2015年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷及解析（理科）

2015年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、逸界JK：本大JB共10小題,每小愿5分，共50分.在■小題蛤出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1、（5分）1為虛數(shù)單位，仔'的共扼乂數(shù)為《>

A.IB.-IC.1D,-1

2、（5分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名善《九申算術(shù)》〃“米谷粒分"盟：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收觸，U

人送來(lái)米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷.抽樣取米?把.數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒.則

這批米內(nèi)夾谷均為（）

A.134石8.169石C,338石D.1365石

3、（5分）己知（l*x）”的喔開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，劇奇數(shù)

項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（）

A.2UB.211C.2100.29

4、（S分）設(shè)X-N（內(nèi)?O?）.Y-N（內(nèi).。/），這兩個(gè)正態(tài)分仔街度曲線如圖

所東、下列結(jié)論中正確的是（）

A,P（丫2內(nèi)>2PB、P（X^o2>WP（XSoi）

C,對(duì)任意正數(shù)3P（XCt）CP（YS?t）D、對(duì)任中正數(shù)t?P（X刁t）CP（Y

5.<S分）設(shè)ai>a2.anGR.n^3.若p：a,.a3........a”成等比數(shù)列；q：

2222

（ai*a/*...*aP./）（aAaJ+..+an>=（awa2ao3n.i7）,Ml（>

A.p是q的充分條件，但不是q的必要條件

B、p是q的必要條件，但不足q的充分條件

C、p是q的充分必要條件

D、p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件

1.i>0

6.(5分)已知符號(hào)函數(shù)sgnx=0,,=0,f(x)是R上的增函數(shù)，g<x)-f

-1,x<0

(x)-f?ax>(a>U.則()

A.sgn[g(x>>sgnxB.sgnLg(x)]=-sgnxC、sgnlg<x)；=sgn[f(x)]

0.sgnLg<x>]?-sgnf<x)

7、(5分)在區(qū)間10,L上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x.Y.記&為事件“ky4的根*.

2

P2為事件"x-yy的慨率，P3為事件"邛《《"的宰.則()

22

A.P><P2<P<B,PJ<P1<PIC.P1VP1VP?D、PJ<PJ<P)

8.(5分)將離心率為e1的雙曲線0的實(shí)半軸長(zhǎng)aHl虛華軸長(zhǎng)b(aHb)同時(shí)增

加rn(m>0)個(gè)梁位長(zhǎng)度，得到離心率為e?的雙曲段則()

A.對(duì)任意的a.b.et>e；

B.當(dāng)a>b時(shí).。*>外：當(dāng)aVb時(shí)..〈e?

C、時(shí)任意的a,b.為〈已

D,當(dāng)a>b時(shí),ei<e2：當(dāng)aVb時(shí)，ej>e2

9、<S分)已知集合A='|(x,y)x,y€Z1.B=《(x,y)xW2,

v\S2,x.yCZl.定義集合A+B=(xi+xj.y”2>5.yj)€A.(XZ?

￡B},則A十B中元末的個(gè)數(shù)為()

A、77B、49C.45D、30

10.45分)改xGR,[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)、并存在實(shí)數(shù)t,使得㈤=1?

十卜2.…MknM時(shí)成立，則正整數(shù)n的最大值是()

A、3B、4C.5D、6

二、澳空題，本大J?共4小?，考生/作答5小題，每小題S分.共25分、埔

將答案埴在答?卡對(duì)應(yīng)fll號(hào)的位犬上、琴儲(chǔ)位置,書(shū)寫(xiě)不清.樓械兩可均不■

分、

11、(5分)已知向量加屈，0A=3.則演?顯.

12、(5分)函數(shù)f(x)=4cos?-^cos<--x)-2sinx-In(x+l)」的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

22

為、

13、（5分》如圖，一輛汽車(chē)布條水平的公路上向正西行駛.到A處時(shí)測(cè)得公

路北網(wǎng)-山頂D荏西偏北30?的方向匕行駛600m后到達(dá)B處,測(cè)得北山頂在

西偏北75?的方向上，仰角為30。則此山的高曖CD=m.

14、（5分）如圖，閩C與x軸相切于點(diǎn)T（1，0）,與y軸正半軸交千兩點(diǎn)A,B

（B在A的上萬(wàn)），旦AB=2、

（1）齪C的標(biāo)準(zhǔn)方程為,

（2）過(guò)點(diǎn)A任作■條直線9削O：相交戶M?N兩點(diǎn)，卜列三個(gè)結(jié)論：

哨端：嘴■$；嘲儡"

其中止確結(jié)論的序號(hào)是、（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

選修4-L幾何證明選講

15、＜5分）如圖，PA足圓的切線，A為切點(diǎn)，PBC是園的朝線.11BC=?PB.則

—AB—.、

AC--------

選修4Y:坐標(biāo)又與?效方程

16、在宜用坐標(biāo)系xOy'3以0為極點(diǎn)，x岫的小半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.d

x=t-―>

知直.線I的極坐標(biāo)方程為P（即6-38犯）=0,曲線C的解物方程為（t

y=t+y

為參數(shù)），I與C相交尸A.B兩點(diǎn),則AB=、

三、解答flb本大題共6小愚，共75分、解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演

售步?、

17、（11分〉某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)f（x>=Asin<wx>4>'（w>0,6<—）

