壓軸第24題30道-二次函數(shù)綜合問題（二）（解析版）-2021學(xué)年上海初三數(shù)學(xué)一模（期末）壓軸題模擬匯編

壓軸第24題精選30道-二次函數(shù)綜合問題(二)(解析版)

學(xué)校:姓名班級：考號：

一、單選題

1.如圖，拋物線y="2+法+。與x軸正半軸交于A,B兩點，與y軸負半軸交于點C.若

點3(4,0),則下列結(jié)論中：①Hc>0；②4a+b>0；③河(4%)與N(%,%)是拋物線

上兩點，若。<玉<々，則%>%；④若拋物線的對稱軸是直線x=3,m為任意實數(shù)，

則°(〃2-3)(〃2+3),,僅3-m)；⑤若AB23,則4Z?+3c>0,正確的個數(shù)是()

【答案】B

【分析】

根據(jù)圖像得出a<0,c<0,b>0,可判斷①；再由圖像可得對稱軸在直線x=2右側(cè)，

b

可得-=>2,可判斷②；再根據(jù)二次函數(shù)在y軸右側(cè)時的增減性，判斷③；根據(jù)拋物

線對稱軸為直線x=3,得出人=-6a,再利用作差法判斷④；最后根據(jù)ABZ3,則點A的

橫坐標(biāo)大于。且小于等于1,得出a+b+cK),再由當(dāng)x=4時，得出16a+4b+c=0,變形為

a==4,代入，可得4b+5R0,結(jié)合c的符號可判斷⑤.

—16

【詳解】

解：如圖，拋物線開口向下，與y軸交于負半軸，對稱軸在y軸右側(cè)，

b八

??a<0,c<0,------〉0,

2a

Ab>0,

Aabc>0,故①正確；

如圖，???拋物線過點B(4,0),點A在x軸正半軸，

b

???對稱軸在直線x=2右側(cè)，即———>2,

2a

.?.2+2="<0,又a<0,

2ala

A4a+b>0,故②正確;

,/與是拋物線上兩點，。<玉<%,

b

可得：拋物線y=ox2+bx+c在。<x<------上，y隨x的增大而增大，

2a

b

在x>-丁上，y隨x的增大而減小，

2a

?,?%>上不一定成立，故③錯誤；

b

若拋物線對稱軸為直線x=3,則-==3,即人=-6即

2a

則a(m—3)(根+3)—b(3—m)

=6Z(m-3)(m+3)+6<2(3—m)

=^(m-3)(m+3-6)

=tz(m-3)2<0,

aim-3)0+3)<b(3-m),故④正確；

VAB>3,則點A的橫坐標(biāo)大于0且小于等于1,

當(dāng)x=l時，代入，y=a+b+c>0,

當(dāng)x=4時，16a+4b+c=0,

.4Z?+c

??a二f

-16

47?+c

則-----+b+c>0,整理得：4b+5c>0,

-16

則4b+3cN-2c,又cVO,

-2c>0,

；.4b+3c>0,故⑤正確，

故正確的有4個.

故選B.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)圖像得出二次函數(shù)表達式各系

數(shù)的符號.

2.如圖，在四邊形A5CD中，AD//BC,ZA=45°,ZC=90°,AD=4cm,8=3cm.動

點M,N同時從點A出發(fā)，點M以缶m/s的速度沿AB向終點B運動，點N以2cm/s

的速度沿折線AD-DC向終點C運動.設(shè)點N的運動時間為/s,的面積為Sen?,

則下列圖象能大致反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的是()

【答案】B

【分析】

先求出AB=37icm,可知M由A到B需3秒,N由A到D需2秒，到C需3.5秒.分三

種情況討論:⑴當(dāng)N在AD上時，即0<飪2,畫出圖形求解;（2）當(dāng)N在CD上且M沒到達

B時，即2<t<3,畫出圖形求解;（3）當(dāng)N在CD上且M與B重合時，即3<t<3.5,畫出圖

形求解.即可選出正確答案.

【詳解】

解：ZA=45°,CD=3cm,

AB="+3?=3亞cm,

AM由A到B需3秒,N由A到D需2秒，到C需3.5秒,

下面分三種情況討論:

⑴當(dāng)N在AD上時，即0<￡2,如圖1,

作ME±AD于E,

可知AN=2t,AM=0z,

；.EM=t,

11,

s=—AN-ME=—x2t-t=

22

故此段圖像是一條開口向上的拋物線；

⑵當(dāng)N在CD上且M沒到達B吐即2ct<3,如圖2,

作MF±CD于F,延長AB與DC的延長線交于O,

可知DN=2t-4,AM=,0D=4,0A=472，

.\ON=4-DN=8-2t,OM=4衣-衣，

；.MF=4-1,

SAOAD=^OD-AD=^x4x4=8,

SA^=gN?AD=gx(2"4)x4=4f-8,

11

29

sAOMN=-ON^MF=-x(8-2t)-(4-t)=(4-t),

s=8-(4t-8)-(4-t)2=-t2+4t,

故此段圖像是一條開口向下的拋物線；

⑶當(dāng)N在CD上且M與B重合時，即3MW3.5,如圖3,

可知BC=l,DN=2t-4,

ACN=3-DN=7-2t,

；?WD=1(5C+AZ))-CD=lx5x3=y,

^=1^-^=1X(2?-4)X4=4Z-8,

117

s^CN=-BC-CN=-xlxO-2t)=--t,

157

5=y-(4f-8)-(--r)=12-3r,

故此段圖像是一條呈下降趨勢的線段；

綜上所述,答案是B.

