高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9章平面解析幾何第4節(jié)直線與圓圓與圓的位置關(guān)系教學(xué)案文北師大版

第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系[最新考綱]1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系．2．能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想．(對應(yīng)學(xué)生用書第150頁)1．直線與圓的位置關(guān)系(1)三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．(2)兩種研究方法：①eq\x(代數(shù)法)eq\o(→,\s\up14(聯(lián)立方程組消去xy),\s\do12(得一元二次方程，Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0?相交,Δ＝0?相切,Δ＜0?相離))②幾何法eq\o(→,\s\up14(圓心到直線的距離為d),\s\do12(半徑為r))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＜r?相交，弦長l＝2\r(r2－d2),d＝r?相切,d＞r?相離))2．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0)．位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離d>r1＋r2無解外切d＝r1＋r2一組實數(shù)解相交|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實數(shù)解內(nèi)切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實數(shù)解內(nèi)含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無解eq\o([常用結(jié)論])1.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含：0條；②內(nèi)切：1條；③相交：2條；④外切：3條；⑤外離：4條．(2)當(dāng)兩圓相交時，兩圓方程(x2，y2項系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程．一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的必要不充分條件． ()(2)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切． ()(3)如果兩圓的圓心距小于兩半徑之和，則兩圓相交． ()(4)若兩圓相交，則兩圓方程相減消去二次項后得到的二元一次方程是公共弦所在直線的方程． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材改編1．若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C[由題意知eq\f(|a＋1|,\r(2))≤eq\r(2)，即|a＋1|≤2.解得－3≤a≤1.故選C.]2．圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為()A．內(nèi)切B．相交C．外切D．相離B[兩圓圓心分別為(－2,0)，(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d＝eq\r(42＋1)＝eq\r(17).∵3－2<d<3＋2，∴兩圓相交．]3．已知直線l：y＝k(x＋eq\r(3))和圓C：x2＋(y－1)2＝1，若直線l與圓C相切，則k＝()A．0 B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3)或0 D.eq\r(3)或0D[因為直線l與圓C相切，所以圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|－1＋\r(3)k|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝0或k＝eq\r(3)，故選D.]4．直線x＋2y＝0被圓C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦長等于________．4eq\r(5)[由題意知圓心C(3,1)，半徑rC到直線l的距離d＝eq\f(|3＋2|,\r(5))＝eq\r(5)，則弦長＝2eq\r(r2－d2)＝4eq\r(5).](對應(yīng)學(xué)生用書第151頁)⊙考點1直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系的判斷判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程組，消元得一元二次方程之后利用Δ判斷．(3)點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題．a(chǎn)x＋by＝1與圓x2＋y2＝1有兩個公共點，則點P(a，b)與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是()A．在圓上 B．在圓外C．在圓內(nèi) D．以上都有可能B[由題意知圓心到直線的距離d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))＜1，即a2＋b2＞1，則點P(a，b)在圓x2＋y2＝1的外部，故選B.]2．直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．不確定A[法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx－y＋1－m＝0，,x2＋y－12＝5，))消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因為Δ＝16m2＋20＞0，所以直線l與圓相交．法二：由題意知，圓心(0,1)到直線l的距離d＝eq\f(|m|,\r(m2＋1))＜1＜eq\r(5)，故直線l與圓相交．法三：直線l：mx－y＋1－m＝0過定點(1,1)，因為點(1,1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，所以直線l與圓相交．]3．圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等于1的點的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4C[如圖所示，因為圓心到直線的距離為eq\f(|9＋12－11|,5)＝2，又因為圓的半徑為3，所以直線與圓相交，圓上到直線的距離為1的點有3個．]