2017年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（含解析版）

2017年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）

一、選擇題

1.(5分)已知全集U=R,集合A={x[x<-2或x>2},則[uA=()

A.(-2,2)B.(-8,-2)U(2,+8)

C.[-2,2]D.(-8,-2]U[2,+8)

2.（5分）若復(fù)數(shù)（1-i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是（)

A.(-8,1)B.(-8,-1)c.(1,+8)D.(-1,+8)

3.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的S值為（)

A.2B.旦cD.8

2-i5

x43

4.（5分）若X,y滿足,x+y>2,則x+2y的最大值為()

《X

A.1B.3C.5D.9

5.(5分)已知函數(shù)f(x)=3X-(1)x,則f(x)()

3

A.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B.是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù)

C.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D.是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù)

6.（5分）某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為（）

側(cè)（左）視圖

A.60B.30C.20D.10

7.（5分）設(shè)，，：為非零向量，則"存在負(fù)數(shù)入，使得，=入會(huì)是喝?7<0"的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.（5分）根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇

宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為108。，則下列各數(shù)中與史最接近的是（）

N

（參考數(shù)據(jù)：lg3^0.48）

A.1033B.1053C.IO73D.1093

二、填空題

9.（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a與角0均以O(shè)x為始邊，它們的終邊

關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，若sina=L則sir）B=.

3

2

10.（5分）若雙曲線x2-，=l的離心率為正，則實(shí)數(shù)m=.

ID

11.（5分）已知x20,y20,且x+y=l,則x?+y2的取值范圍是.

12.（5分）已知點(diǎn)P在圓x2+y2=l上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,0）,O為原點(diǎn)，則菽?瓦

的最大值為.

13.（5分）能夠說(shuō)明“設(shè)a,b,c是任意實(shí)數(shù).若a>b>c,則a+b>c"是假命題

的一組整數(shù)a,b,c的值依次為

14.(5分)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：

(i)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；

(ii)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；

(iii)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).

①若教師人數(shù)為4,則女學(xué)生人數(shù)的最大值為.

②該小組人數(shù)的最小值為.

三、解答題

15.(13分)已知等差數(shù)列｛aj和等比數(shù)列｛>｝滿足ai=bi=l,a2+a4=10,b2b4=a5.

(I)求｛aj的通項(xiàng)公式；

(H)求和：bl+bs+b5+…+b2n-1.

16.(13分)已知函數(shù)f(x)=V3cos(2X-2L)-2sinxcosx.

3

(I)求f(x)的最小正周期;

(ID求證：當(dāng)xe[-N,%]時(shí)，f(x)-1.

442

17.(13分)某大學(xué)藝術(shù)專(zhuān)業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例,

使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)

分成7組：[20,30),[30,40),…[80,90],并整理得到如下頻率分布直方

圖：

頻率上

組距“

0.04--------------------------

0.02------------------------------

0.01---------------------

O__2103.01.401510_60_,708090分?jǐn)?shù)

(I)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；

(II)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)

內(nèi)的人數(shù)；

(ID)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女

生人數(shù)相等.試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例.

18.（14分）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA_LAB,PA1BC,AB1BC,PA=AB=BC=2,

D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn).

(1)求證：PA±BD；

(2)求證：平面BDEJ_平面PAC；

(3)當(dāng)PA〃平面BDE時(shí)，求三棱錐E-BCD的體積.

19.(14分)已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-2,0),B(2,0),焦點(diǎn)在x

軸上，離心率為退.

2

(I)求橢圓C的方程；

(口)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過(guò)D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M,N,過(guò)

D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：4BDE與△BDN的面積之比為4：5.

20.(13分)已知函數(shù)f(x)=excosx-x.

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,工］上的最大值和最小值.

2

2017年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(文科)

參考答案與試題解析

一、選擇題

1.(5分)已知全集U=R,集合A={x|xV-2或x>2},則[uA=()

A.(-2,2)B.(-8,-2)U(2,+8)

C.[-2,2]D.(-8,-2]U[2,+8)

【考點(diǎn)】IF：補(bǔ)集及其運(yùn)算.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；37：集合思想；5J：集合.

【分析】根據(jù)已知中集合A和U,結(jié)合補(bǔ)集的定義，可得答案.

【解答】解：???集合A={x|x<-2或x>2)=(-8,-2)U(2,+8),全集

U=R,

??-CuA=[-2,2],

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合的補(bǔ)集及其運(yùn)算，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

2.(5分)若復(fù)數(shù)(1-i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是()

A.(-8,1)B.(-8,-1)C.(1,+8)D.(-1,+8)

【考點(diǎn)】A1：虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù).

