初三奧數(shù)之圓的對稱性

初三奧數(shù)之

圓的對稱性

專題18圓的對稱性

閱讀與思考

圓是一個對稱圖形.

首先，圓是一個軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，圓的對稱軸有無數(shù)條；同時，

圓又是一個中心對稱圖形，圓心就是對稱中心，圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都能夠與本身重合，這是圓特

有的旋轉(zhuǎn)不變性.

由圓的對稱性引出了許多重要的定理：垂徑定理及推論；在同圓或等圓中，圓心角、圓周角、弦、弦

心距、弧之間的關(guān)系定理及推論.這些性質(zhì)在計算和證明線段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有廣

泛的應(yīng)有.一般方法是通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，常與勾股定理和解直角三角形相結(jié)合使用.

熟悉以下基本圖形和以上基本結(jié)論.

我國戰(zhàn)國時期科學(xué)家墨翟在《墨經(jīng)》中寫道：“圓，一中間長也.”古代的美索不達米亞人最先開始制

造圓輪.日、月、果實、圓木、車輪，人類認識圓、利用圓，圓的圖形在人類文明的發(fā)展史上打下了深深

的烙印.

例題與求解

【例1】在半徑為1的。0中，弦A8,AC的長分別為百和J5,則NBAC度數(shù)為.

（黑龍江省中考試題）

解題思路：作出輔助線，解直角三角形，注AB與AC有不同位置關(guān)系.

由于對稱性是圓的基本特性，因此，在解決圓的問題時，若把對稱性充分體現(xiàn)出來，有利于圓的問題

的解決.

【例2】如圖，在三個等圓上各自有一條劣弧AB,CD,EF.如果AB+CD=EF,那么AB+CQ與

石戶的大小關(guān)系是（）

A.AB+CD=EFB.AB+CD>EF

C.AB+CD<EFD.A8+C。與E尸的大小關(guān)系不能確定

（江蘇省競賽試題）

解題思路：將弧與弦的關(guān)系及三角形的性質(zhì)結(jié)合起來思考.

【例3】⑴如圖1,己知多邊形A8OEC是由邊長為2的等邊三角形4BC和正方形BDEC組成，

。。過A,D,E三點、,求。。的半徑.

（2）如圖2,若多邊形ABOEC是由等腰△ABC和矩形BOEC組成，AB=AC=8A2,。。過4,D,E

三點，問。。的半徑是否改變？

（《時代學(xué)習(xí)報》數(shù)學(xué)文化節(jié)試題）

解題思路：對于⑴，給出不同解法：對于⑵，。的半徑不改變，解法類似⑴.

等邊三角形、正方形、圓是平面幾何圖形中最完美的圖形，本例表明這三個完美的圖形能合成一個從

形式到結(jié)果依然完美的圖形.

三個完美圖形的不同組合可生成新的問題，同學(xué)們可參照刻意練習(xí).

【例4】如圖，已知圓內(nèi)接△48C中，AB>AC,。為BAC的中點，DELABE.求證：BEP-A^AB

AC.

（天津市競賽試題）

解題思路：從化簡待證式入手，將非常規(guī)幾何問題的證明轉(zhuǎn)化為常規(guī)幾何題的證明.

圓是最簡單的封閉曲線，但解決圓的問題還要用到直線形的有關(guān)知識和方法.同樣，圓也為解決直線

形問題提供了新的途徑和方法，善于促成同圓或等圓中的弦、弦心距、弧、圓周角、圓心角之間相等或不

等關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化，是解圓相關(guān)問題的重要技巧.

【例5】在△ABC中，M是AB上一點，且4M2+8A/2+CM2=2AM+28M+2cM-3.若尸是線段AC上

的一個動點，是過P,M,C三點的圓，過P作PO〃AB交。。于點。.

⑴求證：M是A8的中點；

⑵求PC的長.（江蘇省競賽試題）

解題思路：對于⑴，運用配方法求出AM,BM,CM的長，由線段長確定直線位置關(guān)系；對于⑵，促

成圓周角與弧、弦之間的轉(zhuǎn)化.

