指數(shù)6種常見(jiàn)考法歸類(lèi)

4.1指數(shù)6種常見(jiàn)考法歸類(lèi)1、n次方根，根式（1）a的n次方根的定義一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.（2）a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符號(hào)a的取值范圍n為奇數(shù)eq\r(n,a)Rn為偶數(shù)±eq\r(n,a)[0，＋∞)（3）根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)．注：（1）根據(jù)n次方根的定義，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)a，都存在n次方根，可表示為eq\r(n,a)，但當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)不是，因?yàn)楫?dāng)a<0時(shí)，a沒(méi)有n次方根；當(dāng)a≥0時(shí)，a才有n次方根，可表示為±eq\r(n,a).（2）正數(shù)a的n次方根不一定有兩個(gè)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的n次方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)a的n次方根只有一個(gè)且仍為正數(shù)．（3）若實(shí)數(shù)a的任何次方根都等于它自身，則a＝0或1.2、根式的性質(zhì)根式的性質(zhì)是化簡(jiǎn)根式的重要依據(jù)(1)負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根．(2)0的任何次方根都是0，記作eq\r(n,0)＝0.(3)(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)．(4)eq\r(n,an)＝a(n為大于1的奇數(shù))．(5)eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n為大于1的偶數(shù))．注：根式化簡(jiǎn)開(kāi)偶次方根時(shí)應(yīng)注意開(kāi)偶次方根時(shí)，先用絕對(duì)值表示開(kāi)方的結(jié)果，再去掉絕對(duì)值號(hào)化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)時(shí)要結(jié)合條件或分類(lèi)討論．3、eq\r(n,an)與(eq\r(n,a))n區(qū)別：(1)eq\r(n,an)是實(shí)數(shù)an的n次方根，是一個(gè)恒有意義的式子，不受n的奇偶限制，但這個(gè)式子的值受n的奇偶限制：當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a；當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|.(2)(eq\r(n,a))n是實(shí)數(shù)a的n次方根的n次冪，其中實(shí)數(shù)a的取值由n的奇偶性決定：當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，(eq\r(n,a))n＝a，a∈n為大于1的偶數(shù)時(shí)，(eq\r(n,a))n＝a，a≥0，由此看只要(eq\r(n,a))n有意義，其值恒等于a，即(eq\r(n,a))n＝a.4、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（1）規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)．（2）規(guī)定正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)．（3）0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．注：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不可以理解為eq\f(m,n)個(gè)a相乘．事實(shí)上，它是根式的一種新寫(xiě)法．5、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，即：(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．(4)拓展：eq\f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q)．6、無(wú)理數(shù)指數(shù)冪一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α是無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪．7、對(duì)于eq\r(n,a)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，要注意兩點(diǎn)(1)只有a≥0才有意義．(2)只要eq\r(n,a)有意義，eq\r(n,a)必不為負(fù)．8、有限制條件根式的化簡(jiǎn)(1)有限制條件根式的化簡(jiǎn)問(wèn)題，是指被開(kāi)方數(shù)或被開(kāi)方的表達(dá)式可以通過(guò)配方、拆分等方式進(jìn)行化簡(jiǎn)．(2)有限制條件根式的化簡(jiǎn)經(jīng)常用到配方的方法．當(dāng)根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，在利用公式化簡(jiǎn)時(shí)，要考慮被開(kāi)方數(shù)或被開(kāi)方的表達(dá)式的正負(fù)．9、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律(1)根指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開(kāi)方數(shù)(式)的指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子．(2)在具體計(jì)算時(shí)，通常會(huì)把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題．10、指數(shù)冪運(yùn)算的常用技巧(1)有括號(hào)先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)先進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算．(2)負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，要先化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．11、利用整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)整體代換法是數(shù)學(xué)變形與計(jì)算常用的技巧方法，分析觀察條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活運(yùn)用恒等式是關(guān)鍵．(2)利用整體代換法解決分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的計(jì)算問(wèn)題，常常運(yùn)用完全平方公式及其變形公式．x2＋x－2＝(x±x－1)2?2，x＋x－1＝(±)2?2，＋＝(±)2?2.考點(diǎn)一由根式的意義求范圍考點(diǎn)二利用根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)或求值考點(diǎn)三有限制條件的根式的化簡(jiǎn)考點(diǎn)四根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化考點(diǎn)五利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值考點(diǎn)六整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪考點(diǎn)一由根式的意義求范圍1．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）二次根式成立的條件是（