在某個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí),列表并埴入」.部分?jǐn)?shù)據(jù),如表:

巾07Tn3n2n

T~2~

XK5n

T

Asin(u)x*4))05-50

（1）請(qǐng)將上衣數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,填寫(xiě)在相應(yīng)位巴，并直接寫(xiě)出由數(shù)f（x）的解析

式：

（2）將y=f<x）圖象I:所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)9<。>0）個(gè)單位長(zhǎng)度.得到y(tǒng)=g

（x）的圖象、若y=g（八圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（居.0）.求。的最小值、

18、（12分）設(shè)等差數(shù)列（aj的公差為d.前n項(xiàng)和為S.,等比數(shù)列｛bj的公比

為q,已知bi=3j?bj=29q=d,Sio=lOO*

（1）求數(shù)列［即｝,<b力的通項(xiàng)公式

（2）當(dāng)d>l時(shí),記酬善,求教列&的前n項(xiàng)和L、

19、（12分）《九京算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條M柱與底面垂F［的四樓

俳稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面布為直角三角形的四面體稱之為於髓，如圖.在陽(yáng)馬P

-ABCD中，側(cè)極PD1底而A6CD,ILPD=CD,過(guò)快PC的中點(diǎn)E.作EFPB交

PB「點(diǎn)F,連接DE.DF,3D,BE,

（1）證明：PBL平面DEF.試劃斷四面體DBEF是否為核懦.若是.寫(xiě)出其每個(gè)

面的直角（只需寫(xiě)出結(jié)論）；若不是，說(shuō)明理由：

（2）若向DEF與的ABCD所成.?面用的人小為與未吉的（fi、

20、（12分）某廠用鮮牛奶在某臺(tái)設(shè)備上生產(chǎn)A.B兩種奶制叢.生.產(chǎn)1噸A產(chǎn)

品需鮮牛奶2噸,使用設(shè)備1小時(shí),獲利1000元：生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需鮮牛粉1.5

噸，使用設(shè)符1.5小時(shí),獲利1200元、要求每天B產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過(guò)A產(chǎn)品產(chǎn)

后的2倍,設(shè)番每天生產(chǎn)A.B兩種產(chǎn)品時(shí)間之和不超過(guò)12小時(shí)、腹定留大可

獲取的鮮牛奶數(shù)妣W（唯位：噸）是一個(gè)隨機(jī)變址,加分布列為

W121518

P0.30.50.2

該廠每天根據(jù)茯取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn).使其獲利最大,因此卦大的最大獲利

Z（單位：元）是一個(gè)隨機(jī)變量、

（1）求Z的分6列和均值：

（2）若每天可獲取的鮮牛奶致量相互獨(dú)立，求3天中至少有1天的最大獲利超

過(guò)1800元的概率、

21、（14分）一稗畫(huà)橢圓的工具如圖1所示、。是滑槽AB的中.也.短桿ON可

斑。轉(zhuǎn)動(dòng).氏桿MN逋過(guò)N處淺鏈呵ON連接.MN上的栓丁D可沿洛梢AB曲

動(dòng)，HDN=ON=1.MN=3.當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí).帶動(dòng)N燒。轉(zhuǎn)

M.M處的巖尖畫(huà)出的柚網(wǎng)記為C.以0為原點(diǎn),AB所在的汽線為x粕建立.如

圖2所示的平面亶角坐標(biāo)系.

⑴求楠BIC的方程:

<2）設(shè)動(dòng)向線I，網(wǎng)定汽線hix-2y=0和加x+2y=0分別交于P.。西點(diǎn)、若

直線與橢felC有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探優(yōu):AOPQ的面枳是否存在鼠小值?

若存在.求出該/小假:若不存在.說(shuō)明理由、

/A?.

4/7DOBZDIOx

（國(guó)“￡21

22、（14分）已知數(shù)列EJ的各頊均為止數(shù).b產(chǎn)n<1*1），<,ineN.）,e為f|

n

然對(duì)數(shù)的底數(shù).

?1）求函數(shù)f（x）=l+X-e,的單調(diào)區(qū)間，并比較（1+1）nljQ的大?。?/p>

n

b.b.b^Kb2bb,b-b?

（2）計(jì)肆一L.-----------1.由此推酒計(jì)算」^0_L的公式,并給出證明:

<t,

a（"a2a〔a”3a1a2an

X

n

（3）令“匕遍2.?&）.數(shù)列刀力，Co的前n項(xiàng)和分搟記為工，Tnt證明：

J?Sc、

參考答案與試題解析

一、選界JL本大屆共1。小屆.每小U5分，共5。分.在年小■給出的四個(gè)選

現(xiàn)中，只有一項(xiàng)是苻合題目要求的.

1、（5分）i為虛數(shù)單位，嚴(yán)'的共施復(fù)數(shù)為《>

A、IB.-IC.1D.-1

題目分析?直接利用復(fù)數(shù)的單位的學(xué)運(yùn)算求髀即，必

試題解答限i87=*y=-i.

