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數(shù)學(xué)中考綜合模擬檢測(cè)試題
學(xué)校班級(jí).姓名成績(jī).
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1.—2020的絕對(duì)值的倒數(shù)是()
2.窗板即窗格(窗里面的橫的或豎的格)是中國(guó)傳統(tǒng)木構(gòu)建筑的框架結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),下列表示我國(guó)古代窗板樣
式結(jié)構(gòu)圖案中,是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形的是()
3.如圖,直線a,b被直線c,d所截,若Nl=/2,Z3=125°,則/4的度數(shù)為().
A.55°B.60°C.70°D.75°
4.關(guān)于龍的一元二次方程N(yùn)+日-2=。(左為實(shí)數(shù))根的情況是()
A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C.沒有實(shí)數(shù)根D.不能確定
5.從一個(gè)邊長(zhǎng)為3c機(jī)的大立方體挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為1cm的小立方體,得到的幾何體如圖所示,則該幾何體的
左視圖正確的是()
6.研究表明,某新型冠狀病毒體大小約為125納米也就是0.125微米,而95口罩能過濾0.3微米的顆粒,
并不能將病毒過濾,口罩的作用是阻擋病毒傳播的“載體”,而非直接擋住病毒.1納米就是0.000000001
米.那么0.3微米用科學(xué)記數(shù)法表示為()
A.3x10-米B.0.3x10-8米C.3x105*D.3x10'米
7.48和。石是直立在水平地面上的兩根立柱,AB=7米,某一時(shí)刻測(cè)得在陽光下的投影3c=4米,同
時(shí),測(cè)量出0E在陽光下的投影長(zhǎng)為6米,則。E的長(zhǎng)為()
1421247
A.一米B.一米C.三米D.一米
3276
8.如圖,點(diǎn)4坐標(biāo)是(—3,0),點(diǎn)3的坐標(biāo)是(0,8),C為08的中點(diǎn),將□ABC繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。
后得到△A'BC',若反比例函數(shù)y=七的圖象恰好經(jīng)過A3的中點(diǎn)。,則上的值是()
X
A.24B.25C.26D.30
9.如圖,=60°,以點(diǎn)O為圓心,以任意長(zhǎng)為半徑作弧交Q4,05于C,。兩點(diǎn);分別以C,D
為圓心,以大于工CD的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)P;以。為端點(diǎn)作射線OP,在射線OP上截取線
2
段Q0=6cm,則射線上與點(diǎn)M的距離為2Am的點(diǎn)有()
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.0個(gè)
10.如圖,口。中,AB=AC^ZACB=75°,BC=4,陰影部分的面積是()
8乃4〃c47r
A.—+o8B.4百+——C.8H-----
333
二、填空題(共5小題,每小題3分,滿分15分)
11.方程(x-2)卜+'=0解為.
12.在平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)A坐標(biāo)(-2,4),點(diǎn)3坐標(biāo)(-4,0),點(diǎn)尸是線段A3的中點(diǎn),若以原點(diǎn)。為位
似中心,把線段A3縮小為原來的|■得到線段A2',則點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸'坐標(biāo)是.
13.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于口。,若四邊形ABCO是平行四邊形,則/ADC大小為.
14.如圖,一架長(zhǎng)為6米的梯子A5斜靠在一豎直的墻AO上,這時(shí)測(cè)得NABO=70。,如果梯子的底端B
外移到。,則梯子頂端A下移到C,這時(shí)又測(cè)得NCDO=50°,那么AC的長(zhǎng)度約為
米.(sin70°?0.94,sin50°~0.77,cos70°?0.34,cos50°~0.64)
15.如圖,將一張矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C',再將所折得的圖形沿EF折疊,
使得點(diǎn)D和點(diǎn)A重合?若AB=3,BC=4,則折痕EF的長(zhǎng)為
c
、D
B
三、解答題(共3小題,滿分75分)
16.(1)+V27-2tan30o-(a:-l)(,;
(2)解方程:
①3x—(%-1)—3—2(%+3);
②x(x—7)=8(7—x).
17.如圖,己知菱形中ABCD,且440=60。延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E,使連接和CE.
(1)求證:LDAB沿5BE;
(2)求證:四邊形DBEC是菱形.
18.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)丁=左逮+6的圖象與反比例函數(shù)丁=8的圖象交于4(4,—2),
X
3(—2,”)兩點(diǎn),與無軸交于點(diǎn)C.
(1)請(qǐng)直接寫出不等式勺X+)<&的解集;
x
(2)將x軸下方的圖象沿?zé)o軸翻折,點(diǎn)A落在點(diǎn)4處,連接A3,AC,求口48。的面積.
