2025版高考數(shù)學一輪總復習素養(yǎng)提升第8章平面解析幾何第7講拋物線

巧解拋物線的切線問題1.(2024·江蘇南通如皋調(diào)研)過點P(m，－2)向拋物線x2＝4y引兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，直線AB恒過的定點為(0,2).[解析]解法一：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵y＝eq\f(1,4)x2，∴y′＝eq\f(1,2)x，∴kPA＝eq\f(1,2)x1＝eq\f(y1＋2,x1－m)＝eq\f(1,4)·eq\f(x\o\al(2,1)＋8,x1－m)，整理得xeq\o\al(2,1)－2mx1－8＝0，同理xeq\o\al(2,2)－2mx2－8＝0，即x1，x2為方程x2－2mx－8＝0的根，∴x1＋x2＝2m，x1x2＝－8.又kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,4)＝eq\f(m,2)，∴AB的方程為y－y1＝eq\f(m,2)(x－x1)，∴y－eq\f(1,4)xeq\o\al(2,1)＝eq\f(m,2)x－eq\f(mx1,2)，∴y＝eq\f(m,2)x－eq\f(x1x2,4)，∴y＝eq\f(m,2)x＋2，故直線AB過定點(0,2)．解法二：同解法一知y′＝eq\f(1,2)x，∴PA、PB的方程分別為y－y1＝eq\f(x1,2)(x－x1)、y－y2＝eq\f(x2,2)(x－x2)，即y＝eq\f(x1,2)x－y1、y＝eq\f(x2,2)x－y2，又PA、PB都過點P(m，－2)，∴－2＝eq\f(m,2)x1－y1，－2＝eq\f(m,2)x2－y2，∴AB的方程為－2＝eq\f(m,2)x－y，即y＝eq\f(m,2)x＋2，∴直線AB過定點(0,2)．2．(多選題)(2024·湖北九師聯(lián)盟聯(lián)考)已知拋物線C：x2＝－8y的焦點為F，過F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，分別過A，B兩點作C的切線l1，l2，且l1，l2相交于點P，則(BCD)A．|PF|＝4B．點P在直線y＝2上C．△PAB為直角三角形D．△PAB面積的最小值為16[解析]由題可知，拋物線C：x2＝－8y的焦點F(0，－2)，顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,x2＝－8y，))消去y并整理得x2＋8kx－16＝0，∴x1＋x2＝－8k，x1x2＝－16，由C：x2＝－8y得，y＝－eq\f(1,8)x2，∴y′＝－eq\f(1,4)x，故切線PA的方程為：y＋eq\f(1,8)xeq\o\al(2,1)＝－eq\f(1,4)x1(x－x1)，①故切線PB的方程為：y＋eq\f(1,8)xeq\o\al(2,2)＝－eq\f(1,4)x2(x－x2)，②聯(lián)立①②得x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－4k，y0＝2，∴P(－4k,2)，∵P(－4k,2)，F(xiàn)(0，－2)，∴|PF|＝eq\r(0＋4k2＋－2－22)＝4eq\r(k2＋1)≥4，故A不正確；∵P(－4k,2)，顯然點P在直線y＝2上，故B正確；∵eq\o(PA,\s\up6(→))＝(x1＋4k，y1－2)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(x2＋4k，y2－2)，y1＝－eq\f(1,8)xeq\o\al(2,1)，y2＝－eq\f(1,8)xeq\o\al(2,2)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(x1＋4k)(x2＋4k)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋4k(x1＋x2)＋16k2＋y1y2－2(y1＋y2)＋4，將y1y2＝eq\f(1,64)xeq\o\al(2,1)xeq\o\al(2,2)，y1＋y2＝－eq\f(1,8)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x1＋x22－2x1x2))，且x1＋x2＝－8k，x1x2＝－16，代入上式化簡得：∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，∴PA⊥PB，∴△PAB為直角三角形，故C正確；P到直線l的距離為：d＝eq\f(|－4k2－4|,\r(1＋k2))＝4eq\r(1＋k2)，|AB|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝8(1＋k2)，∴S△PAB＝eq\f(1,2)d|AB|＝16(1＋k2)eq\f(3,2)，當k＝0時，(S△PAB)min＝16，故D正確．故選BCD.名師點撥：利用導數(shù)工具解決拋物線的切線問題，使問題變得巧妙而簡單，若用判別式解決拋物線的切線問題，計算量大，易出錯．注意：(1)過拋物線C：x2＝2py(p>0)外一點P(x0，y0)引拋物線的兩條切線，切點分別為A、B，則AB：x0x＝p(y0＋y)．(2)直線與拋物線只有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件，過拋物線外一點與拋物線只有一個公共點的直線有0條或3條；過拋物線上一點和拋物線只有一個公共點的直線有2條．【變式訓練】(2023·山西忻州模擬)已知拋物線C：x2＝2y，直線l與拋物線C交于A，B兩點，過A，B分別作拋物線C的切線l1，l2若l1⊥l2，且l1與l2交于點M，則△MAB的面積的最小值為1.[解析]拋物線的方程為x2＝2y，即y＝eq\f(1,2)x2，所以y′＝x，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＝eq\f(1,2)xeq\o\al(2,1)，y2＝eq\f(1,2)xeq\o\al(2,2)，所以切線方程l1：y－eq\f(1,2)xeq\o\al(2,1)＝x1(x－x1)，l2：y－eq\f(1,2)xeq\o\al(2,2)＝x2(x－x2)，由于l1⊥l2，所以x1·x2＝－1，由題意可設(shè)直線l方程為y＝kx＋m，拋物線方程聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,x2＝2y，))得x2－2kx－2m＝0，所以Δ＝(－2k)2＋8m＝4k2＋8m>0，則x1＋x2＝2k，x1x2＝－2m＝－1，即m＝eq\f(1,2)，從而l：y＝kx＋eq\f(1,2)，聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x1x－\f(x\o\al(2,1),2)，,y＝x2x－\f(x\o\al(2,2),2)))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(x1x2,2)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝k，,y＝－\f(1,2)，))即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k，－\f(1,2)))，M點到直線l的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k·k＋\f(1,2)＋\f(1,2))),\r(1＋k2))＝eq\f(1＋k2,\r(