它的共扼巨數(shù)為：八

故選；A.

點(diǎn)評(píng)?本胭考古屯池的基本運(yùn)算，復(fù)式單位的軸運(yùn)品以及共規(guī)登數(shù)的知識(shí)，基本

知識(shí)的考杳、

2、（S分）我國(guó)占代數(shù)學(xué)幺*《九章。術(shù)》有“米谷粒分”鹿：植倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收帔，有

人送來(lái)米1534分.驗(yàn)得米內(nèi)夾谷?抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒.則

這批米內(nèi)央谷約為（）

A.134石8.169石C,338石D.136S石

?目分析：根據(jù)254粒內(nèi)火谷28粒.可得比例，即可得出結(jié)論.

試?解答解：由題意,這批米內(nèi)火谷約為15Mx尊和169行.

254

故選：B.

點(diǎn)叫本題考音利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.號(hào)查學(xué)生的計(jì)算能力?比較基礎(chǔ)、

3,（5分）H知（1+X）0的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系蟄相等,則奇數(shù)

項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為《）

A、212B、2liC.210D、29

J1目分析，直接利用項(xiàng)式定理求出c.然后利用.項(xiàng)式定理系數(shù)的性版求if；結(jié)

果即可、

試?解答解：已知（1-X）?'的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的.理式系數(shù)相等.

可得降C%可得-3+7=10、

(l，x>m的松開(kāi)式中奇數(shù)亞的二項(xiàng)式系數(shù)租為；1X21Q=2\

故選：D,

點(diǎn)坪：本即寺杏一項(xiàng)式定理的應(yīng)用，組合數(shù)的形狀的應(yīng)用?考許履本知識(shí)的靈活

運(yùn)用以及計(jì)尊能力、

4,(5分)設(shè)X-N(g：.o?).Y-N(R,0?).這西個(gè)正態(tài)分布新，更曲線如圖

A.P(Y>山)2P(Y-內(nèi))B.P(X(6)<P(XWoJ

C、對(duì)任感正數(shù)3P(XWt>2P<Y=?t>0、對(duì)任總正數(shù)t,P(X^t)2P(Y

2t)

黑目分析i直接利用正態(tài)分布曲線的特征,集合慨幸，直接判斷即可、

試?解答解：正態(tài)分人密度曲線圖象關(guān)于x=U對(duì)稱.所以內(nèi)Vr.從圖中容易得

到P(XCt)2P(YWt>、

點(diǎn)髀?本題芍直了正態(tài)分布的圖象與性痂，學(xué)習(xí)正態(tài)分布，?定要緊緊抓住平均

數(shù)”和標(biāo)準(zhǔn)差。這兩個(gè)關(guān)鍵量,結(jié)合正態(tài)曲線的圖形特征，『1納正態(tài)曲線的性質(zhì)、

5,(S分)設(shè)a：.a2*a?GR.c33、若p：aP6.......a”成等比數(shù)列：q：

222

1ai*a/*..janJ)(aZ-a/t-Ja,)=}an>.Ml<)

A.pftq的充分條件,但不是q的必要條件

B>p是q的必要條件，但不是q的充分條件

。p是q的充分。要條件

D、P既不是q的充分條件，也不是q的必，及條件

總目分析：運(yùn)用柯西不第式.可祠：(a臼a戶...冏/)(apa/Jd"?

儲(chǔ)冏“聲3+._+*.向)？?博論等號(hào)成立的條件,結(jié)介等比數(shù)列的定義和充分必

g條件的定義，即可得到、

仄題解答灌：由a”?(?“?，a?i*=R?n*'3.

運(yùn)用何西不等式.可得，

(a/'a/JA/)(ajnjjta/)妾(a】a”a2a3m「兩)’?

若力,...，防成等比數(shù)列，即有上巴…

ala2?n-l

J

則《aj，aj*...a.J>(a/+a/+..ja/)=(aiapaaar..zan.ian).

即的p推得q,

但由q推不到p,比如a產(chǎn)a產(chǎn)a產(chǎn)…=an=O，則a「a?,…?品不成等比數(shù)列'

故P是q的充分不必要條件、

故選：A.

點(diǎn)理?本￡8考包充分必要條件的判斷，同時(shí)號(hào)倉(cāng)等比數(shù)列的定義，注.鉆運(yùn)用定義

法和柯西不等式解題是關(guān)道、

1x>0

6.(5分)已知符號(hào)函數(shù)sgnx=0,x=0,f(x)是R上的增函數(shù)，g(x)=<

-1.x<0

(x)-f<ax)(a>l),則()

A.sgn[g(x>.=sgnxB.ignLg(x)]=-sgnxC,sgn[g<x).=sgn[f(x)]

D.sgni'g(x)1=-sgn-f(x)1

■目分析：直接利用特殊法，設(shè)出函數(shù)f(x),以及a的值,判斷選項(xiàng)即可、

[1.x>0

■J■解答解：由于本題是選撲電，可以采用特殊法，符號(hào)函數(shù)sgnx=0,x=0，

[-1,x<0

f(x)是R上的培函數(shù),g<K)=f(x)-f(ax)(a>l).