19.“一方有難,八方支援”是中華民族的傳統(tǒng)美德.2月20日13時(shí)25分,山西第12批支援武漢醫(yī)療隊(duì)
整裝出發(fā),在抗擊新冠病毒戰(zhàn)役中,我省支援湖北醫(yī)療隊(duì)共1500多人奔赴武漢.其中小麗、小王和三個(gè)同
事共五人直接派往一線某醫(yī)院,根據(jù)該醫(yī)院人事安排需要先抽出一人去急診科,再派兩人到發(fā)熱門診,請(qǐng)
你利用所學(xué)知識(shí)完成下列問題.
(1)小麗被派往急診科的概率是;
(2)若正好抽出她們一同事去往急診科,請(qǐng)你利用畫樹狀圖或列表方法,求出小麗和小王同時(shí)被派往發(fā)
熱門診的概率.
20.為確保貧困人口到2020年底如期脫貧,習(xí)總書記提出扶貧開發(fā)“貴在精準(zhǔn),重在精準(zhǔn),成敗之舉在于
精準(zhǔn)”,近年來扶貧工作小組對(duì)果農(nóng)進(jìn)行精準(zhǔn)扶貧,幫助果農(nóng)因地制宜種植一種有機(jī)生態(tài)水果并拓寬了市
場(chǎng),有機(jī)生態(tài)水果產(chǎn)量呈逐年上升,去年這種水果產(chǎn)量是畝產(chǎn)約1000千克.
(1)預(yù)計(jì)明年這種水果產(chǎn)量要達(dá)到畝產(chǎn)1440千克,求這種水果畝產(chǎn)量去年到明年平均每年的增長(zhǎng)率為多
少?
(2)某水果店從果農(nóng)處直接以每千克24元批發(fā),專營(yíng)這種水果.調(diào)查發(fā)現(xiàn),若每千克的平均銷售價(jià)為41
元,則每天可售出300千克,若每千克的平均銷售價(jià)每降低3元,每天可多賣出180千克,設(shè)水果店一天的
利潤(rùn)為3元,當(dāng)每千克的平均銷售價(jià)為多少元時(shí).該水果店一天的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?(利潤(rùn)計(jì)
算時(shí),其它費(fèi)用忽略不計(jì))
21.在探究銳角三角函數(shù)的意義的學(xué)習(xí)過程中,小亮發(fā)現(xiàn):“如圖1,在RtZkABC中,ZC=90°,可探
究得到」n=‘h一”
sinAsinB
(1)請(qǐng)你利用圖1探究說明小亮的說法是否正確;
(2)小麗猜想“如果在鈍角三角形中,兩個(gè)銳角正弦值與它們所對(duì)邊的邊長(zhǎng)之間也有一定的關(guān)系“在圖2
的鈍角口的。中,是鈍角,請(qǐng)你利用圖2幫小麗探究一L與二一之間的關(guān)系,并寫出探究過程.
sinAsinC
nhc
(3)在銳角口ABC中,——,——之間存在什么關(guān)系,請(qǐng)你探究并直接寫出結(jié)論.
sinAsinBsinC
22.閱讀材料:
我們知道:一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn),過另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別向該直線作垂線,即可得三垂
直模型”如圖①,在口45。中,NACB=90°,AC=BC,分別過A、3向經(jīng)過點(diǎn)C直線作垂線,垂足
分別為。、E,我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論:AADC^ACEB.
(1)探究問題:如果ACwBC,其他條件不變,如圖②,可得到結(jié)論;△ADCs^CEB.請(qǐng)你說明理
由.
(2)學(xué)以致用:如圖③,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y與直線CD交于點(diǎn)"(2,1),且兩直線夾角
3
為a,且tana=—,請(qǐng)你求出直線CD的解析式.
2
(3)拓展應(yīng)用:如圖④,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,點(diǎn)、E為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)、,連接AE,將
線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,點(diǎn)A落在點(diǎn)P處,當(dāng)點(diǎn)P在矩形A5CD外部時(shí),連接PC,PD.若
△0PC為直角三角形時(shí),請(qǐng)你探究并直接寫出破的長(zhǎng).
23.如圖,已知拋物線、=加+法+。(。W0)經(jīng)過A(—LO),C(0,2),對(duì)稱軸為直線》=萬.
(1)求該拋物線和直線的解析式;
(2)點(diǎn)G是直線上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)G點(diǎn)的橫坐標(biāo)為加,試用含加的代數(shù)式表示DGBC的面積,
并求出DGBC面積的最大值;
(3)設(shè)P點(diǎn)是直線%=1上一動(dòng)點(diǎn),"為拋物線上的點(diǎn),是否存在點(diǎn)",使以點(diǎn)3、C、P、"為頂點(diǎn)
的四邊形為平行四邊形,若存在,請(qǐng)直接寫出符合條件的所有點(diǎn)“坐標(biāo),不存在說明理由.
