【常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用探究7000字（論文）】

常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用研究目錄TOC\o"1-2"\h\u19651緒論 27422常微分方程的基本理論 3154192.1微分方程的一般形式 3273092.2微分方程解的存在惟一性 4321842.3微分方程的穩(wěn)定性問(wèn)題 482913常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用 8164293.1數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)介 8143083.2人口預(yù)測(cè)模型 8164303.3市場(chǎng)價(jià)格模型 10150893.5廣告模型 12107423.6生態(tài)數(shù)學(xué)模型 14123983.8捕魚業(yè)的持續(xù)收益問(wèn)題 1536164總結(jié) 207851參考文獻(xiàn) 211緒論常微分方程的產(chǎn)生和應(yīng)用與大部分領(lǐng)域逐漸有緊密關(guān)系，比如力學(xué)和天文學(xué)，常微分方程在這兩個(gè)學(xué)科上面的使用范圍很大。隨著數(shù)學(xué)其余分支的迅速發(fā)展，衍生出許多新的領(lǐng)域，相關(guān)學(xué)科對(duì)于常微分方程的涉及也非常廣泛，現(xiàn)代的先進(jìn)技術(shù)對(duì)于常微分方程的分析和改進(jìn)起到了關(guān)鍵的作用，能夠深入分析常微分方程的特點(diǎn)和模型。構(gòu)建常微分方程的主要目的是將比較復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，化抽象為具體，化解成便于理解的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。通過(guò)觀察實(shí)際生活中的問(wèn)題的特征，構(gòu)建合適的常微分方程，分析現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的數(shù)量，利用數(shù)學(xué)知識(shí)去處理問(wèn)題，通過(guò)建模得到想要的結(jié)果，因此，常微分方程對(duì)于人們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有關(guān)鍵性作用，有很深遠(yuǎn)的意義。所以本文最先大致敘述了怎樣創(chuàng)建微分方程模型，且利用詳細(xì)案例來(lái)大致敘述微分方程在數(shù)學(xué)建模內(nèi)的使用。2常微分方程的基本理論2.1微分方程的一般形式一階微分方程[1,2] (2.1)其中是和的已知函數(shù)，為初始條件，又稱定解條件。一介微分方程組 (2.2)又稱為一階正規(guī)方程組.如果引入向量則方程（2.2）可以寫為簡(jiǎn)單的形式 (2.3)即與方程（2.1）的形式相同，當(dāng)n=1時(shí)為方程（2.1）.對(duì)于任一高階的微分方程如果記，即可化為一階方程組的形式。一般解法如下：例1.求方程組解將變量分離得兩邊積分，即得因而，通解為這里c是任意正常數(shù).或者解出y，寫出顯函數(shù)形式的解2.2微分方程解的存在惟一性正規(guī)方程組（2.3）的解在什么條件下存在，那么惟一呢？有下面的定理.定理2.1（Cauchy—peano）假如函數(shù)在上連續(xù)，則方程組（2.3）在上有解滿足初值條件，此處定理3.2如果函數(shù)在上連續(xù)，且滿足利普希茨（Lipschitz）條件（即存在正常數(shù)L使得，，其中，則方程組（2.3）滿足初值條件的解是惟一的。