【專(zhuān)題】35：轉(zhuǎn)化思想；59：不等式的解法及應(yīng)用；5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).

【分析】復(fù)數(shù)(l-i)(a+i)=a+l+(1-a)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,

可得卜+1：°，解得a范圍.

l-a>0

【解答】解：復(fù)數(shù)(l-i)(a+i)=a+l+(1-a)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象

限,

a+l<0

解得a<-1.

l-a〉O

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-8,-i）.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、不等式的解法，考查了推理能

力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）

A.2B.3C."D.

235

【考點(diǎn)】EF：程序框圖.

【專(zhuān)題】5K：算法和程序框圖.

【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變

量S的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答

案.

【解答】解：當(dāng)k=0時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，執(zhí)行完循環(huán)體后，k=l,S=2,

當(dāng)k=l時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，執(zhí)行完循環(huán)體后，k=2,S=W,

2

當(dāng)k=2時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，執(zhí)行完循環(huán)體后，k=3,S="，

3

當(dāng)k=3時(shí)，不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件,

故輸出結(jié)果為：”，

3

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時(shí)，常采

用模擬循環(huán)的方法解答.

x43

4.（5分）若x,y滿足.x+y>2,則x+2y的最大值為（）

《X

A.1B.3C.5D.9

【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；5T：不等式.

【分析】畫(huà)出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解目標(biāo)函數(shù)的最值即

可.

x43

【解答】解：x,y滿足卜+y>2的可行域如圖：

由可行域可知目標(biāo)函數(shù)z=x+2y經(jīng)過(guò)可行域的A時(shí)，取得最大值，由（x=3,可得

Ix=y

A（3,3）,

目標(biāo)函數(shù)的最大值為：3+2X3=9.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，畫(huà)出可行域判斷目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解

題的關(guān)鍵.

5.(5分)已知函數(shù)f(x)=3X-(1)\則f(x)

3

A.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

C.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

【考點(diǎn)】3N：奇偶性與單調(diào)性的綜合.

【專(zhuān)題】2A：探究型；40：定義法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】由已知得f(-x)=-f(x),即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，由函數(shù)y=3x為增

函數(shù)，y=(工)x為減函數(shù)，結(jié)合"增減"="增"可得答案.

3

【解答】解：f(x)=3X-(―)X=3X-3x,

3

\f(-x)=3x-3X=-f(x),

即函數(shù)f(x)為奇函數(shù),

又由函數(shù)y=3x為增函數(shù)，y=(2)x為減函數(shù),

3

故函數(shù)f(x)=3X-(2)x為增函數(shù),

3

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)

的綜合應(yīng)用，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

6.(5分)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為()

正(主)視圖側(cè)(左)視圖

俯視圖

A.60B.30C.20D.10

【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積.

【專(zhuān)題】31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；5F：空間位置關(guān)系與距離.

【分析】由三視圖可知：該幾何體為三棱錐，如圖所示.

【解答】解：由三視圖可知：該幾何體為三棱錐，

該三棱錐的體積=1X—X5X3X4=10.

32

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三棱錐的三視圖、體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

7.（5分）設(shè)7,:為非零向量，則"存在負(fù)數(shù)入，使得7=入會(huì)是呷?三<0"的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)】29：充分條件、必要條件、充要條件.

【專(zhuān)題】35：轉(zhuǎn)化思想；5A：平面向量及應(yīng)用；5L：簡(jiǎn)易邏輯.

【分析】7,W為非零向量，存在負(fù)數(shù)入，使得7=入：，則向量1共線且方向相

反，可得禍Wvo.反之不成立，非零向量7,后的夾角為鈍角，滿足溫Wvo,

而7=人若不成立.即可判斷出結(jié)論.

【解答】解：7,W為非零向量，存在負(fù)數(shù)入，使得7=入能則向量7,1共線且方

向相反，可得ir?n〈O.

反之不成立，非零向量7,若的夾角為鈍角，滿足三?W<0,而裝入W不成立.

.?.7,W為非零向量，則"存在負(fù)數(shù)入，使得益入常是7。＜0"的充分不必要條件.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量共線定理、向量夾角公式、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查

了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.（5分）根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為33%而可觀測(cè)宇

宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為108。，則下列各數(shù)中與更最接近的是（）

N

（參考數(shù)據(jù)：lg3^0,48）

A.1033B.1053C.1073D.1093

【考點(diǎn)】4G：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化.

