2022年北京初二（上）期末數學試卷匯編：分式的運算及其應用

第1頁/共1頁2022北京初二（上）期末數學匯編分式的運算及其應用一、單選題1．（2022·北京通州·八年級期末）八年級學生去距學校10km的博物館參觀，一部分學生騎自行車先走，過了20min后，其余學生乘汽車出發(fā)，結果他們同時到達．已知汽車的速度是騎車學生速度的2倍，求騎車學生的速度．若設騎車學生的速度為xkm/h，則可列方程為（

）A． B． C． D．2．（2022·北京豐臺·八年級期末）在物聯(lián)網時代的所有芯片中，nm芯片正在成為需求的焦點.已知即納米，是長度的度量單位，=．將用科學記數法表示正確的是（

）A． B． C． D．3．（2022·北京東城·八年級期末）肥皂屬于堿性，堿性會破壞細菌的內部結構，對去除細菌有很強的效果，用肥皂洗手對預防傳染疾病起到很重要的作用．肥皂泡的泡壁厚度大約是0.0000007m，將數字0.0000007用科學記數法表示應為（

）A． B． C． D．4．（2022·北京海淀·八年級期末）2021年10月16日，我國神舟十三號載人飛船與天和核心艙首次成功實現(xiàn)“徑向對接”，對接過程的控制信息通過微波傳遞．微波理論上可以在0.000003秒內接收到相距約1千米的信息.將數字0.000003用科學記數法表示應為（）A． B． C． D．二、填空題5．（2022·北京豐臺·八年級期末）當時，式子的值為________．6．（2022·北京大興·八年級期末）若，且，則分式中的值為______．7．（2022·北京東城·八年級期末）___．三、解答題8．（2022·北京西城·八年級期末）觀察下列等式：①；②；③；④；……根據上述規(guī)律回答下列問題：(1)第⑤個等式是；(2)第個等式是（用含的式子表示，為正整數）．9．（2022·北京東城·八年級期末）列方程解應用題：2021年9月23日，我國迎來第四個中國農民豐收節(jié)．在慶?；顒又杏浾吡私獾剑耗撤N糧大戶2020年所種糧食總產量約150噸．在強農惠農富農政策的支持下，2021年該農戶種糧積極性不斷提高，他不僅擴大耕地面積，而且畝產量也大幅提高，因此取得大豐收．已知他2021年比2020年增加20畝耕地，畝產量是2020年的1.2倍，總產量約216噸，那么2020年該農戶所種糧食的畝產量約為多少噸？10．（2022·北京東城·八年級期末）解分式方程：．11．（2022·北京豐臺·八年級期末）北京市以年冬奧會和冬殘奧會為契機，大力提升城市服務保障能力，在永定河沿岸，緊鄰北京冬奧組委和首鋼滑雪大跳臺建成冬奧公園．冬奧公園最大的亮點是擁有一條長全封閉的馬拉松跑道．馬拉松線路設計很有創(chuàng)意，分為智慧跑、公園跑、濱水跑和堤上跑．小明先進行了智慧跑，接著進行了堤上跑，共用時分鐘．已知小明在堤上跑路段的平均速度是他在智慧跑路段的平均速度的倍，求小明在進行智慧跑和堤上跑時的平均速度．12．（2022·北京西城·八年級期末）（1）如果，那么m的值是，n的值是；（2）如果，①求的值；②求的值．13．（2022·北京西城·八年級期末）解方程：．14．（2022·北京順義·八年級期末）列方程解應用題：某市為了緩解交通擁堵現(xiàn)象，決定修建一條輕軌鐵路的延長線，為使該延長線工程比原計劃提前1個月完成，在保證質量的前提下，必須把工作效率提高10%．