廣東省深圳市竹子林中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

廣東省深圳市竹子林中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若變量x，y滿足則z=3x+2y的最大值是（）A．90 B．80 C．70 D．40參考答案：C【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，我們要先畫出滿足約束條件的平面區(qū)域，然后分析平面區(qū)域里各個(gè)角點(diǎn)，進(jìn)一步求出目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y的最大值．【解答】解：滿足約束條件的平面區(qū)域如下圖示：由圖可知，當(dāng)x=10，y=20時(shí)，z=3x+2y有最大值70故選C．2.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此直線的斜率的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】漸近線方程y=x，當(dāng)過焦點(diǎn)的兩條直線與兩條漸近線平行時(shí)，這兩條直線與雙曲線右支分別只有一個(gè)交點(diǎn)，由此能求出此直線的斜率的取值范圍．【解答】解：漸近線方程y=x，當(dāng)過焦點(diǎn)的兩條直線與兩條漸近線平行時(shí)，這兩條直線與雙曲線右支分別只有一個(gè)交點(diǎn)（因?yàn)殡p曲線正在與漸近線無限接近中），那么在斜率是[]兩條直線之間的所有直線中，都與雙曲線右支只有一個(gè)交點(diǎn)．此直線的斜率的取值范圍[]．故選：A．3.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)問為

A.

B.

C.

D.參考答案：B4.若雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)在橢圓上，且與拋物線有相同的焦點(diǎn),則其漸近線方程為A.

B.C.

D.參考答案：B∵雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)在橢圓上，且與拋物線有相同的焦點(diǎn)∴雙曲線的頂點(diǎn)在軸上，且半焦距，頂點(diǎn)坐標(biāo)為∴雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為，則雙曲線的半虛軸長(zhǎng)為∴其漸近線方程為故選B

5.如圖，動(dòng)點(diǎn)在正方體的對(duì)角線上．過點(diǎn)作垂直于平面的直線，與正方體表面相交于．設(shè)，，則函數(shù)的圖像大致是參考答案：B略6.已知點(diǎn)A是拋物線M：y2=2px（p＞0）與圓C：x2+（y﹣4）2=a2在第一象限的公共點(diǎn)，且點(diǎn)A到拋物線M焦點(diǎn)F的距離為a，若拋物線M上一動(dòng)點(diǎn)到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)C的距離之和的最小值為2a，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線OA被圓C所截得的弦長(zhǎng)為（）A．2 B．2 C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】圓與圓錐曲線的綜合．【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】求得圓的圓心和半徑，運(yùn)用拋物線的定義可得A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，且有A為CF的中點(diǎn)，設(shè)出A，C，F(xiàn)的坐標(biāo)，代入拋物線的方程可得p，由拋物線的定義可得a，求得C到直線OA的距離，運(yùn)用圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可得到所求值．【解答】解：圓C：x2+（y﹣4）2=a2的圓心C（0，4），半徑為a，|AC|+|AF|=2a，由拋物線M上一動(dòng)點(diǎn)到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)C的距離之和的最小值為2a，由拋物線的定義可得動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)與到點(diǎn)C的距離之和的最小值為2a，可得A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，且有A為CF的中點(diǎn)，由C（0，4），F(xiàn)（，0），可得A（，2），代入拋物線的方程可得，4=2p?，解得p=2，即有a=+=，A（，2），可得C到直線OA：y=2x的距離為d==，可得直線OA被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2=．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的弦長(zhǎng)的求法，注意運(yùn)用拋物線的定義和三點(diǎn)共線和最小，同時(shí)考查弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．7.等差數(shù)列{an}中，已知S15=90，那么a8=（） A．12 B．4 C．3 D．6參考答案：D【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)． 【分析】由題意可得：S15=（a1+a15）=90，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1+a15=2a8，代入可得答案． 【解答】解：因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列， 所以，a1+a15=2a8， 則S15=（a1+a15）=15a8， 又S15=90，所以，15a8=90，則a8=6． 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，屬基礎(chǔ)題． 8.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，則的值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略9.若正數(shù)a，b滿足，的最小值為（）A．1 B．6 C．9 D．16參考答案：B【考點(diǎn)】7G：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【分析】正數(shù)a，b滿足，可得a＞1，且b＞1；即a﹣1＞0，且b﹣1＞0；由變形為a﹣1=；化為+9（a﹣1）應(yīng)用基本不等式可求最小值．【解答】解：∵正數(shù)a，b滿足，∴a＞1，且b＞1；變形為=1，∴ab=a+b，∴ab﹣a﹣b=0，∴（a﹣1）（b﹣1）=1，∴a﹣1=；∴a﹣1＞0，∴=+9（a﹣1）≥2=6，當(dāng)且僅當(dāng)=9（a﹣1），即a=1±時(shí)取“=”（由于a＞1，故取a=），∴的最小值為6；故選：B．10.設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足z=，則z=（

