邏輯代數(shù)基礎(chǔ)后半部分

邏輯代數(shù)基礎(chǔ)后半部分4.4.1邏輯函數(shù)的概念一、邏輯變量和邏輯函數(shù)

從數(shù)字系統(tǒng)的角度看，邏輯函數(shù)定義如下：設(shè)某一邏輯電路的輸入邏輯變量A、B、C、...，輸出邏輯變量Y，如果當(dāng)A、B、C的取值確定后，Y的值就唯一的確定下來，則Y被稱為A、B、C...的邏輯函數(shù)，記作：

Y=f(A、B、C...)輸出邏輯變量（邏輯函數(shù)）輸入邏輯變量第2頁,共89頁，2024年2月25日，星期天二、邏輯函數(shù)的特點(diǎn)：（1）邏輯變量和邏輯函數(shù)的的取值只有0和1兩種可能；在研究問題時，0和1究竟代表什么意義，要看具體的對象而定。（2）函數(shù)和變量之間的關(guān)系由“與”、“或”、“非”三種基本運(yùn)算決定。輸出邏輯變量（邏輯函數(shù)）輸入邏輯變量Y=f(A、B、C...)第3頁,共89頁，2024年2月25日，星期天三、邏輯函數(shù)與邏輯問題的描述任何一種邏輯命題（因果關(guān)系）都可用一個邏輯函數(shù)來描述。例：一個控制樓梯照明燈的電路，單刀雙擲開關(guān)A裝在樓下，B裝在樓上，這樣在樓下開燈后，可在樓上關(guān)燈；同樣,也可以在樓上開燈，而在樓下關(guān)燈。因?yàn)橹挥挟?dāng)兩個開關(guān)都向上扳或向下扳時，燈才亮；而一個向上扳，另一個向下扳時，燈就不亮。ABY000110111001

第4頁,共89頁，2024年2月25日，星期天設(shè)Y表示燈的狀態(tài)，Y=1表示燈亮，Y=0表示燈不亮；用Ａ、Ｂ表示開關(guān)Ａ、開關(guān)Ｂ的位置狀態(tài)，1表示開關(guān)向上扳，０表示開關(guān)向下扳。變量Ａ、Ｂ、Y，?。敝档挠迷兞勘硎?，?。爸涤梅醋兞勘硎?。ABY000110111001Y=A·B+A·B第5頁,共89頁，2024年2月25日，星期天4.4.3邏輯函數(shù)的表示方法一、真值表（表格表示邏輯函數(shù)的方法）1、將輸入邏輯變量的全部取值組合與函數(shù)值（輸出邏輯變量）間的對應(yīng)關(guān)系列成的表格。邏輯函數(shù)與輸入邏輯變量的各種取值之間的一一對應(yīng)關(guān)系，一個確定的邏輯函數(shù)的真值表是唯一的。

邏輯函數(shù)真值表對應(yīng)一一真值表、邏輯表達(dá)式、邏輯圖、工作波形圖、卡諾圖第6頁,共89頁，2024年2月25日，星期天設(shè)有兩個邏輯函數(shù)Y1和Y2Y1=f1(A、B、C)Y2=f2(A、B、C)如果對應(yīng)于邏輯變量A、B、…C的每一種取值組合，Y1和Y2的值都相同，則稱邏輯函數(shù)Y1和Y2相等，記作Y1=Y2。推論：

如果Y1=Y2，則Y1和Y2對應(yīng)的真值表完全相同；反過來，如果兩個邏輯函數(shù)的真值表完全相同，則Y1=Y2。判斷兩個邏輯函數(shù)是否相等的方法主要有兩種：一、真值表法邏輯函數(shù)相等第7頁,共89頁，2024年2月25日，星期天二、用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則進(jìn)行證明。例:已知函數(shù)F=x+y，G=x·y，求證：F=GxyF=x+yG=x·y0011011110111100第8頁,共89頁，2024年2月25日，星期天3、特點(diǎn)①直觀明了，可直接看出邏輯函數(shù)值與輸入邏輯變量取值之間的關(guān)系；②便于把實(shí)際邏輯問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；③變量多時過于復(fù)雜；④無法利用公式進(jìn)行直接運(yùn)算。2、列寫方法邏輯函數(shù)有n個輸入邏輯變量時，共有2n