【例6】已知AD是。。的直徑，AB,AC是弦，且A8=AC.

圖1圖3

⑴如圖1,求證：直徑A。平分NBAC；

⑵如圖2,若弦8c經(jīng)過半徑0A的中點E,尸是CO的中點，G是FB的中點，。。的半徑為1,求

弦FG的長；

（3）如圖3,在⑵中若弦BC經(jīng)過半徑04的中點E,P為劣弧上一動點，連結(jié)以，PB,PD,PF,求

PA+PF

證:的定值.

PB+PD

（武漢市調(diào)考試題）

解題思路：對于⑶，先證明/8必=/。/乎=30°,ZBPZ>60°,這是解題的基礎(chǔ)，由此可導(dǎo)出下列解題

突破口的不同思路：①由NB以==/OPF=30°,構(gòu)建直角三角形；②構(gòu)造%+PF,尸8+尸￡>相關(guān)線段；③取

8。的中點連結(jié)PM,聯(lián)想常規(guī)命題；等等.

本例實質(zhì)是借用了下列問題:

⑴如圖1,PA+PB=y/3PH-,⑵如圖2,PA+PB=PH；

a

⑶進一步，如圖3,若/APB=a,PH平分NAPB,則PA+PB=2PHcos—為定

2

值.

能力訓(xùn)練

A級

1.圓的半徑為5cm,其內(nèi)接梯形的兩底分別為6cm和8cm，則梯形的面積為cm2.

2.如圖，殘破的輪片上，弓形的弦A8長是40cm,高CO是5cm,原輪片的直徑是cm.

3.如圖，已知CC為半圓的直徑，ABlCD^f-B.設(shè)/AOB=a,則一sn—=.

BD2

（黑龍江省中考試題）

4.如圖，在R/aABC中，ZC=90°,AC=C,BC=1,若8c=1,若以C為圓心，C8的長為半徑的

圓交AB于P,則AP=（江蘇省宿遷市中考試題）

5.如圖，AB是半圓O的直徑，點P從點O出發(fā)，沿04—AB—80的路徑運動一周.設(shè)OP長為s,

運動時間為f,則下列圖形能大致地刻畫s與r之間的關(guān)系是（）

那么AC的長為（）

A.0.5cmB.1cmC.1.5cmD.2cm

（第8題圖）

7.如圖，A8為。。的直徑，CQ是弦.若A5=10cm,C￡>=8cm,那么A,8兩點到直線CQ的距離之

和為（）

A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm

8.如圖，半徑為2的。。中，弦AB與弦CD垂直相交于點P,連結(jié)0P.若OP=1,求AB2+CD2的

值.（黑龍江省競賽試題）

9.如圖，AM是。。的直徑，過。。上一點8作于N,其延長線交。。于點C,弦CQ交

AM于點￡

（1）如果CDJ_A8,求證：EN=NM；

⑵如果弦CD交48于點F,KCD=AB,求證：CEr^EF-ED-,

（3）如果弦CD,AB的延長線交于點F,且CQ=AB,那么⑵的結(jié)論是否仍成立？若成立，請證明；若

不成立，請說明理由.

（重慶市中考試題）

1

10.如圖，。0的內(nèi)接四邊形A8MC中，AB>AC,M是的中點，MHLAB于點H.求證:BH=一

2

(AB-AC).

（河南省競賽試題）

（第10題圖）

11.⑴如圖1,圓內(nèi)接△ABC中，AB=BC=CA,OD,OE為。。的半徑，O￡）J_3c于點F,OE_LAC于

點G.求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是AABC面積的1.

