北京人大附中2019-2020學(xué)年九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷含答案解析

北京人大附中2019-2020學(xué)年九年級（上）期末數(shù)學(xué)

試卷含答案解析

一.選擇題（共8小題）

1.我國傳統(tǒng)文化中的“福祿壽喜”圖（如圖）由四個圖案構(gòu)成.這四個圖案中既是軸對稱

圖形，又是中心對稱圖形的是（）

A.據(jù)卷?⑥

2.將拋物線y=x向左平移2個單位后得到新的拋物線的表達(dá)式為()

A.y=%+2B.y=x-2C.y=(;?+2)2D.y=(x-2)2

3.在△板'中，ZC=90°，以點(diǎn)8為圓心,以優(yōu)長為半徑作圓,點(diǎn)/與該圓的位置關(guān)系

為（）

A.點(diǎn)4在圓外B.點(diǎn)/在圓內(nèi)C.點(diǎn)/在圓上D.無法確定

4.拋物線尸2￥+4x-4的對稱軸是（)

A.直線x=-1B.直線x=lC.直線x=2D.直線x=-2

5.如圖，在。。中,點(diǎn)C是AB上一點(diǎn),若NZ必=126°,則NC的度數(shù)為（）

C.63°D,54°

6.二次函數(shù)刀=2￥+無汁<?與一次函數(shù)為=3比n的圖象如圖所示，則滿足a『+Z>x+c>yax+A

D.0VxV3

7.如圖，以口為直徑的。0與弦曲相交于點(diǎn)瓦且4a2,AE=M，CE=\.則而的長

是（）

8.已知一個二次函數(shù)圖象經(jīng)過a（-3,%）,R（-1,為），R（1,%），A（3,%）四點(diǎn)，

若再＜為＜%,則K,為，y-i,%的最值情況是（）

A.%最小，最大B.與最小，%最大

C.力最小，%最大D.無法確定

二.填空題（共8小題）

9.點(diǎn)尸（2,-3）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)戶的坐標(biāo)為.

10.請寫出一個開口向下，且與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）的拋物線的表達(dá)式：.

11.如圖，四邊形般力內(nèi)接于。0,￡為切延長線上一點(diǎn).若NA110。，則N4出的度

12.在平面直角坐標(biāo)系x0中，函數(shù)7=/的圖象經(jīng)過點(diǎn)〃（為，/1）,NCx2,為）兩點(diǎn)，若

-2Vxi＜0,2〈生＜4,則力y2.（用”或號連接）

13.如圖，PA,所分別與。。相切于48兩點(diǎn)，點(diǎn)。為劣弧也上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)。的切

線分別交仍在于〃，￡兩點(diǎn).若如-8,則△核'的周長為.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0中，如可以看作是△（?5經(jīng)過若干次圖形的變化（平

移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)）得到的，寫出一種由△況。得到物的過程：.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系批中，拋物線尸aJ+bx+c與x軸交于（1,0）,（3,0）兩

點(diǎn)，請寫出一個滿足y<0的x的值.

16.如圖，。。的動弦四，5相交于點(diǎn)￡,且AB=CD,ZBED=a（0°<a<90°）.在①

ZBOD=a,②NOAB=90°-a,③/蹴三_la中，一定成立的是（填序號）.

2

三.解答題（共10小題）

17.如圖，ZDAB=ZEAC,AB=AD,AC=AE.

求證：BC^DE.

18.已知一拋物線過點(diǎn)（-3,0）、（-2,-6）,且對稱軸是x=-l.求該拋物線的解析式.

19.已知二次函數(shù)尸ai+Af+c（aWO）中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表:

x…-2-102

y…-3-4-35…

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出這個二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求出該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

20.下面是小東設(shè)計的“作圓的一個內(nèi)接矩形，并使其對角線的夾角為60?！钡某咭?guī)作圖

過程.

已知：0(9

求作：矩形ABCD,使得矩形被力內(nèi)接于且其對角線ZC,切的夾角為60。.