個不同取值組合狀態(tài)。①按二進(jìn)制遞增順序列出n個輸入邏輯變量的2n

個不同的取值組合；②找出各種組合下的函數(shù)值，一一填入表中。第9頁,共89頁，2024年2月25日，星期天1、把輸入與輸出之間的邏輯關(guān)系寫成與、或、非等運(yùn)算的組合式，即為邏輯表達(dá)式。書寫時注意：（1）“與”運(yùn)算符可以省略。（2）進(jìn)行“非”運(yùn)算可省略括號。（3）在一個表達(dá)式中如果既有“與”運(yùn)算又有“或”運(yùn)算，按先“與”后“或”的規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算，從而省去括號。（

）+（）可寫為AB+CD。（4）“與”、“或”運(yùn)算均滿足結(jié)合律，（A+B）+C=A+（B+C）=A+B+C

（AB）C=A（BC）=ABC

二、邏輯函數(shù)表達(dá)式

第10頁,共89頁，2024年2月25日，星期天2、列寫方法

①由實(shí)際邏輯問題寫表達(dá)式②由真值表寫表達(dá)式3、特點(diǎn)：將實(shí)際邏輯問題高度抽象概括為數(shù)學(xué)形式。第11頁,共89頁，2024年2月25日，星期天三、邏輯圖將邏輯函數(shù)中各變量之間的與、或、非等邏輯關(guān)系用邏輯運(yùn)算的圖形符號表示出來。

用基本邏輯門和復(fù)合邏輯門的邏輯符號組成的對應(yīng)于某一邏輯功能的電路圖。例如：邏輯函數(shù)Y=A（B+C）邏輯圖的特點(diǎn)：接近工程實(shí)際，常用來制作和分析電路。第12頁,共89頁，2024年2月25日，星期天四、工作波形圖五、卡諾圖描述輸入、輸出波形間的關(guān)系?？衫谜嬷当懋嫵龉ぷ鞑ㄐ螆D，第13頁,共89頁，2024年2月25日，星期天五、各種表示方法間的轉(zhuǎn)換1、從真值表寫出邏輯函數(shù)表達(dá)式ABCY000

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0當(dāng)A=0、B=1、C=1時，當(dāng)A=1、B=0、C=1時，當(dāng)A=1、B=1、C=0時，第14頁,共89頁，2024年2月25日，星期天①找出真值表中使邏輯函數(shù)（輸出邏輯變量）Y=1的所有輸入邏輯變量的取值組合；②每種輸入邏輯變量的取值組合對應(yīng)一個乘積項(xiàng)，其中取值為1的寫為原變量，取值為0的寫為反變量；③將這些乘積項(xiàng)相加，即得函數(shù)Y的邏輯表達(dá)式。ABCY000

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0第15頁,共89頁，2024年2月25日，星期天2、從邏輯表達(dá)式寫出真值表將輸入邏輯變量的全部組合狀態(tài)逐一代入邏輯式求出函數(shù)值，列成表。方法：第一步：將輸入變量的所有取值組合按二進(jìn)制遞增順序排列，列成表；第二步：將輸入變量取值的所有狀態(tài)一一帶入邏輯表達(dá)式，求出其對應(yīng)的函數(shù)值，并填入表中。例如：已知邏輯函數(shù),求它對應(yīng)的真值表。ABCA000

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1Y001000000

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0第16頁,共89頁，2024年2月25日，星期天3、從邏輯函數(shù)表達(dá)式畫出邏輯圖用門電路的邏輯圖形符號代替邏輯函數(shù)表達(dá)式中的各個邏輯運(yùn)算符號，并依據(jù)運(yùn)算優(yōu)先順序把這些圖形符號連接起來，即得與邏輯函數(shù)對應(yīng)的邏輯圖。例1.9已知邏輯函數(shù)，試畫出其邏輯圖。

第17頁,共89頁，2024年2月25日，星期天4、從邏輯圖寫出邏輯函數(shù)表達(dá)式從輸入端到輸出端逐級寫出每個圖形符號輸出的對應(yīng)邏輯式。例1.8已知函數(shù)的邏輯圖，試寫出其邏輯表達(dá)式。