2.3微分方程的穩(wěn)定性問(wèn)題在實(shí)際問(wèn)題中，微分方程敘述物質(zhì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在使用此方程來(lái)分析具體問(wèn)題時(shí)，民眾必須思考與之相關(guān)的關(guān)鍵要素，而需要忽視人為次要因素，上述次要因素一般被叫做干擾因素，上述因素在現(xiàn)實(shí)中可以瞬時(shí)發(fā)揮影響，也可連續(xù)的發(fā)揮影響。從數(shù)學(xué)上進(jìn)行分析，前者會(huì)造成初值條件變化，而后者會(huì)作用于微分方程改變，在實(shí)際問(wèn)題中，干擾因素存在，因此我們就可以知道，對(duì)于其的影響程度的分析非常關(guān)鍵，也就是初值條件或微分方程的細(xì)微變動(dòng)是否也只能造成對(duì)應(yīng)解的細(xì)微變動(dòng)？主要是此類方程的穩(wěn)定性問(wèn)題，此處依舊進(jìn)行案例分析。(1)有限區(qū)間的穩(wěn)定性如果在某個(gè)有限的區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且對(duì)滿足禮普希茨條件，是方程組（2.3）的一個(gè)特解，則當(dāng)充分接近于時(shí)，方程組（2.3）在上滿足初值條件的解有即對(duì)，總存在相應(yīng)的，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切有此時(shí)稱方程組（2.3）的解在有限區(qū)間上是穩(wěn)定的。(3)漸進(jìn)穩(wěn)定性如果方程組（2.3）？解在無(wú)限區(qū)間上是穩(wěn)定的，且存在，當(dāng)時(shí)，有那么叫是漸進(jìn)穩(wěn)定的，或稱局部漸進(jìn)穩(wěn)定性。假如以上（或給定一個(gè)有限常數(shù)），那么對(duì)應(yīng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性被叫做全局穩(wěn)定性（或大范圍穩(wěn)定性）.研究穩(wěn)定性的方法在現(xiàn)實(shí)中，要分析方程組(2.3)的解的穩(wěn)定性問(wèn)題，需要轉(zhuǎn)變成分析解的穩(wěn)定性問(wèn)題，根本上：對(duì)于方程組（2.3）的任一特解，只要令，則顯然有，故方程組（2.3）變?yōu)? (2.5)所以我們需要了解方程組（2.3）的解對(duì)照于方程組（2.5）為。所以，要研究（2.3）的的穩(wěn)定性問(wèn)題可轉(zhuǎn)變成尋求方程組（2.5）的平凡解的穩(wěn)定性問(wèn)題。假如微分方程組的全部解都能直接尋求，一個(gè)特解穩(wěn)定性問(wèn)題就可以輕松解決。但是，現(xiàn)實(shí)中此類情況并不多，因此，一般性的穩(wěn)定性問(wèn)題分析相對(duì)繁雜，一般狀況下全部是基于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)分析，接下來(lái)利用案例開展解釋說(shuō)明.

3常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用3.1數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)介創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型是目前現(xiàn)實(shí)問(wèn)題和數(shù)學(xué)工具之間緊密關(guān)聯(lián)的橋梁[4,5]．伴隨科技的持續(xù)發(fā)展，尤其是電子計(jì)算機(jī)科技的持續(xù)進(jìn)步，數(shù)學(xué)逐漸進(jìn)入到從自然科學(xué)科技以及工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)創(chuàng)建活動(dòng)中，不只出現(xiàn)在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，此外也出現(xiàn)在現(xiàn)實(shí)生活的多個(gè)部分。