二次函數(shù)知識點總結(jié)及相關(guān)典型題目2008.12.8

二次函數(shù)知識點總結(jié)及相關(guān)典型題目2008.12.8二次函數(shù)知識點總結(jié)及相關(guān)典型題目一．基礎知識1.定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).2.二次函數(shù)的性質(zhì)（1）拋物線的頂點是坐標原點，對稱軸是軸.（2）函數(shù)的圖像與的符號關(guān)系.①當時拋物線開口向上頂點為其最低點；②當時拋物線開口向下頂點為其最高點.（3）頂點是坐標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函數(shù)的圖像是對稱軸平行于（包括重合）軸的拋物線.4.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①；②；③；④；⑤.6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.①的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.②平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法（1）公式法：，頂點是，對稱軸是直線.（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.（3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.9.拋物線中，的作用（1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.（2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：①時，對稱軸為軸；②（即、同號）時，對稱軸在軸左側(cè)；③（即、異號）時，對稱軸在軸右側(cè).（3）的大小決定拋物線與軸交點的位置.當時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點（0，）：①，拋物線經(jīng)過原點;②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負半軸.以上三點中，當結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則.10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標當時開口向上當時開口向下（軸）（0,0）（軸）(0,)(,0)(,)()11．a(chǎn),b,c,b2-4ac,a+b+c,a-b+c等符號的確定12．二次函數(shù)值恒正或恒負的條件：恒正的條件：a＜0且；恒負的條件：a＞0且。13．拋物線的平移規(guī)律：①在頂點式的基礎上---“左加右減，上加下減”。②在一般式的基礎上---14．兩拋物線關(guān)于坐標軸對稱的條件：拋物線關(guān)于x軸對稱的解析式：拋物線關(guān)于x軸對稱的解析式：15.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：.已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式.（2）頂點式：.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.（3）交點式：已知圖像與軸的交點坐標、，通常選用交點式：.16．二次函數(shù)的最值問題(1)公式法:y=ax2+bx+c中,當a>0時,x=___________,y最小=___________;當a<0時,x=___________,y最大=___________.(2)配方法:y=a(x-h)2+k,若a>0,當x=___________,y最小=___________;若a<0,當x=___________,y最大=___________.17.直線與拋物線的交點（1）軸與拋物線得交點為(0,).（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,).（3）拋物線與軸的交點二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：①有兩個交點拋物線與軸相交；②有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；③沒有交點拋物線與軸相離.（4）平行于軸的直線與拋物線的交點同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為，則橫坐標是的兩個實數(shù)根.（5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點，由方程組的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點;②方程組只有一組解時與只有一個交點；③方程組無解時與沒有交點.（6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故二．典型題目一、選擇題1．拋物線y=x2+2x-3與x軸的交點的個數(shù)有()A.0個B.1個C.2個D.3個2．二次函數(shù)y=(x-1)2+2的最小值是()A.-2B.2C.-1D.13．用配方法將二次函數(shù)y=3x2-4x-2寫成形如y=a(x+m)2+n的形式,則m,n的值分別是()A.m=,n=B.m=-,n=-C.m=2,n=6D.m=2,n=-24．關(guān)于x的一元二次方程x2-x-n=0沒有實數(shù)根,則拋物線y=x2-x-n的頂點在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限5．拋物線可由拋物線（）而得到。A．先向左平移2個單位，再向下平移1個單位；B．先向左平移2個單位，再向上平移1個單位；C．先向右平移2個單位，再向下平移1個單位；D．先向右平移2個單位，再向上平移1個單位。6．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如右上圖所示，給出以下結(jié)論：①a+b+c<0；②a-b+c<0；③b+2a<0；④abc>0；⑤其中所有正確結(jié)論的序號是（）A．②③④B．②③⑤C．①④⑤D．①②③7．①②③④yxyx1O－1O－3A．①B、②C、③D、④8．A．；B．若y＝0，則與x軸的交點是（－1，0），（3，0）；C．y隨x的增大而減小的自變量x的范圍是：x＞1；D．若y0，則x的取值范圍是：x＜－1或x＞39．小明、小亮、小梅、小花四人共同探討代數(shù)式x2－4x+5的值的情況．