第18頁,共89頁，2024年2月25日，星期天例：A、B、C輸入變量，F(xiàn)邏輯函數(shù)。開關(guān)閉合、燈亮用邏輯“1”表示；開關(guān)斷開、燈滅用邏輯“0”表示。解：1.列出輸入、輸出對應(yīng)的真值表一個實(shí)際邏輯命題的實(shí)現(xiàn)一個舉重裁判電路，用一個邏輯函數(shù)描述它的邏輯功能。比賽規(guī)則：在一名主裁判和兩名副裁判中，必須有兩人以上（而且必須包括主裁判）認(rèn)定運(yùn)動員動作合格，試舉才算成功。比賽時主裁判掌握開關(guān)C，兩名副裁判分別掌握開關(guān)A、B。當(dāng)運(yùn)動員舉起杠鈴時，裁判認(rèn)為動作合格就合上開關(guān)，否則不合。顯然指示燈的狀態(tài)是開關(guān)A、B、C狀態(tài)的函數(shù)。ABCF000

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1第19頁,共89頁，2024年2月25日，星期天2.寫出邏輯函數(shù)式1）使函數(shù)值為1的輸入變量取值組合。2）將每個這樣的取值組合寫成一個乘積項(xiàng)。變量取值為1，用原變量表示；變量取值為0，用反變量表示。3）將這幾個乘積項(xiàng)進(jìn)行邏輯加，即得該控制電路邏輯表達(dá)式：ABCY000

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1第20頁,共89頁，2024年2月25日，星期天3.邏輯圖將邏輯表達(dá)式中的“與”運(yùn)算符用與門代替，“或”運(yùn)算符用或門代替，畫出與函數(shù)表達(dá)式對應(yīng)的邏輯圖。第21頁,共89頁，2024年2月25日，星期天4.工作波形圖ABCY000

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1tttAYBtC00000010010001111000101111001110第22頁,共89頁，2024年2月25日，星期天例：有一個T型走廊，在相會處有盞路燈，在進(jìn)入走廊的A、B、C三地各有一個控制開關(guān)，都能對路燈進(jìn)行獨(dú)立控制?？刂埔螅喝我忾]合一個開關(guān)，燈亮；任意閉合兩個開關(guān)，燈滅；三個開關(guān)同時閉合，燈亮。ABCY00000101001110010111011101101001解：1.列出真值表2.寫出邏輯函數(shù)式一個實(shí)際邏輯命題的實(shí)現(xiàn)第23頁,共89頁，2024年2月25日，星期天3.邏輯圖第24頁,共89頁，2024年2月25日，星期天4.工作波形圖tttAYBtC00000011010101101001101011001111ABCY00000101001110010111011101101001第25頁,共89頁，2024年2月25日，星期天4.5邏輯函數(shù)的化簡4.5.1化簡的意義和標(biāo)準(zhǔn)一、邏輯函數(shù)的幾種常見形式和變換第26頁,共89頁，2024年2月25日，星期天①“與―或”式②“或―與”式③“與非―與非”式④“或非―或非”式⑤“與―或―非”式摩根定律：⑤→②摩根定律：⑤→④③→⑤：同一邏輯函數(shù)①↓②反演規(guī)則：①→②摩根定律：①→③第27頁,共89頁，2024年2月25日，星期天二、化簡邏輯函數(shù)的意義邏輯電路邏輯函數(shù)邏輯命題實(shí)現(xiàn)表示簡單復(fù)雜電路簡單電路復(fù)雜第28頁,共89頁，2024年2月25日，星期天三、邏輯函數(shù)最簡表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)注意：將最簡與或式直接變換為其他類型的邏輯式時，得到的結(jié)果不一定也是最簡的。與-或表達(dá)式的最簡標(biāo)準(zhǔn)：1、邏輯函數(shù)式中所含乘積項(xiàng)的個數(shù)最少；2、每個乘積項(xiàng)中變量個數(shù)也不能再減少。例：第29頁,共89頁，2024年2月25日，星期天4.5.2邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法------運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本定律和公式對邏輯函數(shù)式化簡的方法叫代數(shù)化簡法。一、并項(xiàng)法把兩個乘積項(xiàng)合并成一項(xiàng)，消去一個變量（表達(dá)式）。A可以是任何復(fù)雜的邏輯式。例：使用并項(xiàng)法化簡下列函數(shù)。第30頁,共89頁，2024年2月25日，星期天★1第31頁,共89頁，2024年2月25日，星期天二、吸收法利用吸收律消去多余的與項(xiàng)。例：第32頁,共89頁，2024年2月25日，星期天三、消項(xiàng)法利用將BC消去，其中A、B、C都可以是任何復(fù)雜的邏輯式。第33頁,共89頁，2024年2月25日，星期天★3第34頁,共89頁，2024年2月25日，星期天四、消因子法利用可將中的消去。五、配項(xiàng)法利用，重新配項(xiàng)，以便消去其他項(xiàng)。添一項(xiàng)加一項(xiàng)乘一項(xiàng)第35頁,共89頁，2024年2月25日，星期天例：化簡下列邏輯函數(shù)。第36頁,共89頁，2024年2月25日，星期天★2第37頁,共89頁，2024年2月25日，星期天代數(shù)化簡法優(yōu)點(diǎn)：簡單方便，對邏輯函數(shù)式中的變量個數(shù)沒有限制，適用于變量較多，較復(fù)雜的邏輯函數(shù)式。缺點(diǎn)：需要熟練掌握和靈活應(yīng)用邏輯代數(shù)基本定律和基本公式;還要有一定的化簡技巧；不易判斷化簡的邏輯函數(shù)式是否已經(jīng)達(dá)到最簡式。第38頁,共89頁，2024年2月25日，星期天邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式有兩種：

