2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破第8章平面解析幾何第5講橢圓第1課時考點(diǎn)3橢圓的幾何性質(zhì)

橢圓的幾何性質(zhì)角度1橢圓焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、焦距、長軸、短軸(2024·安徽蚌埠質(zhì)檢)若橢圓C：eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2)＝1的離心率為eq\f(\r(6),3)，則橢圓C的長軸長為(D)A．6 B．eq\f(2\r(6),3)或2eq\r(6)C．2eq\r(6) D．2eq\r(2)或2eq\r(6)[解析]當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時，由e＝eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2－m),\r(2))，解得m＝eq\f(2,3)，符合題意，此時橢圓C的長軸長為2eq\r(2)；當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時，由e＝eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(m－2),\r(m))，解得m＝6，符合題意，此時橢圓C的長軸長為2eq\r(m)＝2eq\r(6).故選D.名師點(diǎn)撥：研究橢圓幾何性質(zhì)的步驟(1)將所給方程化成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)形式．(2)根據(jù)方程判斷出橢圓的焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上．(3)準(zhǔn)確求出a，b進(jìn)而求出橢圓的其他特征值．角度2求橢圓離心率的值1.(2023·廣東廣州黃埔區(qū)模擬)若雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的兩條漸近線與橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的四個交點(diǎn)及橢圓M的兩個焦點(diǎn)恰為一個正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為(B)A.eq\r(2)－1 B．eq\r(3)－1C.eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)[解析]由題意知，雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的漸近線y＝eq\r(3)x與橢圓M在第一象限的交點(diǎn)與橢圓M的兩個焦點(diǎn)的連線相互垂直，則c＋eq\r(3)c＝2a，所以橢圓M的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,1＋\r(3))＝eq\r(3)－1.故選B.2．(2024·重慶巴南區(qū)診斷)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上不在坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N滿足eq\o(F1M,\s\up6(→))＝eq\o(MP,\s\up6(→))，2eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF2,\s\up6(→))，若四邊形MONP的周長等于4b，則橢圓C的離心率e＝(C)A.eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(6),3)[解析]由題意知點(diǎn)M、N分別為線段PF1、PF2的中點(diǎn)，又因點(diǎn)O為線段F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥PF2且|OM|＝eq\f(1,2)|PF2|，ON∥PF1且|ON|＝eq\f(1,2)|PF1|，所以四邊形MONP的周長為|PF1|＋|PF2|，又因點(diǎn)P為橢圓上不在坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，所以|PF1|＋|PF2|＝2a，所以2a＝4b，即eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，故橢圓C的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(3),2).故選C.3．(2024·浙江名校聯(lián)盟高考研究卷)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別是F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，過F2的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，若|OM|＝c(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，|MF1|＝3|NF2|，則橢圓C的離心率為(B)A.eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(2\r(5),5)[解析]如圖所示：設(shè)|NF2|＝m，因為|MF1|＝3|NF2|，所以|MF1|＝3m.又因為|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|MF2|＝2a－3m，即|MN|＝2a－2m.因為|NF1|＋|NF2|＝2a，所以|NF1|＝2a－m.因為|OM|＝c＝eq\f(1,2)|F1F2|，所以∠F1MF2＝90°.在Rt△MF1N中，(3m)2＋(2a－2m)2＝(2a－m)2，解得m＝eq\f(a,3)，即|MF1|＝|MF2|＝a，所以a2＋a2＝(2c)2，即a2＝2c2.所以e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,2)，e＝eq\f(\r(2),2).故選B.4．(2024·山西大同調(diào)研)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)P(3c,0)作直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，若eq\o(PM,\s\up6(→))＝2eq\o(NM,\s\up6(→))，|eq\o(F2M,\s\up6(→))|＝4|eq\o(F2N,\s\up6(→))|，則橢圓C的離心率為eq\f(\r(5),3).