）A． B． C． D．是任意實(shí)數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的意義可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?故選：C.2．（2023秋·新疆喀什·高一新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)根式的定義求解．【詳解】∵根指數(shù)為6，∴，∴．故答案為：．3．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）若有意義，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)根式、冪的定義判斷．【詳解】由題意可知，且，∴a的取值范圍是且．故選：B．考點(diǎn)二利用根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)或求值4．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)10(3)(4)【分析】利用根式的性質(zhì)逐一對(duì)（1）（2）（3）（4）中各式化簡(jiǎn)即可.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）.5．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)(2)2(3)(4)(5)【分析】根據(jù)根式的含義及化簡(jiǎn)，一一解答各小題，即可求得答案,【詳解】（1）由題意得；（2）（3）（4）由于，則，故；（5）.6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）.【答案】/【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)即可求解.【詳解】,故答案為：7．（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可得出.【詳解】.故選：A.8．（2023秋·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）計(jì)算下列各式：(1)；(2).【答案】(1)2；(2)；【分析】（1）根據(jù)根式與指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)無(wú)理數(shù)分母有理化化簡(jiǎn)求值；【詳解】（1）；（2）==9．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若，求的取值范圍．【答案】【分析】化簡(jiǎn)方程左邊根式，解絕對(duì)值方程，即可求出的取值范圍.【詳解】由題意，∵，由可知，∴．故a的取值范圍為．10．（2023秋·江蘇宿遷·高一泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）若，則.【答案】【分析】利用化簡(jiǎn)，并去絕對(duì)值求出答案.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：考點(diǎn)三有限制條件的根式的化簡(jiǎn)11．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，化簡(jiǎn)二次根式的值是【答案】.【分析】利用根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).【詳解】由可知，，又，所以，所以，所以.故答案為：.12．（2023秋·江蘇南通·高一江蘇省如東高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）是某三角形三邊的長(zhǎng)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，可得出m的取值范圍，進(jìn)一步計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，5，m是某三角形三邊的長(zhǎng)，所以，即，所以.故選：D.13．（2023秋·高一單元測(cè)試）當(dāng)有意義時(shí)，化簡(jiǎn)的結(jié)果是．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的定義和性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由有意義，得．所以．故答案為：14．【多選】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若，化簡(jiǎn)的結(jié)果可能（

）A． B．. C． D．【答案】AC【分析】解不等式求的范圍，結(jié)合根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)代數(shù)式即可【詳解】由化簡(jiǎn)可得，所以，所以或，又，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故選：AC.15．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則的值是．【答案】0【分析】化簡(jiǎn)根式為，結(jié)合題設(shè)可知，從而判斷，即可求得答案.【詳解】由題意可知，故，由于，故二者中一個(gè)為1，另一個(gè)為，即，故，即，故答案為：016．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知，求【答案】【分析】根據(jù)絕對(duì)值、平方及二次根式的意義可求的值，從而可得答案．【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所以，故答案為：．考點(diǎn)四根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化17．（2023秋·北京·高一校考期中）將化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義及運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】.故選：A18．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式（）：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化公式，結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算法則對(duì)（1）（2）（3）進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）；（2）（3）．19．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）把下列各式中的寫(xiě)成負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）（2）（3）利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【詳解】（1），；（2），；（3），．20．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式（式中的字母均為正實(shí)數(shù)）：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）（2）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式的關(guān)系進(jìn)行求解；（3）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式的關(guān)系和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算出答案.【詳解】（1）（2）（3）21．【多選】（2023秋·福建福州·高一閩侯縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)根指數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)化簡(jiǎn)即可.【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，故B正確；對(duì)C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，故D正確.故選：BD考點(diǎn)五利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值22．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）化簡(jiǎn)（式中的字母均為正實(shí)數(shù)）：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)6.【分析】（1）（2）利用指數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算得解.【詳解】（1）.（2）.23．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）化簡(jiǎn)（式中的字母均為正實(shí)數(shù)）：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【分析】根據(jù)有理指數(shù)冪的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】（1）解：根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可得.（2）解：根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可得.（3）解：根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可得.（4）解：根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可得.（5）解：根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可得.（6）解：根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可得.（7）解：根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可得.（8）解：根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可得.24．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）計(jì)算下列各式（式中字母都是正數(shù)）：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，求解各小題，即得答案.【詳解】（1）；（2）．25．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）.【答案】【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及根式的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】解：.故答案為：26．（2023秋·高一單元測(cè)試）計(jì)算：.【答案】100【分析】利用指數(shù)冪運(yùn)算公式計(jì)算即可.【詳解】原式＝.27．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）化簡(jiǎn)與求值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算即可得到答案；（2）根據(jù)根式與指數(shù)轉(zhuǎn)化計(jì)算即可.【詳解】（1）（2）28．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)(2)100(3)3(4)【分析】由指數(shù)冪的運(yùn)算規(guī)則，化簡(jiǎn)計(jì)算各式的值.【詳解】（1）原式.（2）原式.（3）原式.（4）原式.29．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算下列各式的值.(1)(2)(3)(4)；(5).(6)計(jì)算：；(7)（，）.【答案】(1)(2)2(3)18(4)100(5)4(6)(7)【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則和根式運(yùn)算法則計(jì)算出答案.【詳解】（1）（2）（3）.（4）.（5）（6）.（7）.考點(diǎn)六整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（2023秋·江蘇南京·高一南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）化簡(jiǎn)：；（2）已知，分別求，的值.【答案】（1）；（2）3，18.【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）由完全平方公式得到，即可求出，再由立方和公式計(jì)算可得.【詳解】（1）；（2）因?yàn)?，所以，由，可得；所?31．（2023秋·江蘇徐州·高