）A．1+i

B．1－i

C．－1+i

D．－1－i參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn，且，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[﹣0.1]=﹣1，[1.6]=1，設(shè)bn=[an]，則數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和b1+b2+b3+b4+…+b2n﹣1+b2n=．參考答案：﹣n﹣【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和．【分析】運(yùn)用數(shù)列的遞推關(guān)系，n≥2時(shí)將n換為n﹣1，相減可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，再由取整函數(shù)的定義，運(yùn)用不完全歸納法，即可得到所求和．【解答】解：由，①可得a2﹣S1=，a2=a1+=，將n換為n﹣1，可得an﹣Sn﹣1=，n≥2②由an=Sn﹣Sn﹣1，①﹣②可得，an+1=2an，則an=a22n﹣2=?2n﹣2=?2n，上式對(duì)n=1也成立．則an=?2n，bn=[an]=[?2n]，當(dāng)n=1時(shí)，b1+b2=0+1=1=﹣1﹣；當(dāng)n=2時(shí)，b1+b2+b3+b4=0+1+2+5=8=﹣2﹣；當(dāng)n=3時(shí)，b1+b2+b3+b4+b5+b6=0+1+2+5+10+21=39=﹣3﹣；當(dāng)n=4時(shí)，b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8=0+1+2+5+10+21+42+85=166=﹣4﹣；…則數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和為b1+b2+b3+b4+…+b2n﹣1+b2n=﹣n﹣．另解：設(shè)T2n=b1+b2+b3+b4+…+b2n﹣1+b2n，由T2n﹣T2n﹣2=22n﹣1﹣1，累加可得數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和為﹣n=﹣n﹣．故答案為：﹣n﹣．12.已知x，y∈R+，x+y=1，則的最小值為__________．參考答案：3考點(diǎn)：基本不等式．專題：轉(zhuǎn)化思想；不等式的解法及應(yīng)用．分析：首先，將所給的條件代入，轉(zhuǎn)化為基本不等式的結(jié)構(gòu)形式，然后，利用基本不等式進(jìn)行求解．解答：解：∵x，y∈R+，x+y=1，∴+=+=++1≥2+1=3，故答案為：3．點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了基本不等式問題，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．13.已知正方形的中心為且其邊長(zhǎng)為1，則

．參考答案：114.函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，其中，若的值是

。參考答案：21略15.已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則它的解析式為_

_。參考答案：略16.在等腰△ABC中，D是腰AC的中點(diǎn)，若，則__________．參考答案：【分析】設(shè),可得，，由，可得的值，可得答案.【詳解】解：如圖設(shè)，由題意易得得：，在中，由正弦定理，在中有，兩式相除可得，可得,有，可得，可得，可得可得，由，可得，故答案：.【點(diǎn)睛】本題主要考察解三角形中的正弦定理，及兩角和的余弦公式等，綜合性大，難度較大.17.函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為