【點睛】

本題考查了動點問題的函數(shù)圖象：函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通

過看圖獲取信息、，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的

能力.解決本題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想求出S與t的函數(shù)關(guān)系式.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=-gx+2上的一個動點，將Q繞點P(l,

0)順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到點。'，連接OQ',則OQ'的最小值為()

A.逑B.75C.迫D.述

535

【答案】B

【分析】

利用等腰直角三角形構(gòu)造全等三角形，求出旋轉(zhuǎn)后Q'的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理并利

用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】

解：作QM_Lx軸于點M,QNLx軸于N,

設(shè)Q(相，一;加+2),則PM二機T,QM=—1m+2,

*.?ZPMQ=ZPNQr=ZQPQf=90°,

NQPM+NNPQ，=NPQN+NNPQ，，

???NQPM=NPQN,

在^PQM和^QTN中，

ZPMQ=ZPNQ,=90°

<ZQPM=ZPQ'N,

PQ=Q'P

：.APQM^AQTN(AAS),

PN=QM=-1m+2,Q?4=PM=m-\,

.".ON=1+PN=3--7W,

2

機,1-m),

‘0Q'2=(3-；%1-機)2=：m?-5m+10=1-(m-2)2+5,

當(dāng)m=2時，OQ，2有最小值為5,

???OQ'的最小值為石，

故選：B.

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì),

坐標(biāo)與圖形的變換-旋轉(zhuǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，表示出點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

4.已知拋物線y=(x-m)(x-〃)，其中m<n,若a,b是方程(X-M)(X-〃)-X=0的兩

根，且a<b,則當(dāng)(a-m)S-w)>0時，mn的值()

A.小于零

B.等于零

C.大于零

D.與零的大小關(guān)系無法確定

【答案】A

【分析】

由己知可得y=(x-m)(x-n)與x軸的交點為(m,0),(n,0),y=(x-m)(x-ri')

與丫=尤的兩個交點為(a,a),(6,b)；分三種情況分析，當(dāng)函數(shù)y=(x-m)(x-〃)

與x軸交點在無軸正半軸時；當(dāng)函數(shù)>=(x-m)(x-n)與x軸交點分別在x軸正半軸

和負半軸時；當(dāng)函數(shù)y=(x-m)(x-n)與％軸交點在x軸負半軸時.結(jié)合圖像進行

分析可得答案.

【詳解】

解：y=(x-m)(x-H)與x軸的交點為(m,0),(n,0),

由(x-zn)(x-〃)-x=0,

:.^x-m)^x-ri)=x,

廠?方程的兩個根為：再=。,工2="

則y=(x-m)(x-n)與y=x的兩個交點為(ma),Qb,b),

如圖1：當(dāng)函數(shù)y=(x-m)(x-n)與x軸交點在x軸正半軸時，(m,0),(n,0)在

(a,a),(b,0)點的下方，

：?aVmVnVb,

如圖2：當(dāng)函數(shù)y=(x-m)(x-n)與x軸交點分別在x軸正半軸和負半軸時,

此時m<.a<.n<.b9

(a-m)(。-n)>0,

此時m<a<b<n,

；.(a-m)(b-n)<0,不符合題意;

綜上所述：當(dāng)(a-m)(b-n)>0時，mn<Q,

【點睛】

本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與％軸的交點坐標(biāo)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交

點坐標(biāo)，掌握利用數(shù)學(xué)結(jié)合的方法解題是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，C是線段AB上一動點，△ACD,△CBE都是等邊三角形，M,N分別是CD,

BE的中點，若AB=6,則線段MN的最小值為（）

B.|如C.272D.3

【答案】B

【分析】

如圖（見解析）,連接CN,先根據(jù)角的和差、等邊三角形的性質(zhì)可得/MQV=90。，再

設(shè)AC=a,則3C=6-。，利用勾股定理可得MN的長，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可

解決問題.

