山東省淄博市臨淄區(qū)梧臺鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

山東省淄博市臨淄區(qū)梧臺鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知是虛數(shù)單位，和都是實數(shù)，且，則（

）A．B．C．D．參考答案：D

【知識點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．L4因為和都是實數(shù)，且，所以可得：，解得，所以，故選D.【思路點撥】利用復(fù)數(shù)相等的條件求出和的值，代入后直接利用復(fù)數(shù)的除法運算進行化簡．2.已知全集，則集合（

）A．

B．C．

D．參考答案：A試題分析：因為=，所以；故選A．考點：集合的交、并、補集運算．3.已知函數(shù)的圖象（部分）如圖所示，則的解析式是A.

B.C.

D.參考答案：A4.某市舉行“中學(xué)生詩詞大賽”，分初賽和復(fù)賽兩個階段進行，規(guī)定：初賽成績大于分的具有復(fù)賽資格，某校有名學(xué)生參加了初賽，所有學(xué)生的成績均在區(qū)間(30，150]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖．則獲得復(fù)賽資格的人數(shù)為（A）640

（B）520

（C）280

（D）240參考答案：B5.設(shè)全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={3，4}，集合Q={1，3，6}，則P∩CUQ=（

）A．{4}

B．{2，5}

C．{3}

D．{1，3，4，6}

參考答案：A因為P={3，4}，CUQ={2，4，5}，所以P∩CUQ={4}，故選擇A。6.實數(shù)

的值為（）A．2

B．5

C．10

D．20參考答案：D略7.若，則A．

B．

C．

D．參考答案：【解析】：

函數(shù)為增函數(shù)8.已知R上的單調(diào)函數(shù)滿足，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A. B.(0,1) C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)可求得，可知在時單調(diào)遞減，從而得到在上單調(diào)遞減；根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性和臨界點的大小關(guān)系可得到不等式組，解不等式組求得結(jié)果.【詳解】

當(dāng)時，單調(diào)遞減為上的單調(diào)函數(shù)

，解得：本題正確選項：【點睛】本題考查根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是明確分段函數(shù)在上單調(diào)需保證在每一段上單調(diào)，且在臨界點位置大小關(guān)系滿足單調(diào)性，屬于?？碱}型.9.如圖，PC與圓O相切于點C，直線PO交圓O于A，B兩點，弦CD垂直AB于E．則下面結(jié)論中，錯誤的結(jié)論是（） A．△BEC∽△DEA B．∠ACE=∠ACP C．DE2=OEEP D．PC2=PAAB參考答案：D【考點】與圓有關(guān)的比例線段；命題的真假判斷與應(yīng)用． 【分析】利用垂徑定理、切割線定理及相似三角形的判定方法即可判斷出結(jié)論． 【解答】解：A．∵∠CEB=∠AED，∠BCE=∠DAE，∴△BEC∽△DEA，因此A正確； B．∵PC與圓O相切于點C，∴∠PCA=∠B=∠ACE，因此B正確； C．連接OC，則OC⊥PC，又CD⊥AB，∴CE2=OEEP，CE=ED，∴ED2=OEEP，因此C正確； D．由切割線定理可知：PC2=PAPB≠PAAB，因此D不正確． 故選D． 【點評】熟練掌握垂徑定理、切割線定理及相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵． 10.已知拋物線頂點在原點，焦點為雙曲線的右焦點，則此拋物線的方程是（

）

A.

B.

C．

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則｜z｜＝＿＿＿參考答案：略12.已知圓M：（x＋cosq）2＋（y－sinq）2＝1，直線l：y＝kx，下面四個命題：(A)對任意實數(shù)k與q，直線l和圓M相切；(B)對任意實數(shù)k與q，直線l和圓M有公共點；(C)對任意實數(shù)q，必存在實數(shù)k，使得直線l與和圓M相切(D)對任意實數(shù)k，必存在實數(shù)q，使得直線l與和圓M相切其中真命題的代號是______________（寫出所有真命題的代號）參考答案：答案：（B）（D）解析：圓心坐標(biāo)為（－cosq，sinq）d＝故選（B）（D）13.一個長、寬、高分別為1、2、3密封且透明的長方體容器中裝有部分液體，如果任意轉(zhuǎn)動該長方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍是

．參考答案：14.已知兩個單位向量互相垂直，且向量，則

．參考答案：5

因為兩個單位向置互相垂直，且向量，所以，，.15.對于任意實數(shù)，定義運算，其中為常數(shù)，等號右邊的運算是通常意義的加、乘運算?，F(xiàn)已知，，且有一個非零實數(shù)，使得對任意實數(shù)，都有，則__________________

