奧數(shù)-平行四邊形-師

平行四邊行

一、平行四邊形定義

平行四邊形：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行

四邊形（如圖），記作“EJABCD”.平仃四邊形的口:X*卜四邊形皿。叫

表示一般按一定的方向依次表示各頂點(diǎn)，如右圖的

平行四邊形不能表示成CMCBZ（也不能表示成AB做平行四邊形

LJADBC.

二、平行四邊形的性質(zhì)

曰心TVI1JR心,口

平行四邊形的對(duì)邊平行且相等

二AB/fD,AD//BC.

C

Ar四邊形池CD為平行四邊形

②平行四邊形的對(duì)角相等；

=>-ZC,ZB-ZD.

L7C

7四邊形地。為平行四邊形

③平行四邊形的對(duì)角線互相平分.

2家nOA-OC,OB-OD.

C

④平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心就是兩

E四邊形43co為平行四邊形，

條對(duì)先線的交點(diǎn)；連接四邊上任意一點(diǎn)和平行四邊T

E、F為任意兩點(diǎn)，

形的對(duì)稱中心，與另一條邊相交于一點(diǎn)，則這兩個(gè)

SC=>OE=OF.

點(diǎn)關(guān)于平行四邊形的對(duì)稱中心對(duì)稱.F

30c=0c=S/wai

TAAOB^ACOD

⑤平行四邊形中重要結(jié)論：△AODgMOB

C△ABCq4CDA

ABCD^ADAB

三、平行四邊形的判定

黑.焉［二四邊形四°是

①定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊

形BL——（平行四邊形

y^-jD?！?卜四邊形血刀是

②一組對(duì)邊平行旦相等的四邊形是平行四邊形Bt一1平行四邊形

A/—J-:卜四邊形皿＞是

③兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

平行四邊形

BL——'C

發(fā)二穿卜四邊形,仍CD是

④兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形_4平行四邊形

OA=OC=-AC

n四邊形

⑤對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

OB=OD=-BD

Bc2

是平行四］之形

四、三角形中位線

1.定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段；

2.定理：三角形中位線平行于三角形的第三邊且DE//BC,iLDE=-BC

2

等于第三邊的一半.

3.三角形中位線里隱含重要性質(zhì)：

A

EF、GE、GF是A1SC的三

①三角形的三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全

條中位線，則有

等的三角形.

/^AEG9△FRF

EF.GE、GF是A45C的三

②三角形的三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面

條中位線，則有

積相等的平行四邊形.

SQAEFG=S°=S

爪EBFGaEFCG

EF、GE、GF是的三

條中位線，則有：

③三角形的三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長(zhǎng)

為原三角形的周氏的T-,其面積為原：角形面積①CAEFG=3C/\ABC

的四分之一.A

F②S'EFG=^/\ABC

4

【例1】（1）在平行四邊形ABCD中，NA:NBNC:ND的值可能是（）

A.1:2:3:4B.2:2:3:3

C.2:3:2:3D.2:3:3:2

⑵A、B、C、。在同一平面內(nèi)，從①A3〃CD；②AB=CD；③BC=AD；@BC//AD,這四個(gè)

條件中任選兩個(gè)，能使四邊形A3C。是平行四邊形的選法有（）

A.3種B.4種C.5種D.6種

⑶下面給定的條件中，能畫出平行四邊形的是（）

A.以60cm為一對(duì)角線，8cm、10cm為兩邊鄰邊；

B.以6cm、10cm為對(duì)角線，8cm為一邊；

C.以60cm為一對(duì)角線，20cm、34cm為兩條鄰邊；

D.以20cm、36cm為對(duì)角線，22cm為一邊.

（4）A3CD的周長(zhǎng)是120cm,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。，5OC比AO5的周長(zhǎng)小10cm,則

AB=,BC=.