3

⑵如圖2,若/QOE保持120°角度不變，求證：當NDOE繞著。點旋轉(zhuǎn)時，由兩條半徑和AABC的

兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是AABC的面積的

3

AA

E

DD

圖1圖2

12.如圖，正方形ABC。的頂點A,。和正方形JKLM的頂點K,Z.在一個以5為半徑的。。上，點

J,M在線段BC上.若正方形A8CQ的邊長為6,求正方形JKLM的邊長.

（上海市競賽試題）

（第12題圖）

B級

1.如圖，AB是。。的直徑，CO是弦，過A,8兩點作CD的垂線，垂足分別為E,F.若AB=10,

AE=3,BF=5,則EC=.

（第1題圖）

2.如圖，把正三角形ABC的外接圓對折，使點A落在8C的中點H上，若BC=5,則折痕在△ABC

內(nèi)的部分DE長為.（寧波市中考試題）

3.如圖，已知。。的半徑為R,C,。是直徑AB同側(cè)圓周上的兩點，AC的度數(shù)為96°,8。的度數(shù)

為36°.動點尸在AB上，則CP+PD的最小值為.

（陜西省競賽試題）

4.如圖，用3個邊長為1的正方形組成一個對稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑是（）

/T-V555V17

A.V2B.——C.-D.——

2416

5.如圖，AB是半圓。的直徑，C是半圓圓周上一點,M是AC的中點，MNLAB于N,則有（

）

IB.MN監(jiān)AC3V3

A.MN=-ACC.MN=—ACD.MN=—AC

2253

（武漢市選拔賽試題）

第4題圖第5題圖

6.已知，AB為。。的直徑，。為AC的中點，DELAB于點E,且QE=3.求AC的長度.

7.如圖，己知四邊形ABC。內(nèi)接于直徑為3的。。；對角線AC是直徑，對角線4c和8。的交點為

P,AB=BD,且PC=0.6,求四邊形ABC。的周長.

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

8.如圖，已知點4,B,C,。順次在。。上，AB=BD,BM_LAC于M.求證：AM=DC+CM.

（江蘇省競賽試題）

（第8題圖）

9.如圖，在直角坐體系中，點8,C在x軸的負半軸上，點4在y軸的負半軸上，以AC為直徑的圓

與AB的延長線交于點。，CD=AO,如果4B=10,AO>BO,且40,8。是x的二次方程/+入+48=0

的兩個根.

⑴求點D的坐標；

⑵若點P在直徑AC上，且AP=14C,判斷點（-2,10）是否在過D,P兩點的直線上，并說明理

4

由.（河南省中考試題）

X

（第9題圖）

10.⑴如圖1,已知PA,PB為。。的弦，C是劣弧的中點，直線CC用于點E,求證:AE=PE+PB.

⑵如圖2,已知B4,PB為。。的弦，C是優(yōu)弧A8的中點，直線CC_L以于點E,問：AE,PE與PB

之間存在怎樣的等量關(guān)系？寫出并證明你的結(jié)論.

11.如圖，已知弦CO垂直于。。的直徑4B于心，弦4E平分半徑OC于”.求證：弦力E平分弦8c

于M（全俄奧林匹克競賽試題）

C

HE

（第11題圖）

12.如圖，在△ABC中，。為AC邊上一點，且A&OC+C8,過及作AC的垂線交△48C的外接圓于

M,過M作48的垂線MN,交圓于M求證：MN為△ABC外接圓的直徑.

M

N

（第12題圖）

專題18圓的對稱性

例115?；?5。提示：分48、AC在圓心。同側(cè)、異側(cè)兩種情況討論.