答案與解析
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1.—2020的絕對(duì)值的倒數(shù)是()
11
A.-2020B.2020C.------D.--------
20202020
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)絕對(duì)值和倒數(shù)的定義求解.
【詳解】解:—2020的絕對(duì)值的倒數(shù)是一^
2020
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值和倒數(shù)的定義,掌握概念正確求解是解題關(guān)鍵.
2.窗板即窗格(窗里面的橫的或豎的格)是中國(guó)傳統(tǒng)木構(gòu)建筑的框架結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),下列表示我國(guó)古代窗根樣
式結(jié)構(gòu)圖案中,是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形的是()
A.B.
國(guó)
函
國(guó)
一
函
函
SI一
耨
函
囑
D.函
國(guó)
函
初
囹
一
一
一
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解.
【詳解】解:A、是中心對(duì)稱圖形,但不是軸對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)正確;
B、是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、是軸對(duì)稱圖形,也是中心對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、是軸對(duì)稱圖形,也是中心對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念:軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸,圖形兩部分沿
對(duì)稱軸折疊后可重合;中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心,旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.
3.如圖,直線a,b被直線c,d所截,若N1=N2,Z3=125°,則N4的度數(shù)為().
A.55°B.60°C.70°D.75°
【答案】A
【解析】
試題分析::/l=N2,.?.a〃b,,N3的對(duì)頂角+N4=180。,N3的對(duì)頂角=/3=125。,,/4=180。-125。=55。,
故選A.
考點(diǎn):平行線的性質(zhì)與判定.
4.關(guān)于尤的一元二次方程/+區(qū)-2=。(左為實(shí)數(shù))根的情況是()
A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C.沒有實(shí)數(shù)根D.不能確定
【答案】A
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的根的判別式即可求
【詳解】由根的判別式得,△=b2-4ac=k2+8>0
故有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
故選A.
【點(diǎn)睛】此題主要考查一元二次方程的根的判別式,利用一元二次方程根的判別式(A=b2-4ac)可以判斷方
程的根的情況:一元二次方程的根與根的判別式有如下關(guān)系:①當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
②當(dāng)△=()時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;③當(dāng)△<()時(shí),方程無實(shí)數(shù)根,上述結(jié)論反過來也成立.
5.從一個(gè)邊長(zhǎng)為3c機(jī)的大立方體挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為1cm的小立方體,得到的幾何體如圖所示,則該幾何體的
左視圖正確的是()
【答案】c
【解析】
【詳解】左視圖就是從物體的左邊往右邊看.小正方形應(yīng)該在右上角,故B錯(cuò)誤,看不到的線要用虛線,
故A錯(cuò)誤,大立方體的邊長(zhǎng)為3cm,挖去的小立方體邊長(zhǎng)為1cm,所以小正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)該是大正方形工,
3
故D錯(cuò)誤,所以C正確.
故此題選C.
6.研究表明,某新型冠狀病毒體大小約為125納米也就是0.125微米,而95口罩能過濾0.3微米的顆粒,
并不能將病毒過濾,口罩的作用是阻擋病毒傳播的“載體”,而非直接擋住病毒.1納米就是0.000000001
米.那么0.3微米用科學(xué)記數(shù)法表示為()
A.3x10-9米B.0.3x10-8米C.3義103米D.3x10-7米
【答案】D
【解析】
【分析】
絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示,一般形式為axlO-n,與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所
使用的是負(fù)指數(shù)幕,指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.
【詳解】解:VI微米=0.000001米=1x10-6米
.1.0.3微米=0.3x1x10-6米=3x10-7米
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù),一般形式為axlO,其中上閭<10,n為由原數(shù)左邊起第一
個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.
7.A5和。E是直立在水平地面上的兩根立柱,AB=7米,某一時(shí)刻測(cè)得在陽光下的投影=4米,同
時(shí),測(cè)量出0E在陽光下的投影長(zhǎng)為6米,則。E的長(zhǎng)為()
1421247
A.—米B.—米C.—米D.一米
3276
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)在同一時(shí)刻,不同物體的物高和影長(zhǎng)成比例,構(gòu)建方程即可解決問題.
【詳解】解:如圖,在測(cè)量AB的投影時(shí),同時(shí)測(cè)量出DE在陽光下的投影長(zhǎng)EF為6m,
VAABC^ADEF,AB=7m,BC=4m,EF=6m
.ABDE
???7-DE9
46
21、
DE=——(m)
2
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了平行投影,解題的關(guān)鍵是記住在同一時(shí)刻,不同物體的物高和影長(zhǎng)成比例.
