2020-2021學(xué)年桂林市高二年級(jí)上冊期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(含解析)

2020-2021學(xué)年桂林市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（文科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1,已知｛即｝是等差數(shù)列，且+1是的和的等差中項(xiàng)，則｛a?｝的公差為（）

A.1B.2C.—2D.—1

2.已知雙曲線的一條漸近線的方程為y=2x,雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線.y=4x的焦點(diǎn)重合，則

拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩交點(diǎn)為4,B,則|上卻的長為（）

A.2B.4C.逑D.也

55

3.2.下列四個(gè)命題中是真命題的為

A.：孑町國居；1?：耳鼻,<獸B.3^:圖尾者解#：1=0

C.’崩&筆歐;/#罪:書方凈?D.W?：<.,??-1=?

4.已知a,b,c>dGR,并且ab>0,—,<—『則下列各式中恒成立的是（）

be<adbe>ad

A.B.C.-c>-dD,-c<-d

5.已知銳角△ABC的外接圓半徑為3BC,且48=3,AC=4,貝“BC=（）

A.V37B.6C.5D.V13

2

6.已知橢圓C.+y2=1,點(diǎn)％,M2....彌為其長軸48的6等分點(diǎn)，分別過這五點(diǎn)作斜率為k（k中

0）的一組平行線，交橢圓C于B，P2,P10,則直線4P1，AP2,AP1O這10條直線的斜率乘

積為（）

A.一2B.一點(diǎn)CD.一毒

x-220

7,設(shè)變量x,y滿足約束條件卜+yW4,貝Uz=x-y的最大值為（）

,x-2y<4

A.0B.2C.3D.4

8.在△ABC中，a,b,c分別是角4B,C的對(duì)邊，以下四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的一個(gè)是（）

A.若a>b>c,則sinA>sinB>sinC

B.若A>B〉C,則sinA>sinB>sinC

C.acosB+bcosA=c

D.若q2+b2>c2,則△ZBC是銳角三角形

9.已知f(x)是定義在(0,+8)上的可導(dǎo)函數(shù)，滿足〃1)=1,工尸(無)—“萬)<尤2,則不等式心^(2)<

2,②〃2)<4,③解)>$④居)<；中一定成立的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

10.設(shè)見尸2是雙曲線C：l(a>0,6>0)的左右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，若

\MFr\=2\MF2\,\MF2\=\OF2\,則C的離心率是

A.匹B.fC.2D.V5

22

11."鐮:1-'啜*,一黝=顏”是"8"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

12.己知等比數(shù)列｛即｝公比為q,其前幾項(xiàng)和為工,若S3,S9,S6成等差數(shù)列，則或等于

'■｛，［"I

A.--B.1C.一士或1D.-1或士

鬟鬟鬟

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知x,y&R,滿足/+2孫+4y2=6,貝Uz=/+4y2的最小值為.

14.設(shè)448C的內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若(6-2c)cosA=a(2cosC—V3sinB),且小ABC

的面積等于百，貝UBC邊上的中線a。的長的最小值是.

15.已知數(shù)列弧滿足：嗎=ID⑺為正整數(shù))，&Jh及“當(dāng)鯉'為懶財(cái)若穌=1,則加所有

卜魄當(dāng)維為奇數(shù)時(shí)。

可能的取值為O

2222

16.設(shè)心、尸2分別為橢圓的：,+底=l(a>b>0)與雙曲線。2：器—看=1(%>瓦>0)的公共焦

點(diǎn)，設(shè)橢圓G與雙曲線。2在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)M,且N&MF2=90。，若橢圓G的離心率ei6

［|,等］,則雙曲線。2的離心率02的最小值是.

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知等比數(shù)列｛5｝滿足.ar=2,S2=3

(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛匕｝滿足的=an+bx=bn(n>2),求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

o

18.在△4BC中，內(nèi)角a,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且7as出B=4c,cosB=

(1)求角4的大??；

(2)設(shè)BC邊上的中點(diǎn)為D,\AD\=V137-求△力8c的面積.