1、標(biāo)準(zhǔn)“與－或”表達(dá)式（最小項(xiàng)之和形式）

2、標(biāo)準(zhǔn)“或－與”表達(dá)式（最大項(xiàng)之積形式）。

（一）.最小項(xiàng)1、定義：如果一個具有n個變量的邏輯函數(shù)的某個與項(xiàng)(乘積項(xiàng))包含全部n個變量，每個變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則該與項(xiàng)被稱為最小項(xiàng)、標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)、全積項(xiàng)。一、最小項(xiàng)和最大項(xiàng)

4.5.3邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法第39頁,共89頁，2024年2月25日，星期天對于n個輸入邏輯變量的函數(shù)其最多有2n個最小項(xiàng)輸入變量最小項(xiàng)函數(shù)ABC000100000001001010000001010001000001011000100001100000010001101000001001110000000101111000000011第40頁,共89頁，2024年2月25日，星期天用mi表示最小項(xiàng)，編號方法：將最小項(xiàng)中原變量用1表示，反變量用0表示，將所得二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為最小項(xiàng)的編號。ABC最小項(xiàng)對應(yīng)十進(jìn)制數(shù)編號0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m7第41頁,共89頁，2024年2月25日，星期天2.最小項(xiàng)性質(zhì):

（1）對于任何一個最小項(xiàng)，只有一組變量取值使它的值為1，而對變量的其他任何取值，這個最小項(xiàng)的值均為0。

（2）不同的最小項(xiàng)，使它的值為1的那組變量取值也不同。（3）對于任一組取值，任意兩個不同最小項(xiàng)的乘積為0。

（4）對于任何一組取值，全部最小項(xiàng)之和為1，即（5）具有相鄰性的二個最小項(xiàng)之和可以合并成一項(xiàng)并消去一個因子。（6）n個變量構(gòu)成的最小項(xiàng)有n個相鄰最小項(xiàng)。相鄰性---二個最小項(xiàng)只有一個因子不同，這兩個最小項(xiàng)具有相鄰性。第42頁,共89頁，2024年2月25日，星期天