不妨令f(x)=x.a=2.

g<x>=f(x)-f(ax>=-x.

sgnlg<x)]?-sgnx,所以A不正確，B正確,

$gn[f(x)]=&gnx,C不正確：D正確：

對(duì)于D,令f(x)?xT,a-2.

RiJg(x)=f(x)-f(ax)=-x.

p.x>-l

sgnlf(x)=sgn(xU)=|0.x=-l:

I<-1

[1,x>0

sgn[g<x>J?sgn(-x)0,x=0.

[-1,Y0

-1,x>-l

0.r=-l：所以D不正確：

{1.x<-l

故選：B.

點(diǎn)評(píng)，本咫考查函數(shù)衣達(dá)式的比較.選取特殊值法是解決本題的美德.注意解題

方法的枳黑.屬F中檔題、

7、(5分)在區(qū)間(0,1]1網(wǎng)機(jī)取兩個(gè)數(shù)x.y.記汽為事件Xy號(hào)”的慨率.

P2為事件"x-V?的概率，P,為事件axyS_1?”的概率.則()

A、P1<P2<P>B.P2Vp3VpiC、P3VP1VP2D、Pj<Pa<Pi

題目分析1作出每個(gè)事件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域.求出對(duì)應(yīng)的面積,利用幾何鹿型的母

率公式進(jìn)行計(jì)耳比較即可、

試題解答辨：分別作出事件對(duì)應(yīng)的圖象如圖(陰影部分h

Pl：D(0.-L).F(X0).A(0.1).B(1.1).C<1.0).

則陰影部分的血視31x1Y?0，

22288

5EX-X會(huì)中-衿

!

$，?】吟”小吟i94號(hào)令出，

.,.5j<51<Si.

即P2Vp3<P1，

故選：B.

點(diǎn)價(jià)：本咫主要考ft幾何概型的概率計(jì)酬，利用數(shù)形結(jié)合是解決本期的關(guān)鍵、本

題也可以直接地過(guò)圖象比較而根的大小即可比校大小、

8、(5分)將窩心率為6的雙曲段G的或半軸長(zhǎng)a和鹿羋軸長(zhǎng)b(a，b)同時(shí)增

加m<m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率為ez的雙曲戰(zhàn)J,則()

A.對(duì)仔懿?的a,b.ei>ei

B.當(dāng)a>b時(shí)，ei>e，當(dāng)a〈b時(shí)，ei<e?

C、對(duì)任意的a,b,e,<e2

D、當(dāng)a>b時(shí).ej<e2：當(dāng)a〈b時(shí).es>e2

M目分th分別求出雙H線的離心率，再平方作差,即可得山結(jié)論、

試題解答解：由題意，雙曲線Q：/“?+*,.上；

a

雙曲線C”c'<a-m>(b+m>2,e?X')Fbtm)1

a+m

二.22-b'_(bE)J(b-a)(Tabgitbm'+am?)

C，"a2(a+m)2a2(a+n))2

.?.當(dāng)a>b時(shí)，。1>念：當(dāng)a<b時(shí).ei<e2.

故選：B>

點(diǎn)褥i本題考直雙曲線的性質(zhì).號(hào)宣學(xué)生的計(jì)算能力.比較基冊(cè)、

9.(5分)已知集合A=!<x.v)x.yCZ-.B={(X.y)lx為2,

G

vlW2.x.yGZ}.定義集合A+B-'5+x”丫葉力)<?i?Yi)A.(x2.y2l

￡B),則A@B中元素的個(gè)數(shù)為()

A.778、49C.45D.30

JB目分析i由理意可得，A={<0.0),<0.1),<0.-1),(1.0>,(-1.0).

B={(0.0),(0.1),<0.2).(0,-1),(0.-2),(1,0).(1.1).(1.2)

(1.-1).(1.-2)(2.0).(2.1),(2,2)(2.-1).(2.-2),(-1.

-2).(-1,-1).(-1,0).(-1,1).(-1.2).(-2,-2).(-2,-1).

(-2,01,(-2.1).(-2,2)).根據(jù)定義可求

試題解答姆：解法一：

VA=I(x,y)x.yezl?1<0.0).(0,1).(0,-1).(1,0).<-

30),

B={(x>V)XW2,yW2.x?y€Zr=(<0,0).(0,1),(0,2).(0,-1).

(0.-23,(1.0).(1.1).(1.2)(1.-1).(1.-2>(2.0).(2.1).

(2.2)(2.-1).(2.-2).(-1.-2),<-1.-1).(-1.0).(-1.1).

(-1,2).(-2.-2),(-2,-1).(-2.0>.<-2.1).(-2.2>I

'.'A?B=((Xi+Xj?yi+yj)I(Xi?Yi)EA,(X?.Yi>WB?

.'.AeB={(0,0).(0.1).(0.2).<0.-1).(0.-23(1.0).(1.1).

<1.2)(1.-1).(1.-2)(2.0).(2.1).(2,2>.(2.-1).(2.-2).