問原計劃完成這項工程需要用多少個月？15．（2022·北京延慶·八年級期末）列方程解應用題：第24屆冬季奧林匹克運動會將于2022年2月4日至2月20日在中國北京和張家口市聯(lián)合舉行．北京冬奧會的配套設施“京張高鐵”——北京至張家口高速鐵路，已經全線通車，全長約175千米．原京張鐵路是1909年由“中國鐵路之父”詹天佑主持設計建造的中國第一條干線鐵路，全長約210千米，用“人”字形鐵軌鋪筑的方式解決了火車上山的問題．京張高鐵的平均速度是原京張鐵路的5倍，可以提前5小時到達，求京張高鐵的平均速度．16．（2022·北京朝陽·八年級期末）閱讀材料：對于兩個實數a，b大小的比較，有如下規(guī)律：若a-b＞0，則a＞b；若a-b=0，則a=b；若a-b＜0，則a＜b.反過來也成立．解決問題：(1)已知實數x,則（填“＜”，“=”或“＞”）；(2)甲、乙二人同時從A地出發(fā)去B地，甲用一半時間以每小時xkm的速度行走，另一半時間以每小時ykm的速度行走；乙以每小時xkm的速度行走一半路程，另一半路程以每小時ykm的速度行走.若x≠y，判斷誰先到達B地，并說明理由．下面是小明參考上面的規(guī)律解決問題的過程，請補充完整：（1）（填“＜”，“=”或“＞”）；（2）先到達B地的是．說明：設甲從A地到B地用2th，則A，B兩地的路程為（x+y）tkm，乙從A地到B地用h．17．（2022·北京朝陽·八年級期末）人工智能在物流行業(yè)有廣泛的應用，其中自主移動機器人可以實現(xiàn)高效的搬運和揀貨作業(yè).某物流園區(qū)利用A，B兩種自主移動機器人搬運化工原料，A型機器人比B型機器人每小時多搬運30kg，A型機器人搬運750kg所用時間與B型機器人搬運600kg所用時間相等，兩種機器人每小時分別搬運多少化工原料？18．（2022·北京門頭溝·八年級期末）列方程解應用題：第24屆冬奧會將于2022年2月在中國北京和張家口舉行．為了迎接冬奧會，某公司接到制作12000件冬奧會紀念品的訂單．為了盡快完成任務，該公司實際每天制作紀念品的件數是原計劃每天制作紀念品件數的1.2倍，結果提前10天完成任務，求原計劃每天制作多少件冬奧會紀念品？19．（2022·北京門頭溝·八年級期末）已知，求代數式的值．20．（2022·北京石景山·八年級期末）列方程解應用題．某工程隊承擔了750米長的道路改造任務，工程隊在施工完210米道路后，引進了新設備，每天的工作效率比原來提高了20％，結果共用22天完成了任務．求引進新設備前工程隊每天改造道路多少米？21．（2022·北京石景山·八年級期末）解分式方程：．22．（2022·北京房山·八年級期末）為了營造“創(chuàng)建文明城區(qū)、共享綠色家園”的良好氛圍，房山某社區(qū)計劃購買甲、乙兩種樹苗進行社區(qū)綠化，已知用1200元購買甲種樹苗與用1000元購買乙種樹苗的棵樹相同，乙種樹苗比甲種樹苗每棵少20元，問甲種樹苗每棵多少元？23．（2022·北京平谷·八年級期末）我們已經學過如果關于x的分式方程滿足（a，b分別為非零整數），且方程的兩個跟分別為．我們稱這樣的方程為“十字方程”．例如：