作法：如圖

①作。。的直徑力C；

②以點(diǎn)4為圓心，20長為半徑畫弧，交直線4。上方的圓弧于點(diǎn)5；

③連接8。并延長交。。于點(diǎn)D-,

所以四邊形儂蘇就是所求作的矩形.

根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡)；

(2)完成下面的證明.

證明：?.?點(diǎn)Z,。都在。。上，

：.0A=0C

同理0B=0D

二四邊形ABCD是平行四邊形

：4。是。。的直徑，

：.ZABC=90°()(填推理的依據(jù))

.?.四邊形被Q是矩形

'：AB==BO,

：.四邊形ABCD四所求作的矩形.

21.如圖，四是。的直徑，弦CILLAB于點(diǎn)、E,,是外角/曲尸的平分線.

(1)求證：朋是。。的切線.

(2)若。是優(yōu)弧/班的中點(diǎn)，AD=\,射線如與陽交于〃點(diǎn)，求如的長.

22.生活中看似平常的隧道設(shè)計也很精巧.如圖是一張盾構(gòu)隧道斷面結(jié)構(gòu)圖，隧道內(nèi)部為

以。為圓心4?為直徑的圓.隧道內(nèi)部共分為三層，上層為排煙道，中間為行車隧道，下

層為服務(wù)層.點(diǎn)/到頂棚的距離為0.8a,頂棚到路面的距離是3.2a,點(diǎn)8到路面的距離

為2a.請你求出路面的寬度，(用含a的式子表示)

23.有這樣一個問題：探究函數(shù)尸(x-1)(x-2)(x-3)的圖象與性質(zhì).小東對函數(shù)y

=(x-1)(x-2)(￡-3)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究.下面是小東的探究過程，請補(bǔ)充

完成：

(1)函數(shù)尸(x-1)(x-2)(x-3)的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù);

(2)下表是y與x的幾組對應(yīng)值.

X…-2-10123456???

y???m-24-600062460???

?m=；

②若〃(-7,-720),NQn,720)為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，貝?。荨?；

(3)在平面直角坐標(biāo)系x%中，A(&,刃)，BQXB,一%)為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且

4為2WW3范圍內(nèi)的最低點(diǎn)，Z點(diǎn)的位置如圖所示.

①標(biāo)出點(diǎn)8的位置；

②畫出函數(shù)y=(jr-1)(x-2)(x-3)(0WW4)的圖象.

③寫出直線y=lx-l與②中你畫出圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.

2

6-

5-

4■

3-

2-

1-

-4-3-2-10123456x

24.已知直線1：y4x+l與拋物線y=a『-2kc(a>0)的一個公共點(diǎn)4恰好在X軸上,

點(diǎn)6(4,加在拋物線上.

(I)用含a的代數(shù)式表示c.

(II)拋物線在45之間的部分(不包含點(diǎn)Z,B)記為圖形G,請結(jié)合函數(shù)圖象解答:

若圖形G在直線/下方，求a的取值范圍.

%

-------1-1-------1-1----->x

0

25.如圖1,在等邊三角形板中，切為中線，點(diǎn)。在線段切上運(yùn)動，將線段3繞點(diǎn)。

順時針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)力的對應(yīng)點(diǎn)后落在射線式1上，連接80,設(shè)/加0=a(0°<a<

60°且a#30°).

(1)當(dāng)0°<a<30°時，

①在圖1中依題意畫出圖形，并求/屣(用含a的式子表示)；

②探究線段位AC,S之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(2)當(dāng)30°<a<60°時，直接寫出線段龍，AC,位之間的數(shù)量關(guān)系.

AA

26.在平面直角坐標(biāo)系xO中，。。的半徑為r,尸是與圓心C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)戶關(guān)于。C

的限距點(diǎn)的定義如下：若尸'為直線比與。C的一個交點(diǎn)，滿足rW呼'W2r,則稱尸'

為點(diǎn)尸關(guān)于。。的限距點(diǎn)，如圖為點(diǎn)尸及其關(guān)于。。的限距點(diǎn)戶的示意圖.

（1）當(dāng)。。的半徑為1時.