⑸已知三角形A5C,若存在點(diǎn)。使得以4瓦。,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則這樣的點(diǎn)。有

個(gè).若已知A3C的周長(zhǎng)為3則以所有。點(diǎn)圍成的多邊形周長(zhǎng)為

（6）如圖，平行四邊形ABC。中,P是形內(nèi)任意一點(diǎn)，AABP,

舟,82,83,84則一定成立的是（）

A.S]+S,>S3+邑B.Sj+S,=S3+

C.S]+S?<S3+D.Sj+S3=S。+S4

⑺如圖，四邊形ACED為平行四邊形，DF垂直平分BE,甲乙兩蟲同時(shí)從A點(diǎn)開始爬行到F點(diǎn)，甲蟲沿

著A-D-E-F的路線爬行，乙蟲沿著A-C-B-F的路線爬行，若它們的爬行速度相同，則()

A.甲蟲先到B.乙蟲先到

C.兩蟲同時(shí)到D.無法確定

【解析】(1)C(2)B⑶D⑷AB=35cm,BC=25cm,(5)3,6

【教師備選】已知:如圖，A45c中，,AB=8,DE//AC,DF//AB,

)RDE+DF^____.

【解析】8,提示：DE=BE,DF=AE,nDE+DF=AB=8.

【教師備選】已知：如圖：AB//CD,AD//BC,AD=5,BE=8,AZ>C￡1的面積為6,則四邊形加CD

的面積為.

【解析】20

［教師備選】如圖DABCD中點(diǎn)E在邊加上，以3E為折痕,將J4BE

向上翻折，點(diǎn)4正好落在CD上的點(diǎn)尸，若小的的周

長(zhǎng)為8,的周長(zhǎng)為22,則尸C的長(zhǎng)為____.

【解析】7提示：由BF=AB,EF=AE,貝|口一45。/周長(zhǎng)為

22+8=3,得BC+BF=BC+AB=15所以

FC=22-15=7.

【教師備選】對(duì)于下列說法，正確的請(qǐng)給出證明，錯(cuò)誤的請(qǐng)舉出反例.

⑴一組對(duì)邊平行,一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形.

(2)一颯邊平行,另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形.

⑶一組對(duì)邊相等,一組雌相等的瞰形是平行四邊形.

(4)一組對(duì)邊相等,一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形.

(5)一颯邊平行,一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形

(6)一組對(duì)角相等,一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形.

⑺對(duì)角線四等分四邊形的面積，則這個(gè)四邊形是平行四邊形.

【解析】⑴正確；⑵錯(cuò)誤(提示：等腰梯形)

⑶錯(cuò)誤.如圖所示，在四邊形HBCD中，AB=CD,NB=ND,

但四邊形功CD不是平行四邊形.（構(gòu)造辦法：作和

AADC,使AB=CD,AC=AC,ZB=ZD,BCAD.然

后將邊4C重合，則可得到四邊形48cD）

（4）錯(cuò)誤.如圖所示，在四邊形HBCD中，HD=3C,AO=OC,

但四邊形43co不是平行四邊形.（構(gòu)造辦法：作平行四邊

形AB'CD,在。3'上取點(diǎn)3或延長(zhǎng)05'至點(diǎn)B,使

BC=BG連接4B即得）

⑸正確.如圖所示，在四邊形/5CD中，AB//CD,/C平

分BD干O（即08=02））.在△Q4S和△OC。中，因?yàn)?/p>

AB//CD,則ZBAO=ZJXJO,而

OB=O“故義爾CD,從而Q4=OC,故四邊形

皿CD是平行四邊形.

(6)錯(cuò)誤.如圖所示，ZABC=ZADC,OB=OD,但四邊

形ABCD不是平行四邊形.

正確.'-$2=>-ODynujBCD（根據(jù)對(duì)角線互相

⑺A

S-OA=OC]

平分）

【例2】已知：如圖平行四邊形ABC。,E、F是直線8。上兩點(diǎn)，且

DE=BF.求證：.（至少用2種方法解答）

【解析】方法一

???四邊形ABCD是平行四邊形，

AD=BC,AD/7CB.

.\ZADB=ZCBD,

AZADE=ZCBF.

VDE=BF.

.,.AADE^ACBF(SAS),

AE=CF.

方法二：?..四邊形ABC。為平行四邊形,

AB=DC,AB//DC

：.ZABD=ZCDB

又,：DE=BF

：.DE+BD=BF+BD

即EB=FD

：.AABE^ACDF(SAS)

AE=CF

方法三：

：四邊形ABCD是平行四邊形，

連結(jié)AC交3。于O,

貝lj0A=0C,0B=OD.