通常來(lái)說(shuō)，在現(xiàn)實(shí)中需要我們對(duì)所分析的實(shí)際對(duì)象進(jìn)行研究、預(yù)估、決策、控制等部門操作的時(shí)候，此時(shí)一般都需要數(shù)學(xué)的使用，其中創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型就是此過(guò)程的重要部分。3.2人口預(yù)測(cè)模型由于資源不足,當(dāng)前世界各個(gè)國(guó)家都逐漸關(guān)注到科學(xué)管控人口的重要性,為了設(shè)計(jì)科學(xué)的預(yù)測(cè)模型,需要成分掌握影響人口增長(zhǎng)的眾多條件,但是此部分條件眾多,比如人口自然出生率、自然死亡率、遷移、戰(zhàn)爭(zhēng)等眾多原因,假如最初將全部因素都思考進(jìn)去，那么就會(huì)增加研究的任務(wù)量。所以,提前簡(jiǎn)化問(wèn)題,創(chuàng)建模型的大致結(jié)構(gòu),之后進(jìn)行修改,就可以得到比較健全的模型[6].例1（馬爾薩斯（Malthus）模型）英國(guó)人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬爾薩斯（1766—1834）在擔(dān)當(dāng)牧師時(shí)期,查找教堂長(zhǎng)久以來(lái)人口出生統(tǒng)計(jì)信息,得知人口出生率是常數(shù)。1789年在《人口原理》書籍中指出流傳到現(xiàn)在的爾薩斯人口模型,其主要假定是：在人口自然增長(zhǎng)時(shí)期,凈相對(duì)增長(zhǎng)（出生率和死亡率差值）是常數(shù),也就是單位時(shí)間內(nèi)人口增長(zhǎng)量與人口是正比,比例系數(shù)是,在上述假定下,推測(cè)且求解人口伴隨時(shí)間變動(dòng)的數(shù)學(xué)模型.解設(shè)時(shí)刻的人口是,把看做連續(xù)、可微函數(shù)處理（由于人口總數(shù)多,可近似處理,這就是離散變量連續(xù)化處理）,根據(jù)馬爾薩斯的假定,在到時(shí)間段內(nèi),人口增長(zhǎng)量是,并設(shè)時(shí)刻的人口為,于是主要是馬爾薩斯人口模型,使用分離變量法易得出解是,此時(shí)代表人口以指數(shù)規(guī)律伴隨時(shí)間無(wú)限增加。模型檢驗(yàn)：根據(jù)預(yù)估1961年地球上人數(shù)是,另外在此后7年內(nèi),人口總數(shù)依靠每年2%的速度增加,如此,,,因此.此公式相對(duì)精準(zhǔn)表現(xiàn)出在1700—1961年時(shí)間內(nèi)世界人口總數(shù).所以,此時(shí)期內(nèi)地球人口大概是每三十五年翻一番,其中根據(jù)以上公式可知34.6年增加一倍。然而,此后專家將美國(guó)人口當(dāng)做案例,使用馬爾薩斯模型統(tǒng)計(jì)結(jié)果和人口資料對(duì)比,得知其出現(xiàn)明顯的不同,特別是在使用此模型預(yù)估時(shí)間較長(zhǎng)地球人口總數(shù)時(shí),尋找出讓人無(wú)法相信的問(wèn)題,比如按照此類統(tǒng)計(jì)方式,在2670年,我們會(huì)出現(xiàn)36000億人口.假如地球全部是陸地（實(shí)際上,其表面依舊有80%不是陸地）,我們也必須彼此踩著肩膀站成兩層,因此不可能存在，所以,此模型需要改正.例2（邏輯Logistic模型）馬爾薩斯模型為什么不能預(yù)估此后人口呢？關(guān)鍵因素是當(dāng)前多種資源只能供相應(yīng)數(shù)目的人居住,伴隨人口增多,自然資源環(huán)境因素對(duì)人口增長(zhǎng)的約束影響開始更加明顯,假設(shè)在人口較少的時(shí)候,人口自然增長(zhǎng)率可被當(dāng)做常數(shù),因此在人口增加到相應(yīng)數(shù)目之后,此增長(zhǎng)率會(huì)伴隨人數(shù)增多而減少.