若直線方程中x(或y)的系數(shù)含參數(shù)，則此直線為過定點的動直線，一般是求出定點，再求解．直線與圓相切的問題1．求過圓上的一點(x0，y0)的切線方程的方法先求切點與圓心連線的斜率k，若k不存在，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為y＝y(tǒng)0；若k＝0，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為x＝x0；若k存在且k≠0，則由垂直關(guān)系知切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點斜式可寫出切線方程．2．求過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程的兩種方法幾何法當(dāng)斜率存在時，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出k的值，進(jìn)而寫出切線方程代數(shù)法當(dāng)斜率存在時，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得到一個關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出(1)過點P(2,4)作圓(x－1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方程為()A．3x＋4y－4＝0B．4x－3y＋4＝0C．x＝2或4x－3y＋4＝0D．y＝4或3x＋4y－4＝0(2)(2019·浙江高考)已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0，m)，半徑長是r.若直線2x－y＋3＝0與圓C相切于點A(－2，－1)，則m＝________，r＝________.(1)C(2)－2eq\r(5)[(1)當(dāng)斜率不存在時，x＝2與圓相切；當(dāng)斜率存在時，設(shè)切線方程為y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，則eq\f(|k－1＋4－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(4,3)，則切線方程為4x－3y＋4＝0，故切線方程為x＝2或4x－3y＋4＝0，故選C.(2)由圓心與切點的連線和切線垂直，得eq\f(m＋1,2)＝－eq\f(1,2)，解得m＝－2，因此圓心坐標(biāo)為(0，－2)，半徑r＝eq\r(－2－02＋－1＋22)＝eq\r(5).]已知切點，則圓心與切點的連線垂直于切線是常用的結(jié)論，如本例T(2)．弦長問題弦長的兩種求法(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個一元二次方程．在判別式Δ＞0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長公式求弦長．(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2eq\r(r2－d2).(1)設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝2eq\r(3)，則直線l的方程為()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0(2)(2019·衡水模擬)已知直線ax＋y－1＝0與圓C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A，B兩點，且△ABC為等腰直角三角形，則實數(shù)a的值為()A.eq\f(1,7)或－1 B．－1C．1 D．1或－1(1)B(2)D[(1)當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x＝0時，弦長為2eq\r(3)，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，由弦長為2eq\r(3)，半徑為2可知，圓心到該直線的距離為1，從而有eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(3,4)，綜上，直線l的方程為x＝0或3x＋4y－12＝0，故選B.(2)由題意得△ABC為等腰直角三角形，∴圓心C(1，－a)到直線ax＋y－1＝0的距離d＝rsin45°(r為圓C的半徑)．又∵半徑r＝1，∴d＝eq\f(\r(2),2)，即eq\f(|a－a－1|,\r(a2＋1))＝eq\f(\r(2),2)，整理得1＋a2＝2，即a2＝1，解得a＝－1或1.故選D.]解答本例T(2)的關(guān)鍵是求圓心到直線的距離d＝rsin45°.[教師備選例題]若a2＋b2＝2c2(c≠0)，則直線ax＋by＋c＝0被圓x2＋y2＝1所截得的弦長為()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(\r(2),2) D.eq\r(2)D[因為圓心(0,0)到直線ax＋by＋c＝0的距離d＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝eq\f(|c|,\r(2)|c|)＝eq\f(\r(2),2)，因此根據(jù)直角三角形的關(guān)系，弦長的一半就等于eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up14(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以弦長為eq\r(2).]x2＋y2＝1，則經(jīng)過圓上一點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))的切線方程是________．x＋y－eq\r(2)＝0[因為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))是圓x2＋y2＝1上的點，所以過點M的圓的切線的斜率為－1，則設(shè)切線方程為x＋y＋a＝0，所以eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)＋a＝0，得a＝－eq\r(2)，故切線方程為x＋y－eq\r(2)＝0.]2．已知直線l：ax＋by－3＝0與圓M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于點P(－1,2)，則直線l的方程為________．x＋2y－3＝0[圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋y2＝5，則M(－2,0)直線MP的斜率kMP＝eq\f(2－0,－1－－2)＝2，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,b)＝－\f(1,2)，,－a＋2b－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2.))因此直線l的方程為x＋2y－3＝0.]3．