?:DE=BF,

：.OD+DE=OB+BF,

即：OE=OF.

9：AAOE=ACOF,

AAAOE^ACOF(SAS),

AE=CF.

方法四：連結(jié)AC交BD于O,

分別連結(jié)A尸、EC.

???四邊形ABCD是平行四邊形,

：.OA=OC,OB=OD.

9：DE=BF,

：?OD+DE=OB+BF,

即：OE=OF.

???四邊形AEB為平行四邊形,

，AE=CF.

會(huì)大技巧：1.構(gòu)造平行四邊形

2.三角形中位線定理的應(yīng)用.

技巧1：構(gòu)造平行四邊形開拓一種新的思維習(xí)慣，它可以解決有關(guān)線段或角關(guān)系的問題.其作

用為：將離散的線段或角集中，其本質(zhì)為：線段的平移.

（教師備選、例3、鋪墊及拓展為集中線段的題，例4為集中角的題，例5及拓展為新

課標(biāo)主流的題）

技巧2：遇到中點(diǎn)問題，聯(lián)想中位線.

【教師備選】如圖所示，△43。為等邊三角形，尸是△形。內(nèi)任一點(diǎn)，

PD//AB,PE//BC,DF//AC,若△48C的周長(zhǎng)為12,

貝！17Y）+依+母'等于多少？

【分析】方法1：構(gòu)造要求的三條線段各自分離，可通過，構(gòu)造平行四邊形,

把離散的線段轉(zhuǎn)到一邊.方法很多，以下列出兩種，答案為4.

移到23上移到5c上

方法2:極限法，把尸放在月點(diǎn)處，F(xiàn),巨與月重合，D與B重合,AB為所示.

【鋪墊】（09西城教研組精編）初二上一經(jīng)典題目：在等腰中，。為."上一點(diǎn)，E為.4C延

長(zhǎng)線上一點(diǎn)，&BD=CE,DE交BC于F.求證：DF=EF.

【分析】八上很多輔導(dǎo)書上都有此題，方法都是構(gòu)造“8”字形,證明全等三角形.如圖1,過。點(diǎn)作

的平行線，交5c于G,證△zy&gZsETP.我們“舊題新解”，聯(lián)想到平行四邊形的對(duì)

角線互相平分，于是構(gòu)造平行線證線段相等，出以9?為對(duì)角線的平行四邊形.在圖1的基

礎(chǔ)上連結(jié)刀。和EG得圖2,證四邊形。GEC為平行四邊形.我們還可以過K作EG〃48交

5C延長(zhǎng)線于G,連結(jié)Z）G、3E得圖3,下面給出詳解.再次體驗(yàn)由全等三角形到平行四邊

形的過渡.

【解析】證明：過工作EG〃48交5C延長(zhǎng)線于G,連結(jié)。G、BE.

ZABC=ACGE

VAB=AC

:.ZABC=ZACB

：.ZABC=ZGCE

工Z.CGE=Z.GCE

：.CE=GE

'：BD=CE

：.BD=GE

：.BD//GE

：.四邊形BDGE為平行四邊形.

，DF=FE.

【例3】已知，在等腰AABC中，D為AB上一點(diǎn)，E為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=EC,連結(jié)DE.

求證:DE>B

【分析】結(jié)合鋪墊題目及解答，很快得到解法一.

【解析】解法一：

過E作EG〃AB交BC延長(zhǎng)線于G,連結(jié)DG,BE.過D作

DM_LBC于M,ENJ_BC于N.

/.ZABC=ZCGE

?/AB=AC

ZABC=ZACB

ZABC=ZGCEE

ZCGE=ZGCE

/.CE=GE

?/EN±CG

CN=GN

?/BD=CE

BD=GE

ABD//GE

四邊形BDGE為平行四邊形

DF=EF,BF=FG

易證△DFM咨ZXEFN

.".FM=FN

.\BM=GN

.\BM=CN

.\BC=MN=2FM

VDF>FM

/.DE>BC

解法二

思路：也可以平移線段DE或BC,造平行四邊形，同時(shí)將BD、CE轉(zhuǎn)移到同一三角形中.