他們作了如下分工：小明負責找其值為1時的x的值，小亮負責找其值為0時的x的值，小梅負責找最小值，小花負責找最大值，幾分鐘后，各自通報探究的結(jié)論，其中錯誤的是（）A．小明認為只有當x=2時，x2－4x+5的值為1B．小亮認為找不到實數(shù)x，使x2－4x+5的值為0C．小梅發(fā)現(xiàn)x2－4x+5的值隨x的變化而變化，因此認為沒有最小值D．小花發(fā)現(xiàn)當x取大于2的實數(shù)時，x2－4x+5的值隨x的增大而增大，因此認為沒有最大值10.拋物線的頂點坐標在第三象限，則的值為（）A．B．C．D．．11．已知二次函數(shù)y=3(x-1)2+k的圖象上有A(,y1)、B(2,y2)、C(-,y3)三個點,則y1、y2、y3的大小關(guān)系為()A.y1>y2>y3B.y2>y1>y3C.y3>y1>y2D.y3>y2>y1A.過點(3,0)B.頂點為(2,-2)C.在x軸上截得的線段長是2D.與y軸的交點是(0,3)13．如圖函數(shù)y=ax2-bx+c的圖象過點(-1,0),則的值是()A.-3B.3C.-1D.114．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下面結(jié)論:(1)a+b+c<0;(2)a-b+c>0;(3)abc>0;(4)b=2a.其中正確的結(jié)論有()A.4個B.3個C.2個D.1個15．二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象在x軸的上方的條件是（）A．a(chǎn)＞0，b2－4ac＞0 B．a(chǎn)＞0，b2－4ac＜0C．a(chǎn)＜0，b2－4ac＞0 D．a(chǎn)＜0，b2－4ac＜01617．已知拋物線y=ax2＋bx＋c，如圖所示，則x的方程ax2＋bx＋c－3=0的根的情況是（）A．有兩個不相等的正實根B．有兩個異號實數(shù)根C．有兩個相等實數(shù)根D．沒有實數(shù)根18．下列四個函數(shù)：①y=x＋1；②y=；③y=－x2；④y=2x（－1≤x≤2）．其中圖象是中心對稱圖形，且對稱中心是原點的共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個19．已知函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，關(guān)于系數(shù)a、b、c有下列不等式：①a＜0；②b＜0；③c＞0；④2a＋b＜0；⑤a＋b＋c＞0．其中正確個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個20．已知二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，那么下列判斷正確的是（）（多選）A．a(chǎn)bc＞0 B．b2－4ac＞0C．2a＋b＞0 D．4a－2b＋c＜021．如圖，二次函數(shù)y=x2－4x＋3的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，則△ABC的面積為（）A．6 B．4 C．3 D．122．函數(shù)y=ax2與y=ax＋a（a＜0＝在同一直角坐標系中的圖象大致是（）23．一臺機器原價為60萬元，如果每年的折舊率為x，兩年后這臺機器的價位為y萬元，則y與x之間的函數(shù)表達式為（）A．y=60（1－x）2 B．y=60（1－x）C．y=60－x2 D．y=60（1＋x）224．拋物線y=x2＋ax＋b向左平移2個單位再向上平移3個單位得到拋物線y=x2－2x＋1，則（）A．a(chǎn)=2，b=－2 B．a(chǎn)=－6，b=6C．a(chǎn)=－8，b=14 D．a(chǎn)=－8，b=18二、填空題1．拋物線y=3(x+4)(x-2)與x軸的兩交點坐標為_________,與y軸的交點坐標為___________.2．已知拋物線y=x2＋（m－1）x－的頂點的橫坐標是2，則m的值是 ．3．二次函數(shù)y=x2－2x＋3的最小值是 ．4．拋物線y=x2－2x＋a2的頂點在直線x=2上，則a的值是 ．5．二次函數(shù)y=－x2＋6x－5，當時，，且隨的增大而減小。6．已知二次函數(shù)y=x2＋（a－b）x＋a的圖象如圖所示，那么化簡的結(jié)果是7．若一拋物線y=ax2與四條直線x=1，x=2，y=1，y=2圍成的正方形有公共點，則a的取值范圍是 ．8．把拋物線y=2x2－4x－5向左又向上分別移動4個單位，再繞頂點旋轉(zhuǎn)180°，則所得新的圖象的表達式是 ．9．請你寫出函數(shù)y=3（x－1）2與y=x2－1具有的一個共同性質(zhì) ．10．拋物線y=x2－（2m－1）x－2m與x軸的兩個交點坐標分別為A（x1，0），B（x2，0），且=1，則m的值為 ．11．拋物線與直線在同一直角坐標系中，如圖所示．點P1（x1，y1），P2（x2，y2）均在拋物線上，點P3（x3，y3）在直線上，其中－2＜x1＜x2，x3＜－2，則y1、y2、y3的大小關(guān)系為 ．12．如圖，已知一次函數(shù)y=－2x＋3的圖象與x軸交于A點，則y軸交于C點，二次函數(shù)y=x2＋bx＋c的圖象過點C，且與一次函數(shù)在第二象限交于另一點B．若AC：CB=1：2，那么這個拋物線的頂點坐標是 ．三、解答題1．已知拋物線y=x2－（a＋2）x＋12的頂點在x=－3上，求a的值及頂點的坐標．2．已知二次函數(shù)y=x2－x－6．（1）求二次函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標及頂點坐標；（2）畫出函數(shù)圖象；（3）觀察圖象，指出方程x2－x－6=0的解及使不等式x2－x－6＜0成立的x的取值范圍；（4）求二次函數(shù)圖象與坐標軸交點所構(gòu)成的三角形面積．3．如圖所示，一單杠高2．2m，兩立柱之間的距離為1．6m，將一根繩子的兩端栓于立柱與鐵杠結(jié)合處，繩子自然下垂呈拋物線狀．（1）一身高0．7m的小孩站在離立柱0．4m處，其頭部剛好碰到繩子，求繩子最低點到地面的距離；（2）為供孩子們打秋千，把繩子剪斷后，中間系一塊長為0．4m的木板，除掉系木板用去的繩子后，兩邊的繩子長正好各為2m，木板與地面平行，求這時木板到地面的距離．（供選用數(shù)據(jù)：=1．8，≈1．9，≈2．1）4．已知拋物線y=x2－2mx＋m＋2的頂點在坐標軸上，直線y=3x＋b經(jīng)過拋物線的頂點，求直線與兩條坐標軸圍成的面積．5．已知二次函數(shù)y=2x2-mx-m2.(1)求證:對于任意實數(shù)m,該二次函數(shù)圖象與x軸總有公共點;(2)若該二次函數(shù)圖象與x軸有兩個公共點A、B,且A點坐標為(1,0),求B點坐標.6．如圖1是泰州某河上一座古拱橋的截面圖,拱橋橋洞上沿是拋