【詳解】

如圖，連接CN,

,/AACD和△CBE都是等邊三角形，

AC=CD,BC=BE,ZACD=ZBCE=ZB=60°,

ZDCE=180°-ZACD-ZBCE=60°,

：N是BE的中點，

CN±BE,ZECN=-ZBCE=30°,

2

ZMCN=ZDCE+ZECN=90°,

設(shè)AC=a,貝iJCD=a,

AB^6,

BC=AB-AC=6-a,CN=—BC=—(6-a),

22

???M是CD的中點，

:.CM=—CD=—a,

22

由勾股定理得：MN^^ICM2+CN2七(6一4=皿”1+不

設(shè)y=(a-1)+小

???C是線段AB上一動點，AB=6,

.-.0<a<6,

927

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在0<。<6內(nèi)，蘭1〃=5時，y取最小值，最小值為丁，

則MN的最小值為樣,

故選：B.

AA

ACB

【點睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點，通過作輔助線,

構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.

6.如圖所示，已知二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點，與y軸交于

點C,OA=OC,對稱軸為直線x=l,則下列結(jié)論：①abc<0；②a+；b+1c>0；③ac+b+1

=0；④2+c是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根.其中正確的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】

根據(jù)拋物線開口，對稱軸，與y軸交點判斷a、b、c符號，即可判斷①正確；根據(jù)對稱

軸，得到a、b關(guān)系，結(jié)合c即可判斷②正確；用c表示A坐標(biāo)，代入化簡即可判斷③

錯誤；根據(jù)A坐標(biāo)和對稱軸，求出B坐標(biāo)，即可判斷④正確.

【詳解】

解：???拋物線開口向下，

?\a<0f

b

??,拋物線的對稱軸為直線x=~=l,

2a

:?b=-2〃>0,

;拋物線與y軸的交點在x軸上方，

：.abc<Of所以①正確；

■:b=-2a,

???〃1+b7ci~ci。八，

Vc>0,

di+^-Z?+—c>0,所以②正確；

24

VC(0,c),0A=OC,

/.A(-c,0),

把A(-c,0)代入得一A+。=0,

.\ac-b+l=0,所以③錯誤；

VA(-c,0),對稱軸為直線x=L

:?B(2+c,0),

，2+c是關(guān)于x的一元二次方程以^Zzx+cuO的一個根，所以④正確.

故選：C.

【點睛】

本題考查了根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷結(jié)論，難度較大，理解拋物線形狀與a、b、c關(guān)系，

靈活運用對稱軸特點是解題關(guān)鍵.

7.如圖，四邊形A3CD是菱形，AB=2,ZABC=60°,點P從。點出發(fā)，沿D4f-3C

運動，過點P作直線CD的垂線，垂足為Q,設(shè)點P運動的路程為x,VDPQ的面積為y,

則下列圖象能正確反映>與x之間的函數(shù)關(guān)系的是（）.

【答案】D

【分析】

根據(jù)點P的運動位置分類討論，分別畫出對應(yīng)的圖形，利用銳角三角函數(shù)求出DQ和

PQ,即可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，即可判斷出各種情況下的圖象.

【詳解】

解：：四邊形ABCO是菱形，AB=2,ZABC=6Q°,

；.AD=AB=DC=BC=2,ZD=ZABC=60°

，當(dāng)點P到點A時，x=2；當(dāng)P到點B時，x=4；當(dāng)P到點C時，x=6

①當(dāng)點P在AD上，即0<xW2時，如下圖所示

此時PD=x

PQ=PD-sinZD=x,DQ=PDcosND=gx

???y=|DQPQ=^x2(0<x<2),此時圖象為開口上的拋物線的一部分；

N8

②當(dāng)點P在AB上，即2<x"時，如下圖所示，過點A作AELDC于E

此時PA=x-AD=x-2

在RtAADE中，AE=ADsinZD=V3,DE=ADcosZD=l

易證四邊形AEQP為矩形

；.AP=EQ=x—2,PQ=AE=73

；.DQ=DE+EQ=1+x-2=x-l

???y=：DQ-PQ=；x班(x-1)=1尤一正(2<x<4),此時圖象為逐漸上升的一條線

2222

段；

③當(dāng)點P在BC上，即4<xW6時，如下圖所示，

此時CP=AD+AB+BC—x=6—x

VAD/7BC

ZBCQ=ZADC=60°

/?1

???PQ=CPsinNBCQ二4(6-司，CQ=CPcosZBCQ=-(6-x)

22

DQ—DC+CQ—2+.(6-x)—5——x

；.y=；DQ-PQ=，i^2-26x+"Yi(4<x<6),此時圖象為開口上的拋物線的一部分;

282

綜上：符合題意的圖象為D

故選D.

【點睛】

此題考查的是函數(shù)的圖象，掌握銳角三角函數(shù)、函數(shù)圖象的判斷和分類討論的數(shù)學(xué)思想

是解決此題的關(guān)鍵.

