方程的解，因而，由及的連續(xù)性即直接推得結(jié)論。第四節(jié)包絡(luò)和奇解本節(jié)內(nèi)容只要求一般了解就夠了。3.4.1

包絡(luò)和奇解例1求方程的解。解令則(3.4.1.1)兩端對(duì)求導(dǎo)數(shù)并以代替，得到

或從解得，將它代入(3.4.1.1)，得到原方程的通解

(3.4.1.2)從解得,以此代入(3.4.1.1),又得原方程的一個(gè)特解

(3.4.1.3)，此解稱為奇解。從例１中我們看到對(duì)某些微分方程，存在一條特殊的積分曲線，它并不屬于這方程的積分曲線族。但是，在這條特殊的積分曲線上的每一點(diǎn)處，都有積分曲線族中的一條曲線和它在此點(diǎn)相切。在幾何學(xué)上,這條特殊的積分曲線稱為上述積分曲線族的包絡(luò)。在微分方程里，這條特殊的積分曲線所對(duì)應(yīng)的解稱為方程的奇解。我們現(xiàn)在給出曲線族的包絡(luò)的定義，并介紹它的求法。定義1設(shè)給定單參數(shù)曲線族其中是參數(shù)，是的連續(xù)可微函數(shù)，曲線族的包絡(luò)是指這樣的曲線,它本身并不包含在曲線族中，但過這曲線族的每一點(diǎn)，有曲線族中的一條曲線和它在這點(diǎn)相切。例如，單參數(shù)曲線族（這里是常數(shù)，是參數(shù)）表示圓心為而半徑等于的一族圓。此曲線族顯然有包絡(luò)：和.但是，一般的曲線族并不一定有包絡(luò),例如同心圓族，平行直線族都是沒有包絡(luò)的。由微分幾何學(xué)可知，曲線族的包絡(luò)包含在由下列方程組：消去c而得到的曲線之中。此曲線稱為的c-判別曲線。必須注意,在c-判別曲線中有時(shí)除去包絡(luò)外,還有其他曲線。c-判別曲線中究竟哪一條是包絡(luò)尚需實(shí)際檢驗(yàn)。怎么檢驗(yàn)?zāi)兀课覀冋f應(yīng)除去c-判別曲線中的奇點(diǎn)的集合，即及退化情形。例2

求直線族的包絡(luò)，這里是參數(shù)，是常數(shù)。解

將(3.4.1.6)對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得到為了從(3.4.1.6),(3.4.1.7)中消去，將(3.4.1.6)移項(xiàng)，然后平方，有將(3.4.1.7)平方，又得將(3.4.1.8)和(3.4.1.9)相加，得到容易檢驗(yàn)，(3.4.1.10)是直線族(3.4.1.6)的包絡(luò)。(見下圖)圖(3.4.1.1)練習(xí)1

求下列曲線族的包絡(luò)。參考答案：我們現(xiàn)在引進(jìn)奇解的概念。定義2

如果在微分方程的某一個(gè)解的每一點(diǎn)上至少還有方程的另外一個(gè)解存在,則這個(gè)解稱為奇解，也就是說奇解是這樣的一個(gè)解，在它上面的每一點(diǎn)唯一性是不成立的?；蛘哒f，奇解對(duì)應(yīng)的曲線上每一點(diǎn)至少有方程的兩條積分曲線通過。從奇解的定義容易知道一階微分方程的通解的包絡(luò)（如果它存在的話）一定是奇解；反之，微分方程的奇解（若存在的話）也是微分方程的通解的包絡(luò)。因而，為了求微分方程的奇解，可以先求出它的通解，然后求通解的包絡(luò)。例如，我們?yōu)榱饲罄?中的奇解，可以從通解(3.4.1.2)出發(fā)，容易求得它的包絡(luò)是因而，就是方程的奇解。下面介紹另外一種求奇解的方法。由存在唯一性定理2知道，如果關(guān)于連續(xù)可微，則只要就能保證解的唯一性，因此，奇解（存在的話）必須同時(shí)滿足下列的方程，于是，我們有下面結(jié)論：方程

(3.4.1.1)

的奇解包含在方程組(3.4.1.2)（這里）消去而得到的曲線中，這里是的連續(xù)可微函數(shù)。此曲線稱為方程(3.4.1.1)的判別曲線。判別曲線是否是方程的奇解,尚需進(jìn)一步驗(yàn)證。例3求方程的奇解。解

從

消去，得到判別曲線。容易驗(yàn)證，此兩直線都是方程的奇解。因?yàn)槿菀浊蟮迷匠痰耐ń鉃?，而是微分方程的解，且正好是通解的包絡(luò)。例4求方程的奇解。解

從

消去，得到判別曲線。但不是方程的解，故此方程沒有奇解。3.4.2

克萊羅（Clairaut）方程形如

(3.4.2.1)的方程