（二）.最大項(xiàng)1、定義：如果一個具有n個變量的邏輯函數(shù)的或項(xiàng)包含全部n個變量，每個變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則該或項(xiàng)被稱為最大項(xiàng)、標(biāo)準(zhǔn)或項(xiàng)、全和項(xiàng)。第43頁,共89頁，2024年2月25日，星期天11111111對于n個自變量的函數(shù)而言，可有2n個最大項(xiàng)。第44頁,共89頁，2024年2月25日，星期天為什么稱該或項(xiàng)為最大項(xiàng)呢？表中列出3變量的邏輯函數(shù)的8個最大項(xiàng)，在輸入邏輯變量的8種取值的組合中，針對每一種組合使任一最大項(xiàng)為0的機(jī)會僅一次，其余皆為1，故稱其為最大項(xiàng)。用Mi表示最大項(xiàng)，編號方法：將最大項(xiàng)中原變量用0表示，反變量用1表示，將所得二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)作為最大項(xiàng)的編號。第45頁,共89頁，2024年2月25日，星期天ABC最大項(xiàng)對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)編號0000M00011M10102M20113M31004M41015M51106M61117M7第46頁,共89頁，2024年2月25日，星期天2、最大項(xiàng)性質(zhì)：（1）

任意一組變量取值，只能使一個最大項(xiàng)的值為0，其它最大項(xiàng)的值均為1。

（2）

同一組變量取值，可使任意兩個不同最大項(xiàng)的和為1。

（3）對于任意一組變量取值，全部最大項(xiàng)之積為0，即

（4）只有一個變量不同的兩個最大項(xiàng)（相鄰最大項(xiàng)）的乘積等于各相同變量之和。（5）

n個變量構(gòu)成的最大項(xiàng)有n個相鄰最大項(xiàng)。相鄰最大項(xiàng)是指除一個變量互為相反外，其余變量均相同的兩個最大項(xiàng)。

(A+B+C)(A+B+C)=A+B2n-1第47頁,共89頁，2024年2月25日，星期天3、最小項(xiàng)和最大項(xiàng)間關(guān)系m0m1m2m3m4m5m6m7相同編號的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)存在互補(bǔ)關(guān)系例如：m0=，則m0=A+B+C=M0

第48頁,共89頁，2024年2月25日，星期天11111111M0M1M2M3M4M5M6M72n-1第49頁,共89頁，2024年2月25日，星期天----由若干最小項(xiàng)相“或”構(gòu)成的邏輯表達(dá)式。

任何一個邏輯函數(shù)都可以表示成若干個最小項(xiàng)之和的形式，對于任意一個邏輯函數(shù)其標(biāo)準(zhǔn)“與－或”表達(dá)式是唯一的。①由一般與或表達(dá)式得最小項(xiàng)表達(dá)式；②另一種是由真值表得到。

二、邏輯函數(shù)的兩種表準(zhǔn)形式如何得到最小項(xiàng)表達(dá)式？（1）邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“與－或”表達(dá)式（最小項(xiàng)之和形式）第50頁,共89頁，2024年2月25日，星期天①一般“與或”表達(dá)式得到最小項(xiàng)表達(dá)式

將一般“與或”表達(dá)式中每個與項(xiàng)乘上未出現(xiàn)變量的原變量與反變量和的形式，展開后即得到最小項(xiàng)表達(dá)式。

例寫出Y=AB+BC+AC的最小項(xiàng)表達(dá)式。第51頁,共89頁，2024年2月25日，星期天②由真值表得到最小項(xiàng)表達(dá)式

首先找出使邏輯函數(shù)F=1的輸入變量取值組合對應(yīng)的乘積項(xiàng)（最小項(xiàng)），再將這些最小項(xiàng)相或，即得到標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式（或最小項(xiàng)表達(dá)式）。

例：寫出下真值表對應(yīng)的最小項(xiàng)表達(dá)式。輸入變量輸出最小項(xiàng)ABCF0001m0

0

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1

m6

1110m7

最小項(xiàng)表達(dá)式：第52頁,共89頁，2024年2月25日，星期天

----由若干最大項(xiàng)相“與”構(gòu)成的邏輯表達(dá)式。任何一個邏輯函數(shù)都可以表示成若干個最大項(xiàng)之積的形式，（2）邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“或－與”表達(dá)式（最大項(xiàng)之積形式）第53頁,共89頁，2024年2月25日，星期天