證明：過B作BG〃DE,連結(jié)CG、GE,GE交BC延長(zhǎng)線于

Ho

四邊形BDEG為平行四邊形

BD=GE

ZABC=ZCHE

?/AB=AC

ZABC=ZACB

/.ZABC=ZHCE

/.ZECH=ZCHE

?/CE=BD

/.CE=GE

ZCGE=ZGCE

在△GCH中，ZCGH+ZCHG+ZGCH=180

ZGCE+ZHCE+ZGCH=90

BC1CG

BG>BC

/.DE>BC

【點(diǎn)評(píng)】方法一本質(zhì)是構(gòu)造了以DE為對(duì)角線的平行四邊形，實(shí)現(xiàn)將線段DE轉(zhuǎn)移到線段BC所

在直線上。

【例4】如圖，在四邊形ABCD中，AB〃CD,AB+BC=AD+CD.求證：四邊形ABCD為平行四邊形

【分析】從已知條件出發(fā)，重點(diǎn)考慮AB+BC=AD+CD的應(yīng)用.結(jié)

合所要證明的結(jié)論，我們只需證明

AB=CD.先將AB+CD,AD+CD分別并為一條線段，所

以我們分另！J延長(zhǎng)AB、CD,使BE=BC,DF=AD,得AE=CF.已

知AB〃CD,則.AE//CF

【解析】證明：如圖，延長(zhǎng)AB至E,使BE=BC,連結(jié)CE.延長(zhǎng)CD至E使DF=AD,連結(jié)

AFo

?/AB+BC=AD+CD

F

D

/.AB+BE=CD+DF

即AE=CF

VAB/7CD

.".AE//CF

，四邊形AECF為平行四邊形

，AF=CE,ZE=ZF

：AD=DF,BC=BE

/.ZFAD=ZF,ZBCE=ZE,

：.ZF=ZFAD=ZBCE=ZE

在AADF和ACBE中

'ZF=ZE

<AF=CE

ZFAD=ZBCE

AAADF^ACBE

/.AD=BC

AB=CD

AB//CD

四邊形ABCD為平行四邊形。

【例5】如圖，平行四邊形的對(duì)角線AC、3D相交于點(diǎn)。，EF過點(diǎn)0,分別交8C、AD于E、

F.

求證：OE=OF.

【解析】：ABCQ是平行四邊形，AC、相交于點(diǎn)。，

OD=OB,AD//BC.

：.Z1=Z2,Z3=Z4,

/.NBOE鄉(xiāng)NDOF,

OE=OF.

【例6】已知：如圖，AA8C中,AB=AC,DE//AC,DF//AB.求證:DE+DF=AB.

【解析】VDE//AC,DF//AB,

：.AEDF為平行四邊形，ADF=AE.

VAB=AC,N8=NC.

?/DE//AC,

：.Z1=ZC,

Z1=ZB,

?*.DE=BE,

AB^BE+AE=DE+DF.

【例7】已知：如圖，平行四邊形A8CQ,BELCD,BF±AD,NEDF=3U°,BE=8,BF=14.求:

平行四邊形ABCD的周長(zhǎng).

【解析】：48。是平行四邊形，

AB

CD//AB.

丁/CDF=30°,

ZA=ZCDF=30°.

BFLAD,BF=14,

：.AB=2BF=28.

???ZA=ZC,

ZC=30°.

BELDC,DE=8,

：.BC=2BE=16.

???平行四邊形A3CD的周長(zhǎng)等于：2(45+30)=2x(28+16)=88.

【例8](1)已知：如圖平行四邊形ABC。中，AAQ6比ABOC的周長(zhǎng)大8cm,平行四邊形ABC。的周

長(zhǎng)為60cm.求：AB的長(zhǎng).

【解析】據(jù)題意，

(OA+AB+BO)-(OB+BC+CO)=8(cm).

ABCD是平行四邊形，

OA=OC,

：.AB-BC=8(cm).①

AB+BC=1x60=30(cm),②

,z-xZ-NAB=19(cm),

由①、②得/

BC=ll(cm).

答：AB的長(zhǎng)為19cm.

(2)已知：平行四邊形ABC。，AC.BD交于點(diǎn)O,AC=38cm,30=24cm,AZ)=14cm.求：AOBC

的周長(zhǎng).