所以,處理此模型內(nèi)有關(guān)凈增長(zhǎng)率是常數(shù)的假設(shè)問(wèn)題.1838年,荷蘭生物數(shù)學(xué)家韋爾侯斯特(Verhulst)借鑒常數(shù),以便表示自然環(huán)境條件所可以包容最多人口數(shù)（通常說(shuō)來(lái),某個(gè)國(guó)家工業(yè)化水平高,其生活空間就隨之增加,食物就增加,因此就越高）,且假定增長(zhǎng)率等于,是凈增長(zhǎng)率伴隨著的增加而減少,在時(shí),凈增長(zhǎng)率靠近零,按照上述假定創(chuàng)建人口預(yù)測(cè)模型.解根據(jù)韋爾侯斯特假設(shè),此模型要被修改成上式就是邏輯模型,此方程可分離變量,其解為,.下面,我們對(duì)模型作一簡(jiǎn)要分析.（1）當(dāng),,也就是無(wú)論人口的初值如何,人口總數(shù)趨向于極限值；（2）當(dāng)時(shí),,這說(shuō)明是時(shí)間的單調(diào)遞增函數(shù)；（3）因?yàn)?因此在時(shí),,單增；在時(shí),,單減,也就是人口增長(zhǎng)率從增變減,在處最大,換句話說(shuō)在人口總數(shù)達(dá)到極限值一半之前是加速生長(zhǎng)期,超過(guò)此點(diǎn)后,生長(zhǎng)速率開始降低，此外最終會(huì)變成零,這就是減速生長(zhǎng)期；3.3市場(chǎng)價(jià)格模型對(duì)于單純市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)來(lái)說(shuō),商品價(jià)格和市場(chǎng)供需兩者的關(guān)系有關(guān),市場(chǎng)價(jià)格可以加快商品的供應(yīng)和需求相等(其被叫做(靜態(tài))均衡價(jià)格).換句話說(shuō),假如不思考商品價(jià)格產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)過(guò)程,此時(shí)商品價(jià)格可以確保綜合供需均衡,然而,現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)價(jià)格并不會(huì)正好等于均衡價(jià)格,此外價(jià)格并非是靜態(tài),應(yīng)該伴隨時(shí)間而持續(xù)變動(dòng)。例3嘗試創(chuàng)建描述市場(chǎng)價(jià)格產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型解假設(shè)在某時(shí)刻,產(chǎn)品的價(jià)格是,其和均衡價(jià)格之間出現(xiàn)差異,這個(gè)時(shí)候,發(fā)生供需差,上述供需差催生價(jià)格變化.對(duì)全新價(jià)格,也會(huì)出現(xiàn)全新供需差,進(jìn)而持續(xù)調(diào)整,因此就是市場(chǎng)價(jià)格產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)過(guò)程,假定價(jià)格的變化率和需求、供給之差是正比,且記是需求函數(shù),是供給函數(shù)（是參數(shù)）,因此其中為商品在時(shí)刻的價(jià)格,為正常數(shù).若設(shè),,則上式變?yōu)? ①其中均為正常數(shù),其解為.下面對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行討論:設(shè)為靜態(tài)均衡價(jià)格,則其應(yīng)滿足,即 ,于是得,從而價(jià)格函數(shù)可寫為,令,取極限得 其表示,市場(chǎng)價(jià)格更加逼近均衡價(jià)格.比如初始價(jià)格,那么動(dòng)態(tài)價(jià)格就保持在均衡價(jià)格上,所有動(dòng)態(tài)過(guò)程就變成靜態(tài)過(guò)程；3.5廣告模型在產(chǎn)品銷售中，基本上不會(huì)出現(xiàn)像案例中講的只依靠產(chǎn)品本身做廣告，而是依靠多種媒體媒介進(jìn)行推廣。即便說(shuō)“只要是美的，人人喜歡”，“酒香不怕巷子深”，然而大眾逐漸了解到廣告的關(guān)鍵影響。