①分別判斷點(diǎn)〃（3,4）,0）,7（1,、歷）關(guān)于。。的限距點(diǎn)是否存在？若存在，

求其坐標(biāo)；

②點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（2,0）,DE,歷分別切。。于點(diǎn)笈點(diǎn)凡點(diǎn)尸在△比尸的邊上.若點(diǎn)尸

關(guān)于。。的限距點(diǎn)*存在，求點(diǎn)戶的橫坐標(biāo)的取值范圍；

（2）保持（1）中〃，E,尸三點(diǎn)不變，點(diǎn)尸在△比F的邊上沿—的方向運(yùn)動，

。。的圓心。的坐標(biāo)為（1,0）,半徑為r,請從下面兩個問題中任選一個作答.

問題1問題2

若點(diǎn)尸關(guān)于。。的限距點(diǎn)戶存在，且尸若點(diǎn)尸關(guān)于。。的限距點(diǎn)戶不存在，則r

隨點(diǎn)戶的運(yùn)動所形成的路徑長為k廣，則r的取值范圍為

的最小值為.

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

1.我國傳統(tǒng)文化中的''福祿壽喜”圖（如圖）由四個圖案構(gòu)成.這四個圖案中既是軸對稱

圖形，又是中心對稱圖形的是（）

C,D.嬉

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：4不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形.故錯誤；

反是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.故正確；

a是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形.故錯誤；

A不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形.故錯誤.

故選：B.

2.將拋物線向左平移2個單位后得到新的拋物線的表達(dá)式為（）

A.y=x+2B.y=？-2C.y=（A+2）2D.y=（x-2）2

【分析】先得到拋物線尸『頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,再利用點(diǎn)平移的規(guī)律得到點(diǎn)（0,0）

平移后對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,0）,然后利用頂點(diǎn)式寫出平移后的新的拋物線的解析式.

【解答】解：拋物線y=9頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,把點(diǎn)（0,0）向左平移2個單位后所得

對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,0）,所以平移后的新的拋物線的表達(dá)式為尸（戶2）2.

故選：C.

3.在△破中，NQ90。，以點(diǎn)5為圓心，以比1長為半徑作圓，點(diǎn)/與該圓的位置關(guān)系

為（）

A.點(diǎn)4在圓外B.點(diǎn)4在圓內(nèi)C.點(diǎn)4在圓上D.無法確定

【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論.

【解答】解：?.?在中，NU90°,

：.AB>BC,

...點(diǎn)4在圓外.

故選：A.

4.拋物線y=2f+4x-4的對稱軸是（）

A.直線x=-lB.直線x=lC.直線x=2D.直線x=-2

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸公式直接解答即可.

【解答】解：y=2f+4x-4中，

a=2,6=4,c=-4,

二對稱軸為：x=-J—=-―—=-1.

2a2X2

故選：A.

5.如圖，在。。中，點(diǎn)。是窟上一點(diǎn)，若N2必=126°,則NC的度數(shù)為（）

【分析】作圓周角龍，使。在優(yōu)弧上，根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)

接四邊形性質(zhì)求出NC即可.

【解答】解：如圖：作圓周角//龍，使〃在優(yōu)弧上，

VZJC?=126°,

：.AD=^-AAOB=<oi0,

2

VZJG?f-ZZ>=180o,

.,.ZJG9=180°-63°=117°,

故選：B.

6.二次函數(shù)yi=ax^bx+c與一次函數(shù)理=3汁〃的圖象如圖所示，則滿足ax+bx+c>mx+n

的x的取值范圍是（）

y,

/L

個。|t

A.-3<%<0B.x<-3或x>0C.x<-3D.0<x<3

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象寫出二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方部分的￡的取值范圍即可.

【解答】解：由圖可知，-3<x<0時二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方，

所以，滿足蘇+》?+。>3+。的x的取值范圍是-3<x<0.

故選：A.