【專(zhuān)題】口：計(jì)算題.

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：T=「°g*，可得：3=10度心IO。a代入M將M也化

a

為10為底的指數(shù)形式，進(jìn)而可得結(jié)果.

【解答】解：由題意：M^3361,N^IO80,

根據(jù)對(duì)數(shù)性質(zhì)有：3=10館3心10。叫

；.M心3361心（100-48）361n10173,

.?.旦-魚(yú)”=1093,

80

N10

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題解題關(guān)鍵是將一個(gè)給定正數(shù)T寫(xiě)成指數(shù)形式：T=a1°gJ，考查指數(shù)

形式與對(duì)數(shù)形式的互化，屬于簡(jiǎn)單題.

二、填空題

9.（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a與角0均以O(shè)x為始邊，它們的終邊

關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，若sina=L則sir）B=——_.

3一3一

【考點(diǎn)】GF：三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；40：定義法；56：三角函數(shù)的求值.

【分析】推導(dǎo)出a+B=JT+2k7i,k￡Z,從而sin。=sin(n+2kn-a)=sina,由此能求

出結(jié)果.

【解答】解：???在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a與角。均以O(shè)x為始邊，它們的

終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

a+P=n+2kn,k￡Z,

Vsina=—,

3

/.sinP=sin(n+2kn-a)=sina=—.

3

故答案為：1.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查角的正弦值的求法，考查對(duì)稱(chēng)角、誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)等基礎(chǔ)

知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思

想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題.

2L

10.(5分)若雙曲線x2-X_=l的離心率為則實(shí)數(shù)m二2

ID

【考點(diǎn)】KC：雙曲線的性質(zhì).

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】利用雙曲線的離心率，列出方程求和求解m即可.

2一

【解答】解：雙曲線x2-，=l(m>0)的離心率為

ID

可得：

解得m=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查計(jì)算能力.

11.(5分)已知x20,y?0,且x+y=l,則x?+v2的取值范圍是[曰，1]

【考點(diǎn)】3V：二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象.

【專(zhuān)題】口：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】利用已知條件轉(zhuǎn)化所求表達(dá)式，通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【解答】解:xUO,y20,且x+y=l,KOx2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+l,xC[O,

1],

則令f(x)=2x2-2x+l,xe[0,1],函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為：x=l,開(kāi)口向上，

2

所以函數(shù)的最小值為：f(工)=L

最大值為:f(1)=2-2+1=1.

則x2+y2的取值范圍是：[工,1].

2

故答案為：[工，1].

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

12.(5分)已知點(diǎn)P在圓x2+y2=l上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),0為原點(diǎn)，則菽?瓦

的最大值為6.

【考點(diǎn)】9。：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專(zhuān)題】35：轉(zhuǎn)化思想；56：三角函數(shù)的求值；5A：平面向量及應(yīng)用；5B：直

線與圓.

【分析】設(shè)P(cosa,sina).可得而=(2,0),AP=(cosa+2,sina).利用數(shù)量

積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出.

【解答】解：設(shè)P(cosa,sina),A0=(2,0),AP=(cosa+2,sina).

則(cosa+2)W6,當(dāng)且僅當(dāng)cosa=l時(shí)取等號(hào).

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域、圓的參數(shù)方程，

考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

13.(5分)能夠說(shuō)明“設(shè)a,b,c是任意實(shí)數(shù).若a>b>c,則a+b>c"是假命題

的一組整數(shù)a,b,c的值依次為-1,-2,-3.

【考點(diǎn)】FC：反證法.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；40：定義法；5L：簡(jiǎn)易邏輯.

【分析】設(shè)a,b,c是任意實(shí)數(shù).若a>b>c,則a+b>c"是假命題，則若a>b

>c,則a+bWc”是真命題，舉例即可，本題答案不唯一

【解答】解：設(shè)a,b,c是任意實(shí)數(shù).若a>b>c,則a+b>c"是假命題，

則若a>b>c,則a+bWc"是真命題，

可設(shè)a,b,c的值依次-1,-2,-3,(答案不唯一)，

故答案為：T,-2,-3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題的真假，舉例說(shuō)明即可，屬于基礎(chǔ)題.

14.(5分)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：

(i)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；

(ii)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；

(iii)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).

①若教師人數(shù)為4,則女學(xué)生人數(shù)的最大值為6.