19.已知rneR,設(shè)條件p：不等式(-一1)/+⑺+1)久+1no對(duì)任意的久eR恒成立；條件q：

關(guān)于x的不等式|x+1|+|x-2|＜小的解集為。.

(1)分別求出使得p以及q為真的小的取值范圍；

(2)若復(fù)合命題“p或q”為真，“p且q”為假，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

20.要建造一個(gè)容積為4800^3,深為36的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別

為150元和120,那么怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為多少元？

21.a2,a3,a的值；

求數(shù)列cm｝的通項(xiàng)公.

22.已知橢圓E：3y2+/=3的長軸端點(diǎn)分別為p2,動(dòng)點(diǎn)P滿足|P&|+|PFzl=4.

(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(口)若直線1與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)4,B,且岫4+k°B=-1,求直線Z的斜率的取值范圍.

參考答案及解析

1.答案：B

解析：解：設(shè)等差數(shù)列｛即｝的公差為d.

由已知條件，得的+a4=2(a2+1),

即a[+(a1+3d)=2(的+d+1),解得d=2.

故選：B.

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由己知結(jié)合等差中項(xiàng)的概念列式求得｛a"的公差.

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

2.答案：D

解析：

本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查拋物線的性質(zhì).

解：雙曲線的一條漸近線的方程為：=2x,可知雙曲線的方程為/一二=2,

可知拋物線f=4》的焦點(diǎn)為氏0),可知雙曲線的焦點(diǎn)為工+4%=1,=2=：,

、5>

雙曲線的方程為5^=?,拋物線的準(zhǔn)線為為=-1,

f5

i5x?--v2=l，.-475?,44、I“Ig#

可知142*-1,—-^—),￡(一L「一人|HS|=一.

5、?5

Ix=-l-

故選D

3.答案：C

解析：解析：本題考查命題的真假判定。

選項(xiàng)A、因?yàn)長：必至自，所以不存在整數(shù)有。

4-4-

選項(xiàng)3、不存在整數(shù)美使得方程成立。

選項(xiàng)D、當(dāng)窖=怎時(shí)方程就不成立。

4.答案:B

解析：解：由題意可得：一￡<一?，即也等>o,

abab

因?yàn)镼b>0,

所以cb—ad>0.

故選：B.

由題意可得：-￡<-?，即中〉o,結(jié)合題中條件防>0,可得答案.

abab

此題主要考查了分式的基本性質(zhì)，解答此類題一定要熟練掌握分式的基本性質(zhì)才能比較好解決這類

問題.

5.答案：D

解析：解：,??銳角△A8C的外接圓半徑為立BC,且48=3,AC=4,

3

???由正弦定理可得：匹=2X更BC,解得:sinA=可得：cosA=g

sinA322

???由余弦定理可得：BC=y/AC2+AB2-2AB-AC-cosA=J16+9-2x3x4x|=V13.

故選：D.

由已知利用正弦定理可求sin4進(jìn)而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos4,根據(jù)余弦定理即可解

得BC的值.

本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算

能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

6.答案：B

解析：解：如圖所示，

由橢圓的性質(zhì)可得-kBPi=kAp2-kBp2=—%=—

由橢圓的對(duì)稱性可得々BP】=%P]o,^BP10=KAP],

,題Pi?^AP10=一鼻，

同理可得七「3,^APQ=^AP5,^AP6=^AP7'^AP4=^AP9'

1

.??直線力P1，AP2,力Pio這10條直線的斜率乘積=(—[)5=

32

故選：B.

利用橢圓的性質(zhì)可得%kBPi=kAP2-kBP2=-^=得及其橢圓的對(duì)稱性可得程區(qū)=kAP10,

=

^-BP10進(jìn)而得出答案.

本題考查了橢圓的性質(zhì)可得心%-心％=-9及橢圓的對(duì)稱性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難

題.

本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔

題.目標(biāo)函數(shù)有唯一最優(yōu)解是我們最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關(guān)鍵

點(diǎn)、定出最優(yōu)解.