7.如圖，以也為直徑的。。與弦切相交于點(diǎn)瓦且AE=Q,CE=\.則曲的長

是（）

A兀R冗r兀n兀

?-------D.---------\J?---------------------U?-------

9933

【分析】連接oc,先根據(jù)勾股定理判斷出△力龐的形狀，再由垂徑定理得出龐=龐，故

BC=BD,由銳角三角函數(shù)的定義求出N4的度數(shù)，故可得出N60C的度數(shù)，求出0C的長,

再根據(jù)弧長公式即可得出結(jié)論.

【解答】解：連接0C,

,.?△力龍中，AC=2,AE=M，CE=\,

:.A/+出=AC,

；.△義龍是直角三角形，BPAELCD,

.?.//=30°,

：./COE=6G°,

：.^-=sinZCOE,即工=1,解得/=冬應(yīng),

0C0C23

■:AELCD,

???BC=BD,

2A/3

——60幾X—

=2如兀

/.BD=BC=--------

180-9-

故選：B.

8.已知一個二次函數(shù)圖象經(jīng)過P,（-3,yi）,P2（-1,y2）,P3（1,%），P4（3,%）四點(diǎn)，

若再<%<%,則y”yi,731%的最值情況是（）

A.與最小，%最大B.與最小，力最大

C.%最小，%最大D.無法確定

【分析】根據(jù)題意判定拋物線開口向上，對稱軸在0和1之間，然后根據(jù)點(diǎn)到對稱軸的

距離的大小即可判斷.

【解答】解：?.?二次函數(shù)圖象經(jīng)過A（-3,乃），4（-1,月），鳥（1,%），H（3,%）

四點(diǎn)，且與<?<%,

拋物線開口向上，對稱軸在0和1之間，

：.Pi（-3,力）離對稱軸的距離最大，P3（1,73）離對稱軸距離最小，

二刀最小，乃最大，

故選：A.

二.填空題（共8小題）

9.點(diǎn)尸（2,-3）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（-2,3）.

【分析】由關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，即可求出答案.

【解答】解：因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，

所以：點(diǎn)（2,-3）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,3）.

故答案為：（-2,3）.

10.請寫出一個開口向下，且與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）的拋物線的表達(dá)式：y=-f+2.

【分析】把（0,2）作為拋物線的頂點(diǎn)，令a=-l,然后利用頂點(diǎn)式寫出滿足條件的拋

物線解析式.

【解答】解：因?yàn)閽佄锞€的開口向下，

則可設(shè)a=-1,

又因?yàn)閽佄锞€與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）,

則可設(shè)頂點(diǎn)為（0,2）,

所以此時拋物線的解析式為y=-9+2.

故答案為y=~x+2.

11.如圖，四邊形被力內(nèi)接于￡為龍延長線上一點(diǎn).若NQ110。，則應(yīng)的度

數(shù)為110°.

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對

角）可得答案.

【解答】解：：/8=110°,

龐=110°.

故答案為：110°.

12.在平面直角坐標(biāo)系x%中，函數(shù)7=￥的圖象經(jīng)過點(diǎn)〃（為，71）,N（xz,為）兩點(diǎn)，若

-2<^<0,2<^<4,則nV為.（用”或號連接）

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：由尸￥可知，

*=1>0,

二拋物線的開口向上，

?拋物線的對稱軸為y軸，

.,.當(dāng)x>0時，y隨x的增大而增大，

V-2<^<0,2<X2<4,

?*.0<-JTI<2,

'?%V丹.

故答案為V.

13.如圖，PA,如分別與。0相切于48兩點(diǎn)，點(diǎn)。為劣弧也上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)。的切

線分別交仍BP于D,￡兩點(diǎn).若4—8,則△曲的周長為16.

【分析】直接運(yùn)用切線長定理即可解決問題；

【解答】解：：%、DC、EB、比1分別是。。的切線,

：.DA=DC,EB=EC；

：.DE=DA+EB,

：.P1APE+DE=P1ADA+PE+BE=PA+PB,

,:PA、陽分別是。。的切線，

:.PA=PB=8,

...△9的周長=16.