8.如圖,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(—3,0),點(diǎn)3的坐標(biāo)是(0,8),C為08的中點(diǎn),將□ABC繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。
后得到△A'BC',若反比例函數(shù)y=上的圖象恰好經(jīng)過43的中點(diǎn)。,則上的值是()
A.24B.25C.26D.30
【答案】C
【解析】
【分析】
作ATi_Ly軸于H.證明AAOB四△BHA,(AAS),推出OA=BH,OB=A,H,求出點(diǎn)A,坐標(biāo),再利用中點(diǎn)
坐標(biāo)公式求出點(diǎn)D坐標(biāo)即可解決問題.
【詳解】解:作AHLy軸于H.
ZAOB=ZArHB=ZABAr=90°,
ZABO+ZArBH=90°,ZABO+ZBAO=90°,
.'.ZBAO=ZArBH,
VBA=BA\
???△AOBdBHA'(AAS),
???OA=BH,OB=AH,
???點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-3,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,8),
AOA=3,OB=8,
.\BH=OA=3,A'H=OB=8,
???OH=5,
???A'(8,5),
,.,BD=AD,
?,13、
??D(4,—),
2
..?反比例函數(shù)y=月的圖象經(jīng)過點(diǎn)D,
x
13
.\k=4Ax——=26.
2
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征,坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)
添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題,屬于中考選擇題中的壓軸題.
9.如圖,ZA(9B=60°,以點(diǎn)。為圓心,以任意長(zhǎng)為半徑作弧交。4,08于C,。兩點(diǎn);分別以C,D
為圓心,以大于工⑺長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)P;以。為端點(diǎn)作射線0尸,在射線OP上截取線
2
段0/0=6的,則射線。4上與點(diǎn)〃的距離為26的的點(diǎn)有()
c,
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.0個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】
利用角平分線的作法得出0P是NAOB的角平分線,再利用含30。直角三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)M到OA的距
離,然后根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求得答案.
【詳解】解:過點(diǎn)M作MELOA于點(diǎn)E,
由題意可得:OP是NAOB角平分線,
貝iJ/POA」x6(F=30。,
2
.?.ME=—OM=3.
2
,-"3<2A/3<6
.?.以M為圓心,2石為半徑的圓與射線OA相交,
???則射線Q4上與點(diǎn)〃的距離為26cm的點(diǎn)有2個(gè)
【點(diǎn)睛】此題主要考查了基本作圖以及含30度角的直角三角形,正確得出OP是/AOB的角平分線并掌握
直線與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵.
10.如圖,口。中,AB=AC>ZACB=15°,BC=4,陰影部分的面積是()
8〃c彳64〃c47rA匚8兀
A.---F8B.413H----C.8H----D.4,3+—
3333
【答案】A
【解析】
【分析】
連接OB、OC,先利用同弧所對(duì)的圓周角等于所對(duì)的圓心角的一半,求出扇形的圓心角為60度,即可求出
半徑的長(zhǎng)4,利用三角形和扇形的面積公式即可求解;
【詳解】解:作ODLBC,貝!JBD=CD,連接OB,OC,
,:AB=AC
.\AB=AC,
???A在BC的垂直平分線上,
:.A、O、D共線,
VZACB=75°,AB二AC,
???NABC=NACB=75。,
???NBAC=30。,
???ZBOC=60°,
VOB=OC,
.'.△BOC是等邊三角形,
.\OA=OB=OC=BC=4,
VADXBC,AB=AC,
.?.BD=CD,
.?.00=273
.?.AD=4+25
SAABC=~BC*AD=—x4x(4+2-^3)=8+,
SABOC=—BC,OD=-x4x2A/3=4>/3,
22
60萬x42
S陰影=SAABC+S??BOC-SABOC=8+4A/3+-473
360
上+8
3
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的面積公式,圓周角定理,垂徑定理等,明確S陰影=SAABC+S扇形BOC-SABOC是解
題的關(guān)鍵.
二、填空題(共5小題,每小題3分,滿分15分)
11.方程(》-2)卜+5]=0的解為
【答案】七=2,x2=——
【解析】
【分析】
因式分解法解方程直接作答即可.
【詳解】解:(x-2)lx+1j=0
%-2=0或x+工=0
2
解得:X]=2,x2=—
2
故答案為:X]=2,x2=――.
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解法解一元二次方程,題目簡(jiǎn)單.
12.在平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)A坐標(biāo)(—2,4),點(diǎn)B坐標(biāo)(—4,0),點(diǎn)尸是線段A3的中點(diǎn),若以原點(diǎn)。為位
似中心,把線段A3縮小為原來的;得到線段45',則點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸'坐標(biāo)是.
【答案】[-川喉t]
【解析】
【分析】
利用中點(diǎn)公式求得點(diǎn)P的坐標(biāo),然后利用位似圖形的性質(zhì),結(jié)合兩圖形的位似比進(jìn)而得出尸'點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】解:由A(—2,4),B(T,o),點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn),
.-.P(-3,2)
1/以原點(diǎn)0為位似中心,線段AB縮小為原來的-得到線段A'B',
2
:.Af(-1,2),B'(-2,0)或"(1,-2),B'(2,0);
;.點(diǎn)p的對(duì)應(yīng)點(diǎn)p'或i]
故答案為:或|LI].
