復(fù)變函數(shù)積分的概念

1復(fù)變函數(shù)積分的概念2一、積分的定義1.有向曲線:

設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向(或正向),那么我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負(fù)向,第2頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天3簡(jiǎn)單閉曲線正向的定義:

簡(jiǎn)單閉曲線C的正向是指當(dāng)曲線上的點(diǎn)P順此方向前進(jìn)時(shí),鄰近P點(diǎn)的曲線的內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方.與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向.關(guān)于曲線方向的說(shuō)明:

在今后的討論中,常把兩個(gè)端點(diǎn)中的一個(gè)作為起點(diǎn),另一個(gè)作為終點(diǎn),除特殊聲明外,正方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向.第3頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天42.積分的定義:第4頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天5(第5頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天6關(guān)于定義的說(shuō)明:第6頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天7二、積分的性質(zhì)復(fù)積分與實(shí)變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).估值不等式第7頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天8性質(zhì)(4)的證明兩端取極限得[證畢]第8頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天9三、積分存在的條件及其計(jì)算法1.存在的條件證正方向?yàn)閰?shù)增加的方向,第9頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天10第10頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天11根據(jù)線積分的存在定理,第11頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天12當(dāng)n

無(wú)限增大而弧段長(zhǎng)度的最大值趨于零時(shí),第12頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天13在形式上可以看成是公式第13頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天142.積分的計(jì)算法第14頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天15在今后討論的積分中,總假定被積函數(shù)是連續(xù)的,曲線C是按段光滑的.第15頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天16例1解直線方程為第16頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天17這兩個(gè)積分都與路線C無(wú)關(guān)第17頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天18例2解(1)積分路徑的參數(shù)方程為y=x第18頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天19(2)積分路徑的參數(shù)方程為y=x第19頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天20y=x(3)積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為第20頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天21例3解積分路徑的參數(shù)方程為第21頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天22例4解積分路徑的參數(shù)方程為第22頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天23重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無(wú)關(guān).第23頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天24例5解根據(jù)估值不等式知第24頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天25第25頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天26四、小結(jié)與思考

本課我們學(xué)習(xí)了積分的定義、存在條件以及計(jì)算和性質(zhì).應(yīng)注意復(fù)變函數(shù)的積分有跟微積分學(xué)中的線積分完全相似的性質(zhì).本課中重點(diǎn)掌握復(fù)積分的一般方法.第26頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天27思考題第27頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天28思考題答案即為一元實(shí)函數(shù)的