8.答案：D

解析：

本題考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

由于a>6>c,結(jié)合正弦定理急=焉=肅=2R,可判斷4由由大邊對(duì)大角定理

可知，可判斷a>b>c,然后由正弦定理名=熹=肅=2R，可判斷B；根據(jù)正弦定理對(duì)acosB+

bcosA進(jìn)行化簡即可判斷。對(duì)于D,由。2+。2>c2結(jié)合余弦定理定理可得：cosC="^J>0,然

2ab

后結(jié)合ce(o，W，可判斷c的范圍，進(jìn)而可判斷；

解：對(duì)于4由于a>b>c,由正弦定理=[二=-J=2R,可得：sinA>sinB>sinC,故A

正確;

對(duì)于8,A>B>C,由大邊對(duì)大角定理可知，則a〉6>c,由正弦定理高=焉=品=2R，可

得：sinA>sinB>sinC,故B正確；

對(duì)于C,根據(jù)正弦定理可得：acosB+bcosA=2R{sinAcosB+sinBcosA)=2Rsin(B+Z)=

2Rsin(ji—C)=2RsinC=c.故C正確；

對(duì)于a2+b2>c2,由余弦定理可得：cosC=由。。，兀)，可得是銳角，故

D,2ab>0,6(CA

或B可能為鈍角，故錯(cuò)誤；

故選D

9.答案:A

解析：解：令g(久)=竽—x,則“⑺=_1=-1⑺*,

%廣(%)-/(%)<X2，：.g'(x)<0在(0,+8)上恒成立，即g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

f(1)=1,g⑴=—1=1—1=0,

對(duì)于g(2)=[容—2Vg(l)=0,即/(2)V4,??.①錯(cuò)誤，②正確；

對(duì)于。?)=學(xué)—3>g(i)=o,即/(}〉；，.?.③和④均錯(cuò)誤；

2

因此一定成立的只有②，

故選：A.

根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)g(x)=號(hào)-久，并判斷其在(0,+8)上單調(diào)遞減，然后分別算出g(l)、g(2)和g(》，

并利用單調(diào)性比較大小，即可判斷每個(gè)選項(xiàng).

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，構(gòu)造新函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于

中檔題.

10.答案:C

解析：解：|M6|=IMF2I=|。尸2],T3，

故…?“

???￡=2,故C的離心率是2.

F，。代

故選C/,

由已知可得2a=\MFr\-\MF2\=\MF2\=\OF2\=c,可得

答案.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是雙曲線的簡單性質(zhì)，構(gòu)造關(guān)于a,c的方程是解答的關(guān)鍵，難度中檔.

11.答案：B

解析：試題分析：因?yàn)槟?-旗篇-纏:=(如=客=域器：=鬟，而結(jié)論是x=l,那么根據(jù)前者表示的x的

集合包含后者，可知條件不能推出結(jié)論，但是結(jié)論可以推出條件，因此說條件是結(jié)論成立的充分不

必要條件，故選8

考點(diǎn)：本題主要考查充分條件的判定問題的運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是弄清楚條件表示的集合與結(jié)論表示的集合之間的包含關(guān)系，結(jié)合集合的

關(guān)系來得到判定。

12.答案：A

解析：試題分析：因?yàn)镾3,S9,56成等差數(shù)列，即，2Sg=S6+S3,所以2

喳二逢=喳二遞#睢也，整理得，刎-g,解得q3=—J或1,但q3=i時(shí)與

已知不符，故選A。

考點(diǎn)：本題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式。

點(diǎn)評(píng)：簡單題，根據(jù)S3,S9,S6成等差數(shù)列可建立q的方程，解之即得。

13.答案：4

解析：解：由題意％2+2xy+4y2=(%+2y)2—2xy=6,那么(％+2y)2=2xy+6,

(%+2y)2>4x-2y=8xy,當(dāng)且僅當(dāng)久=2y時(shí)取等號(hào).

則：2%y+6>8xy

解得：xy<1

z=x2+4y2=(%+2y產(chǎn)—4xy>8xy—4yx=4.

所以z=%2+4y2的最小值為4.

故答案為：4.