【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似圖形的性質(zhì),利用兩圖形的位似比得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)關(guān)系是解題關(guān)鍵.
13.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于口。,若四邊形ABCO是平行四邊形,則ZADC的大小為.
【答案】60°
【解析】
分析:根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到/D+/B=180。,根據(jù)圓周角定理得到ND=5/AOC,根據(jù)平行四邊形的
性質(zhì)列式計(jì)算即可.
詳解:四邊形ABCD內(nèi)接于。O,;.ZD+ZB=180°,
由圓周角定理得,ZD=^-ZAOC,
,/四邊形ABCO是平行四邊形,
AZABC=ZAOC;.".2ZD=180o-ZD,
解得:ZD=60°,
故答案為60°.
點(diǎn)睛:本題主要考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理和平行四邊形的性質(zhì),掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)
角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.
14.如圖,一架長(zhǎng)為6米的梯子A5斜靠在一豎直的墻A0上,這時(shí)測(cè)得NABO=70。,如果梯子的底端5
外移到。,則梯子頂端A下移到C,這時(shí)又測(cè)得NCDO=50°,那么AC的長(zhǎng)度約為
米.(sin70°?0.94,sin50°~0.77,cos700~0.34,cos50°~0.64)
【答案】1.02
【解析】
【分析】
直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出AO,CO的長(zhǎng),進(jìn)而得出答案.
【詳解】由題意可得:
VZABO=JO°,AB=6m,
"°°=翁小94
解得:AO=5.64(m),
VZCDO=50°,DC=6m,
co
sin50°=—?0.77,
6
解得:CO=4.62(m),
則AC=5.64-4.62=1.02(m),
答:AC的長(zhǎng)度約為1.02米.
故答案為1.02.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用,正確得出AO,CO的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.
15.如圖,將一張矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C',再將所折得的圖形沿EF折疊,
使得點(diǎn)D和點(diǎn)A重合?若AB=3,BC=4,則折痕EF的長(zhǎng)為.
【答案】—
12
【解析】
【分析】
首先由折疊的性質(zhì)與矩形的性質(zhì),證得DBND是等腰三角形,則在RtDABN中,利用勾股定理,借助于
方程即可求得AN的長(zhǎng),又由口人沖取口。??,易得:NFDM=/ABN,由三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得
MF的長(zhǎng),又由中位線的性質(zhì)求得EM的長(zhǎng),則問題得解
【詳解】如圖,設(shè)BC'與AD交于N,EF與AD交于M,
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得:/NBD=/CBD,AM=DM=—AD,/FMD=/EMD=90°,
2
?.?四邊形ABCD矩形,
AD//BC,AD=BC=4,/BAD=90。,
../ADB=/CBD,
.-.^NBD=^ADB,
:.BN=DN,
設(shè)AN=x,則BN=DN=4—x,
?.?在RtDABN中,AB2+AN2=BN2.
222
.■.3+X=(4-X),
7
7
即AN=—,
8
?,CD=CD=AB=3,4AD=/C=90。,/ANB=/CND,
.?JZANB0OCNDfAAS),
..^FDM=/ABN,
二.tan/TDM=tan/ABN,
.AN_MF
一AB-MD'
7
,I=MF-
"3-2
7
.-.MF=—,
12
由折疊的性質(zhì)可得:EF±AD-
.-.EF//AB,
-.AM=DM-
13
.".ME=-AB=-,
22
3725
...EF=ME+MF=—+—=——,
21212
25
故答案為二.
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),三角函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí),綜合
性較強(qiáng),有一定的難度,解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.
三、解答題(共3小題,滿分75分)
16.(1)+V27-2tan30o-(7r-l)°;
(2)解方程:
①3%-(x-1)=3-2(%+3);
②x(x—7)=8(7—x).
【答案】(1)1+—;(2)①x=—1;②占=7,々=8
3一
【解析】
【分析】
(1)先將負(fù)整數(shù)指數(shù)幕,二次根式,銳角三角函數(shù),零指數(shù)塞進(jìn)行化簡(jiǎn),然后相加減即可;
(2)①解一元一次方程,去括號(hào),移項(xiàng),合并同類項(xiàng),最后系數(shù)化1;
②用因式分解法解一元二次方程.
-1
【詳解】解:(1)[g]
+V27-2tan30°-(^-l)0;
=2+3A/3-2X--1
3
=1+述
3
(2)①3%-(%-1)=3-2(x+3)
3x-x+l=3-2x-6
3%-x+2x=3-l-6
4x=-4
x=-l
@x(x-7)=8(7—x)
x(x-7)=-8(x-7)
x(x-7)+8(x-7)=0
(x-7)(x+8)=0
演=7,犬2=-8.