(-1.-2),(-1.-1).(-1.0).(-1.1).(-1.2),(?2.-2).(-

2,-1),(-2,0>>(-2,1),(-2.2),

(-2,5).(-2,-3),(0，-3)，(2，-5),(-1,3),<-1.-3),(1，3)，

<2,3).(0,3).<3.-1),(3.0>(3.1).(3.2),(3.-2)(-3.2><-

3.1).(1,-3),(-3,-1).<-3,0).(-3.-2))共45個(gè)元霰：

解法二：

因?yàn)槭Ш螦=；(x?y)x,yezl,所以集合A中fjS個(gè)元來(lái),即圖中

圓中的整點(diǎn)，8=((x.y)xW2,vW2,x,yWZ},中有5X5=25個(gè)元素,

即圖中正方形ABCD中的整點(diǎn),A?B={(xi+xj.yj-yj)(xj.vi>WA,<x>.yj)

的元本可看作正方形AMG5中的整點(diǎn)(除去四個(gè)頂點(diǎn)),即7X74=45

個(gè)、

故選：C.

點(diǎn)河：本咫以新定義為載體，主要考盒了集合的基本定義及運(yùn)算，解題中需要取

得里發(fā)的兀素、

10.（5分）&xWR,：xj表示不超過(guò)X的出大整數(shù)、若存4丈數(shù)t.使得㈤=1.

［t2］-2....?［t°］=n同時(shí)成，匕則正整數(shù)n的最大值班（）

A,38、4C.SD、6

題目分析?由新定義可得t的范圍，驗(yàn)證可得見(jiàn)大的止整數(shù)n為4,

試題解答解：若㈤，1,則勵(lì)出2）.

若曉］-2,則t￡［遍,行）（因?yàn)殡貴1需要同時(shí)成立?則倒區(qū)間自去），

若［產(chǎn)］?3,則tW［炳,a）,

若屋］?4,則tWl/.軻），

若用嗚呵tw［近,幅）,

M?1173^1.732,騎11.587.場(chǎng)=1495.妮=1.431<1.495,

通過(guò)上述可以發(fā)現(xiàn),、'it=4時(shí)，可以找到實(shí)Kit使其在區(qū)網(wǎng)11.2）n［V2.V3）

C［炳，,）2褊,案）上，

但當(dāng)1=5時(shí),無(wú)法找到實(shí)數(shù)t使其在區(qū)間［1?2）nfV2,W）C［加?編）n

SVs>。V?

上，

，正整數(shù)n的最大值4

故選：B.

點(diǎn)用本題號(hào)也簡(jiǎn)單的演絳推理，涉及新定義，械基礎(chǔ)題、

二、填空題：本大■共4小JB,考生》作答5小■,每小■5分，共25分、請(qǐng)

將答案編在答?卡對(duì)應(yīng)J1號(hào)的位亂上、答，位*,書(shū)寫(xiě)不清，模梭兩可均不得

分、

11、（5分）已知向量涼.屈.0A=3.則/?語(yǔ)9、

意目分析?由已知結(jié)合平面向量是數(shù)盤(pán)枳運(yùn)蟀求解答案.

成■解答解：rtlOAlAB-iUOA-AB=O.即尾（OB-OA）=0.

0A=3.

?，-OA-OB=|OA|2=9'

故答案為：9、

點(diǎn)訐：人麹考本了平面向平的數(shù)K枳運(yùn)與，號(hào)杳了向右了的求法,是里礎(chǔ)的計(jì)算

題、

12、(5分)函數(shù)f(x)=4COS2-^COS(-2--x)-2sirw-In(x?lJ!的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

2-、

意目分析，利用：倍用公式化簡(jiǎn)函數(shù)的照析式.求出函數(shù)的定義域,向出函數(shù)的

圖象,求出交點(diǎn)個(gè)交即可、

試題解答解：函數(shù)f(x＞的定義域?yàn)椋骸?/p>

f(X)=4co$2-^co5＜子-x)-25inx-In(x*l)

=2sinx(2cos~y-l)~*n(x-1)

=sin2x-：In(x+1),

分別畫(huà)出函數(shù)y?sin2x,y=In(x*l)的圖象,

由函數(shù)的圖象可知，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2、

所以函數(shù)的零點(diǎn)有2個(gè).

點(diǎn)哪，本題考杳-角滉數(shù)的化簡(jiǎn).函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判蜥.考杳教形結(jié)合與轉(zhuǎn)化

思想的應(yīng)用、

13、(5分)如圖，一輛汽車(chē)在條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公

路北側(cè)…山頂D在西偏北30?的方向上?廳駛600m后到達(dá)B處.測(cè)得此山頂4

西偏北75,的方向匕仰角為30?,則此山的高度_m.

意目分析?設(shè)此山高h(yuǎn)（ml.在ABCD中，利用仰角的正切衣示出BC,進(jìn)而在

AABC中利用正弦定理求得h.

試?解答解：設(shè)此山育h（m）,則BCg.

在Z\ABC中，ZBAC=30*.ZC8A=105*.ZBCA=45*.A8=6D0.

根據(jù)正弦定理得.丐￡-里.