可化為

∴再如：

可化為

∴應用上面的結論解答下列問題：（1）“十字方程”，則，；（2）“十字方程”的兩個解分別為，求的值；（3）關于的“十字方程”的兩個解分別為，求的值．24．（2022·北京海淀·八年級期末）在分式中，若M，N為整式，分母M的次數為a，分子N的次數為b（當N為常數時，），則稱分式為次分式．例如，為三次分式．（1）請寫出一個只含有字母的二次分式_________；（2）已知，（其中m，n為常數）．①若，，則，，，中，化簡后是二次分式的為________；②若A與B的和化簡后是一次分式，且分母的次數為1，求的值．25．（2022·北京海淀·八年級期末）已知，求代數式的值．26．（2022·北京大興·八年級期末）計算：．27．（2022·北京懷柔·八年級期末）計算：()÷[(6x+4)÷x]．28．（2022·北京昌平·八年級期末）列方程解應用題：同學們在計算機課上學打字．張帆比王凱每分鐘多錄入20個字，張帆錄入300個字與王凱錄入200個字的時間相同．問王凱每分鐘錄入多少個字．29．（2022·北京海淀·八年級期末）某工廠現(xiàn)在平均每天比原計劃多生產50臺機器，現(xiàn)在生產600臺機器所需時間與原計劃生產450機器所需時間相同，求該工廠原來平均每天生產多少臺機器？30．（2022·北京延慶·八年級期末）學習了分式運算后，老師布置了這樣一道計算題：，甲、乙兩位同學的解答過程分別如下：老師發(fā)現(xiàn)這兩位同學的解答過程都有錯誤.請你從甲、乙兩位同學中，選擇一位同學的解答過程，幫助他分析錯因，并加以改正.（1）我選擇哪位同學的解答過程進行分析.（填“甲”或“乙”）（2）該同學的解答從第幾步開始出現(xiàn)錯誤（填序號），錯誤的原因是什么.（3）請寫出正確解答過程.

參考答案1．C【分析】根據汽車的速度是騎車學生速度的2倍，得汽車的速度為2xkm/h，由一部分學生騎自行車先走，過了20min后，其余學生乘汽車出發(fā)，結果他們同時到達列得方程．【詳解】解：設騎車學生的速度為xkm/h，則汽車的速度為2xkm/h，可列方程為，故選：C．【點睛】此題考查了分式方程的實際應用，正確理解題意確定題目中的等量關系是解題的關鍵，注意單位應統(tǒng)一，20min為．2．A【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10-n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．【詳解】解:==故選：A【點睛】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．3．C【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10?n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．據此即可得到答案.【詳解】解：0.0000007=7×10?7.故選C