本模型主要從數(shù)學(xué)層面分析探廣告和銷售量之間的關(guān)系，其表明廣告在產(chǎn)品的多個(gè)銷售時(shí)期的差距。伴隨社會(huì)的持續(xù)發(fā)展，產(chǎn)品廣告對(duì)公司運(yùn)作所具備的影響開始得到各界人士的承認(rèn)和的關(guān)注。產(chǎn)品廣告是調(diào)節(jié)是產(chǎn)品銷售量的最佳方式，但是，你是否掌握了廣告和銷售兩者間的本質(zhì)關(guān)系？怎樣評(píng)估各個(gè)階段的廣告成效？此問(wèn)題對(duì)于生產(chǎn)公司、對(duì)于部分為宣傳商品作廣告的公司來(lái)說(shuō)非常關(guān)鍵。接下來(lái)我們敘述獨(dú)家銷售的廣告模型。此時(shí)假定：1.產(chǎn)品銷售速度隨著廣告而加快，那么提高應(yīng)該有限定的數(shù)值，當(dāng)產(chǎn)品在市場(chǎng)呈現(xiàn)飽和狀態(tài)時(shí)，銷售速度也會(huì)逐漸達(dá)到極限值，當(dāng)速度達(dá)到極限值時(shí)，宣傳和廣告起不到任何作用了，銷售速度隨著降低。2.自然衰減是銷售速度的本質(zhì)屬性，也就是銷售速度會(huì)伴隨產(chǎn)品銷售率增多而縮減。3.讓表示時(shí)刻商品銷售速度；表示時(shí)刻廣告水平（使用費(fèi)用代表）；是銷售飽和水平，也就是行業(yè)對(duì)產(chǎn)品的最大容納能力，其代表銷售速度最高極限；是衰減因子，也就是廣告影響伴隨時(shí)間增加而隨之降低的速度，是常數(shù)。商品銷售速度隨著時(shí)間的變動(dòng)狀況：產(chǎn)品銷售速度的變化=增長(zhǎng)-自然衰減。為敘述產(chǎn)品銷售速度的增長(zhǎng)，根據(jù)模型假定1了解到產(chǎn)品銷售速度的凈增長(zhǎng)率就是產(chǎn)品銷售速度的減函數(shù)，此外出現(xiàn)飽和水平，促使。為簡(jiǎn)單起見，我們?cè)O(shè)為的線性減函數(shù)，則有，其中用表示響應(yīng)系數(shù)，即廣告水平對(duì)商品銷售速度的影響能力，為常數(shù)。因此可建立如下微分方程模型：。從模型方程可知，當(dāng)或時(shí)，都有 。為求解該模型，我們選擇一個(gè)廣告策略。在時(shí)間段內(nèi)，用于廣告的總費(fèi)用為，則，代入模型方程有。令，，則有。其解為。若令，則。當(dāng)時(shí)，模型為，其通解為，而時(shí)，所以。故。的圖形如圖6所示。圖5圖63.6生態(tài)數(shù)學(xué)模型創(chuàng)建單純生態(tài)數(shù)學(xué)模型能夠?qū)ΜF(xiàn)實(shí)中某種群的發(fā)展進(jìn)行預(yù)估，此類模型與預(yù)測(cè)人口的數(shù)學(xué)模型不一樣，在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中，人口預(yù)測(cè)只要思考基數(shù)，出生率與死亡率，然而在其余大部分生物種群內(nèi)，去除上述三點(diǎn)，也需要思考生物之間的捕食與競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，與種群發(fā)展環(huán)境的最大承載力等現(xiàn)實(shí)條件，因此給數(shù)學(xué)模型的創(chuàng)建產(chǎn)生明顯的問(wèn)題。然而利用微分方程依舊可以分步驟創(chuàng)建復(fù)雜環(huán)境內(nèi)的生態(tài)數(shù)學(xué)模型。假定出現(xiàn)生物種群，綜合數(shù)量是z（t）,（在總量較充足時(shí)可以當(dāng)做接連變動(dòng)的函數(shù)），單位時(shí)間內(nèi)自然增長(zhǎng)的數(shù)量是q（自然增長(zhǎng)數(shù)量=自然出生數(shù)量-自然死亡數(shù)量），s是比例系數(shù),。