311n30sin45

解得h=100^<m）

故答案為：iooVi,

點(diǎn)評(píng)?本織主嬰考古/W:.地形的實(shí)際應(yīng)用,關(guān)鍵是構(gòu)造:角形.珞各個(gè)己切條

付向這個(gè)主三角形集中，再通過(guò)正弦、余弦定理或其他基本性質(zhì)建立條件之間的

聯(lián)系，列方程或列式求解,

14、（5分）如圖.圓COx軸相切于點(diǎn)T（1.0）.與v軸正手軸交于兩點(diǎn)A,B

（B在A的上方），且AB=2.

（1）%C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1）々（Y-返）2門(mén)：

（2）過(guò)點(diǎn)A任件條直淺與圓6x?T=l相交于M.N四點(diǎn),下列三個(gè)結(jié)論，

叫腓嘴即嘀喘M

其中H確結(jié)論的字號(hào)是①?③、（寫(xiě)出所仃止碼結(jié)論的序號(hào)）

J1目分析?（1）取AB的中點(diǎn)￡,通過(guò)阿C^x觸相切于點(diǎn)T,利用弦心半脛

與半弦長(zhǎng)之間的關(guān)系，計(jì)舞即可：

（2）設(shè)M（8如sina）,N（cosp.sin0k計(jì)算出.搬一、■j^、鵬卜的值即

可、

試題解答解：（1）???阿C與x軸粕切于點(diǎn)T（1,0）,

例心的慢坐標(biāo)x=l.取AB的中點(diǎn)E.

,:AB=2.；.BE=1.

則BC心即既的半往仁BCm,

，靦心C<1,V2）.

則附的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）（V-V2）^2.

故答案為：（x-D。（丫-七）、2、

（2）；用心C<1.揚(yáng)..'.E（0,揚(yáng).

又：AB?2,且E為AB中點(diǎn).

.*.A（0.V2-1），B（0.五T》?

VM.N在圜0：x2V-l

?可設(shè)M（co&a>sina>,N（co53.sinP>,

NA=d（cosB-0）2+[sinB-（6-1）]2

=Vcos，B+sin2P-2（&-l）sin3+3-2亞

=r-2亞-2（亞T）sinB

=V2V2（V2~l）-2（V2-l）sinP

*42（&-D（加-sinB），

NB=7（cosP-0）2+[sinP-（T2+l）]2

Teos*+sin邛-2（'/^+l）sinB+3+2收

=胃+26-2（6+1）5途3

?V2（V2+1）（*/2-sin,

?_INAL/2G/j-l）（Vj-sinb）*能-1."_[.

INBI芯-sinb）“

網(wǎng)理nJ律悔卜五-1，

?iNAl.lKAl可成立

-WliB|-⑴3

腳②正%

耨犒■=*+』―③正乘

故答東為：①（臥③.

點(diǎn)訐?本題號(hào)施求網(wǎng)的標(biāo)準(zhǔn)方程,用三角函數(shù)值表示單位制匕點(diǎn)的坐標(biāo)是腕決本

題的關(guān)道，注意解題方法的枳案，展于難題、

選修4L幾何證明選褥

15、＜5分）如圖，PA是圓的切縱A為切點(diǎn),PBC是191的割緣且BC=3PB.

篇目分析:利用切副線定理推出RM2PB,利用相四三角杉求出比值即可、

成鹿解答解：由切割找定理可知：PA'=PB?PC,ZBC=3PB.

可得PA=2PB.

frAPAB4APAC'I'.ZP?/P.ZPAB-ZPCA（同弧上的例周角9弦切角相等）.

可得△PASSAPAC,

?AB-P&-PB.1

''AC_PA2PB2'

故答案為：1.

2

點(diǎn)價(jià)?A題考查切割線定理以及相似一角形的判定與應(yīng)用.芍查邊稅推理院力.

選修41，坐標(biāo)系與套皴方程

16、在自用坐標(biāo)系xOv中，以。為極點(diǎn)，x軸的正半袖為極軸建立極生標(biāo)系.己

1

x=t--

知直線I的極坐標(biāo)方和為Q（sine-385。）=0,曲線C的參數(shù)方程為:（t

y=t葉

為參數(shù)）,I與C相交于A.B兩點(diǎn).則AB=_2Vs_.

■目分析，化極坐標(biāo)方桎化直角坐七方程，參數(shù)方程化普通方程.聯(lián)立亙線方程

和雙曲線方程后求得交點(diǎn)坐標(biāo).由兩點(diǎn)間的距點(diǎn)公式解答案、

成■解答解：由p<sin8-3cos0）=0.用y-3x=0.

1

x=t-f

由C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）,兩式平方作差得：/-/=-4.

尸日；

聯(lián)立fX；J部2專即F號(hào)

.?.A（亞.邈），B《必，”

2222

?■-AB="&產(chǎn)+（-）2=2花

故答案為：2女、

點(diǎn)出本期考令極坐標(biāo)方程化「標(biāo)方程,參教方程化普通力4件了汽線

和帆把曲線的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)的計(jì)算時(shí).

