高考物理《模型方法-等時(shí)圓模型》專題解析-帶答案

高考物理《模型方法-等時(shí)圓模型》專題解析-帶答案學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1.模型特征(1)質(zhì)點(diǎn)在豎直圓環(huán)上沿不同的光滑弦從其上端由靜止開始滑到環(huán)的最低點(diǎn)所用時(shí)間相等,如圖甲所示。(2)質(zhì)點(diǎn)從豎直圓環(huán)上最高點(diǎn)沿不同的光滑弦由靜止開始滑到下端所用時(shí)間相等,如圖乙所示。(3)兩個(gè)豎直圓環(huán)相切且兩環(huán)的豎直直徑均過切點(diǎn),質(zhì)點(diǎn)沿不同的光滑弦上端由靜止開始滑到下端所用時(shí)間相等,如圖丙所示。我們先看弦軌道模型問題并證明物體下滑的等時(shí)性。如圖所示，讓物體從豎直圓環(huán)上的最高點(diǎn)A處由靜止開始沿光滑的弦軌道AB、AC、AD下滑（AD豎直），下滑的時(shí)間分別為、和。試證明證明：物體由靜止開始沿AB弦軌道下滑，AB弦軌道長為，AB弦軌道與豎直方向夾角為，直徑AD長為。=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③解得：可知物體由靜止開始沿光滑弦軌道下滑的時(shí)間與弦與豎直方向的夾角無關(guān)，即如果把圓環(huán)及軌道倒置，如圖所示，使A在最低點(diǎn)，讓物體從B、C、D點(diǎn)由靜止開始沿光滑弦軌道滑到A點(diǎn)，通過同樣方法證明，物體下滑時(shí)間仍相等。結(jié)論：物體由靜止開始沿著一個(gè)端點(diǎn)在圓環(huán)最高點(diǎn)的不同光滑弦軌道下滑到圓環(huán)的時(shí)間相等；或物體在圓環(huán)上由靜止開始沿著另一個(gè)端點(diǎn)在圓環(huán)最低點(diǎn)的不同光滑弦軌道下滑，滑到圓環(huán)最低點(diǎn)的時(shí)間相等?！镜淅?】如圖甲所示,在傾角為θ的斜面上方的A點(diǎn)放置一光滑的木板AB,B端剛好在斜面上,木板與豎直方向AC所成角度為α,一小物塊由A端沿木板由靜止下滑,要使物塊滑到斜面的時(shí)間最短,則α與θ角的大小關(guān)系為()。A.α=θB.α=C.α=2θD.α=【答案】B【解析】如圖乙所示,在豎直線AC上選取一點(diǎn)O,以適當(dāng)?shù)拈L度為半徑畫圓,使該圓過A點(diǎn),且與斜面相切于D點(diǎn)。由等時(shí)圓模型的特點(diǎn)知,由A點(diǎn)沿木板滑到D點(diǎn)所用時(shí)間比由A點(diǎn)到達(dá)斜面上其他各點(diǎn)所用時(shí)間都短。將木板下端B點(diǎn)與D點(diǎn)重合即可,而∠COD=θ,則α=,B項(xiàng)正確。作法：過A點(diǎn)作豎直線AB，過A作水平線與斜面交Q點(diǎn)，作的角平分線與AB交于O點(diǎn)，以O(shè)點(diǎn)為圓心、AO長為半徑作圓切斜面于P點(diǎn)，AP徑跡即為所求?！咀兪接?xùn)練1】如果定點(diǎn)A在斜面下面，在斜面上如何找到一點(diǎn)P，使其沿光滑弦到A點(diǎn)時(shí)間最短？如圖.在豎直平面內(nèi)，定點(diǎn)A位于斜面ML的下面，A與斜面之間連接光滑直軌道，作圖求出物體由斜面上一點(diǎn)從靜止開始沿光滑直軌道滑到A點(diǎn)最短時(shí)間的徑跡。作法同1，PA徑跡即為所求?！镜淅?】如圖所示,幾條足夠長的光滑直軌道與水平面成不同角度,從P點(diǎn)以大小不同的初速度沿各軌道發(fā)射小球,若各小球恰好在相同的時(shí)間內(nèi)到達(dá)各自的最高點(diǎn),則各小球最高點(diǎn)的位置()。A.在同一水平線上 B.在同一豎直線上C.在同一拋物線上 D.