【解析】：A8CD為平行四邊形，

OA=OC,OB=OD.

VAC=38cm,BD=24cm,

OC=19cm,03=12cm.

又＜BC=AD=14cm,

OB+OC+BC=12+19+14

=45(cm).

???AO3C的周長(zhǎng)為45cm.

【例9】已知：如圖，AD//BC9OE=OF.求證：A3c。是平行四邊形.

【解析】e/AD//BC,

：.4=N2.

?.?Z3=Z4,

,/OE=OF,

：.ADOE也ABOF(AAS),

.?.OD=OB.

同理可證：QA=OC.

???ABC。是平行四邊形.

【例10]如圖，平行四邊形ABC。中，片、鳥是對(duì)角線6。的三等分點(diǎn).求證：然瑪是平行四邊形.

【解析】???AJ5c。是平行四邊形,

AB//CD,AB=CD,

：.N1=N2.

P

BC

BC

??,片、舄是的三等分點(diǎn),

BPX=PXP2^P2D,

：.\ABPX絲ACOR(SAS),、

,

ZAP^B=ACP2D,

：.AAPXD=ACP2B,

APX//CP2,

：.是平行四邊形

【例11]已知：如圖平行四邊形ABC。，E、尸分別為AB、CO的中點(diǎn)..求證：EG五"為平行四

邊形.

【解析】???A3C。為平行四邊形，AAB//CD,AB=CD.

?；E、/分別是AB、C。的中點(diǎn)，ABE=-AB=DF=-CD.

22

:,BE//DF,BE=DF,工5石。尸是平行四邊形，

:.DE//BF.

同理可證：AF//CE.工EG廠77為平行四邊形.

【例12】求證：平行四邊形的四個(gè)內(nèi)角平分線圍成的四邊形一定是平行四邊形

【解析】已知：如圖，平行四邊形A3CD,AE平分NB4D,3G平分NA3C,CG平分N5CD,DE平

分ZADC.

求證：EFG”是平行四邊形.

證明：???A3CD是平行四邊形.

??.AB//CD,AB=CD,

：.Z2=ZDPA.

丁A七平分NB4D,

/.Z1=Z2,

:.Z2=ZDR4,

JZL=ZDPA,

：.DP=AD.

同理可證：BM=BC.

9：AD=BC,

：.DP=BM.

AB=CD,

：.CP=AM.

CP//AMf

：.AMC尸為平行四邊形.

EH//FG.

同理可證：EF//HG.

：.EFGH是平行四邊形.

備注：這道題是完全文字?jǐn)⑹龅膸缀巫C明題，要求學(xué)生學(xué)會(huì)分析條件，寫出已知求證并畫圖，再寫出

證明過程，建議老師給學(xué)生分析一下這類問題的解題步驟要求.

【例13】已知：如圖，RtAA3C中，AC_LBC,CDLAB,AE平分Za4C,E/〃.求證：CE=3尸.

【解析】作E河〃5c交AB于".

,?EF//AB,

???MBEE是平行四邊形，

:.EM=BF.

EM//BF,

：.Z2=ZB.

ACIBCfCDLAB,

ADMB

NB+ZCAB=90°,

Z1+ZCAB=90°,

4=ZB.

：.Z1=Z2.

AE平分乙BAC,

Z3=Z4.

???AE為公共邊，

/.\AME/AAC￡（AAS）./.CE=EM.：.CE=BF.

【例14】在AABC中，AB=AC,D、E分別為AB、AC上任意兩點(diǎn)，滿足

BD=AE.求證：DE>-BC?

2

【分析】本題形式簡(jiǎn)潔，條件少而分散，結(jié)論也不簡(jiǎn)單.我們還是從結(jié)論

突破，由問題將已知條件串起來.

思路一：聯(lián)想兩點(diǎn)之間線段最短，構(gòu)造三角形，證明DE+DE2BC,如

圖(1)；

思路二：利用垂線段最短，造直角三角形，先需構(gòu)造出‘BC的線段，如

2

圖(2).