三、解答JBi本大J■共6小愚，共75分、解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演

手步曝、

17、(11分)某同學(xué)用"五點(diǎn)法"畫(huà)函數(shù)f")=Asin(wx-4>)<w>0,4><y)

在某個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí),列表并埴入了他分?jǐn)?shù)據(jù),如表：

u>x?07Cn3兀2n

T

x八5H

36

Asin(u)x44))05-50

(1)請(qǐng)將上次數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,地。在相應(yīng)位置，并直接“出函數(shù)f(0的蚓析

式：

(2)將y=f(x)圖象［二所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)&<6>0>個(gè)單位長(zhǎng)度，汨到y(tǒng)=g

?xJ的圖象、y=g(x)圖型的?個(gè)對(duì)稱中心為(聆.0).求8的依小值.

慝目分析，<1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù).解存A=5,M2,。=-口、從而可補(bǔ)全數(shù)招.

6

解得困數(shù)表達(dá)式為f(x)=S$in(2x?三人

6

12)由(J)及函數(shù)尸Aiin(sx-4>)的圖象變換規(guī)律得g(x)=5sin(2x-28-2)、

6

令2X-20-A=kn,髀得x=.%“78,k€Z.令里L(fēng)J^-e=容，的得

621221212

eAZLJL,kez,由e>o可彈解、

23

依題解答解：<1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A=5.3=2.數(shù)據(jù)補(bǔ)全如F

6

表，

兀

U)X十小0n3兀2n

T

H兀7n

X52L13H

12312612

Asin<wx'<t>>050-50

且函數(shù)表達(dá)式為f(x)=5sin<2x-A).

6

（2）由（］）知f<X）=5$in得g（x）=5sin（2x*29--^-K

因?yàn)?sinx的對(duì)稱中心為Ikn,0）.k￡Z.

令2x+28?2kn.就得xML」L_e，kEZ.

6212

由于曲數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（著.0）成中心對(duì)稱，令粵+一6節(jié).

解得。上三工，kEZ.由8>0可知，明K=1時(shí)，。取得被小值三、

236

點(diǎn)那本題主要考壹了由戶Asin（3xpO的勰分圖象確定其解析式,或數(shù)y=Asin

（3X，。）的圖象變換規(guī)律的應(yīng)用，屜下慕本知識(shí)的考自、

18、（12分》設(shè)等系數(shù)列｛aj的公差為d.前n項(xiàng)和為兀,等比數(shù)列IbJ的公比

為q,己知bi-di?b2二2,q二d,Sio=lOO>

（1）求效列｛/｝?（bj的通項(xiàng)公式

（2）當(dāng)d>l時(shí)，記酬趣■,求數(shù)列G的前n項(xiàng)和L、

bn

題目分析，<1》利用前10項(xiàng)和與首項(xiàng)、公差的大系，聯(lián)》方程級(jí)計(jì)算即可：

（2）當(dāng)d>l時(shí),山（1）知j生］寫(xiě)出Tn、白。的收運(yùn)式，利用錯(cuò)位機(jī)減

20-12

法及等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可、

試?解答解：（1）設(shè)a1=a.由題直可得［10"g*10。.

lad=2

nl

當(dāng)｛:；時(shí)，3n=2n-l,bn?2：

(2)當(dāng)d>l時(shí),由(Dfala?x2n-1.包=2"I

?j，n.2nT

,2川

"'?Tn=l*3*-^-45*—,7*-—r,*d*—112n-1),———?

?2?3,4nH-1

點(diǎn)評(píng)I小雙老色求數(shù)列的通項(xiàng)及求和，利用錯(cuò)位和裁讓是解決小返的美法.注意

解法的積聚，展T中檔題'

19、（12分）《九章算術(shù)》中,招底面為長(zhǎng)方形且狎一條小校與底面垂直的四校

便稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為n角三用形的四曲體稱之為黛系、如圖，在陽(yáng)馬p

-ABCD中,側(cè)梭PD_L底面ABCD.HPD=CD.過(guò)棱PC的中點(diǎn)E,作EFlPB.

PB『點(diǎn)F,連接DE.DF.BD.BE.

（1）證明：PB_L平面DEF、試判斷四而體DBEF是否為鱉膈,若是,寫(xiě)出其玨個(gè)

面的直角（只去寫(xiě)出結(jié)論）：若不是，說(shuō)明理由；

?2）告面DEF與面A8CD所成二面角的大小力號(hào),求蕾?的值、

啟目分析：解法1）（1）直線與直線,宜線與平面的垂百的轉(zhuǎn)化證明播出PBLEF.

DECIFE=E,所以PBL平面。EF.即uj判斷DE_L平而咋匚PB_L平而DEF?可知

四面體BDEF的四個(gè)面播是直角二.角形，確定直角、

（2）根據(jù)公理2得出DG是平面DEF與平面ACBD的交線、利用在線平面的碓口

判斷出DGLDF.DGXDB.根樹(shù)平面角的定義得出NBDF是面DEF與而ABCD所

成二面角的平面用，轉(zhuǎn)化到包角三角形求斛即可、

解法2》

（1）以D為原點(diǎn)，射線DA,DC.DP分別為x.y.2軸的正半軸,建立空間直

ft]坐標(biāo)系，運(yùn)用向量的斂量積判斷即可、

2>由PDJ.底而ABCD.所以/<0.0.1）是平面ACDB的個(gè)迂向增：由（I）

知,PB_L平而DEF,所以■麗（-A.-1.1）是平面DEF的?個(gè)法向GL根據(jù)數(shù)