2

8.已知拋物線y=ax+bx+c(0<2a<b)的頂點為P(x0,yo),點A(1,yA),B(0,

yB),C(-1,yc)在該拋物線上，當(dāng)yo>O恒成立時，逑汴的最大值為()

A.1B.gC.—D.—

243

【答案】D

【分析】

利用點A(l,%)、3(。，力)、。(一1，汽)在拋物線,=奴2+"+。上得%=。+人+。，yB=c,

y—yb—a

y=a-b+c,y=a^+bx+c,-----=-----,再禾(J用4a_2〃+cN0得至!J

cElQ-iDH"C

a+b+c>3(b-a),所以從而得到也』的最小值.

【詳解】

解：點41,為)、3(。,為)、在拋物線>=以2+云+。上，

^yA=a+b+c,yB=c,yc=a-b+c,,

為一先二b-a

f

yAa+b+c

??.%2°恒成立，0<2a<b,

b1

-xo=一丁<一1，

2a

.'.4a—2b+c>0,

即〃+b+c23(b-a),

而b-a>a>0,

b-a,1

-----<-,

a+b+c3

即」^的最大值為二.

YB-Yc3

故選：D.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)圖像上的點，以及各系數(shù)的符號判斷式子的

符號是解題的關(guān)鍵.

9.二次函數(shù)丫=2*2+5*+。的部分圖象如圖，則下列說法正確的有()

①abc>0；②2a-b=0；?a-b+c>am2+bm+c；④當(dāng)x<l時，y>0；⑤9a-3b+c=0

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【分析】

①根據(jù)拋物線開口方向、對稱軸、與y軸的交點即可判斷；②根據(jù)拋物線的對稱軸方程

即可判斷；③根據(jù)A-1時函數(shù)有最大值可以得到判斷；④根據(jù)拋物線與x軸的交點可

以得出判斷.⑤根據(jù)拋物線廣加+bx+c經(jīng)過點（1,0）,且對稱軸為直線x=-l可得拋物

線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（-3,0）,即可判斷；

【詳解】

解：①觀察圖象可知：由圖象可知拋物線對稱軸為直線X=-1,即-三=-1，得b

<0,由圖象與y軸的交點可得c>0,

：.abc>0,所以①正確；

②由圖象可知拋物線對稱軸為直線X=-1,即-==-1，解得6=2。，即2a-b=0,所以②正

2a

確；

③由圖象可知產(chǎn)-1時函數(shù)有最大值，因為x=-l時y=a-6+c,'pfsVXa-b+c^anr+bm+c,③

正確；

⑤：由圖象可知拋物線LO^+fcv+c經(jīng)過點（1,0）,且對稱軸為直線廣-1,

.,.拋物線與x軸的另一個交點為（-3,0）,

即當(dāng)x=-3時，y=0,即9a-3b+c=0,所以⑤正確；

④由⑤知拋物線與x軸的兩個交點為（1,0）、（-3,0）,

所以當(dāng)-3<x<l時，y>0；當(dāng)后-3或后1時，y>0,所以④錯誤；

所以①②③⑤正確，

故選C.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

10.對于函數(shù)y=x2-2因-3,下列說法正確的有（）個

①圖象關(guān)于y軸對稱；

②有最小值-4；

③當(dāng)方程x?-2|x|-3=m有兩個不相等的實數(shù)根時，m>-3；

-13

④直線y=x+b與y=x2-2|x|-3的圖象有三個交點時，--<b<-3.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

①根據(jù)片—2時-3=(-a)?--3進行判斷；

②化為頂點式y(tǒng)=2國—3=(|,—1)2-4,進而判斷；

③用反例法，如當(dāng)=T時，解方程得出解的情況，再進行判斷；

④由方程》2-2慟-3=%+6,即尤2—2忖一左一3-人=0有3個解，求出b的取值.

【詳解】

①?；/_2同_3=(-a)?-2崗|-3,

?*-y=(-2|R-3的圖象關(guān)于y軸對稱,故①正確；

②?.?尸X2-2田-3=也|-1)2-4,

當(dāng)I尤1=1即A-+1時,y有最小值為-4,故②正確；

③當(dāng)m=-4時，方程x2-2|x|-3=m為x2-2\x\-3=-4,

可化為也I-1六0,

解得產(chǎn)±1,有兩個不相等的實數(shù)根，

此時/"=-4<-3,故③錯誤；

④?直線>=尤+4>與y=x2-2\x\-3的圖象有三個交點，

/.方程x2-2|x|-3=x+b,即x2-2|x|-x-3-b=0有3個解，

/.方程x2-3%-3-6=0(xK))與方程-3-b=0(尤<0)一共有3個解，

當(dāng)方程N-3%-3-6=0(后0)有兩個不相等的非負數(shù)根，

則方程尤2+x-3-6=0(x<0)有兩個相等的負數(shù)根；

或當(dāng)方程尤2-3%-3-6=0(史0)有兩個不相等的非負數(shù)根，

則方程尤2+x-3-6=0(x<0)有一個負數(shù)根；

或方程尤2-3%-3-匕=0(啟0)有一個非負數(shù)根或兩個相等的非負數(shù)根，

則方程尤2+x-3-6=0(x<0)有兩個不相等的負數(shù)根.

