七級數(shù)學(xué)思維探究（9）絕對值與方程含試卷分析詳解

商高是公元前世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)家，當(dāng)時中國正在處于奴隸制社會的西周時期，數(shù)學(xué)研究還處于非常初級的階段．商高最大的成就是在世界上第一個提出了勾股定理，在我國最早的一部數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記錄著商高和周公的一段對話．商高：“故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五．”即當(dāng)直角三角形的兩直角邊分別為和時，直角三角形的斜邊就是，勾股定理在西方被叫做畢達(dá)哥拉斯定理，是古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在公元前世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的．9．絕對值與方程解讀課標(biāo)絕對值是數(shù)學(xué)中活性較高的一個概念，當(dāng)這一概念與其他概念結(jié)合就生成許多新的問題，如絕對值方程、絕對值不等式、絕對值函數(shù)等．絕對值符號中含有未知數(shù)的方程叫絕對值方程，解絕對值方程的基本方法是：去掉絕對值符號，把絕對值方程轉(zhuǎn)化為一般的方程求解．其基本類型有：1．最簡絕對值方程形如是最簡單的絕對值方程，可化為兩個一元一次方程與．2．含多重或多個絕對值符號的復(fù)雜絕對值方程這類方程常通過分類討論法、絕對值幾何意義轉(zhuǎn)化為最簡絕對值方程和一般方程而求解．問題解決例1方程的解是________．試一試原方程變形為，再把此方程化為一般方程求解．例2若關(guān)于的方程無解，只有一個解，有兩個解，則，，的大小關(guān)系為（）．A．B．C．D．試一試從方程有解的條件入手．例3解下列方程：（1）；（2）；（3）．試一試對于（1），從內(nèi)向外，運用絕對值定義、性質(zhì)簡化方程；對于（2）、（3）運用零點分段討論法去掉絕對值方程；需要注意的是，方程（3）利用絕對值幾何意義可獲得簡解．例4如圖，數(shù)軸上有、兩點，分別對應(yīng)的數(shù)為、，已知與互為相反數(shù)．點為數(shù)軸上一動點，其對應(yīng)的數(shù)為．（1）若點到點、點的距離相等，求點對應(yīng)的數(shù)．（2）數(shù)軸上是否存在點，使點到點、點的距離之和為？若存在，請求出的值；若不存在，說明理由；（3）當(dāng)點以每分鐘個單位長度的速度從點向左運動時，點以每分鐘個單位長度的速度向左運動，點以每分鐘個單位長度的速度向左運動，問幾分鐘時點到點、點的距離相等？試一試由絕對值的幾何意義建立關(guān)于的絕對值方程．例5討論關(guān)于的方程的解的情況．分析與解與方程中常數(shù)、有依存關(guān)系，這種關(guān)系決定了方程解的情況．故尋求這種關(guān)系是解本例的關(guān)鍵，利用分類討論法或借助數(shù)軸是尋求這種關(guān)系的重要方法與工具．?dāng)?shù)軸上表示數(shù)的點到數(shù)軸上表示數(shù)和的點的距離和的最小值為，由此可得原方程的解的情況是：（1）當(dāng)時，原方程有兩解；（2）當(dāng)時，原方程有無數(shù)解；（3）當(dāng)時，原方程無解．?dāng)?shù)學(xué)沖浪知識技能廣場1．若是方程的解，則_______；又若當(dāng)時，則方程的解是_____．2．方程的解是_______；_______是方程的解；解方程，得_______．3．如果，那么的值為________．4．已知關(guān)于的方程的解滿足，則的值為（）．A．或B．或C．或D．或5．若，則等于（）．A．或B．或C．或D．或6．方程的解的個數(shù)為（）A．個B．個C．無數(shù)個D．不確定7．解下列方程（1）；（2）；（3）；（4）．8．求關(guān)于的方程的所有解的和．9．解方程．10．已知、、、都是整數(shù)，且，則_______．11．若、都滿足條件，且，則的取值范圍是_______．12．滿足方程的所有的和為________．13．若關(guān)于的方程有三個整數(shù)解，則的值為（）A．B．C．D．14．方程的整數(shù)解的個數(shù)有（）A．B．C．D．15．若是方程的解，則等于（）A．B．C．D．16．解下列方程（1）；（2）．17．當(dāng)滿足什么條件時，關(guān)于的方程有一解？有無數(shù)多個解？無解？應(yīng)用探究樂園18．如圖，若點在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為，點在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為，且，滿足．