在同一圓周上【答案】D【解析】設(shè)某一直軌道與水平面成θ角,末速度為零的勻減速直線運(yùn)動(dòng)可逆向看成初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng),則小球在直軌道上運(yùn)動(dòng)的加速度a==gsinθ,由位移公式得l=at2=t2,即=gt2,不同的傾角θ對(duì)應(yīng)不同的位移l,但相同,即各小球最高點(diǎn)的位置在直徑為gt2的圓周上,D項(xiàng)正確?！咀兪接?xùn)練2】如圖所示，光滑細(xì)桿BC、DC和AC構(gòu)成矩形ABCD的兩鄰邊和對(duì)角線，AC∶BC∶DC＝5∶4∶3，AC桿豎直，各桿上分別套有一質(zhì)點(diǎn)小球a、b、d，a、b、d三小球的質(zhì)量比為1∶2∶3，現(xiàn)讓三小球同時(shí)從各桿的頂點(diǎn)由靜止釋放，不計(jì)空氣阻力，則a、b、d三小球在各桿上滑行的時(shí)間之比為()A．1∶1∶1 B．5∶4∶3C．5∶8∶9 D．1∶2∶3【答案】A【解析】利用等時(shí)圓模型，以AC為直徑畫圓，B、D剛好在圓上，所以時(shí)間相等，故A正確?！镜淅?】(2018·黑龍江大慶一模)如圖所示，在豎直平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系xOy，該平面內(nèi)有AM、BM、CM三條光滑固定軌道，其中A、C兩點(diǎn)處于同一個(gè)圓的圓周上，C是圓周上任意一點(diǎn)，A、M分別為此圓與x、y軸的切點(diǎn)；B點(diǎn)在y軸上且∠BMO＝60°，O′為圓心?，F(xiàn)將a、b、c三個(gè)小球分別從A、B、C點(diǎn)同時(shí)由靜止釋放，它們將沿軌道運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，所用時(shí)間分別為tA、tB、tC，則tA、tB、tC大小關(guān)系是()A．tA<tC<tBB．tA＝tC<tBC．tA＝tC＝tBD．由于C點(diǎn)的位置不確定，無法比較時(shí)間大小關(guān)系【答案】B【解析】對(duì)于AM段，位移x1＝eq\r(2)R，加速度a1＝gsin45°＝eq\f(\r(2),2)g，根據(jù)x＝eq\f(1,2)at2得，tA＝eq\r(\f(2x1,a1))＝eq\r(\f(4R,g))；對(duì)于BM段，位移x2＝2R，加速度a2＝gsin60°＝eq\f(\r(3),2)g，得tB＝eq\r(\f(2x2,a2))＝eq\r(\f(8R,\r(3)g))；對(duì)于CM段，同理可解得tC＝eq\r(\f(2x3,a3))＝eq\r(\f(4R,g))，故正確選項(xiàng)為B?！咀兪接?xùn)練3】如圖甲所示,位于豎直平面內(nèi)的固定光滑圓環(huán)軌道與水平面相切于M點(diǎn),與豎直墻相切于A點(diǎn)。豎直墻上另一點(diǎn)B與M的連線和水平面的夾角為60°,C是圓環(huán)軌道的圓心。已知在同一時(shí)刻a、b兩球分別由A、B兩點(diǎn)從靜止開始沿光滑傾斜直軌道AM、BM運(yùn)動(dòng);c球由C點(diǎn)自由下落。則()。A.a球最先到達(dá)M點(diǎn)B.b球最先到達(dá)M點(diǎn)C.c球最先到達(dá)M點(diǎn)D.b球和c球都可能最先到達(dá)M點(diǎn)【答案】C【解析】如圖乙所示,設(shè)圓環(huán)半徑為R,則c球由C點(diǎn)自由下落到M點(diǎn)用時(shí)滿足R=g,所以tc=;設(shè)AM與水平面成θ角,則a球下滑到M用時(shí)滿足AM=2Rsinθ=,即ta=2;同理b球從B點(diǎn)下滑到M點(diǎn)用時(shí)也滿足tb=2(r為過B、M且與水平面相切于M點(diǎn)的豎直圓的半徑,r>R)。綜上所述可得tb>ta>tc,C項(xiàng)正確?！镜淅?】如圖所示，在同一豎直線上有A、B兩點(diǎn)，相距為h，B點(diǎn)離地高度為H，現(xiàn)在要在地面上尋找一點(diǎn)P，使得從A、B兩點(diǎn)分別向點(diǎn)P安放的光滑木板，滿足物體從靜止開始分別由A和B沿木板下滑到P點(diǎn)的時(shí)間相等，求O、P兩點(diǎn)之間的距離。AABPHhO【解析】由“等時(shí)圓”特征可知，當(dāng)A、B處于等時(shí)圓周上，且P點(diǎn)處于等時(shí)圓的最低點(diǎn)時(shí)，即能滿足題設(shè)要求。如圖所示，此時(shí)等時(shí)圓的半徑為：，所以