．參考答案：（﹣∞，﹣2）考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：先求原函數(shù)的定義域，再將原函數(shù)分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)y=、g（x）=x2﹣4，因?yàn)閥=單調(diào)遞減，求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求g（x）=x2﹣4的減區(qū)間（根據(jù)同增異減的性質(zhì)），再結(jié)合定義域即可得到答案．解答： 解：∵，∴要使得函數(shù)有意義，則x2﹣4＞0，即（x+2）（x﹣2）＞0，解得，x＜﹣2或x＞2，∴的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（2，+∞），要求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求g（x）=x2﹣4的單調(diào)遞減區(qū)間，g（x）=x2﹣4，開口向上，對(duì)稱軸為x=0，∴g（x）=x2﹣4的單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣∞，0），又∵的定義域?yàn)椋ī仭?，?）∪（2，+∞），∴函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣∞，﹣2）．故答案為：（﹣∞，﹣2）．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的問題、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、一元二次不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性時(shí)注意同增異減的性質(zhì)即可，求單調(diào)區(qū)間特別要注意先求出定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集．屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（選修4—4參數(shù)方程與極坐標(biāo)）已知曲線，直線．⑴將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；⑵設(shè)點(diǎn)在曲線上，求點(diǎn)到直線距離的最小值．參考答案：解：⑴

------4分⑵設(shè)，∴（其中，

當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)到直線的距離的最小值為。

------10分略19.（本題滿分14分）已知數(shù)列、

滿足，，。（I）求證數(shù)列為等差數(shù)列，并寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，求證：。參考答案：（本題滿分14分）解：（I）由得

代入，

得，整理得?！?，否則，與

矛盾。從而得，∵

∴數(shù)列

是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列。∴，即．---------------------------------7分（II）∵，∴＝＝。證法1：∵

＝

＝∴．------------------------------------------14分證法2：∵，∴，∴。∴．--------------------------------------14分略20.(本小題滿分13分)已知函數(shù)．（I）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極大值和極小值；（II）當(dāng)時(shí)，試比較與的大??；（III）求證：（）參考答案：解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域是，，令，得或．

…2分當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

函數(shù)在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

……………4分

所以的極大值是，極小值是．………………5分

（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?/p>

令，

，

在上是增函數(shù)．

…………………7分①當(dāng)時(shí)，，即；②當(dāng)時(shí)，，即；③當(dāng)時(shí)，，即．

…………………9分（3）（法一）根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．令，則有，，…………11分

以上各式相加，得

……………13分

(法二)當(dāng)時(shí)，．，，即時(shí)命題成立．

………………10分設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即．

時(shí)，．根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．令，則有，則有，即時(shí)命題也成立．……………12分因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立．

………………13分21.坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在極坐標(biāo)系下，已知圓 （I）以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系援求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程； （II）當(dāng)時(shí)，求直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)。參考答案：解：（Ⅰ）圓O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，所以圓O的直角坐標(biāo)方程為：x2+y2=x+y，即x2+y2﹣x﹣y=0．直線，即ρsinθ﹣ρcosθ=，也就是ρsinθ﹣ρcosθ=1．則直線l的直角坐標(biāo)方程為：y﹣x=1，即x﹣y+1=0．-----------------------（5分）（Ⅱ）由，得．故直線l與圓O公共點(diǎn)為（0，1），該點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為．---------------（10分）略22.蘭州一中在世界讀書日期間開展了“書香校園”系列讀書教育活動(dòng)。為了解本校學(xué)生課外閱讀情況，學(xué)校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生對(duì)其課外閱讀時(shí)間進(jìn)行調(diào)查。下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均課外閱讀時(shí)間(單位：分鐘)的頻率分布直方圖，且將日均課外閱讀時(shí)間不低于60分鐘的學(xué)生稱為“讀書迷”，低于60分鐘的學(xué)生稱為“非讀書迷”。

非讀書迷讀書迷合計(jì)男

15

女

45

（1）根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為“讀書迷”與性別有關(guān)？（2）將頻率視為概率，現(xiàn)在從該校大量學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“讀書迷”的人數(shù)為X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差．附：0.1000.0500.0250.0100.001-k02.7063.8415.0246.63510.