.【點睛】本題考查了用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10?n，其中1?|a|<10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．4．B【分析】絕對值小于1的負數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10-n，其中1≤<10，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．【詳解】故選：B．【點睛】本題考查了科學記數法，科學記數法一般形式為a×10n，其中1≤<10，確定a和n的值是解題關鍵．5．-1【分析】先將原式括號內通分計算，再將兩因式分子、分母因式分解，約分后代入求值即可．【詳解】解：====∵∴∴原式=1-2=-1故答案為：-1．【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．6．2【分析】直接利用已知代入分式化簡得出答案．【詳解】解：∵a?3b＝0，且a≠0，∴a＝3b，則分式＝＝＝2．故答案為：2．【點睛】此題主要考查了分式化簡求值，正確對式子進行變形，化簡求值是解決本題的關鍵．在解題過程中要注意思考已知條件的作用．7．4【分析】根據負整數指數冪的運算法則計算即可．【詳解】解：4故答案為：4．【點睛】本題考查了負整數指數冪的知識，屬于基礎題，掌握其運算法則是解題關鍵．8．(1)(2)【分析】（1）觀察前4個等式可以得出等式左邊第1個減數的分母是被減數的2倍減1，第2個減數的分母是被減數分母的2倍，右邊的分母是等式左邊第1個減數與第2個減數的分母乘積，且結果為負數，由此可得結論；（2）由（1）可得結論．(1)第⑤個等式是：，故答案為：；(2)由（1）以及所給等式可以得出，第n個等式為：，故答案為：【點睛】本題是一道找規(guī)律的題目，對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．學生很容易發(fā)現(xiàn)各部分的變化規(guī)律．9．約為1.5噸【分析】設2020年所種糧食的畝產量約為x噸，則2021年所種糧食的畝產量約為1.2x噸，根據“2021年比2020年增加20畝耕地”列出方程即可．【詳解】解：設2020年所種糧食的畝產量約為x噸，則2021年所種糧食的畝產量約為1.2x噸由題意，得．解得．經檢驗，是原分式方程的解，且符合實際．答：2020年該農戶所種糧食的畝產量約為1.5噸．【點睛】本題考查分式方程的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的分式方程，注意分式方程要檢驗．10．【分析】觀察可得最簡公分母是（x?5），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉化為整式方程求解．【詳解】解：去分母，得．化簡，得．解得．檢驗：把代入最簡公分母．所以是原分式方程的解．【點睛】此題考查了分式方程的求解方法．注意掌握轉化思想的應用，注意分式方程需檢驗．11．小明進行智慧跑的平均速度為7km/h，進行堤上跑的平均速度為10.5km/h．【分析】設小明進行智慧跑的平均速度為km/h，則小明進行堤上跑的平均速度為km/h.根據題意，列出分式方程，解方程求解即可，注意要檢驗【詳解】設小明進行智慧跑的平均速度為km/h，則小明進行堤上跑的平均速度為km/h.根據題意，列出方程：．解方程，得．經檢驗，是原方程的解且符合實際意義．∴．答：小明進行智慧跑的平均速度為7km/h，進行堤上跑的平均速度為10.5km/h．【點睛】本題考查了分式方程的應用，根據題意找到等量關系列出方程是解題的關鍵．12．（1）-1，-6；（2）①；②13【分析】（1）把左邊利用多項式與多形式的乘法法則化簡后，與右邊比較即可求出m和n的值；（2）把左邊利用多項式與多形式的乘法法則化簡后，與右邊比較求出a+b=-2，ab=；①利用多項式與多形式的乘法法則化簡后，把a+b=-2，ab=代入計算；②先通分，再根據完全平方公式把分子變形，然后把a+b=-2，ab=代入計算；【詳解】解：（1）∵，∴，∴，∴m=-1，n=-6，故答案為：-1，-6；（2）∵，∴，∴，∴a+b=-2，ab=；①=ab-2a-2b+4=ab-2(a+b)+4=-2×(-2)+4=；②=====13．【點睛】本題考查了多項式與多項式的乘法計算，完全平方公式的變形求值，分式的加減，熟練掌握完全平方公式和分式的加減運算法則是解答本題的關鍵．13．【分析】先給方程兩邊乘以（x+1）(x－1)，將分式方程化為整式方程，然后解方程即可解答．【詳解】解：給方程兩邊乘以（x+1）(x－1)，得：，，，解得：，經檢驗，是原方程的解．【點睛】本題考查解分式方程，熟練掌握解分式方程的解法步驟是解答的關鍵，注意結果要檢驗．14．【分析】設原計劃完成這項工程需要用個月，則原計劃的效率為實際的效率為再根據實際的效率比原計劃的效率提高10%，再列方程，解方程即可.【詳解】解：設原計劃完成這項工程需要用個月，則整理得：解得：經檢驗：符合題意；答：原計劃完成這項工程需要用個月.【點睛】本題考查的是分式方程的應用，掌握“利用分式方程解決工程問題”是解本題的關鍵.15．京張高鐵的平均速度為175km/h．【分析】設原京張鐵路的平均速度為xkm/h，則新京張高鐵的平均速度是5xkm/h，根據時間差為5h列出方程并解答．【詳解】解：設原京張鐵路的平均速度為xkm/h，則新京張高鐵的平均速度是5xkm/h，依題意得：，解得x=35．經檢驗，x=35是所列方程的根，并符合題意．所以，km/h答：京張高鐵的平均速度為175km/h．【點睛】本題主要考查了分式方程的應用．分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．16．(1)＜(2)甲【分析】（1）通過閱讀材料，可以通過做差法進行大小比較，對兩邊的式子進行做差比較；（2）根據題意，可以用甲所用的時間與乙所用的時間做差，進行比較．(1)故應填“＜”(2)

∵x≠y，∴∵x＞0，y＞0，t＞0，∴∴

所以甲先到達B地．【點睛】本題考查的是通過閱讀材料，總結出可以通過做差的方法進行比較大小，理解并熟練掌握做差法比較大小是解本題的關鍵．17．A型機器人每小時搬運150kg化工原料，B型機器人每小時搬運120kg化工原料【分析】設B型機器人每小時搬運xkg化工原料，則A，B兩種自主移動機器人完成各自工作的工作時間為小時，小時，再利用時間相等建立方程，再解方程即可.【詳解】解：設B型機器人每小時搬運xkg化工原料．

根據題意，得.