如何寫出函數(shù)的最大項(xiàng)之積表達(dá)式？

例已知函數(shù)F(A,B,C)=AB+BC,試寫出其最大項(xiàng)表達(dá)式。

將該函數(shù)的真值表列出，將F為0對應(yīng)的最大項(xiàng)寫出來相乘。輸入變量輸出變量最小項(xiàng)最大項(xiàng)ABCF0000m0

M0

0010m1

M1

0100m2

M2

0111m3

M3

1000m4

M4

1010m5

M5

1101m6

M6

1111m7

M7

最大項(xiàng)表達(dá)式：F(A,B,C)=∏M(0,1,2,4,5)第54頁,共89頁，2024年2月25日，星期天（3）兩種標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換輸入變量輸出變量最小項(xiàng)最大項(xiàng)ABCF0000m0

M0

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0111m3

M3

1000m4

M4

1011m5

M5

1100m6

M6

1111m7

M7

第55頁,共89頁，2024年2月25日，星期天=M0M2M4M6

6例：寫出函數(shù)F(A,B,C)=∑m(1,3,6,7)的最大項(xiàng)之積表達(dá)式。第56頁,共89頁，2024年2月25日，星期天卡諾圖化簡邏輯函數(shù)特點(diǎn)：一個具有n變量的邏輯函數(shù)有2n全部最小項(xiàng)，卡諾圖實(shí)質(zhì)上是將n變量的2n最小項(xiàng)各用一個小方格表示，并使最小項(xiàng)按相鄰原則排列構(gòu)成的方塊圖。

相鄰原則，指卡諾圖上鄰近的任意兩個小方格所代表的兩個最小項(xiàng)是相鄰最小項(xiàng)（僅有一個變量互為反變量，其余變量均相同)。相鄰關(guān)系：上下相鄰、左右相鄰、首尾相鄰（一列中最上格與最下格相鄰、一行中最左格與最右格相鄰）。一、卡諾圖的構(gòu)成簡單又直觀；具有確定的化簡步驟；可以明確獲得的是最簡與-或式。三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法第57頁,共89頁，2024年2月25日，星期天一變量卡諾圖---21個最小項(xiàng)，每個最小項(xiàng)僅有1個相鄰項(xiàng)。二變量卡諾圖---22個最小項(xiàng)，每個最小項(xiàng)均有2個相鄰項(xiàng)。

A01m0m1

（0）

（1）AB010/m0/m11/m2/m3(00)(01)(10)(11)三變量卡諾圖---23個最小項(xiàng)，每個最小項(xiàng)均有3個相鄰項(xiàng)。/m0/m1/m3/m2/m4/m5/m7/m6000001010011110111100101ABC0110000111第58頁,共89頁，2024年2月25日，星期天四變量卡諾圖---24個最小項(xiàng)，每個最小項(xiàng)均有4個相鄰項(xiàng)。00000001001100100100010101110110110011011111111010001001101110101000011110000111ABCD/m0/m1/m3/m2/m4/m5/m7/m6/m12/m13/m15/m14/m8/m9/m11/m10第59頁,共89頁，2024年2月25日，星期天五變量卡諾圖---25小方格分別代表32個最小項(xiàng)，每個最小項(xiàng)均有5個相鄰項(xiàng)。第60頁,共89頁，2024年2月25日，星期天m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCD第61頁,共89頁，2024年2月25日，星期天卡諾圖特點(diǎn)：（1）n變量的卡諾圖由2n個小方格組成，每個小方格代表一個最小項(xiàng)；（2）卡諾圖上處在相鄰、相對或相重位置上的小方格所代表的最小項(xiàng)為相鄰最小項(xiàng)，n變量的最小項(xiàng)有n個相鄰最小項(xiàng)。

