浙江省杭州市市蕭山區(qū)第十中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析

浙江省杭州市市蕭山區(qū)第十中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在平面直角坐標(biāo)中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向量=，=，其中=（3，1），=（1，3），若=λ+μ，且0≤λ≤μ≤1，C點(diǎn)所有可能的位置區(qū)域用陰影表示正確的是（）A．B．C．D．參考答案：A略2.已知，則

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C3.已知是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，給出下列命題：①若；②若；③如果相交；④若其中正確的命題是（

） A．①② B．②③ C．③④ D．①④參考答案：D4.3．命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)”的否命題是()A．若f(x)是偶函數(shù)，則f(－x)是偶函數(shù)B．若f(x)不是奇函數(shù)，則f(－x)不是奇函數(shù)C．若f(－x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù)D．若f(－x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù)參考答案：B5.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為，在底面△ABC中，∠C=60°，，則此直三棱柱的外接球的表面積為（）A． B． C．16π D．參考答案：C【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】由題意可知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC的小圓半徑為1，連接兩個(gè)底面中心的連線，中點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線就是球的半徑，即可求出球的表面積．【解答】解：由題意可知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面小圓ABC的半徑為=1，連接兩個(gè)底面中心的連線，中點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線就是球的半徑，外接球的半徑為：=2，外接球的表面積為：4π?22=16π．故選C．6.設(shè)集合，，則A．（-2,0）

B.（-2,3）

C.（0,2）

D.（2,3）參考答案：A7.若i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z，則此復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是

（A）E

（B）F

（C）G

（D）H

參考答案：D略8.已知命題p：“a＞1”，命題q：“函數(shù)f（x）=ax﹣sinx在R上是增函數(shù)”，則命題p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】利用導(dǎo)數(shù)法求出f（x）=ax﹣sinx為R上的增函數(shù)等價(jià)命題，進(jìn)而根據(jù)充要條件的定義，可判斷【解答】解：當(dāng)f（x）=ax﹣sinx時(shí)，f′（x）=a﹣cosx，當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）≥0在R上恒成立，f（x）=ax﹣sinx為R上的增函數(shù)，由{a|a＞1}?{a|a≥1}，故“a＞1”是“f（x）=ax﹣sinx為R上的增函數(shù)”的充分不必要條件，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充要條件，函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．9.有五名學(xué)生站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲不排在乙的左邊，又不與乙相鄰，則不同的站法共有