故答案為：16

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系也『中，如可以看作是△。而經(jīng)過若干次圖形的變化（平

移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)）得到的，寫出一種由405得到△力必的過程：XOCD統(tǒng)C點(diǎn)逆時

針旋轉(zhuǎn)90°,并向右平移2個單位得到△［加.

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)即可得到由△況。得到△力仍的過程.

【解答】解：△。切繞。點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°,并向右平移2個單位得到△/必（答案不唯

故答案為：力繞C點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°,并向右平移2個單位得到△兒比

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線尸af+bKc與x軸交于（1,0）,（3,0）兩

點(diǎn)，請寫出一個滿足y<0的x的值2（答案不唯一）

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可以直接得到答案.

【解答】解：,在平面直角坐標(biāo)系刀分中，拋物線尸a￥+-+c與x軸交于（1,0）,（3,

0）兩點(diǎn)，

...當(dāng)y<0的x的取值范圍是：l<x<3,

.?.X的值可以是2.

故答案是：2（答案不唯一）.

16.如圖，。。的動弦四，或相交于點(diǎn)且AB=CD,ABED=a（0°<a<90"）.在①

ZBOD=a,②Nfl45=90。-a,③/熊C-La中，一定成立的是①③（填序號）.

【分析】如圖，連接OC,設(shè)必交切于工利用全等三角形的性質(zhì)以及圓周角定理一一

判斷即可;

【解答】解：如圖，連接。C,設(shè)OB交CD于K.

'：AB=CD,OD=OC=OB=OA,

：./\AOB^/\COD(SSS),

：.ZCDO=ZOBA,

???/DKO=NBKE,

:?/DOK=NBEK=a,

即NAM=a,故①正確，

不妨設(shè),NOAB=90。-a,

?：OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA,

：?/0BE+/BEK=9。。,

:?NBKE=90°,

：?0B工CD,從條件上看，AB=CD,推不出仍，切這樣的位置關(guān)系，故②錯誤,

9：CD=AB,

??AB=CD,

??BD=AC,

/ABC=L/DOB=La,故③正確.

22

故答案為①③.

三.解答題（共10小題）

17.如圖，ZDAB=ZEAC,AB=AD,AC^AE.

求證：BC=DE.

【分析】求出N%￡=NE1C,根據(jù)弘S推出△胡口△物區(qū)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出

即可.

【解答】證明：或=NE4C,

二NDA&r/BAE=ZEAC+ZBAE,

：.NDAE=ABAC,

在△54。和中,

AB=AD

<ZBAC=ZDAE

AC=AE

：./\BAC^/\DAE,

：.BC=DE.

18.已知一拋物線過點(diǎn)（-3,0）、（-2,-6）,且對稱軸是x=-l.求該拋物線的解析式.

【分析】先利用對稱性得到拋物線與x軸另一交點(diǎn)是（1,0）,則可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（戶3）

（x-1）,然后把（-2,-6）代入求出a的值即可.

【解答】解：..?拋物線的對稱軸是直線x=-l,拋物線過點(diǎn)（-3,0）

二拋物線與x軸另一交點(diǎn)是（1,0）,

設(shè)拋物線的解析式為尸a（戶3）（x-1）,

把（-2,-6）代入得-6=a?（-2+3）?（-2-1）,解得a=2,

二拋物線解析式為y=2（A+3）（.x-1）,BPy=2x+4x^6.

19.已知二次函數(shù)尸a『+As+c（aWO）中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表：

X???-2-102???

??????

y-3-4-35

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出這個二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo);

（2）求出該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

【分析】（1）由待定系數(shù)法即可得出答案；

（2）求出尸0時x的值，即可得出答案.

【解答】解：（1）由題意，得c=-3.

將點(diǎn)（2,5）,（-1,-4）代入，得！4a+2b-W=5

a-b-3=-4.

a=l

b=2.

y=x+2x~3.

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,-4）.

(2)當(dāng)產(chǎn)=0時，f+2x-3,

解得：x=-3或x=l,

二函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,0）,（1,0）.

20.下面是小東設(shè)計的“作圓的一個內(nèi)接矩形，并使其對角線的夾角為60?！钡某咭?guī)作圖

過程.