【變式訓(xùn)練4】如圖，圓柱體的倉庫內(nèi)有三塊長度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圓心O，而上端則擱在倉庫側(cè)壁，三塊滑塊與水平面的夾角依次為300、450、600。若有三個(gè)小孩同時(shí)從a、b、c處開始下滑（忽略阻力），則（）A、a處小孩最先到O點(diǎn)B、b處小孩最后到O點(diǎn)C、c處小孩最先到O點(diǎn)D、a、c處小孩同時(shí)到O點(diǎn)θθaObc【答案】D【解析】選D.三塊滑板與圓柱形倉庫構(gòu)成的斜面底邊長度均為圓柱形倉庫的底面半徑,則,當(dāng)θ=45°時(shí),t最小,當(dāng)θ=30°和60°時(shí),sin2θ的值相同,故只有D正確.【典例5】(單選)如圖6所示，AB和CD為兩條光滑斜槽，它們各自的兩個(gè)端點(diǎn)均分別位于半徑為R和r的兩個(gè)相切的圓上，且斜槽都通過切點(diǎn)P.設(shè)有一重物先后沿兩個(gè)斜槽，從靜止出發(fā)，由A滑到B和由C滑到D，所用的時(shí)間分別為t1和t2，則t1與t2之比為()．A．2∶1B．1∶1C.eq\r(3)∶1D．1∶eq\r(3)【答案】B【解析】由“等時(shí)圓”模型結(jié)論有：tAP＝tCP＝2eq\r(\f(R,g))，tPB＝tPD＝2eq\r(\f(r,g))，所以t1＝tAP＋tPB，t2＝tCP＋tPD，知t1＝t2，B項(xiàng)正確．【變式訓(xùn)練5】如圖8所示，圓弧AB是半徑為R的eq\f(1,4)圓弧，在AB上放置一光滑木板BD，一質(zhì)量為m的小物體在BD板的D端由靜止下滑，然后沖向水平面BC，在BC上滑行L后停下．不計(jì)小物體在B點(diǎn)的能量損失，已知小物體與水平面BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.求：小物體在BD上下滑過程中，重力做功的平均功率．【答案】eq\f(μmgL,2)eq\r(\f(g,R))【解析】由動(dòng)能定理可知小物體從D到C有WG－μmgL＝0，所以WG＝μmgL由等時(shí)圓知識(shí)可知小物體從D到B的時(shí)間等于物體從圓周的最高點(diǎn)下落到B點(diǎn)的時(shí)間，即為t＝eq\r(\f(4R,g))，所以小物體在木板BD上下滑過程中，重力做功的平均功率為P＝eq\f(WG,t)＝eq\f(μmgL,2)eq\r(\f(g,R)).【典例6】如圖所示，oa、ob、oc是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，O、a、b、c、d位于同一圓周上，d點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，c點(diǎn)為最低點(diǎn)。每根桿上都套著一個(gè)小滑環(huán)(圖中未畫出)，三個(gè)滑環(huán)都從o點(diǎn)無初速釋放，用t1、t2、t3依次表示滑環(huán)到達(dá)a、b、c所用的時(shí)間，則（）A．t1=t2=t3B．t1>t2>t3C．t1<t2<t3D．t3>t1>t2【答案】B【解析】任意研究其中的一個(gè)桿a，設(shè)桿與水平方向夾角為，設(shè)桿長為。環(huán)運(yùn)動(dòng)時(shí)間，作輔助線ae垂直于桿，再過O點(diǎn)作一條豎直向下的豎線與ae相交于e點(diǎn)，可知，因此只需比較豎線的長短即可得答案?！咀兪接?xùn)練6】傾角為30°的長斜坡上有C、O、B三點(diǎn)，CO=OB=10m，在C點(diǎn)豎直地固定一長10m的直桿AO。A端與C點(diǎn)間和坡底B點(diǎn)間各連有一光滑的鋼繩，且各穿