【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算,一元一次方程和一元二次方程的解法,掌握運(yùn)算步驟正確計(jì)算是本題
的解題關(guān)鍵.
17.如圖,已知菱形中ABC。,且NHW=60。延長(zhǎng)A5至點(diǎn)石,使BE=AB,連接5D和C£.
(1)求證:△DW2△CBE;
(2)求證:四邊形DBEC是菱形.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)SAS定理判定三角形全等;
(2)先由一組對(duì)邊平行且相等判定四邊形DBEC是平行四邊形,然后根據(jù)等邊三角形的判定求得
AB=BD=BE,從而判定四邊形。BEC是菱形.
【詳解】解(1)???菱形ABCD
AAD//BC,AD=BC
Z.CBE=ZDAB
':BE=AB
/.ADAB^^CBE(SAS)
(2)???菱形ABCD,
:.DC//BE,DC=AD=AB=BE,
...四邊形DBEC是平行四邊形,
ZZMB=60°
/.△ABD是等邊三角形
/.AB=BD=BE.
...四邊形D3EC是菱形.
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)及菱形的判定和性質(zhì),掌握性質(zhì)定理正確推理論證是解題關(guān)鍵.
18.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)丁=左述+6的圖象與反比例函數(shù)丁=幺的圖象交于4(4,—2),
3(—2,〃)兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)C.
(1)請(qǐng)直接寫出不等式上述+》<&的解集;
x
(2)將x軸下方的圖象沿x軸翻折,點(diǎn)4落在點(diǎn)4處,連接A3,AC,求口43。的面積.
【答案】(1)—2<x<0或x>4;(2)口人右。的面積為8.
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)函數(shù)圖像,一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)確定不等式女述+》<&的解集;
(2)將A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求左2=-8,確定反比例函數(shù)解析式,然后利用反比例函數(shù)解析式
求點(diǎn)B坐標(biāo),然后將A,B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;從而確定C點(diǎn)坐標(biāo),然
后根據(jù)翻著性質(zhì)求得4(4,2),從而求三角形面積.
【詳解】解:(1)根據(jù)函數(shù)圖象可知—2<x<0或%>4.
(2)將4(4,—2)代入y=&得左2=-8,
._8
??y——.
x
OQ
將(-2,代入y=——,得"=一一,
x2
n=4,
將A(4,—2),3(-2,4)代入丁=女科+6
Uk+b=-2
得4y
-2kl+b=4
[k,=—1
解得70,
[b=2
一次函數(shù)的關(guān)系式為y=-x+2,與x軸交于點(diǎn)C(2,0),
圖象沿x軸翻折后得4(4,2),
SAKBC=(4+2)x(4+2)x;—gx4x4—gx2x2=8,
???□ABC的面積為8.
【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)和反比例函數(shù)綜合題,使用的待定系數(shù)法,考查用函數(shù)的觀點(diǎn)解決不等式問題.
19.“一方有難,八方支援”是中華民族的傳統(tǒng)美德.2月20日13時(shí)25分,山西第12批支援武漢醫(yī)療隊(duì)
整裝出發(fā),在抗擊新冠病毒戰(zhàn)役中,我省支援湖北醫(yī)療隊(duì)共1500多人奔赴武漢.其中小麗、小王和三個(gè)同
事共五人直接派往一線某醫(yī)院,根據(jù)該醫(yī)院人事安排需要先抽出一人去急診科,再派兩人到發(fā)熱門診,請(qǐng)
你利用所學(xué)知識(shí)完成下列問題.
(1)小麗被派往急診科的概率是:
(2)若正好抽出她們一同事去往急診科,請(qǐng)你利用畫樹狀圖或列表的方法,求出小麗和小王同時(shí)被派往發(fā)
熱門診的概率.
【答案】(1)(2)小麗和小王同時(shí)被派往發(fā)熱門診的概率P=
56
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)概率公式直接計(jì)算求解;
(2)根據(jù)題意列表,然后求出符合題意的事件發(fā)生的概率.
【詳解】解:(1)由題意可知,共5人,
,小麗被派往發(fā)熱門診的概率是g;
(2)根據(jù)題意,列表如下:
小麗小王同事1同事2
小麗—小王,小麗同事1,小麗同事2,小麗
小王小麗,小王—同事1,小王同事3小王
同事1小麗,同事1小王,同事1—同事3同事1
同事2小麗,同事2小王,同事2同事1,同事2—
一共出現(xiàn)了12種等可能的結(jié)果,小麗和小王同時(shí)出現(xiàn)的有2種情況,
.??小麗和小王同時(shí)被派往發(fā)熱門診的概率P=-=-.