[解析]因為eq\o(PM,\s\up6(→))＝2eq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(PF1,\s\up6(→))＝2eq\o(PF2,\s\up6(→))所以F2N∥F1M，且|F2N|＝eq\f(1,2)|F1M|，延長MF1交橢圓于點(diǎn)Q，則由對稱性可設(shè)|F1Q|＝|F2N|＝t，|F1M|＝2t，|F2M|＝4t，|F2Q|＝2a－t，因為|F1M|＋|F2M|＝2a，所以t＝eq\f(a,3).則由|QM|＝a，|F2M|＝eq\f(4a,3)，|F2Q|＝eq\f(5a,3)，得∠QMF2＝90°，在△F1MF2中，由|F1M|2＋|F2M|2＝|F1F2|2可得5a2＝9c2，∴離心率e＝eq\f(\r(5),3).名師點(diǎn)撥：求橢圓離心率的方法(1)由已知條件列方程組，求出a，c(或a，b)的值，由e＝eq\f(c,a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或e＝\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)))求解．(2)由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解．注意e∈(0,1)．(3)通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．角度3求橢圓離心率的取值范圍1.(2024·河南許昌中學(xué)定位考試)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)．若橢圓上存在一點(diǎn)P使eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，則該橢圓的離心率的取值范圍為{e|eq\r(2)－1<e<1}.[解析]在△PF1F2中，由正弦定理知eq\f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq\f(|PF2|,|PF1|).因為eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，橢圓離心率e＝eq\f(c,a)，所以eq\f(|PF2|,|PF1|)＝eq\f(a,c)＝eq\f(1,e)，即|PF1|＝e|PF2|.①又因為點(diǎn)P在橢圓上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a，將①代入可得|PF2|＝eq\f(2a,e＋1).又a－c<|PF2|<a＋c，所以兩邊同除以a得1－e<eq\f(2,e＋1)<1＋e.又0<e<1，所以{e|eq\r(2)－1<e<1}．2．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相交，則橢圓C的離心率的取值范圍為(B)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),3)))[解析]由題設(shè)，以線段A1A2為直徑的圓為x2＋y2＝a2，與直線bx－ay＋2ab＝0相交，所以eq\f(2ab,\r(a2＋b2))<a，可得3b2＝3(a2－c2)<a2，即e2>eq\f(2,3)，又0<e<1，所以eq\f(\r(6),3)<e<1.故選B.名師點(diǎn)撥：求橢圓離心率取值范圍的方法一般借助幾何量的取值范圍(如|x|≤a，|y|≤b,0<e<1)建立不等關(guān)系，或者根據(jù)幾何圖形的臨界情況建立不等關(guān)系求解，或根據(jù)已知條件得出不等關(guān)系，直接轉(zhuǎn)化為含有a，b，c的不等關(guān)系求解，遇直線與橢圓位置關(guān)系通常由直線與橢圓方程聯(lián)立所得方程判別式Δ的符號求解．【變式訓(xùn)練】1．(角度1)橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，點(diǎn)P在C上，|F2P|＝2，∠F1F2P＝eq\f(2π,3)，則C的長軸長為(D)A．2 B．2eq\r(3)C．2＋eq\r(3) D．2＋2eq\r(3)[解析]橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，則c＝1，∵|PF2|＝2，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2，由余弦定理可得|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2－2|F1F2|·|PF2|·coseq\f(2π,3)，即(2a－2)2＝4＋4－2×2×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，解得a＝1＋eq\r(3)，a＝1－eq\r(3)(舍去)，∴2a＝2＋2eq\r(3)，故選D.2．(角度2)(2024·湖北宜荊荊隨聯(lián)考)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，若滿足|MF2|，|MN|，|NF2|成等差數(shù)列，且∠MF2N＝eq\f(π,3)，則C的離心率為(B)A.eq\f(3,4) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(2),2)[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|MF2|＋|MN|＋|NF2|＝4a，,|MF2|＋|NF2|＝2|MN|，))得到|MN|＝eq\f(4a,3)，設(shè)|MF2|＝eq\f(4a,3)－d，|NF2|＝eq\f(4a,3)＋d，在△MF2N中由余弦定理得d＝0，∴△MF2N為等邊三角形，則在△MF1F2中由|F1F2|＝eq\r(3)|MF1|得e＝eq\f(\r(3),3).3．(角度3)(2024·云南昆明一中雙基檢測)已知點(diǎn)P(x0，y0)是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點(diǎn)，若eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))≤0，則橢圓C的離心率的取值范圍是(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)