第一，不思考生物種群彼此間的捕食與競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，根據(jù)在人口數(shù)量預(yù)估的數(shù)學(xué)模型開展對(duì)比，首先創(chuàng)建的單純生態(tài)數(shù)學(xué)模型主要是：=s*z（0）上述模型和人口數(shù)量預(yù)測(cè)模型類似，主要將常微分方程當(dāng)做基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)模型，研究方式和數(shù)學(xué)模型相同。在上述模型的前提下。思考此種群的生存環(huán)境下對(duì)于此類生物的最大承載力是z’，不思考其余生物對(duì)此類生物種群的作用，依照Logistics模型類比，可得出下述方程：QUOTEdztdtdztdt=L*（1-QUOTEztz'zt通過(guò)運(yùn)用常微分方程的基本解方程思路——變量代換法進(jìn)行求解，可得： z（t）=QUOTEz'1+z'z0這種數(shù)學(xué)模型是根據(jù)馬爾薩斯模型的特征創(chuàng)建的，其本質(zhì)依然是常微分方程的理論系統(tǒng)，通過(guò)觀察上面的模型，可以觀察生物種群的自然增長(zhǎng)狀況與生物與環(huán)境兩者間的協(xié)調(diào)因素，和馬爾薩斯模型進(jìn)行比較，這種微分方程模型的準(zhǔn)確度是非常高的，但是過(guò)程也比較復(fù)雜。在持續(xù)分析生物彼此間的捕食與競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系時(shí)，以上模型依舊需要持續(xù)修改。假定出現(xiàn)多個(gè)種群，對(duì)雙方的種群數(shù)目增加具備阻滯影響，此外彼此影響的力度和不同種群的生物總量之間具有相應(yīng)的聯(lián)系。詳細(xì)表達(dá)式為:QUOTEdztdtdztdt=L*（1-QUOTEztz'ztz'）*[z（t）-QUOTEztv（t因此我們就可以知道，在生物數(shù)學(xué)模型內(nèi)，即便出現(xiàn)眾多客觀因素的影響，然而依據(jù)可以利用常微分方程創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型，此外，利用持續(xù)推導(dǎo)，可得到模擬程度比較高的數(shù)學(xué)模型。因此我們就可以得到結(jié)果，常微分方程在生物數(shù)學(xué)模型的創(chuàng)建時(shí)期具備關(guān)鍵價(jià)值。3.8捕魚業(yè)的持續(xù)收益問(wèn)題一、問(wèn)題提出在可持續(xù)發(fā)展的主要政策下，此時(shí)可以對(duì)此類資源的科學(xué)使用開展研究。如同漁業(yè)這般可再生資源在確保平穩(wěn)產(chǎn)量的基礎(chǔ)上怎樣得到最高利益，就開始得到產(chǎn)業(yè)內(nèi)人士的重視。接下來(lái)我們會(huì)分析漁場(chǎng)在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中的增長(zhǎng)規(guī)律，分析怎樣管控捕撈強(qiáng)度促使?jié)O場(chǎng)的魚量更加平穩(wěn)，確保在接連捕撈下得到最高利益。二、模型假設(shè)記時(shí)刻漁場(chǎng)中總魚量是，對(duì)漁場(chǎng)魚量的增長(zhǎng)與捕撈狀況進(jìn)行假定可知：1.在無(wú)捕撈條件下的增長(zhǎng)服從Logistic規(guī)律，也就是此處r是自然增長(zhǎng)率，N是環(huán)境能容納的最大魚量，表示要求的單位時(shí)間內(nèi)增長(zhǎng)量。2.每段時(shí)間的捕撈量和漁場(chǎng)魚量成正比，比例常數(shù)代表單位時(shí)間捕撈率,是捕撈強(qiáng)度，此處管控出海漁船數(shù)或捕撈時(shí)間間隔來(lái)管控捕撈強(qiáng)度的大小，因此單位時(shí)間內(nèi)的捕撈量是三、模型建立模型一：產(chǎn)量模型[9]根據(jù)以上假設(shè)記其中為漁場(chǎng)魚量，于是可得方程此處，不需要求方程（19）的解，只依照方程就可以了解漁場(chǎng)維持穩(wěn)定時(shí)相關(guān)因子滿足的條件就可以，或者說(shuō)是在t很大之后漁場(chǎng)魚量的發(fā)展走勢(shì)。