白=9+12+4。>0今=9+12+4。>0白=9+12+4820

x9x=-3-b>0x?=—3-Z?>0x1*x=-3—b<0

l2或<12或J2

勺=1+12+40=0勺=l+12+4"0勺=1+12+4020

x3?x4=—3-b>0x3?x4=—3—b<0x3*x4=—3-b>0

解得，b=-—,或6=-3,

4

13

，當(dāng)6=-1或6=-3時，直線y=x+6與y=/-2|R-3的圖象有三個交點，故④錯誤;

故選：B.

【點睛】

本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交

點問題，二次函數(shù)的最值的應(yīng)用，一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用，關(guān)鍵是靈活運用

二次函數(shù)的知識進行解答.

二、填空題

11.我們用符號國表示不大于天的最大整數(shù).例如：[L5]=l,[-1.5]=-2.那么：

(1)當(dāng)-1<[%]V2時，x的取值范圍是；

(2)當(dāng)-lVx<2時，函數(shù)丁=尤2-24司+3的圖象始終在函數(shù)丁=國+3的圖象下方.則

實數(shù)。的范圍是.

3

【答案】0Vx<3a<-l^a>-

【分析】

(1)首先利用[目的整數(shù)定義根據(jù)不等式確定其整數(shù)取值范圍，繼而利用取整函數(shù)定義

精確求解X取值范圍.

(2)本題可根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)，采取自變量分類討論的方式判別新函數(shù)的正負，繼

而根據(jù)函數(shù)性質(zhì)反求參數(shù).

【詳解】

(1)因為國表示整數(shù)，故當(dāng)-1<國42時，區(qū)的可能取值為0,1,2.

當(dāng)國取0時，OWrQ；當(dāng)國取1時，lW_r<2；當(dāng)國=2時，2Wx<3.

故綜上當(dāng)T<[x]<2時，x的取值范圍為：0W_r<3.

(2)令-2dxi+3,y2=[x]+3,%=

由題意可知：%>。，y3=—x~+(2a+1)[x].

①當(dāng)-lWx<0時，國=一1,%=-/-（2。+1）,在該區(qū)間函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)％=-1時,

/n=—2。-2>0，得qVT.

②當(dāng)0WX<1時，［%］=0,必=一/<。不符合題意.

2

③當(dāng)l〈x<2時，［司=1,y3=-x+2a+l,在該區(qū)間內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)不取值趨

3

近于2時，3>0,得〃>,,

3

2

當(dāng)a=弓時，y3=-x+4,因為,故為片。，符合題意.

3

故綜上：a<-1或

【點睛】

本題考查函數(shù)的新定義取整函數(shù)，需要有較強的題意理解能力，分類討論方法在此類型

題目極為常見，根據(jù)不同區(qū)間函數(shù)單調(diào)性求解參數(shù)為常規(guī)題型，需要利用轉(zhuǎn)化思想將非

常規(guī)題型轉(zhuǎn)化為常見題型.

12.如圖，點。是等邊AASC的邊上的一個動點，連結(jié)AD,將射線ZM繞點。順時

針旋轉(zhuǎn)60。交AC于點E,若AB=4,則CE的最大值是.

【分析】

由等邊三角形的性質(zhì)可知/B=/C,利用外角的性質(zhì)證得NBAD=/EDC,可得出

AABD^ADCE,設(shè)BD的長為x,由相似的性質(zhì)表示出CE的長，利用二次函數(shù)的性

質(zhì)可求出CE的最大值.

【詳解】

解：：△ABC為等邊三角形，

；./B=NC=60。，AB=BC=AC=4,

ZB+ZBAD=ZADC=ZADE+ZEDC,ZADE=60°,

ZBAD=ZEDC,

AAABD^ADCE,

,ABBD

"'7^D~~CE

設(shè)BD=x,貝I]CD=4-x,

?4x

"4-x-CE

1,1,

:.CE=——_?+尤=——（X-2）2+1,

44

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x的值為2時，CE有最大值，最大值為1,

故答案為：1.

【點睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵

是能夠用字母將所求線段的長表示出來，用函數(shù)的性質(zhì)求極值.

13.如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點E是邊2C上一動點（不與點B,C

重合），ZAEF=90°,且所交正方形外角的平分線CT于點F,交8于點G,連接AF,

有下列結(jié)論：

①AABESAECG；

②AE=EF;

③NDAF=NCFE；

@ACEF的面積的最大值為1.

其中正確結(jié)論的序號是.（把正確結(jié)論的序號都填上）

【答案】①②③

【分析】

證明/BAE=/CEG,結(jié)合/B=/BCD可證明△ABEs^ECG,可判斷①；在BA上截

取BM=BE,證明AAME也AECF,可判斷②；可得△AEF為等腰直角三角形，證明

ZBAE+ZDAF=45°,結(jié)合/BAE=NCEF,ZFCH=45°=ZCFE+ZCEF,可判斷③；設(shè)

BE=x,則BM=x,AM=AB-BM=2-x,根據(jù)△AME經(jīng)△ECF,求出AAME面積的最大值

即可判斷④.