126
【點(diǎn)睛】本題考查樹狀圖或列表法求概率,題目難度不大,正確理解題意畫出表格或樹狀圖是解題關(guān)鍵.
20.為確保貧困人口到2020年底如期脫貧,習(xí)總書記提出扶貧開發(fā)“貴在精準(zhǔn),重在精準(zhǔn),成敗之舉在于
精準(zhǔn)”,近年來扶貧工作小組對(duì)果農(nóng)進(jìn)行精準(zhǔn)扶貧,幫助果農(nóng)因地制宜種植一種有機(jī)生態(tài)水果并拓寬了市
場(chǎng),有機(jī)生態(tài)水果產(chǎn)量呈逐年上升,去年這種水果的產(chǎn)量是畝產(chǎn)約1000千克.
(1)預(yù)計(jì)明年這種水果產(chǎn)量要達(dá)到畝產(chǎn)144()千克,求這種水果畝產(chǎn)量去年到明年平均每年的增長(zhǎng)率為多
少?
(2)某水果店從果農(nóng)處直接以每千克24元批發(fā),專營(yíng)這種水果.調(diào)查發(fā)現(xiàn),若每千克的平均銷售價(jià)為41
元,則每天可售出300千克,若每千克的平均銷售價(jià)每降低3元,每天可多賣出180千克,設(shè)水果店一天的
利潤(rùn)為卬元,當(dāng)每千克的平均銷售價(jià)為多少元時(shí).該水果店一天的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?(利潤(rùn)計(jì)
算時(shí),其它費(fèi)用忽略不計(jì))
【答案】(1)平均每年的增長(zhǎng)率為20%;(2)當(dāng)每千克平均銷售價(jià)為35元時(shí),一天的利潤(rùn)最大,最大利
潤(rùn)是7260兀.
【解析】
【分析】
(1)設(shè)今年這種水果去年到明年每畝產(chǎn)量平均每年的增長(zhǎng)率為無,然后根據(jù)“去年產(chǎn)量X(1+X)2=明年產(chǎn)量,,
列方程求解;
(2)設(shè)每千克的平均銷售價(jià)為加元,根據(jù)“一天的利潤(rùn)=每千克利潤(rùn)X銷售量”列出函數(shù)關(guān)系式,然后根據(jù)二
次函數(shù)的性質(zhì)分析其最值.
【詳解】解:(1)設(shè)今年這種水果去年到明年每畝產(chǎn)量平均每年的增長(zhǎng)率為尤,
由題意,得:
1000(1+%)2=1440
解之,得:%=0.2=20%,%=-2.2(舍去)
答:平均每年的增長(zhǎng)率為20%.
(2)設(shè)每千克的平均銷售價(jià)為機(jī)元,由題意得:
w=(m—2“300+180x答
w=-60(m-35)2+7260
V-60<0
...當(dāng)x=35時(shí),卬取得最大值為7260.
答:當(dāng)每千克平均銷售價(jià)為35元時(shí),一天的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是7260元.
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程一增長(zhǎng)率問題,二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,掌握題中等量關(guān)系正確列式計(jì)算
是解題關(guān)鍵.
21.在探究銳角三角函數(shù)的意義的學(xué)習(xí)過程中,小亮發(fā)現(xiàn):“如圖1,在中,ZC=90°,可探
nh
究得到—-”
sinAsinB
BB
a
圖1
(1)請(qǐng)你利用圖1探究說明小亮的說法是否正確;
(2)小麗猜想“如果在鈍角三角形中,兩個(gè)銳角正弦值與它們所對(duì)邊的邊長(zhǎng)之間也有一定的關(guān)系“在圖2
nr
的鈍角口48。中,是鈍角,請(qǐng)你利用圖2幫小麗探究一J與二一之間的關(guān)系,并寫出探究過程.
sinAsinC
nhc
(3)在銳角口"。中,一J,——,——之間存在什么關(guān)系,請(qǐng)你探究并直接寫出結(jié)論.
sinAsinBsinC
【答案】(1)小亮說法正確;(2)=探究過程見解析;(3)三=—二=$
sinAsinCsinAsinBsinC
【解析】
【分析】
(1)分別利用/A,/B的正弦值求出斜邊c的長(zhǎng)度,從而判斷小亮的說法是否正確;
(2)過點(diǎn)3作BDLAC于。點(diǎn),利用/A,NC的正弦值求出BD的長(zhǎng),從而得到usinA=a-sinC,
將等式進(jìn)行變形得到結(jié)論;
(3)過點(diǎn)A作AM_LBC,過點(diǎn)B作BN_LAC,分別在Rt^ABM和RtZiACM中求出
hr
AM=sinZABCg:=sin。生,從而得到--------=-----,在RtAABN和RtABCM中,求出
sinZABCsinC
BN=sinZBACg:=sinCgi,從而得到——-——=—從而問題得解.