【解析】方法一：證明：如圖(1),過B作BF幺DE,連結(jié)EF、CF。

二四邊形BDEF為平行四邊形

/.BD//EF

/.ZFEC=ZA

,/AB=AC,BD=AE

/.AD=CE

EF=AE

；.△DAE^ACEF（SAS）

DE=CF

/.BF=FC

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短：BF+FC>BC

2DE>BC,-DE>BC

2

方法二：證明：如圖（2）,取AB、AC中點(diǎn)M、N,連結(jié)MN.過D作DF〃MN,交AC于F,

過N作NG/7AB交DF于G.

，MN〃BC,MN=-BC

2

四邊形DMNG為平行四邊形

/.DM=GN,DG=ZNGF=ZADF

VAB=AC

ZB=Z

.\AM=BM=AN=CN

VDB=AE

；.AD=CE,

Z.AD-AM=CE-CN

即DM=EN

/.EN=GN

ZGEN=ZNGE

VDF/7MN,MN〃BC

；.DF〃AB

ZADF=ZB,ZAFD=ZC

/.ZADF=ZAFD

ZNGF=ZNFG

^AEGF中，ZGEF+ZEFG+ZEGF=180

ZEGF=90

EG1DG

根據(jù)垂線段最短

/.DE>DG

.*.DE>MN,DE>-BC

2

【拓展】（2008海淀二模）在△4BC中，AB>AC,D,E分別為43,/C上兩點(diǎn)且初二位.求

證：DE<BC.

【分析】此題思路與例4一致，通過平移線段出平行四邊形，將DE、3c集中到一起.難點(diǎn)為怎樣證

明3c與平移后線段的大小關(guān)系？解決問題關(guān)鍵是怎樣處理=■即EC=￡F?聯(lián)想等腰

三角形的軸對(duì)稱性，作NCT尸的平分線EG,即為CF的垂直平分線.

【解析】證明：過B作連結(jié)EF,作NCEF的角平分線，交8c于G.

四邊形8DEF為平行四邊形.

：.DE=BF,BD=EF

,:BD=CE

：.CE=EF

VNCEG=ZFEG

△CE'G鄉(xiāng)AFEG

:.FG=GC

在尸G中，BG+FG>BF

：.BG+CG>BF

：.BC>DE.

【點(diǎn)評(píng)】此題雖然是證兩條線段的不等關(guān)系，但實(shí)際上是利用將長(zhǎng)的線段分成兩部分放在同一三角形

中，用三角形三邊關(guān)系解決.注意，此題不是用三角形中“大角對(duì)大邊”解決.

【例15］（中考題）閱讀下列材料：

小明遇到一個(gè)問題：5個(gè)同樣大小的正方形紙片排列形式如圖1所示，將它們分割后拼接成一個(gè)

新的正方形.

他的做法是：按圖2所示的方法分割后，將三角形紙片①繞AB的中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至三角形紙片②處,

依此方法繼續(xù)操作，即可拼接成一個(gè)新的正方形DEFG.

圖1

請(qǐng)你參考小明的做法解決下列問題：

⑴現(xiàn)有5個(gè)形狀、大小相同的矩形紙片，排列形式如圖3所示.請(qǐng)將其分割后拼接成一個(gè)平行

四邊形.要求：在圖3中畫出并指明拼接成的平行四邊形（畫出一個(gè)符合條件的平行四邊形即可）；

（2）如圖4,在面積為2的平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA

的中點(diǎn)，分別連結(jié)AF、BG、CH、DE得到一個(gè)新的平行四邊形MNPQ.請(qǐng)?jiān)趫D4中探究平行四

邊形MNPQ面積的大小（畫圖并直接寫出結(jié)果）.

圖3圖4

圖3圖4

⑴拼接成的平行四邊形是平行四邊形ABCD（如圖3）。

2

⑵正確畫出圖形（如圖4）.平行四邊形MNPQ的面積為不。

【拓展】（2008山東濰坊）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)&、4、舄、

4和q、c2xC3、G分別43和CD的五等分點(diǎn)，點(diǎn)為、

星和％、2分別是8C和以的三等分點(diǎn)，已知四邊形

4B2C4D2的積為1,則平行四邊形438面積為

【解析】I

【教師備選】已知：如圖所示，在四邊形4BCD中，E、尸分別為.45、CD的中點(diǎn).