【詳解】

解：：四邊形ABCD為正方形，

ZB=ZBCD=90°,

,?ZAEF=90°,

???ZAEB+ZCEG=90°,又NAEB+NBAE=90。,

???ZBAE=ZCEG,

AAABE^AECG,故①正確；

在BA上截取BM=BE,

???四邊形ABCD為正方形，

AZB=90°,BA=BC,

???ABEM為等腰直角三角形，

JNBME=45。，

???NAME=135。，

VBA-BM=BC-BE,

AAM=CE,

???CF為正方形外角平分線，

:.ZDCF=45°,

???ZECF=135°=ZAME,

NBAE二NFEC,

AAAME^AECF(ASA),

???AE=EF,故②正確；

???AAEF為等腰直角三角形，

NEAF=NEFA=45。，

ZBAE+ZDAF=45°,

而NBAE=NCEF,ZFCH=45°=ZCFE+ZCEF,

：.ZDAF=ZCFE,故③正確；

設(shè)BE二x,則BM二x,AM=AB-BM=2-x,

SAAME=^*X*(2-X)=——X2+X,

當(dāng)x=l時，SAAME有最大值，

而^AME^AECF,

??SAAME=SACEF,

???SACEF有最大值《，所以④錯誤；

綜上：正確結(jié)論的序號是：①②③.

故答案為：①②③.

AD

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性

質(zhì)，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，靈活運用全等三角形

的知識解決線段的問題.

14.二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①ab>0；②a+b-l=O；③a

>1；④關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根為1,另一個根為-工.其中正確

a

結(jié)論的序號是.

【答案】②③④

【分析】

由拋物線的開口方向判斷a與。的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點得出c的值，然后根據(jù)

拋物線與x軸交點的個數(shù)及x=l時二次函數(shù)的值的情況進行推理，進而對所得結(jié)論進

行判斷.

【詳解】

解：①由二次函數(shù)的圖象開口向上可得a>0,對稱軸在y軸的右側(cè)，b<0,

.'.ab<0,故①錯誤；

②由圖象可知拋物線與x軸的交點為（1,0）,與y軸的交點為（0,-1）,

，c=-1,

a+b-1=0,故②正確；

（3）*.*a+b-1=0,

.*.a-1=-b,

Vb<0,

.*.a-l>0,

；.a>l,故③正確；

④：拋物線與y軸的交點為(0,-1),

.??拋物線為y=ax2+bx-1,

:拋物線與x軸的交點為(1,0),

.?.ax2+bx-1=0的一個根為1,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，另一個根為-！，故④正確；

a

故答案為②③④.

【點評】

主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換.會利用特殊值

代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c,然后根據(jù)圖象判斷其值.

15.已知當(dāng)—iWaWl時，二次函數(shù)y=d+(a-4)x+4-2a的值總大于0,則x的取值范

圍是.

【答案】或%>3.

【分析】

把二次函數(shù)的恒成立問題轉(zhuǎn)化為y=f+(a-4)x+4-2a=a(x-2)+x2—4x+4>0在

TWaWl上恒成立，再利用一次函數(shù)函數(shù)值恒大于0所滿足的條件，即可求出x的取值

范圍.

【詳解】

解：原題可轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的——次函數(shù)y=d+(a-4)x+4—2a=a(x-2)+d-4x+4>0

在-IWaWl上恒成立，

當(dāng)q=Ta=l者B有,>0，

.?.(-1)(*-2)+/-4彳+4>(^且無一2+爐-4》+4>(^

由①得：f_5x+6>0,

令％=--5》+6,則函數(shù)圖像如下：

當(dāng)％=x2-5x+6>0,由圖形可得：x<2或x>3,

由②得：尤2一3元+2>0,

令%=丁-3X+2,則函數(shù)圖像如下：

綜上：x的取值范圍是：％<1或%>3,

【點睛】

本題的做題方法的好處在于避免了討論二次函數(shù)的對稱軸和變量間的大小關(guān)系，而一次

函數(shù)在確定范圍內(nèi)的最值一定在端點處取得，所以就把解題過程簡單化了，同時考查了

利用圖像法解一元二次不等式，難點是對x的范圍的確定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，在△ABC中，AB=AC=5,點D是邊BC上一動點（不與B,C重合），ZADE

3

=NB=a,DE交AC于點E,Msina=-.下列結(jié)論：

?AADE^AACD；

②當(dāng)BD=2時，AABD與ADCE全等；

③4DCE為直角三角形時，BD的長一定為4：

@0<CE<3.2.

其中正確的結(jié)論是.（把你認為正確結(jié)論的序號都填上）

【答案】①④.