sinABACsinC
【詳解】解:(1)二?在RtAABC中,sinA=-
C
a
c=------
sinA
b
???sin5=—
c
b
c-------
sinB
.a_b
sinAsinB
???小亮說法正確;
(2)解:過點(diǎn)6作于。點(diǎn),
BD
???在RtZkABD中,sinA=——
C
:.BD=c-sinA
B
???在中,sinC=——
a
:.BD=a-sinC
c?sinA=〃?sinC
.ac
??=;
sinAsinC
(3)過點(diǎn)A作AM_LBC,過點(diǎn)B作BN_LAC
在RtAABM和RtAACM中,AM=sinZABCg:=sinC由
.b_c
sinZABCsinC
在Rt^ABN和RtZ^BCM中,BN=sinZBACg:=sin
..?a_c
sinABACsinC
,a=b=c
sinABACsinZABCsinC
abc
a即n----=-----=-----.
sinAsinBsinC
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形,掌握正弦公式正確推理計(jì)算是解題關(guān)鍵.
22.閱讀材料:
我們知道:一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn),過另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別向該直線作垂線,即可得三垂
直模型”如圖①,在UABC中,NACB=90°,AC=BC,分別過A、3向經(jīng)過點(diǎn)C直線作垂線,垂足
分別為。、E,我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論:AADC絲LCEB.
(1)探究問題:如果ACwBC,其他條件不變,如圖②,可得到結(jié)論;AADCsACEB.請(qǐng)你說明理
由.
(2)學(xué)以致用:如圖③,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=gx與直線CD交于點(diǎn)且兩直線夾角
3
為a,且tana=—,請(qǐng)你求出直線CD的解析式.
2
(3)拓展應(yīng)用:如圖④,在矩形ABCD中,AB=3,3C=5,點(diǎn)E為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AE,將
線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,點(diǎn)A落在點(diǎn)P處,當(dāng)點(diǎn)尸在矩形A5CD外部時(shí),連接PC,PD.若
△0PC為直角三角形時(shí),請(qǐng)你探究并直接寫出3E的長(zhǎng).
【答案】(1)理由見解析;(2)y=--x+—;(3)BE長(zhǎng)為3或7+歷
774
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)同角的余角相等得到N5CE=NZMC,然后利用AA定理判定三角形相似;
(2)過點(diǎn)。作ONLQ0交直線CD于點(diǎn)N,分別過〃、N作MELx軸,NRLx軸,由(1)得
NFOFNO
ANFO^^OEM,從而得到——=—=——,然后結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求出
OEMEMO
3
NF=3,OF=~,從而確定N點(diǎn)坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;
2
(3)分兩種情形討論:①如圖1中,當(dāng)NPDC=90。時(shí).②如圖2中,當(dāng)/DPC=90。時(shí),作PF_LBC于F,
PH_LCD于H,設(shè)BE=x.分別求解即可.
【詳解】解:(1)VZACB=90°,AZACD+ZBCE=90°
又,:ZADC=90°
:.ZACD+ZDAC=90°
:.ZBCE=ZDAC
ZADC=ZBEC=90°.
:.△ADCMcgs
(2)如圖,過點(diǎn)。作ON,OM交直線CD于點(diǎn)N,
分別過M、N作軸,NF,無軸
NFOFNO
由(1)得△NFOS^OEM
OEMEMO
坐標(biāo)(2』):.OE=2,ME=l
...3.ON3
?tanoc——??-----——
2OM2
解得:NF=3,OF=~
設(shè)直線CD表達(dá)式為>=區(qū)+6,代入7vU|,3
2k+b=l
415
:.直線CD表達(dá)式y(tǒng)=--x+—
77
(3)解:①如圖1中,當(dāng)NPDC=90。時(shí),
,DI
VZADC=90°,
.\ZADC+ZPDC=180°,
:.A、D、P共線,
VEA=EP,ZAEP=90°,
AZEAP=45°,VZBAD=90°,
/.ZBAE=45°,VZB=90°
.\ZBAE=ZBEA=45°,
???BE=AB=3.
②如圖2中,當(dāng)NDPC=90。時(shí),作PF_LBC于F,PH_LCD于H,設(shè)BE=x,
圖2
VZAEB+ZPEF=90°,ZAEB+ZBAE=90°,
???ZBAE=ZPEF,
/BAE=ZPEF
在AABE和4EFP中,
AE=EP
.,.△ABE^AEFP,
???EF=AB=3,PF=HC=BE=x,
ACF=3-(5-x)=x-2,
VZDPH+ZCPH=90°,NCPH+NPCH=90。,
AZDPH=ZPCH
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