已知：。0

求作：矩形ABCD,使得矩形能力內(nèi)接于。0,且其對角線4G切的夾角為60。.

作法：如圖

①作。0的直徑4G

②以點(diǎn)/為圓心，20長為半徑畫弧，交直線/C上方的圓弧于點(diǎn)用

③連接8。并延長交。。于點(diǎn)D-,

所以四邊形被力就是所求作的矩形.

根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：?.,點(diǎn)/C都在。0上，

：.0A=0C

同理0B=0D

二四邊形ABCD是平行四邊形

是。。的直徑，

二/被=90。（直徑所對圓周角是直角）（填推理的依據(jù)）

...四邊形物》是矩形

'：AB=AO=BO,

：.四邊形ABCD四所求作的矩形.

【分析】(1)根據(jù)要求作圖即可得;

(2)根據(jù)圓周角定理推論及圓的性質(zhì)求解可得.

【解答】解：(1)如圖所示，矩形儂刀即為所求;

(2)證明：?.?點(diǎn)/,。都在。。上，

：.OA=OC

同理OB=OD

二四邊形ABCD是平行四邊形

是。。的直徑，

：.ZABC=90°(直徑所對圓周角是直角)

二四邊形被笫是矩形

'：AB=AO=BO,

：.四邊形被Q即為所求作的矩形，

故答案為：直徑所對圓周角是直角，A0.

21.如圖，四是。的直徑，弦,CDHB于點(diǎn)、E,■是切外角N物尸的平分線.

(1)求證：■是。。的切線.

(2)若。是優(yōu)弧力初的中點(diǎn)，40=4,射線如與陽交于〃點(diǎn)，求郵的長.

【分析】(1)根據(jù)垂徑定理得到居垂直平分切，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到力仁

AD,得到N54Z?=工/由■是的外角NZM尸的平分線，得到初,

22

于是得到結(jié)論；

(2)證明△/或是等邊三角形，得到CD=AD=\,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：?.?也是。。的直徑，眩CD1AB于點(diǎn)、E,

二46垂直平分CD,

：.AC=AD,

：.ZBAD=^-ZCAD,

2

/是的外角NZMb的平分線，

ADAM=^-AFAD,

2

：./BAM=L(NCAJANFAD)=90°,

2

：.ABYAM,

二朋是。。的切線；

(2)解：?.ZC'=Z〃，。是優(yōu)弧力劭的中點(diǎn)，

：.AC=AD=CD,

.?.△45是等邊三角形，

：.CD=AD=\,

：.CE=DE=2,

：.OC=OA=^^-,

3

■:/ANO=/OCE=30°,

：.ON=2OA=^^-.

3

22.生活中看似平常的隧道設(shè)計也很精巧.如圖是一張盾構(gòu)隧道斷面結(jié)構(gòu)圖，隧道內(nèi)部為

以。為圓心形為直徑的圓.隧道內(nèi)部共分為三層，上層為排煙道，中間為行車隧道，下

層為服務(wù)層.點(diǎn)4到頂棚的距離為0.8a,頂棚到路面的距離是3.2a,點(diǎn)6到路面的距離

為2a.請你求出路面的寬度/.(用含a的式子表示)

【分析】連接oc,求出宓和龐；根據(jù)勾股定理求出紙根據(jù)垂徑定理求出切即可.

【解答】解：如圖，連接。c,AB交CD于E,

由題意知：AB=O.8m_3.2m_2a=6a,

所以O(shè)C=OB=tia,

OE=OB-BE=3a-2a=a,

由題意可知：ABLCD,

???四過0,

:?CD=2CE,

在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE={0c2_0E2=J(3&)2-&，=2\'2a,

：.CD=2CE=4版a,

所以路面的寬度/為4&a.

23.有這樣一個問題：探究函數(shù)尸(x-1)(x-2)(x-3)的圖象與性質(zhì).小東對函數(shù)y

=(x-1)(x-2)(x-3)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究.下面是小東的探究過程，請補(bǔ)充

完成：

(1)函數(shù)尸(X-1)1-2)(x-3)的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù);

(2)下表是y與x的幾組對應(yīng)值.