(2019·雅安模擬)已知直線l：x－eq\r(3)y＋6＝0與圓x2＋y2＝12相交于A，B兩點，則∠AOB＝________.(O為坐標(biāo)原點)60°[圓心O(0,0)到直線AB的距離d＝eq\f(6,\r(1＋3))＝3，則|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(3)，則有|OA|＝|OB|＝|AB|，即△AOB是等邊三角形，∴∠AOB＝60°.]⊙考點2圓與圓的位置關(guān)系1．幾何法判斷圓與圓的位置關(guān)系的三步驟(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長；(2)利用平面內(nèi)兩點間的距離公式求出圓心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；(3)比較d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，寫出結(jié)論．2．兩圓公共弦長的求法(1)求公共弦所在的直線方程：由兩個圓的方程相減得到．(2)在一個圓中求公共弦長：按照求弦長的方法求解．(1)已知圓O1的方程為x2＋y2＝4，圓O2的方程為(x－a)2＋(y－1)2＝1，那么這兩個圓的位置關(guān)系不可能是()A．外離 B．外切C．內(nèi)含 D．內(nèi)切(2)(2019·南通模擬)圓O1：x2＋y2＝9與圓O2：x2＋y2－4x＋2y－3＝0的公共弦的長為________．(1)C(2)eq\f(12\r(5),5)[(1)圓O1：x2＋y2＝4的圓心O1(0,0)，半徑r1＝2，圓O2：(x－a)2＋(y－1)2＝1的圓心O2(a,1)，半徑r2＝1，兩圓的圓心距|O1O2|＝eq\r(a2＋1)≥1＝2－1，所以兩個圓的位置關(guān)系不可能是內(nèi)含，故選C.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝9，,x2＋y2－4x＋2y－3＝0))得兩圓的公共弦所在的直線方程為2x－y－3＝0，圓O1：x2＋y2＝9的圓心O1(0,0)到直線2x－y－3＝0的距離d＝eq\f(|－3|,\r(5))＝eq\f(3,\r(5))，則公共弦長為2eq\r(9－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(5))))eq\s\up14(2))＝eq\f(12\r(5),5).]本例T(1)中，圓O2的圓心在直線y＝1上，數(shù)形結(jié)合也可得到答案．[教師備選例題](2016·山東高考)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2eq\r(2)，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是()A．內(nèi)切 B．相交C．外切 D．相離B[法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2ay＝0，,x＋y＝0))得兩交點為(0,0)，(－a，a)．∵圓M截直線所得線段長度為2eq\r(2)，∴eq\r(a2＋－a2)＝2eq\r(2).又a>0，∴a＝2.∴圓M的方程為x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圓心M(0,2)，半徑r1＝2.又圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心N(1,1)，半徑r2＝1，∴|MN|＝eq\r(0－12＋2－12)＝eq\r(2).∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴兩圓相交．法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)?x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴M(0，a)，r1＝a.依題意，有eq\f(a,\r(2))＝eq\r(a2－2)，解得a＝2.以下同法一．]1.(2019·哈爾濱模擬)圓x2－4x＋y2＝0與圓x2＋y2＋4x＋3＝0的公切線共有()A．1條B．2條C．3條D．4條D[x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝22，圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為2；x2＋y2＋4x＋3＝0，即(x＋2)2＋y2＝12，圓心坐標(biāo)為(－2,0)，半徑為1.所以兩圓圓心距為4，兩圓半徑和為3.因為4＞3，所以兩圓的位置關(guān)系是外離，故兩圓的公切線共有4條．故選D.]2．(2019·揭陽模擬)若圓x2＋y2＝1與圓x2＋y2－6x－8y－m＝0相切，則m的值為________．－9或11[圓的方程x2＋y2－6x－8y－m＝0可化為(x－3)2＋(y－4)2＝25＋m，其圓心坐標(biāo)為(3,4)，半徑r＝eq\r(25＋m)(m＞－25)．若兩圓外切，則eq\r(25＋m)＋1＝5，解得m＝－9；若兩圓內(nèi)切，則eq\r(25＋m)－1＝5，解得m＝11.]⊙考點3直線與圓的綜合問題直線與圓的綜合問題的求解策略(1)利用解析幾何的基本思想方法(即幾何問題代數(shù)化)，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)的計算，使問題得到解決．(2)直線與圓和平面幾何聯(lián)系十分緊密，可充分考慮平面幾何知識的運(yùn)用，如在直線與圓相交的有關(guān)線段長度計算中，要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長度放到一起綜合考慮．已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點．(1)求k的取值范圍；(2)若eq\o(OM,\s\up8(→))·eq\o(ON,\s\up8(→))＝12，其中O為坐標(biāo)原點，求|MN|.[解](1)由題設(shè)可知直線l的方程為y＝kx＋1.因為直線l與圓C交于兩點，所以eq\f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))<1，解得eq\f(4－\r(7),3)<k<eq\f(4＋\r(7),3).所以k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－\r(7),3)，\f(4＋\r(7),3))).(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．將y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝eq\f(41＋k,1＋k2)，x1x2＝eq\f(7,1＋k2).eq\o(OM,\s\up8(→))·eq\o(ON,\s\up8(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq\f(4k1＋k,1＋k