所以，尋求方程（19）的平衡點(diǎn)，之后研究其平穩(wěn)性。令得到兩個(gè)平衡點(diǎn)，不難算出,，根據(jù)穩(wěn)定性觀點(diǎn)，在<時(shí)，平穩(wěn)，不穩(wěn)定;在>時(shí)，結(jié)果與之相反。假如E超過(guò)魚量的自然增長(zhǎng)率r,此時(shí)魚量會(huì)不斷減少乃至絕(也就是)。接下來(lái)敘述在漁場(chǎng)魚量平穩(wěn)在時(shí)，怎樣控捕撈強(qiáng)度促使持續(xù)產(chǎn)量最高。關(guān)注捕撈量滿足當(dāng)時(shí)達(dá)到最大值為由,,,這時(shí)E為也可用圖解法。由(17),(18)式作拋物線和直線，如圖1.圖7最大持續(xù)產(chǎn)量的圖解法在直角坐標(biāo)系內(nèi)設(shè)計(jì)出、的圖形,雙方交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是穩(wěn)定點(diǎn)（>0）或(=0),縱坐標(biāo)是對(duì)照的捕獲量.在直線通過(guò)拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，h為最大是，此時(shí)。根據(jù)上述分析，了解到把捕撈率制在固有增長(zhǎng)率的一半可以得到最高的持續(xù)產(chǎn)量。模型二：效益模型[9]從經(jīng)濟(jì)學(xué)層面分析此問(wèn)題是尋求最高效益。經(jīng)濟(jì)效益單純的說(shuō)是捕撈得到的效益去除開支后得到的效益。此時(shí)做出假設(shè)：捕獲魚銷售單價(jià)是p，單位成費(fèi)用是c，此時(shí)每單位收入T與支出S主要是,則單位時(shí)間的利潤(rùn)R為在穩(wěn)定條件下，把(20)式代入(25)式得由微分關(guān)系可得使R達(dá)到最大的ER為促使利潤(rùn)最高的漁場(chǎng)穩(wěn)定魚量和單位時(shí)間的漁場(chǎng)持續(xù)產(chǎn)量為對(duì)比可知，要確保最高效益，捕撈強(qiáng)度與持續(xù)產(chǎn)量都會(huì)出現(xiàn)降低，其中漁場(chǎng)需要維持的穩(wěn)定魚量也會(huì)增多，此外減少或增多部分伴隨成本的增加而增多，伴隨銷售價(jià)格的增多而縮減，滿足現(xiàn)實(shí)需求。

4總結(jié)本文利用以上部分對(duì)常微分方程、數(shù)學(xué)與常微分方程模型在具體建模內(nèi)使用的敘述，就可以了解到所有數(shù)學(xué)理論的出現(xiàn)全部是為了處理現(xiàn)實(shí)應(yīng)用過(guò)程內(nèi)的問(wèn)題.而所有數(shù)學(xué)模型的創(chuàng)建，全部是為了引導(dǎo)相關(guān)理論在現(xiàn)實(shí)生活內(nèi)的使用.常微分方程的出現(xiàn)與使用，主要是為了全面讓一般人了解數(shù)學(xué)知識(shí)，且全面的處理現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.當(dāng)前，數(shù)學(xué)模型逐漸普遍使用在社會(huì)的多個(gè)行業(yè)，民眾尋求定量研究與優(yōu)化決策，全部需要依靠數(shù)學(xué)模型．此類模型是為了處理實(shí)際問(wèn)題而創(chuàng)建的，其可以表現(xiàn)出現(xiàn)實(shí)情況，也可以呈現(xiàn)實(shí)際活動(dòng)的內(nèi)在規(guī)律與數(shù)目關(guān)系．?dāng)?shù)學(xué)模型是重要的模型，在特定時(shí)期也需要對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行相應(yīng)的簡(jiǎn)化與假定，最先要輕視實(shí)際問(wèn)題內(nèi)大量和數(shù)量沒有關(guān)系的因素．之后也需要輕視部分次要的數(shù)量條件，進(jìn)而從本質(zhì)上全面集中