（

）

A．66種

B．60種

C．36種

D．24種參考答案：C略10.已知x=log52，y=ln2，z=，則下列結(jié)論正確的是（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x參考答案：A【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較．【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【解答】解：∵x=log52＜=，1＞y=ln2=，z=＞1，∴x＜y＜z．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則tanAtan2B的取值范圍是．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理．【分析】由且，可得cosC==，C∈（0，π），解得C=．可得tanAtan2B=tan?tan2B=，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：由且，∴cosC==，C∈（0，π），解得C=．則tanAtan2B=tan?tan2B=×=，令tanB=t∈（0，1），則≤=，等號(hào)不成立．∴∈（0，），故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦定理、和差公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．12.已知x∈R，[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，若函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．專題：綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：由f（x）=0得=2a，令g（x）=，作出g（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到a的取值范圍．解答： 解：由得=2a，①若x＞0，設(shè)g（x）=，則當(dāng)0＜x＜1，[x]=0，此時(shí)g（x）=0，當(dāng)1≤x＜2，[x]=1，此時(shí)g（x）=，此時(shí)＜g（x）≤1，當(dāng)2≤x＜3，[x]=2，此時(shí)g（x）=，此時(shí)＜g（x）≤1，當(dāng)3≤x＜4，[x]=3，此時(shí)g（x）=，此時(shí)＜g（x）≤1，當(dāng)4≤x＜5，[x]=4，此時(shí)g（x）=，此時(shí)＜g（x）≤1，作出函數(shù)g（x）的圖象，要使有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)g（x）=2a有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則由圖象可知＜a≤，②若x＜0，設(shè)g（x）=，則當(dāng)﹣1≤x＜0，[x]=﹣1，此時(shí)g（x）=﹣，此時(shí)g（x）≥1，當(dāng)﹣2≤x＜﹣1，[x]=﹣2，此時(shí)g（x）=﹣，此時(shí)1≤g（x）＜2，當(dāng)﹣3≤x＜﹣2，[x]=﹣3，此時(shí)g（x）=﹣，此時(shí)1≤g（x）＜，當(dāng)﹣4≤x＜﹣3，[x]=﹣4，此時(shí)g（x）=﹣，此時(shí)1≤g（x）＜，當(dāng)﹣5≤x＜﹣4，[x]=﹣5，此時(shí)g（x）=﹣，此時(shí)1≤g（x）＜，作出函數(shù)g（x）的圖象，要使有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)g（x）=2a有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則由圖象可知≤a＜，綜上：＜a≤或≤a＜，故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)和方程之間的關(guān)系構(gòu)造函數(shù)g（x），利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．難度較大．13.已知圓C的方程為x2+y2+8x+15=0，若直線y=kx﹣2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的取值范圍為．參考答案：【考點(diǎn)】圓的一般方程．【分析】將圓C的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)形式，找出圓心C的坐標(biāo)與半徑r，根據(jù)直線y=kx﹣2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，即圓心到直線y=kx﹣2的距離小于等于2，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范圍．【解答】解：將圓C的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x+4）2+y2=1，∴圓心C（﹣4，0），半徑r=1，∵直線y=kx﹣2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，∴圓心（﹣4，0）到直線y=kx﹣2的距離d=，解得：≤k≤0．故答案為：．14.在中，則角C=

。參考答案：略15.給出以下命題：①拋物線y=4x2的準(zhǔn)線方程為y=﹣；②“若x2+y2=0，則x=y=0”的否命題是“若x2+y2≠0，則x，y都不為0”；③已知線性回歸方程為=3+2x，當(dāng)變量x增加2個(gè)單位時(shí)，其預(yù)報(bào)值平均增加4個(gè)單位；④命題ρ：“?x∈（0，+∞），sinx+≥2”是真命題．則所有正確命題的序號(hào)是_________．參考答案：①③16.若關(guān)于x的不等式的解集為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

參考答案：17.某單位共有老、中、青職工430人，其中青年職工160人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍．為了解職工身體狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工人數(shù)為

．參考答案：18考點(diǎn)：分層抽樣方法．專題：計(jì)算題．分析：由題意確定老年職工的人數(shù)，再由青年職工確定抽樣比，因?yàn)榉謱映闃?，各層抽取比例一樣，故可?jì)算出樣本中的老年職工人數(shù)．解答： 解：青年職工160人，在抽取的樣本中有青年職工32人，故抽取比例為，老、中年職工共430﹣160=270人，又中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍，故老年職工有90人，所以該樣本中的老年職工人數(shù)為90×=18故答案為：18點(diǎn)評(píng)：本題考查分層抽樣知識(shí)，屬基礎(chǔ)知識(shí)、基本題型的考查．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本題15分)

如圖，已知拋物線，點(diǎn)是x軸上的一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且斜率為1的直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn).(1)

當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，求證線段AB的中點(diǎn)軌跡方程；(2)

若(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求a的值.參考答案：【答案解析】（1）；（2）.

解析：（1）設(shè)，，中點(diǎn)為．則， ┅2分又，，所以，從而． ┅6分故，線段的中點(diǎn)軌跡方程是：（x>1）． ┅7分（2）直線：，由． ┅9分，． ┅12分若，則，即．解得：． ┅15分【思路點(diǎn)撥】(1)利用點(diǎn)差法求出線段AB的中點(diǎn)軌跡方程即可；（2）把直線方程代入拋物線方程消去x得關(guān)于y的一元二次方程，再由弦長(zhǎng)公式及已知條件得關(guān)于a的方程，解得a值.19.如圖,在斜三棱柱中,側(cè)面⊥底面,側(cè)棱與底面成60°的角,.底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,其重心為點(diǎn),是線段上一點(diǎn),且.(1)求證://側(cè)面;(2)求平面與底面所成銳二面角的余弦值。

參考答案：解法1:(1)延長(zhǎng)B1E交BC于點(diǎn)F,∽△FEB,BE=EC1,∴BF=B1C1=BC,從而點(diǎn)F為BC的中點(diǎn).∵G為△ABC的重心,∴A、G、F三點(diǎn)共線.且,又GE側(cè)面AA1B1B,∴GE//側(cè)面AA1B1B.