將％2+2xy+4y2=(%+2y)2—2xy=6,那么(％+2y)2=2xy+6,z=x2+4y2=(x+2y)2—

4xy,利用基本等式的性質(zhì)，即可求解.

本題考查了基本不等式的變形和靈活的運(yùn)用能力.屬于中檔題.

14.答案：V3

解析：解：:由(b—2c)cos/=a(2cosC—遮sinB),

得百sinAs譏8+cosAsinB=2sinB,即遍sin/+cosA=2,

???sin(i4+^)=1,

又0<4<7T,

^S^ABC=^bcsinA,得:=遮，即be=4；

222>22

由=-(AB+前)，可得：|AD|l?l-(h+c+2bccosA)=-(fo+c+be)>-bc=3f

當(dāng)且僅當(dāng)"6=c=2"時(shí)，取“=”，

所以|而|最小值為V5.

故答案為：V3.

利用正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知等式可得sin(A+￡)=1,結(jié)合范圍0<4<兀，可求

O

A=^,利用三角形的面積公式可求be=4,利用同=3荏+刀)，兩邊平方，根據(jù)余弦定理，基

本不等式可求|而|最小值.

本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形的面積公式，余弦定理，基本不等式在

解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

15.答案:4532

解析：試題分析：由題設(shè)知的=2,%=4,有①②兩種情況：①的=1,。2=2,ar=4,即zn=4；

②a3=8,的=16,有③④兩種情況：③的=5,即m=5；④的=32,即m=32.解:,數(shù)列｛a九｝

.*□(力于壑枷仔"當(dāng)猥歷懶^時(shí)

胸足：的=為正整數(shù))，：%皿=：2，。6=1，*,,。5=2,。4=4,

卜％帶?”當(dāng):颶為奇^加寸。

兩種情況：①。3=1，42=2,%=4,即m=4；②a3=8,a2=16,有③④兩種情況：③%.=5,

即m=5；④的=32,即爪=32.故答案為：4,5,32

考點(diǎn)：數(shù)列的性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答，注意公式的合理運(yùn)用

16.答案：四

7

解析：解：如圖，畫出橢圓和雙曲線的圖象：

設(shè)幽尸1|=小，\MF2\=n,

由橢圓定義可得m+n=2a,由雙曲線定義可得m-ri=...

Uijo\FJx

解得?n=a+a1,n=a—a1,

2n\

因?yàn)镹&MF2=90°,所以爪2+n=4c2,

即02+進(jìn)=202,

由離心率的公式可得3+看=2,

因?yàn)閑l6［|,誓］,

所以e在品即2-白電引，

解得e2e［字,誓］,

因?yàn)榈?gt;瓦，所以02=J1+(濘<魚,

2y/14

。2Gvv2),

雙曲線C2的離心率02的最小值是字.

故答案為：煙.

7

設(shè)|MF/=TH,|MFz|二九，運(yùn)用橢圓和雙曲線的定義，由a,由表示出TH,n,結(jié)合勾股定理和離心

率公式，可得0,3的關(guān)系式，再由4的范圍，解不等式可得力的范圍，進(jìn)而得到所求最小值.

本題考查橢圓和雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題.

17.答案：解：(1)S2=%+a2=2+2q=3,

1

???q=了

???an=2-(1r-1=4.(|r，

(2)。1=瓦=2,

a

???n+bn_i=bn.

n

???bn-bn_r=an,=4-(|),

2

??.(瓦一瓦)+(久一壇)+-+-fan-i)=bn-b1=4[|+(|)+…+(|)"]=4.=4[1-

2

(加，

=2-4-(I)",(n>2)

2,n=1

/-hn=2-4-(1)n,n>2

解析：(1)根據(jù)已知條件求得公比q,則數(shù)列的通項(xiàng)公式可得.

(2)根據(jù)題意表示出g-6nt，進(jìn)而通過遞加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的應(yīng)用.考查了學(xué)生對(duì)數(shù)列基礎(chǔ)公式的熟練記憶.