■稹出出夾角的余弦即可得出所求解的答案、

匐■解答解法1）（1）因?yàn)镻DJ.底面ABCD.所以PDLBC,

由底面ABCD為長(zhǎng)方形，有8CJ_CD,而PDACD-O,

所以BCL平曲PCD、而DEu平血PDC.所以BCJ.DE、

乂因?yàn)镻D=C0.點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DE_LPC、

而PCDCB=C,所以DEX平而PBC、而PBu平面PBC.所以PBJ.DE、

又PBJ.EF,DECIFE=E.所以PB平面0EF、

由DE_L平而PBC,PBJ_平面DEF,可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角豚

即四面體BDEF是一個(gè)鱉滕，其四個(gè)面的克角分別為，DEB.ZDEF.ZEFB-N

DFB、

（2）如圖1.

在面BPC內(nèi),延長(zhǎng)K與FE交于點(diǎn)G.則DG是平面DEF與平面ACBD的交展、

由《I）知.PBJ.平面OEF.所以PBLDG、

乂因?yàn)镻D_L底加ABCD,所以PD_LDG、而PDCPB二P.所以DG_L平面PBD、

所以DG_LDF.DG±DB

故/BDF是而DEF與面ABCD所成二面角的平面物,

^PD=DC=1.8C=X.有B0={”入2.

在RtZXPDB中.[11DF1PB.得NDPB=/FDB「-.

3

2=>

則tan-^-xtanZDPF-^^jtxV3耕得入

所啥冷

故當(dāng)面DEF、而ABCD所成：面角的大小為馬上里摩，

3BC2

(解法2)

<1)以D為原點(diǎn)，射線DA?DC.DP分別為x.y,Z軸的正半軸，建立空間直

角坐標(biāo)系'設(shè)PD=DC=1,BC=M

則D(0.0.0).P(0.0,1).B(A.1,01.C<0.1.0).PB=(XI,-1).

點(diǎn)E是PC的中點(diǎn).所以E(0.X.X).DE=(0.1.-1),

2222

于是瓦?施=o,GPPB_LDE、

又已知EFJ_PB,而EDCEF=E,所以PB_L平面DEF、

因是(0,1,-1).DE-P^O.則DE_LPC,所以DE,平面PBC、

由DE_L平?面PBC.PB±平面DEF,可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形,

即四面體BDEF是一個(gè)簽嘛,其四個(gè)面的比角分別為/DEB.ZDEF.ZEFB./

DFB,

(2)由P。！底面ABCD,所以諦(0,0.1)是平面ACDB的一個(gè)法向員；

由(I)知，PBL平面DEF，所以而=(-X.-1,1)是平面OEF的一個(gè)法冏境.

若前DEF與面ABCD所成.面用的大小為千

則運(yùn)用向量的數(shù)量積求解得出

cot3-<JX\2+24-2

解得人喈、所以所以第w平

CB人2

故當(dāng)面DEF與而ABCD所成二面角的大小為馬村,區(qū)平、

點(diǎn)髀?本題綜合考吉了空間直線r面的垂直問(wèn)題，直線與直線,直境與平面的垂

口的轉(zhuǎn)化，空何用的求解，屬尸唯《￡.

20.(12分)茶「用穌牛奶在某臺(tái)設(shè)笛匕生產(chǎn)A.B兩種奶制品、生產(chǎn)1噸A產(chǎn)

品需鮮牛奶2噸,使用設(shè)備1小時(shí),獲利1000元：生產(chǎn)1IHJB產(chǎn)品需鮮牛奶1.5

噸,使用設(shè)需1.5小時(shí).獲利1200元，要求每天8產(chǎn),丁的產(chǎn)后不超過(guò)A產(chǎn)品產(chǎn)

依的2倍，設(shè)備許天牛:產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品時(shí)間之和不超過(guò)12小時(shí)、限定孤天可

獲取的鮮牛奶數(shù)甲W（甲團(tuán)噸）足一個(gè)隨機(jī)變?cè)?其分布列為

W121518

P0.30.50.2

該廠每天根據(jù)孩取的鮮牛奶數(shù)量安井生產(chǎn),使其獲利最大,因此回天的般大塞利

Z（單位；元）是一個(gè)隨機(jī)變量、

（1）求Z的分布列和均值I

（2）若攤大可狹［僅的肝牛奶數(shù)屬相互獨(dú)立，求3天中至少有1天的最大獲利超

過(guò)10000元的概率、

?目分析I（1）設(shè)每犬A.B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)后分別為X,「相應(yīng)的狹利為Z.

列出可行域，目標(biāo)函數(shù),通過(guò)當(dāng)W=12時(shí),當(dāng)W=15時(shí)，當(dāng)W=18時(shí).分即求出

目標(biāo)函數(shù)的最大獲利，然后得到Z的分布列、求出期望即可、

（2）判斷慨率類(lèi)型是二項(xiàng)分布，然后求好所求概率即可、

1解