求證：EF<^AC+BD）.

【分析】利用中位線構(gòu)造出長(zhǎng)為的線段并將線段集中.

22

【解析】證明：取皿的中點(diǎn)M,連結(jié)和W.

'：E.F是AB、CD中點(diǎn)，

EM=-BD,FM=-AC.

22

又；EFvEM+FM,

：.EF<^(AC+BD).

【點(diǎn)評(píng)】此題還可以求證^/=乙,蛆+^。），方法是取.4C或a）的中

2

點(diǎn).

【鋪墊】如圖，在四邊形H8CD中，M、N分別為.山、8C的中點(diǎn)，

BD=AC,即和相交于點(diǎn)。，AW分別與HC、8。相交

于E、F,求證：OE=OF.

【分析】此題為09年秋季精英班第十二講習(xí)題6,思路同上一題（教師

備選題）.

【解析】取48中點(diǎn)尸，連結(jié)人廬、NP.

利用中位線可得

MP=-BD=NP=-AC

22

：.ZPMN=ZPNM

'：MP//BD,NP//AC

：.Z.OFE=/LOEF

：.OE=OF

【例16]已知：如圖所示，在AABC中,D、G分別為AB、AC上的點(diǎn)，且BD=CGM、N分別是BG、

CD的中點(diǎn)，過MN的直線交AB于點(diǎn)P,交AC于點(diǎn)Q,求證：AP=AQ.

【分析】不難發(fā)現(xiàn)，若連結(jié)DG則與鋪墊題一樣.

【解析】連DG,找DG的中點(diǎn)E,連ME、NE,

：M、N分別是BG與CD的中點(diǎn)。

,*.ME/ZAB,ME=-BD,

2

NE//AC,NE=-GC.

2

ZAPQ-ZEMN,ZAQP=ZENM.

A

VBD=GC,A

然

B

；.EM=EN,

ZEMN=ZENM,

：.ZAPQ-ZAQP,

AP=AQ.

【點(diǎn)評(píng)】還可以取BC的中點(diǎn).方法總結(jié)：已知四邊形對(duì)角線中點(diǎn)，則取一邊中點(diǎn)，可出兩條中

位線.

【例17](中考題改編)實(shí)驗(yàn)與探究

⑴在圖1,2,3中，給出平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A,B,D的坐標(biāo)(如圖所示)，寫出圖1,2,

3中的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，它們分別是(5,2),,；

(2)在圖4中，給出平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A,B,D的坐標(biāo)(如圖所示)，求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)

(點(diǎn)C坐標(biāo)用含a,b,c,d,e,f的代數(shù)式表示)；

歸納與發(fā)現(xiàn)

(3)通過對(duì)圖1,2,3,4的觀察和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)的探究，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：無論平行四邊形ABCD處于

直角坐標(biāo)系中哪個(gè)位置，當(dāng)其頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(ab),B(cd),C(mn),D(ef)(如圖4)時(shí)，則四個(gè)頂點(diǎn)的橫坐

標(biāo)a,c,m,e之間的等量關(guān)系為；縱坐標(biāo)b,d,n,f之間的等量關(guān)系為(不必證明)；

運(yùn)用與推廣

1519

⑷在同一直角坐標(biāo)系中有三個(gè)點(diǎn)6(—-,-),S(-,-),H(2,0).請(qǐng)求出所有使得以GS,H,P為頂點(diǎn)

2222

的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)P坐標(biāo).

【解析】(l)(e+c,d\(c+e-a,d)

⑵分別過點(diǎn)A,B,C,D作x軸的垂線，垂足分別為A，4，G，R，分別過A,D作AE，BB1

于E,DFLCC］于點(diǎn)F.

在平行四邊形ABCD中，CD=BA,又：BB//C。。

ZEBA+ZABC+ZBCF=ZABC+ZBCF+ZFCD=180

ZEBA=ZFCD

又：ZBEA=ZCFD=90

-,.△BEA^ACFD.

/.AF=DF=a-c,BE=CF=d-b,

設(shè)C(x,y),由e-x=a-c得x=e+c-ass

由y-f=d-b,得y=f+d-b.C(e+c-a,f+d-b)