②該小組人數(shù)的最小值為12.

【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；5L：簡(jiǎn)易邏輯；5M：推理和證明.

'x>y

【分析】①設(shè)男學(xué)生女學(xué)生分別為x,y人，若教師人數(shù)為4,則.y>4,進(jìn)

2X4>x

而可得答案；

'x>y

②設(shè)男學(xué)生女學(xué)生分別為x,y人，教師人數(shù)為z,則y>z,進(jìn)而可得答案；

2z〉x

【解答】解：①設(shè)男學(xué)生女學(xué)生分別為X,y人，

若教師人數(shù)為4,

x>y

則<y>4，即4<y<x<8,

2X4>x

即x的最大值為7,y的最大值為6,

即女學(xué)生人數(shù)的最大值為6.

②設(shè)男學(xué)生女學(xué)生分別為x,y人，教師人數(shù)為z,

x>y

則,y>z,即z<y<x<2z

2z〉x

即z最小為3才能滿足條件，

此時(shí)x最小為5,y最小為4,

即該小組人數(shù)的最小值為12,

故答案為：6,12

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是推理和證明，簡(jiǎn)易邏輯，線性規(guī)劃，難度中檔.

三、解答題

15.（13分）已知等差數(shù)列｛aj和等比數(shù)列｛bj滿足ai=bi=La2+a4=10,b2b4=as.

（I）求｛an｝的通項(xiàng)公式；

（II）求和：bi+bs+bs+...+ban-i.

【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和；8M：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】（I）利用已知條件求出等差數(shù)列的公差，然后求｛aj的通項(xiàng)公式；

（口）利用已知條件求出公比，然后求解數(shù)列的和即可.

【解答】解:（I）等差數(shù)列｛a［，ai=l,82+34=10,可得:l+d+l+3d=10,解得

d=2,

所以｛aj的通項(xiàng)公式：an=l+（n-1）X2=2n-1.

（II）由（I）可得a5=ai+4d=9,

等比數(shù)列｛bn｝滿足bi=l,b2b4=9.可得b3=3,或-3（舍去）（等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)符

號(hào)相同）.

q2=3,

{b?i}是等比數(shù)列，公比為3,首項(xiàng)為1.

bi+b+b+...+bn-1」"掌-=丈工

3521-q22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列求和以及通項(xiàng)公式的求解，

考查計(jì)算能力.

16.(13分)已知函數(shù)f(x)=J§cos(2x--L)-2sinxcosx.

3

(I)求f(x)的最小正周期；

(ii)求證：當(dāng)xw[-2L,三]時(shí)，f(x)>-1.

442

【考點(diǎn)】GA：三角函數(shù)線；GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；H1：三角函數(shù)的

周期性.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；40：定義法；56：三角函數(shù)的求值；57：

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

【分析】(工)根據(jù)兩角差的余弦公式和兩角和正弦公式即可求出f(x)sin

(2x+2L),根據(jù)周期的定義即可求出，

3

(II)根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可證明.

【解答】解：(I)f(x)=A/§COS(2x--)-2sinxcosx,

3

(—co2x+^l.sin2x)-sin2x,

22

=2Z^cos2x+Lin2x,

22

=sin(2X+2L),

3

?T-2兀f

2

.*.f(X)的最小正周期為A,

(□)Vxe[-2L,2L],

44

A2x+—G[-

366

，-LWsin(2X+-2L)<1,

23

Af(x)-1

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)以及周期的定義和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，

屬于基礎(chǔ)題

17.(13分)某大學(xué)藝術(shù)專(zhuān)業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例,

使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)

分成7組：［20,30),［30,40),…［80,90］,并整理得到如下頻率分布直方

圖：

頻率

組距.

0.04------------------------------------------——

0.02----------------------------------------------------

0.01------------------------------=1

______□__,

O2030405060708090分?jǐn)?shù)

(I)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；

(口)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50)

內(nèi)的人數(shù)；

(DI)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女

生人數(shù)相等.試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例.

【考點(diǎn)】B8：頻率分布直方圖；CB：古典概型及其概率計(jì)算公式.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；27：圖表型；51：概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】(I)根據(jù)頻率=組距X高，可得分?jǐn)?shù)小于70的概率為：1-(0.04+0.02)

X10；

(口)先計(jì)算樣本中分?jǐn)?shù)小于40的頻率，進(jìn)而計(jì)算分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的頻

率，可估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的人數(shù)；

(ID)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女

生人數(shù)相等.進(jìn)而得到答案.