/m0/m1/m3/m2/m4/m5/m7/m6/m12/m13/m15/m14/m8/m9/m11/m101000011110000111ABCD第62頁,共89頁，2024年2月25日，星期天相鄰最小項(xiàng)只有一個變量不同（互補(bǔ)），將兩相鄰的最小項(xiàng)可以合并為一項(xiàng)，消去兩項(xiàng)中互補(bǔ)的變量（不同的因子），只保留相同的變量。二、卡諾圖化簡法的依據(jù)第63頁,共89頁，2024年2月25日，星期天2=21個相鄰最小項(xiàng)（同一列上下兩端、同一行左右兩端）可以合并一項(xiàng)，消去1個不同的變量；消去了一個變量A。m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCDABC0110000111m0m1m3m2m4m5m7m6ABC01100001111000011110000111ABCD第64頁,共89頁，2024年2月25日，星期天m0m1m3m2m4m5m7m6ABC0110000111m0m1m3m2m4m5m7m6ABC0110000111m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCD第65頁,共89頁，2024年2月25日，星期天4=22個相鄰最小項(xiàng)（包括兩行兩列的兩端、四個角）可以合并為一項(xiàng)，消去2個不同的變量；m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCDm0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCDm0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCD1000011110000111ABCD第66頁,共89頁，2024年2月25日，星期天8=23個相鄰最小項(xiàng)（相鄰兩行、兩列，上下端兩行、左右端兩列）可以合并為一項(xiàng)，消去3個不同的變量；2n

個相鄰最小項(xiàng)可以合并為一項(xiàng)，消去n個不同的變量；…卡諾圖化簡函數(shù)原理：利用卡諾圖對相鄰最小項(xiàng)進(jìn)行合并，消去互反變量，保留公有變量，達(dá)到化簡目的。如2n

個相鄰最小項(xiàng)合并為一項(xiàng)，能消去n個變量。m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCDm0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCD第67頁,共89頁，2024年2月25日，星期天

n變量函數(shù)的卡諾圖中，全部小方格就是整個卡諾圖中的一個大相鄰矩形區(qū)域，可消去全部n個互反變量，使函數(shù)值恒為“1”即。

m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101000011110000111ABCD第68頁,共89頁，2024年2月25日，星期天三、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

卡諾圖每個方格都唯一地對應(yīng)一個最小項(xiàng)，要用卡諾圖表示某個邏輯函數(shù)時，先將該函數(shù)轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)“與－或”式(最小項(xiàng)之和表達(dá)式)，再將表達(dá)式含有的最小項(xiàng)對應(yīng)的方格中填入“1”，其余方格則填入“0”，就得該函數(shù)對應(yīng)的卡諾圖。第69頁,共89頁，2024年2月25日，星期天例1用卡諾圖表示邏輯函數(shù)。

解：（1）變量數(shù)為3，先畫三變量空卡諾圖。（2）把邏輯式中四個最小項(xiàng)對應(yīng)方格中填入1，其余填入0。得該函數(shù)的卡諾圖。01110010ABC0110000111邏輯函數(shù)卡諾圖對應(yīng)一一利用卡諾圖也可證明兩個邏輯函數(shù)相等第70頁,共89頁，2024年2月25日，星期天（2）變量數(shù)為4，畫四變量空卡諾圖。（3）把邏輯式中八個最小項(xiàng)對應(yīng)方格中填入1，其余填入0。解：（1）將邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)之和形式

例2用卡諾圖表示邏輯函數(shù)。01001001001011111000011110000111ABCD第71頁,共89頁，2024年2月25日，星期天利用真值表與標(biāo)準(zhǔn)“與－或”式的對應(yīng)關(guān)系，可從真值表直接得邏輯函數(shù)卡諾圖。方法：將真值表中輸出為“1”的最小項(xiàng)所對應(yīng)的卡諾圖小方格填入“1”，其余小方格填入人“0”。