參考答案：5略16.雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）兩條漸近線l1，l2與拋物線y2=﹣4x的準線1圍成區(qū)域Ω，對于區(qū)域Ω（包含邊界），對于區(qū)域Ω內(nèi)任意一點（x，y），若的最大值小于0，則雙曲線C的離心率e的取值范圍為

．參考答案：（1，）．【分析】求得雙曲線的漸近線方程和拋物線的準線方程，畫出區(qū)域Ω，由=﹣1的幾何意義是點（x，y）與點P（﹣3，﹣1）的斜率與1的差，結(jié)合圖象，連接PA，可得斜率最大，再由雙曲線的a，b，c關(guān)系和離心率公式計算即可得到所求范圍．【解答】解：雙曲線C：﹣=1的漸近線方程為y=±x，拋物線y2=﹣4x的準線1：x=1，漸近線l1，l2與拋物線y2=﹣4x的準線1圍成區(qū)域Ω，如圖，=﹣1的幾何意義是點（x，y）與點P（﹣3，﹣1）的斜率與1的差，求得A（1，），B（1，﹣），連接PA，可得斜率最大為，由題意可得﹣1＜0，可得＜3，即3a＞b，9a2＞b2=c2﹣a2，即c2＜10a2，即有c＜a．可得1＜e＜．故答案為：（1，）．17.某人5次上班途中所花的時間（單位：分鐘）分別為x，y，10，11，9．已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則x2+y2＝_____．參考答案：4試題分析：利用平均數(shù)、方差的概念列出關(guān)于x、y的方程組，解這個方程組需要用一些技巧，因為不要直接求出x、y，只要求出|x-y|即可，故可設(shè)x=10+t，y=10-t，求解即可。解：由題意可得：x+y=20，（x-10）2+（y-10）2=8，設(shè)x=10+t，y=10-t，則2t2=8，解得t=±2，∴|x-y|=2|t|=4，故答案為4.考點：平均值點評：本題考查統(tǒng)計的基本知識，樣本平均數(shù)與樣本方差的概念以及求解方程組的方法，比較簡單．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分14分)已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半

軸長為半徑的圓與直線相切,過點（4，0）且不垂直于軸的直線與橢圓相

交于、兩點。(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)求的取值范圍；(Ⅲ)若點關(guān)于軸的對稱點是，證明：直線與軸相交于定點。參考答案：(2)解：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為

由得： ---------------4分

由得：

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①---------- 6分

∴

略19.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)。

（1）當(dāng)

時，曲線在點處的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。參考答案：解：（1）當(dāng)

時，，，

所以，。

∴切線方程為，整理得。（2）由由已知，令，得，。

∵，∴。令，得；令，得或。因此在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，極大值為，極小值為。20.已知函數(shù)f（x）=x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）當(dāng)a=2時，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）+，求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若g（x）=﹣，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一點x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范圍．參考答案：考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ）求出切點（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲線f（x）在點（1，1）處的切線方程．（Ⅱ）求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，①a＞﹣1時，②a≤﹣1時，分別求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．（Ⅲ）轉(zhuǎn)化已知條件為函數(shù)在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0，利用第（Ⅱ）問的結(jié)果，通過①a≥e﹣1時，②a≤0時，③0＜a＜e﹣1時，分別求解函數(shù)的最小值，推出所求a的范圍．解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切點（1，1），∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，∴曲線f（x）在點（1，1）處的切線方程為：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．

（Ⅱ），定義域為（0，+∞），，①當(dāng)a+1＞0，即a＞﹣1時，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1+a令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．②當(dāng)a+1≤0，即a≤﹣1時，h′（x）＞0恒成立，綜上：當(dāng)a＞﹣1時，h（x）在（0，a+1）上單調(diào)遞減，在（a+1，+∞）上單調(diào)遞增．當(dāng)a≤﹣1時，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

（Ⅲ）由題意可知，在[1，e]上存在一點x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，即在[1，e]上存在一點x0，使得h（x0）≤0，即函數(shù)在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．由第（Ⅱ）問，①當(dāng)a+1≥e，即a≥e﹣1時，h（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，∴，∴，∵，∴；

②當(dāng)a+1≤1，即a≤0時，h（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2，③當(dāng)1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1時，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2此時不存在x0使h（x0）≤0成立．

綜上可得所求a的范圍是：或a≤﹣2．點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，曲線的切線方程函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查分析問題解決問題得到能力．21.（本小題滿分13分）設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，（1）若，求證：（2）如果，，求的取值范圍參考答案：（1）由已知得：，是方程的兩根，

且，所以，，即，而

ks5u（2）由韋達定理，所以，即，當(dāng)時，由，得，這時，由，得所以是關(guān)于的增函數(shù)，故；當(dāng)時，由得，這時，由，得，所以也是關(guān)于的增函數(shù)，故；綜上可得：的取值范圍是。略22.設(shè)函數(shù)