【解答】解：(工)由頻率分布直方圖知：分?jǐn)?shù)小于70的頻率為：1-(0.04+0.02)

X10=0.4

故從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率為0.4；

(口)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，

故樣本中分?jǐn)?shù)小于40的頻率為：0.05,

則分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的頻率為：1-(0.04+0.02+0.02+0.01)X10-0.05=0.05,

估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的人數(shù)為400X0.05=2。人，

(DI)樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為：0.6,

由于樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.

故分?jǐn)?shù)不小于70的男生的頻率為：0.3,

由樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,

故男生的頻率為：0.6,

即女生的頻率為：0.4,

即總體中男生和女生人數(shù)的比例約為：3：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是頻率分布直方圖，用樣本估計(jì)總體，難度不大，屬

于基礎(chǔ)題.

18.(14分)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA±AB,PA±BC,AB±BC,PA=AB=BC=2,

D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn).

(1)求證：PA1BD；

(2)求證：平面BDEJ_平面PAC；

(3)當(dāng)PA〃平面BDE時(shí)，求三棱錐E-BCD的體積.

【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；LW：直線與平面垂直；LY：平面與平面

垂直.

【專(zhuān)題】35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5F：空間位置關(guān)系與距離.

【分析】(1)運(yùn)用線面垂直的判定定理可得PAJ_平面ABC,再由性質(zhì)定理即可

得證；

(2)要證平面BDEL平面PAC,可證BD_L平面PAC,由(1)運(yùn)用面面垂直的判

定定理可得平面PAC_L平面ABC,再由等腰三角形的性質(zhì)可得BD1AC,運(yùn)用

面面垂直的性質(zhì)定理，即可得證；

(3)由線面平行的性質(zhì)定理可得PA〃DE,運(yùn)用中位線定理，可得DE的長(zhǎng)，以

及DEL平面ABC,求得三角形BCD的面積，運(yùn)用三棱錐的體積公式計(jì)算即可

得到所求值.

【解答】解：(1)證明：由PA_LAB,PA1BC,

ABC平面ABC,BCc平面ABC,且ABCBC=B,

可得PA,平面ABC,

由BDc平面ABC,

可得PA±BD；

(2)證明：由AB=BC,D為線段AC的中點(diǎn)，

可得BD±AC,

由PA_L平面ABC,PAu平面PAC,

可得平面PAC_L平面ABC,

又平面PACn平面ABC=AC,

BDu平面ABC,且BD_LAC,

即有BD_L平面PAC,

BDu平面BDE,

可得平面BDEJ_平面PAC；

(3)PA〃平面BDE,PAc平面PAC,

且平面PACA平面BDE=DE,

可得PA〃DE,

又D為AC的中點(diǎn)，

可得E為PC的中點(diǎn)，且DE=LPA=1,

2

由PA_L平面ABC,

可得DEL平面ABC,

可得BDC=^-SAABC=1X1X2X2=1,

222

則三棱錐E-BCD的體積為L(zhǎng)DE?SABDC=LXIX1=L.

333

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間的線線、線面和面面的位置關(guān)系的判斷，主要是平行和垂

直的關(guān)系，注意運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理以及線面垂直的判定定理和性質(zhì)定

理，面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，同時(shí)考查三棱錐的體積的求法，考查

空間想象能力和推理能力，屬于中檔題.

19.（14分）已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A（-2,0）,B（2,0）,焦點(diǎn)在x

軸上，離心率為

2

（I）求橢圓C的方程；

（口）點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過(guò)D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M,N,過(guò)

D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：4BDE與△BDN的面積之比為4：5.

【考點(diǎn)】K3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；KL：直線與橢圓的綜合.

【專(zhuān)題】31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】（I）由題意設(shè)橢圓方程，由a=2,根據(jù)橢圓的離心率公式，即可求得c,

則b2=a2-c2=l,即可求得橢圓的方程；

（口）由題意分別求得DE和BN的斜率及方程，聯(lián)立即可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)

三角形的相似關(guān)系，即可求得」BE[_=&,因此可得4BDE與△BDN的面積之

IBN|5

比為4：5.

22

【解答】解：（I）由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓方程：與+t=i（a>b>0）,

1

a2,b2

貝！Ja=2,貝ijc=M，

a2

b2=a2-c2=l,

2°

，橢圓C的方程『+y2」；

（II）證明：設(shè)D（xo，0）,（-2<xo