X???-2-10123456…

???

ym-24一600062460…

-60；

②若〃(-7,-720),N5720)為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則n=11

(3)在平面直角坐標(biāo)系x@中，A(^,%)，B5,一%)為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且

/為2WA<3范圍內(nèi)的最低點(diǎn)，Z點(diǎn)的位置如圖所示.

①標(biāo)出點(diǎn)5的位置;

②畫出函數(shù)尸(x-1)(x-2)(x-3)(0WK4)的圖象.

③寫出直線尸工X-1與②中你畫出圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為0

2

6-

5-

4■

3-

2-

1-

-4-3-2-10123456x

【分析】(1)函數(shù)y=(￡-1)(x-2)(%-3)的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)；

(2)①把x=-2代入函數(shù)解析式可求得卬的值；

②觀察給定表格中的數(shù)據(jù)可發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱，再根據(jù)點(diǎn)M、N

的坐標(biāo)即可求出。值；

(3)①找出點(diǎn)/關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱的點(diǎn)瓦，再找出與點(diǎn)反縱坐標(biāo)相等的民點(diǎn)；

②根據(jù)表格描點(diǎn)、連線即可得出函數(shù)圖象；

③根據(jù)圖象的性質(zhì)以及直線的性質(zhì)即可求得.

【解答】解：(2)①當(dāng)x=-2時，y=(x-1)(x-2)(x-3)=-60.

故答案為：-60.

②觀察表格中的數(shù)據(jù)可得出函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)中心對稱,

A-7+72=2X2,解得：72=11.

故答案為：11.

(3)①作點(diǎn)/關(guān)于點(diǎn)(2,0)的對稱點(diǎn)瓦，再在函數(shù)圖象上找與點(diǎn)氏縱坐標(biāo)相等的合

點(diǎn).

②根據(jù)表格描點(diǎn)、連線，畫出圖形如圖所示.

③函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)中心對稱，且直線尸」>x-l經(jīng)過此點(diǎn)，

二直線尸工￡-1與圖象的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)化為相反數(shù)，

2

???交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為0,

故答案為0.

24.已知直線1：y*x+l與拋物線尸-2A+C(a>0)的一個公共點(diǎn)Z恰好在￡軸上,

點(diǎn)5(4,加在拋物線上.

(I)用含a的代數(shù)式表示c.

(II)拋物線在48之間的部分(不包含點(diǎn)Z,B)記為圖形G,請結(jié)合函數(shù)圖象解答:

若圖形G在直線/下方，求a的取值范圍.

-------1-1-------1-1----->x

0

【分析】(1)先利用一次函數(shù)解析式求出2點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),然后把力點(diǎn)坐標(biāo)代入拋

物線解析式即可得到a與c的關(guān)系式；

(2)先分別計算出x=4時所對應(yīng)的一次函數(shù)值和二次函數(shù)值，然后利用圖形G在直線

/下方得到12-12aW3,然后解不等式即可.

【解答】解：(I)當(dāng)尸0時，2x+l=0,解得x=-2,則/點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),

2

把/(-2,0)代入尸蘇-2廣。得4a+4+c=0,

所以c=-4a-4；

(II)當(dāng)x=4時，y=ax-2x^c=16a-8-4a-4=12a-12,貝U8(4,12a-12),

當(dāng)x=4時，y=—;ri-l=3,

2

因?yàn)閳D形G在直線/下方，

所以12-12W3,

解得

4

所以a的取值范圍為0<aW9.

25.如圖1,在等邊三角形上中，切為中線，點(diǎn)。在線段切上運(yùn)動，將線段3繞點(diǎn)。

順時針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)力的對應(yīng)點(diǎn)￡落在射線燈?上，連接50,設(shè)/DAQ=a(0°<a<

60°且aW30°).