【分析】

①根據(jù)有兩組對應(yīng)角相等的三角形相似即可證明；②由BD=2,則DC=5,證得對應(yīng)邊

不相等，△ABD與ADCE不全等；③分兩種情況討論，通過三角形相似即可求得；④

作AGJ_BC于G,如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BG=CG,再利用余弦的定義計算出

BG=8,則BC=2BG=16,設(shè)BD=x,則CD=16-x,證明AABDSADCE,利用相似比可

1Q

表示出CE=-MY+M%,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求CE的最大值，于是得到結(jié)論.

【詳解】

解:①AB=AC,

???ZB=ZC,

又?.?NADE二NB,

:.ZADE=ZC,

NDAE=NCAD,

AAADE^AACD,

故①正確.

②作AG±BC于G,

3

「AB=AC=5,NADE=NB=a,sina=—,

BG=ABxcosB,

4

BC=2BG=2xABxcosB=2x5x—=8,

VBD=2,

???DC=6,

???ABWDC,

???AABD與^DCE不全等，故②錯誤.

③當(dāng)NAED=90。吐由①可知:△ADE^AACD,

???NADC二NAED,

ZAED=90°,

JZADC=90°,

JZADC=90°,

即AD±BC,

VAB=AC,

ABD=CD,

4

ZADE=ZB=a且cosa=y,AB=5,

???BD=4,

當(dāng)NCDE=90。時，易△CDE^ABAD,

NCDE=90。，

???ZBAD=90°,

..4

VZB=a,cosa=y,AB=5,

?□A34

..cosB=——=-,

BD5

??DLJ—j

4

故③錯誤.

???AG，BC于G,如圖，

VAB=AC,

ABG=CG,

VZADE=ZB=a,

「BG4

cosB=cosa=----二一,

AB5

4

???BG=彳x5=4,

???BC=2BG=8,

設(shè)BD=x，則CD=8-x,

VZADC=ZB+ZBAD,即

a+ZCDE=ZB+ZBAD,

JZCDE=ZBAD,

而NB=NC,

???AABD^ADCE,

.ABBD

^~CD~~CE'

181

??.CE=—f9+—%=__（X—4）92+3.2,

555

當(dāng)x=4時，CE最大，最大值為3.2.

???0vCEW3.2.故④正確.

故答案為:①④.

BD

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，二次函數(shù)的

最大值問題，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點P的坐標(biāo)為(n—1,3n+2),點Q是拋物線y=一

x2+x+l上一點，則P,Q兩點間距離的最小值為.

【答案】^VTo

【分析】

先求出點P所在直線的解析式，再求出與點P所在直線平行的直線解析式，然后求出這

兩條直線間的距離，即可求解.

【詳解】

?.?點尸的坐標(biāo)為(n-1,3"+2),

設(shè)x=n—1,y=3n+2,

y=3x+5,即：點P在直線y=3x+5上,

設(shè)與直線y=3x+5平行的直線為：y=3x+b,

當(dāng)直線y=3x+b與拋物線x2+x+1相切時，

則3x+b=—x2+x+l,即：x2+2x+b-l=0,

???A=22—4xlx(b—1)=0,解得：b=2,

???與直線y=3x+5平行且和拋物線相切的直線為：y=3x+2,此時，直線y=3x+5與直線

y=3x+2的距離就是P,。兩點間距離的最小值.

設(shè)直線y=3x+5與y軸的交點為C,直線y=3x+2與x,y軸的交點分別為F,E,如圖所

2

示，則C(0,5),E(0,2),F(-y,0),

??.CE=3,OE=2,OF=-,EF=y/OE2+OF2=-V10,

33

過點C作CDLEF于點D,

VZCDE=ZFOE=90°,NCED=NFEO,

???ACDE?AFOE,

CD3

??喘噬，即:河，解得:CD$M,

??.P,。兩點間距離的最小值為三師.

本題主要考查一次函數(shù)圖像和二次函數(shù)圖像的綜合，以及相似三角形的判定和性質(zhì)，把

兩點間的最小距離化為兩直線間的距離，是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，正方形Q4BC的一個頂點與原點。重合，0C與丁軸的正半軸的夾角為15。，

【答案】母

【分析】

連接08,根據(jù)正方形的對角線平分一組對角線可得NBOC=45。，過點8作BOLy軸

于。，然后求出/80。=60。，根據(jù)直角三角形30。角所對的直角邊等于斜邊的一半可得

OD=^OB,設(shè)OD=x,再利用勾股定理列式求出B。，從而表示點8的坐標(biāo)，再把點B

的坐標(biāo)代入拋物線解析式求解即可.

【詳解】

解：如圖，連接OB,

:四邊形0A2C是正方形,

：.ZBOC=45°,

過點B作BDLy軸于D,

：OC與y軸正半軸的夾角為15°,

.,.ZBOD=45°+15°=60°,

.,.ZOBD=30°,

：.OD=\OB,設(shè)OD=x,

?*-BD=JOB。-o?=島，

.??點3的坐標(biāo)為（石X,X）,

??,點B在拋物線y=的圖象上,

解得x=l.