例3已知函數(shù)的真值表，試畫出其卡諾圖。解：（1）先畫三變量空卡諾圖。（2）把真值表中Y=1對應(yīng)的四個最小項(xiàng)m0，m2，m4，m6對應(yīng)的方格中填入1，其余填入0。ABCY0000010100111001011101111010101010011001ABC0110000111第72頁,共89頁，2024年2月25日，星期天（2）畫四變量空卡諾圖。（3）根據(jù)與－或式中的每個與項(xiàng)，填卡諾圖。例4用卡諾圖表示邏輯函數(shù)。解：（1）先把邏輯式展開成與－或式。111111111000011110000111ABCD第73頁,共89頁，2024年2月25日，星期天1、將原始函數(shù)轉(zhuǎn)換為“與或”表達(dá)式；2、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)。根據(jù)邏輯函數(shù)所含變量個數(shù)，畫出該函數(shù)對應(yīng)的空卡諾圖，凡式中包含了的最小項(xiàng)，其對應(yīng)小方格都填入“1”，其余小方格填入“0”。3、對卡諾圖中相鄰的“1”方格畫包圍圈。把卡諾圖中相鄰的“1”方格用包圍圈圈起來進(jìn)行合并，直到所有最小項(xiàng)全部圈完為止。4、將每個包圍圈中相同的變量提出來（相鄰區(qū)域中的互反變量因子消去，保留共有變量因子），將所得對應(yīng)的“與”項(xiàng)再進(jìn)行邏輯加，便得到最簡“與或”式。四、卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的一般步驟第74頁,共89頁，2024年2月25日，星期天畫包圍圈應(yīng)遵循的原則：①只有相鄰的最小項(xiàng)才能畫在一個包圍圈中，每個包圍圈內(nèi)的方格數(shù)必定是2n個，n等于0、1、2、3、…，即只能按照2，4，8，16…的數(shù)目畫包圍圈。②相鄰方格包括上下底相鄰，左右邊相鄰和四角相鄰。③為充分化簡，同一方格可以被不同的包圍圈重復(fù)包圍，但在新增包圍圈中一定要有未被圈過的1方格，否則該包圍圈為多余。

④為避免劃出多余的包圍圈，畫包圍圈時應(yīng)遵從有少到多的順序。先將與其它任何“1”方格都不相鄰的孤立“1”方格單獨(dú)圈出，再找出那些僅與另一個“1”方格惟一相鄰的“1”方格，將它們兩兩相圈，組成含有兩個“1”方格的相鄰區(qū)域；最后再依次將含有四個“1”方格、八個“1”方格、甚至更多個“1”方格的相鄰區(qū)域圈出來。比如：先圈1個相鄰最小項(xiàng)，在圈2個相鄰最小項(xiàng)，然后4個相鄰最小項(xiàng)，8個相鄰最小項(xiàng)。第75頁,共89頁，2024年2月25日，星期天⑤包圍圈內(nèi)的1方格數(shù)要盡可能多，即包圍圈應(yīng)盡可能大，這樣消去的變量就多，所得乘積項(xiàng)中的變量越少，與門輸入端的數(shù)目就少。⑥包圍圈個數(shù)盡可能少，這樣得到的函數(shù)表達(dá)式中乘積項(xiàng)的個數(shù)最少，就可以獲得最簡的邏輯函數(shù)與或表達(dá)式。⑦有時用圈0的方法更簡便，但得到的是原函數(shù)的反函數(shù)。第76頁,共89頁，2024年2月25日，星期天例5

用卡諾圖化簡函數(shù)解：①畫出與原始函數(shù)對應(yīng)的卡諾圖。②畫包圍圈。③將每個包圍圈中互反變量因子消去，保留共有變量因子，得化簡后表達(dá)式。

1000011110000111ABCD1111111111000011110000111ABCD第77頁,共89頁，2024年2月25日，星期天例6

用卡諾圖化簡函數(shù)解：①畫出與原始函數(shù)對應(yīng)的卡諾圖。②注意，此時若先圈大圈(如圖中虛線所示)，則將產(chǎn)生多余圈。③將每個圈中互反變量因子消去，保留共有變量因子，得化簡后的表達(dá)式。111111111000011110000111ABCD111111111000011110000111ABCD√×第78頁,共89頁，2024年2月25日，星期天利用卡諾圖表示邏輯函數(shù)式時，也可采用包圍0方格的方法進(jìn)行化簡，求出反函數(shù)，再對其求非，其結(jié)果相同。例7

用卡諾圖化簡函數(shù)解：①畫出與原始函數(shù)對應(yīng)的卡諾圖。②寫出反函數(shù)③求出函數(shù)表達(dá)式10011001111111111000011110000111ABCD第79頁,共89頁，2024年2月25日，星期天★2★111111111ABC01100001110000