18.答案：解：（1）???由cosB=|,得...（1分）

又17asinB=4c,

，代入得7a=5c,

由焉=高？得7sin"=5sinC,...（3分）

???7sinA=Ssin（A+B）,7sinA=SsinAcosB+ScosAsinB,...（5分）

，得tcmA=1,A=$…（7分）

（2）?.?由余弦定理可得：AB2+BD2-2AB-BDCOSB=137,...（9^）

c2+偌）2-2cxa義|=137,c=14,

??.則a=10,…（12分）

S=^1acsin1B=|x14x410x|=56....（15分）

解析：（1）由cosB=可得sinB,又7as譏B=4c,代入得7a=5c,由正弦定理得7s譏A=SsinC,

化簡可得tcrnA=1,從而可求力的值.

（2）由余弦定理可得：AB2+BD2-2AB-BDcosB=137,代入可解得c=14,a=10,利用三角形

面積公式即可得解.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基

本知識(shí)的考查.

19.答案：解：（1）P：不等式（巾2-1）乂2+（M+］）x+1N0對(duì)任意的％eR恒成立

當(dāng)P為真時(shí)，

m=-1或R71-02"2nQ爪W-1或爪N|

（△=（m+-4（mz-1）<03

又yq：關(guān)于x的不等式|x+1|+|x-2|<m的解集為。

當(dāng)q為真，

???（|x+1\+\x-2|）m；n

■■p真時(shí)ni的取值范圍為力={m\m<-1或zn>|},q真時(shí)m的取值范圍為B={m\m<3}；

（2）：“p或q”為真,“p且q”為假，

p和q一真一假，分兩況討論：

1°當(dāng)p真且q假時(shí)，有4ClCRB={m|ni>3}；

2。當(dāng)p假且q真時(shí)，有(CRA)nB=｛m|-l<m<|｝,

1°,2。取并,

即得“p或q”為真，“p且q”為假時(shí)實(shí)數(shù)小的取值范圍是｛劉一1<巾<|或6>3｝

解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合命題的真假判定，解決的辦法是先判斷組成復(fù)合命題的簡單命題的

真假，再根據(jù)真值表進(jìn)行判斷.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合命題的真假判定，屬于基礎(chǔ)題目

20.答案：(8分)解：設(shè)水池底面長為久米時(shí)，總造價(jià)為y元.

由題意知水池底面積為竿=1600^2,水池底面寬為幽山.

3x

1600

???y=150X1600+120X3X(2%+2X----)

x

1600

=150X1600+720(x+----)

x

■.-X+—>2k義心=80,當(dāng)且僅當(dāng)“X=40”時(shí)取得“=”

X\X

所以當(dāng)％=40時(shí)，ymin=297600.

解析：設(shè)水池底面長為x米時(shí)，總造價(jià)為y元.列出函數(shù)關(guān)系式，利用基本不等式求解最值即可.

本題考查實(shí)際問題的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

21.答案：解：???數(shù)列研滿足幾+1=黑，al=l,eN*.?-2=^-=I，同理可得：=],4=|.

CLfl?TD25

二數(shù)列｛《｝是等數(shù)列首項(xiàng)為，公差為3

數(shù)列cm｝足Q九+1=三3al=,nN*.

?*-T-=1+1(九一)，解得九=一,

.?.n=——2.

n+1

解析：數(shù)列an｝滿足cm+=1^al=l,^6乂別令二1,2,,即可得出.

列｛cm｝滿足加1=普必九6N*.兩邊取倒數(shù)可得：六-十=§,再利用等數(shù)列的通項(xiàng)式即可出.

本題考查了等差數(shù)列的通公式遞推關(guān)系，考查能力與能力，屬中檔題.

2

22.答案：解：(I)橢圓E的方程化為:+y2=1,

其長軸端點(diǎn)分別為Fi(-百,0),F2(V3,0),

???|PFi|+|PFzl=4>萬昌，

???動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C是以&,尸2為焦點(diǎn)，長軸長2a=4的橢圓,

故點(diǎn)P的軌跡C的方程為：-+y2=1；

4

(U)①當(dāng)直線，的斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知,

k0A+^OB=不合題意；

②當(dāng)直線1的斜率存在時(shí)，

設(shè)其方程為y=k