解得

經檢驗，是原分式方程的解，且符合題意.

答：A型機器人每小時搬運150kg化工原料，B型機器人每小時搬運120kg化工原料.【點睛】本題考查的是分式方程的應用，準確的表示A，B兩種自主移動機器人搬運化工原料的工作時間是解本題的關鍵.18．200件【分析】設原來每天制作x件，根據原來用的時間?現(xiàn)在用的時間＝10，列出方程，求出x的值，再進行檢驗即可．【詳解】解：設原計劃每天制作x件冬奧會紀念品，則實際每天制作1.2x件冬奧會紀念品．根據題意，得：．解得：．經檢驗，是原方程的解，且符合題意．答：原計劃每天制作200件冬奧會紀念品．【點睛】本題考查了分式方程的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列方程．19．5【分析】先根據分式的加減計算括號內的，同時將除法轉化為乘法，進而根據分式的性質進行化簡，最后根據已知式子的值，整體代入求值即可．【詳解】解：，，，，，．當時，，∴原式．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，掌握分式的性質以及因式分解是解題的關鍵．20．30米【分析】設引進新設備前工程隊每天建造道路米，則引進新設備后工程隊每天改造米，利用工作時間工作總量工作效率，結合共用22天完成了任務，即可得出關于的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論．【詳解】解：設引進新設備前工程隊每天建造道路米，則引進新設備后工程隊每天改造米，依題意得：，解得：，經檢驗，是所列方程的解，且符合題意．答：引進新設備前工程隊每天建造道路30米．【點睛】本題考查了分式方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出分式方程．21．【分析】此題只需按照求分式方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1，最后進行檢驗即可．【詳解】解：去分母得，去括號得，移項得，合并得，系數化為1，得：經檢驗，是原方程的解，∴原方程的解是：【點睛】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．22．甲種樹苗每棵120元【分析】設甲種樹苗每棵x元，根據題意列出分式方程，故可求解．【詳解】解：設甲種樹苗每棵x元．依題意列方程：，解得：經檢驗是所列方程的解且符合題意，答：甲種樹苗每棵120元．【點睛】此題主要考查分式方程的實際應用，解題的關鍵是根據題意找到數量關系列出方程求解．23．（1）－2，－4；（2）；（3）【分析】（1）按照“十字方程”的解法解方程即可；（2）根據“十字方程”的解法求出，，代入求值即可；（3）把方程轉化為，求出方程的解，代入計算即可．【詳解】（1）可化為，∴－2，－4；

故答案為：－2，－4；（2）解：∵∴∴∴，∴（3）解：∵為關于x的“十字方程”∴∴∴或∵∴或∴【點睛】本題考查了分式方程的特殊解法，解題關鍵是理解題意，按照題目中的方法進行求解．24．（1）（不唯一）；（2）①，；②或【分析】（1）理解新定義，直接根據作答即可；（2）①把，代入計算，化簡后根據新定義進行判斷即可；②先求解根據和為一次分式且分母的次數為1，可得分子是一次多項式，且含有或的因式，從而可列方程再解方程求解的值，于是可得答案.【詳解】解：（1）根據定義可得：這個二次分式為：（不唯一）（2）①，，，，化簡后是二次分式；所以不是二次分式；所以不是二次分式；所以是二次分式；②，，A與B的和化簡后是一次分式，且分母的次數為1，且或且解得：或

或【點睛】本題考查的是分式的加減法，乘法以及乘方運算，新定義運算，理解新定義，按照新定義的規(guī)定進行判斷是解本題的關鍵.25．1【分析】先化簡分式得到原式，再將代入即可得到結果．【詳解】解：，∵，∴，∴原式=1．【點睛】本題考查了分式的化簡求值：先進行分式的乘除運算（把分子或分母因式分解，約分），再進行分式的加減運算（即通分），然后把字母的值代入(或整體代入)進行計算．26．a+1【分析】根據分式的除法法則和減法，先計算除法、后計算減法即可.【詳解】解：