例2B

例3(1)解法一：如圖，將正方形BOEC上的等邊△ABC向下平移，使其底邊與OE重

合，得等邊ZiOOE.：A、B、C的對應(yīng)點是0、D、E,：.OD=AB,OE=AC,A0=BD.V

等邊△ABC和正方形BOEC的邊長都是2,.?.4B=BD=AC=2,：

A、D、E三點確定一圓，。至IJA、D、E三點的距離相等.二。點為圓心，0A為半徑，

,該圓的半徑為2.解法二：如圖，將AA8C平移到△ODE位置，并作AFLBC,垂足為尸,延長交DE于

在「△ABC為等邊三角形，垂直平分8C,???四邊形BQEC為正方形，垂直

平分正方形邊又是圓的弦，.必過圓心，記圓心為。點，并設(shè)00的半徑

為八在Rra/b尸中，?:NBAF=30°,：.AF=ABcos300=2x^=6,：.OH^AF+

2

FH-0A=>/3+2~r.在RsODH中,OH2+DH2=OD2,?.(73+2-r)2+12=^,解得

r=2.

(2)00的半徑不變，因為AB=AC=B￡>=2,此題求法和(1)一樣，。。的半徑為2.

例4提示：BD2-AD2=(BE2+ED2)-(AE2+ED2)=(BE+AE)(BE-AE)=AB(BE-AE),只需要證明AC

=BE-4E即可.在BA上截取BF=AC.連。F可證明aOB尸絲△〃"，則。F=AD,AE=EF.

例5(1)由條件，得(AM—1)2+(BM-1)2+(CM—1)2=O,：.AM=BM=CM=\.因此，M是AB中點，

且/4CB=90。.(2)由(1)知，/A=/PCM,XPD//AB,:.乙A=4CPD,NPCM=NCPD,因止匕，

CD=PM,CPM=DCP,于是有QP=CM=1.

例6(1)連結(jié)3。、CD,是直徑，所以NABO=NACC=90。，又：AB=AC,AD=AD,:4ABD

妾△AC￡),；.NBAD=NDAC,平分NBAC.(2)連結(jié)。8、OC,則OA_LBC,又AE=OE,得A3

=80=0A=0C,△A08,△AOC都為等邊三角形，連結(jié)0G,則NGOF=90。，F(xiàn)G=&.(3)取80

的中點M,過M作MSJ■外于S,于7,連AM,FM.NBPM=NDPM=30°,ZAPM=Z

FPM=60°,則MS=MT,MA=MF,Rt^ASM^Rt/\FTM,RmPMSmRtAPMF.：.PS=-PM.：.PA+

2

PF=2PS=2PT=PM.同理可證：PB+PD=&M.以士竺=/^-=2=且為定值.

PB+PDgpM733

h

A級1.49或72.853.14.—5.C6.D1.D8.過。點作OE_LAB于E,OFLCD

3

于F,連結(jié)OD,OA,則AE=BE,CF=DF,,：OE2=AO1-AE2=(4--AB2),OF2=OD2~FD2=4--CD1,

44

：.OE2+OF2=(4-AB2)+(4-CD2)=PF2+OF2=OP2=}2,即4-；AB?+4-；C￡>2=1,故

714

=28.得xi=-3(舍去)，X2=5,，正方形JKLM的邊長為亍.

B級上.2加一3提示:作OMJ_CD于M,則EC=T(EF-CD).2.y3.小R提示:設(shè)D'是D點關(guān)于直

徑AB對稱的點，連結(jié)CD,交AB于P,則P點使CP+PD最小，ZCOD'=120°,CP+PD=CP+PD'=

CD'=V3R.

的得錯誤,，解得f誤!，『錯誤!

4.D提示：如圖:

5.A提示:連結(jié)0M,則OMJ_AC.

6.解法一:連結(jié)OD交AC于點F,為錯誤!的中點，；.AC_LOD,AF=CF.XDEIAB,AZDEO=Z

AFO.，Z^ODEg/iOAF".AF=DE.：DE=3，AC=6.解法二:延長DE交。O于點G,易證錯誤!=2錯誤!

=錯誤!+錯誤!=錯誤!，則DG=AC=2DE=6.

7.連結(jié)BO并延長交AD于H,因AB=BD,故BH_LAD,又NADC=90°,則BH〃CD,從而△OPBs

△CPD,得器=需，艮喂=15合6,解得CD=1.于是AD=#AC2—CD2=2吸,又OH=1cD=T，則

AB=