…………5分(2)∵側(cè)面AA1B1B⊥底面ABC,側(cè)棱AA1與底面ABC成60°的角,∴∠A1AB=60°,

又AA1=AB=2,取AB的中點(diǎn)O,則AO⊥底面ABC.

以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O—如圖,

則,,,,,.

∵G為△ABC的重心,∴.,∴,∴.

又GE側(cè)面AA1B1B,∴GE//側(cè)面AA1B1B.

…………6分(2)設(shè)平面B1GE的法向量為,則由得

可取

又底面ABC的一個(gè)法向量為

設(shè)平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的大小為,則.

故平面B1GE與底面ABC成銳二面角的余弦值為.

…………12分略20.（本題滿分10分）【選修4—4

坐標(biāo)系與參數(shù)方程】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q都在曲線上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為與（），M為PQ的中點(diǎn)．(Ⅰ)求M的軌跡的參數(shù)方程；(Ⅱ)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．

參考答案：解：(Ⅰ)依題意有…………2分因此……3分M的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）……5分(Ⅱ)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離…………7分當(dāng)時(shí)，，故M的軌跡過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)………………10分

21.已知函數(shù)f（x）＝2xlnx﹣x2．（1）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程

（2）若方程f′（x）＝a在[，+∞）有且僅有兩個(gè)實(shí)根（其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：(1)2x﹣y﹣2＝0；(2)（2，e2﹣1]．【分析】（1）先求切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再求導(dǎo)，進(jìn)而求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，即切點(diǎn)處的斜率，代入點(diǎn)斜式方程可得切線方程；（2）函數(shù)f（x）求導(dǎo)得f'（x），然后再求導(dǎo)得f'（x）在[，+∞）的單調(diào)性，求出最小值，進(jìn)而得與a有兩個(gè)根時(shí)的取值范圍．【詳解】（1）由函數(shù)f（x）＝2xlnx﹣x2可知：f（1）＝0，f'（x）＝2（lnx+1）﹣1，∴f'（1）＝2，所以曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程：y＝2（x﹣1），曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程：2x﹣y﹣2＝0；（2）由（1）得，f'（x）＝2lnx+1，f''（x），當(dāng)x＜1，f''（x）＜0，f'（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞1，f''（x）＞0，f'（x）單調(diào)遞增，而f'（）＝﹣2+1+e2＞0，最小值f'（1）＝2＞0時(shí)，f（x）→+∞，所以f'（x）＝a有兩個(gè)根的取值范圍：（2，e2﹣1]．故實(shí)數(shù)a的取值范圍：（2，e2﹣1]．【點(diǎn)睛】考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于中檔題．22.（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．已知正項(xiàng)數(shù)列，滿足：對(duì)任意，都有，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，且，．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，如果對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：【測(cè)量目標(biāo)】（1）邏輯思維能力/會(huì)正確而簡(jiǎn)明地表述推理過(guò)程，能合理地、符合邏輯地解釋演繹推理的正確性.（2）分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力/能綜合運(yùn)用基本知識(shí)、基本技能、數(shù)學(xué)思想方法和適當(dāng)?shù)慕忸}策略，解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題.（3）分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力/能綜合運(yùn)用基本知識(shí)、基本技能、數(shù)學(xué)思想方法和適當(dāng)?shù)慕忸}策略，解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題.【知識(shí)內(nèi)容】（1）方程與代數(shù)/數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法/等差數(shù)列.（2）方程與代數(shù)/數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法/等差數(shù)列、等比數(shù)列.（3）方程