(1)當(dāng)0。Va<30°時，

①在圖1中依題意畫出圖形，并求/麻(用含a的式子表示)；

②探究線段龍，AC,攵之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(2)當(dāng)30°<a<60°時，直接寫出線段位AC,e之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1備用圖

【分析】(1)①先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)的3=啰，進(jìn)而得出啰=。及最后用三角形的

內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；

②先判斷出△32△3乙得出斫=0C,再判斷出△宛F是底角為30度的等腰三角形，

再構(gòu)造出直角三角形即可得出結(jié)論；

(2)同②的方法即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)當(dāng)0°<a<30°時，

①畫出的圖形如圖1所示，

?.?△被7為等邊三角形，

：.ZABC^60°.

?.?必為等邊三角形的中線，

為線段卬上的點(diǎn),

二切是血的垂直平分線，

由等邊三角形的對稱性得QA=QB.

'：ZDAQ=a,

AZABQ=ZDAQ=a,NQBE=60°-a.

???線段數(shù)為線段3繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)所得，

:.QE=QA.

：.QB=QE.

:.NQEB=NQBE=6Q°-a,

二/5/=180°-2/3=180°-2(60°-a)=60°+2a；

@CE+AC=43CQ;

解：如圖2,延長。到點(diǎn)凡使得"'=龍，連接M作Q/C于點(diǎn)無

：NBQE=6Q°+2a,點(diǎn)￡在BC上,

：.ZQEC=ZBQE+ZQBE=(60°+2a)+(60°-a)=120°+a.

?.?點(diǎn)尸在。的延長線上，NDAQ=a,

：.ZQAF=ZBAF+ZDAQ=120°+a.

：.ZQAF=ZQEC.

又,：AF=CE,QA=QE,

:.△QAF^/\QEC.

：.QF=QC.

■:QHLAC干煮、H,

：.FH=CH,CF=2CH.

?.?在等邊三角形板中，切為中線，

點(diǎn)0在CD上,

?，?z^^yZACB=30°,

即AQ才為底角為30。的等腰三角形.

CH=CQ'cosZHCQ=CQ-cos30o坐CQ?

二CE+AC=AF^AC=CF=2cH=愿CQ.

(2)如圖4,當(dāng)30°<a<60°時，

在47上取一點(diǎn)/使AF=CE,

?.?△放為等邊三角形，

：.ZABC=60°.

?.?切為等邊三角形的中線，

為線段切上的點(diǎn),

...或是血的垂直平分線，

由等邊三角形的對稱性得QA=QB.

???ZDAQ=a,

：?4ABQ=4DAQ=a,NQBE=6Q°-a.

??,線段/為線段3繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)所得,

QE=QA.

***QB=QE.

:./QEB=NQBE=6b°-a=ZQAF,

“：AF=CE,QA=QE,

:、△QAF^XQEC.

：.QF=QC.

,:QHLAC于點(diǎn)、H,

：.FH=CH,CF=2CH.

?.,在等邊三角形板中，切為中線，點(diǎn)0在切上,

?，?z^^yZACB=30°，

即△仇》為底角為30。的等腰三角形.

CH=CQ-cosZHCQ=CQ-cos30°當(dāng)CQ?

：.AC-CE=AC-AF=CF=2CH=73CQ.

B圖2E

圖1

26.在平面直角坐標(biāo)系xO中，。。的半徑為r,尸是與圓心。不重合的點(diǎn)，點(diǎn)戶關(guān)于。C

的限距點(diǎn)的定義如下：若尸'為直線比與。。的一個交點(diǎn)，滿足rW用'W2r,則稱尸'

為點(diǎn)尸關(guān)于。。的限距點(diǎn)，如圖為點(diǎn)尸及其關(guān)于。。的限電點(diǎn)戶的示意圖.

（1）當(dāng)。。的半徑為1時.

①分別判斷點(diǎn)〃（3,4）,0）,7（1,V2）關(guān)于。。的限距點(diǎn)是否存在？若存在，

2

求其坐標(biāo)；

②點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（2,0）,DE,如分別切。。于點(diǎn)笈點(diǎn)凡點(diǎn)尸在△