.?.OB=2,設(shè)AO=AB=a,

2a2=4,

a>0,解得a=C，

故答案為：V2.

【點睛】

本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了正方形的性質(zhì)，直角三角形30。角所對的直角

邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟記

正方形性質(zhì)并求出OB與x軸的夾角為30°,然后表示點B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，二次函數(shù)y=§Y-j尤-2的圖像與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），

與y軸交于點C,連接BC,在線段BC上有一動點P,過點P作y軸的平行線交二次

函數(shù)的圖像于點N,交x軸于點M,若ACPN與ABPM相似，則點P的坐標(biāo)為.

y\

【答案】§，」)或吟，得)

【分析】

分兩種情形：當(dāng)CN//AB時，NPBM=NPCN,此時△PCNs/^PBM,當(dāng)NCXBC時,

ZPCN=ZPMB=90°,此時△PCNs^PMB,分別求解即可.

【詳解】

4in

解：對于拋物線一~—x-2,令x=0,得到y(tǒng)=-2,可得C(0,-2),

令y=0,可得0=?%2一半％_2,解得x=3或

33/

AA(-1,0),B(3,0),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

3k+b=0

b=-2

解得

k=-

<3,

b=-2

2

???直線BC的解析式為y=§x-2,

設(shè)P(m,ym-2),

?:ZBPM=ZCPN,

當(dāng)CN//AB時，ZPBM=ZPCN,此時△PCN^APBM,

4in

把y=-2代入一11_2,得

410…

一x2-----x-2--2,

33

解得

Xl=-|,X2=0(舍去)，

-2）,

57

把x=1代入y=]x-2,得

當(dāng)NC_LBC時，ZPCN=ZPMB=90°,此時△PCNs^PMB,

VZOCB+ZNCH=90°,ZOCB+ZOBC=90°,

???NOBC=NNCH,

tanZNCH=tanNOBC,

.NHPC_2

n2

：?042,1?！付?，

-2——nHn+2

33

?*?ni=--,n2=0（舍去），

o

綜上所述，滿足條件的點p的坐標(biāo)為0或(?,-2,

23o12

故答案為：§廠()或

【點睛】

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的知識，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點問

題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類

討論的思想思考問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

20.若直線/:y=-gx+a與拋物線y=Y+2x-3交于M、N兩點，則當(dāng)ZMON<90。時,

a的取值范圍為.

【分析】

方法一：根據(jù)直線/：y=-gx+。與拋物線丁=尤2+2尤-3交于M、N兩點，可列出關(guān)于

x的一元二次方程并求解，可得到x的值；過點M和點N作MGLNG交于G,通過直

角三角形勾股定理，MG2+NG2=OM-+ON2,將A/、N兩點坐標(biāo)代入，通過

代入一元二次方程的解和一次函數(shù)解析式，得到關(guān)于a的方程并求解，結(jié)合a不同取值

和函數(shù)圖像性質(zhì)，通過列不等式并求解即可得到答案.

方法二：由方法一可得M、N的坐標(biāo)，求出MN的中點坐標(biāo)，根據(jù)中點到原點。的距

離大于MN的一半，并結(jié)合直線與拋物線有兩個交點的條件，即可求出a的取值范圍.

【詳解】

解：方法一：二,直線=與拋物線y=V+2x-3交于Al、N兩點

?*.M>N兩點坐標(biāo)分別為：”（芝,％）,N（x2,y2）,且-（犬+。=%2+2x-3

,,2%2+5x—6—2a=0

_-5±073+16。

一4

5

百+九2=一3

%％=_3―Q

如圖，過點M和點N作MGLNG交于G

■'-MG2+NG2^MN2

當(dāng)NMON=90°時

OM-+ON2=MN2

/?MG-+NG2=OM2+ON2

22222②二%之+女？

'：MG=(yl-y2),NG=-x2),OM=,0M

=x++x+

；?(%-%)+(%-工2)\y\iy-i

?-一玉%=%%

_i=iX+a

?必=一萬項+〃，？2~~2

?，?一玉/二（一]玉+]+@

々(玉+〃

5XXX2—29)+4=0

如圖，當(dāng)〃>0時，隨著a的增大，NMON逐漸減小

；.a〉叵,ZMON＜90°；

2

如圖，當(dāng)。＜0時，隨著a的減小，/MON逐漸減小

結(jié)合上圖，隨著a的減小，當(dāng)一次函數(shù)曲線和二次函數(shù)曲線不存在兩個交點時，不構(gòu)成

△OMN

/?2f+5x-6-2a=0的A>0

即A=25—8(-6—2a)=73+16a>0

73

?〃>-----

16

故答案為：正或-73V15

——<a<-------

2162

—5+，73+16〃一5-(73+16〃

X、—