（l）求線段的長；（2）點在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為，且是方程的解，在數(shù)軸上是否存在點，使得?若存在，求出點對應(yīng)的數(shù)；若不存在，說明理由；（3）在（1）、（2）的條件下，點，，開始在數(shù)軸上運動，若點以每秒個單位長度的速度向左運動，同時，點和點分剮以每秒個單位長度和個單位長度的速度向右運動，假設(shè)秒鐘過后，若點與點之間的距離表示為，點與點之間的距離表示為．請問：的值是否隨著時間的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其常數(shù)值．19．已知，求的最大值和最小值．微探究從三階幻方談起相傳大禹在治洛水的時候，洛水神龜獻(xiàn)給大禹一本洛書，書中有如圖所示的一幅奇怪的圖，這幅圖用今天的數(shù)學(xué)符號翻譯出來，就是一個階幻方，也就是在的方陣中填入，其中每行、每列和兩條對角線上數(shù)字和都相等．現(xiàn)在人們已給出一般三階幻方的定義：在的方陣圖中，每行、每列、每條對角線上個數(shù)的和都相等，就稱它為三階幻方．可以證明三階幻方以下基本性質(zhì)：（1）在的方格中填入個不同的數(shù)，使得各行各列及兩條對角線上個數(shù)的和都相等，且為，若最中間數(shù)為，則．（2）在三階幻方中，每個數(shù)都加上一個相同的數(shù)，仍是一個三階幻方．（3）在三階幻方中，每個數(shù)都乘以一個相同的數(shù)，仍是一個三階幻方．解三階幻方問題，常需恰當(dāng)引元，運用三階幻方定義、性質(zhì)，整體核算等方法求解．例1如圖①，有個方格，要求在每個方格填入不同的數(shù)，使得每行、每列、每條對角線上三個數(shù)之和都相等．問：圖中左上角的數(shù)是多少？試一試雖然問題要求的只是左上角的數(shù)，但是問題的條件還與其他的數(shù)相關(guān)．故為充分運用已知條件，需引入不同的字母表示數(shù)（如圖②）．例2如圖，在的方格表中填入九個不同的正整數(shù)：，，，，，，，和．使得各行、各列所填的三個數(shù)的和都相等，請確定的值，并給出一種填數(shù)法．試一試如下頁圖，引入不同字母表示數(shù)，表中各行、各列三數(shù)的和都是相等的正整數(shù)，即為正整數(shù)，又，從估計和的最小值入手．整體核算法整體核算法即將問題中的一些對象看作一個整體，觀察、分析問題中的題設(shè)與結(jié)論之間的整體特征和結(jié)構(gòu)，從整體上計算、推理．例3如圖①，、、、、、、、、分別代表，，，，，，，，中某一個數(shù)，不同字母代表不同的數(shù)，使每個小圓內(nèi)個數(shù)的和都相等，那么的值是多少？分析與解設(shè)這個相等的和是，現(xiàn)將這個小圓中個數(shù)求和，可得：，故．先從所在的小圓看，至少是，最多只能是，再從所在的小圓看，最多只能是，由于，所以必須，，由此可以求得圖②．對照圖①與圖②中各數(shù)的位置，可看到．當(dāng)然也可以有另一解法．將含、含、含、含、含與含的個小圓內(nèi)個數(shù)求和，可得：，即，所以．練一練1．將到這個自然數(shù)填入圖中的個圓圈中，每個數(shù)只能用一次，且使每一條直線上的三個數(shù)的和相同，則中間的圓圈中的數(shù)是_______，對應(yīng)的每一條直線上的個數(shù)的和是_______．2．請構(gòu)造“幻角”，將這個整數(shù)填入圖中的小三角形內(nèi)（和已填好），使圖中每個大三角形內(nèi)四數(shù)之和都等于．3．請將，，，，，，，，，這個數(shù)分別填入圖中方陣的個空格，使行、列、條對角線上的個數(shù)的和都是．4．如圖，、、、、、均為有理數(shù)，圖中各行各列及兩條對角線上的和都相等，求的值．5．如圖是一個的幻方，當(dāng)空格填上適當(dāng)?shù)臄?shù)后，每行、每列以及對角線上的和都是相等的，求的值．6．圖中顯示的填數(shù)“魔方”只填了一部分，將下列個數(shù)：，，，，，，，，填入方格中，使得所有行、列及對角線上各數(shù)相乘的積相等，求的值．7．幻方第一人幻方，相傳最早見于我國的“洛書”，如圖①，洛書中行、列以及條對角線上的點數(shù)之和都等于，是一種“階幻方”（如圖②）．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝是對幻方從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行系統(tǒng)研究的第一人，他在《續(xù)古摘奇算法》一書中給出從階到階的幻方，并對一些低階幻方介紹了構(gòu)造方法，其中運用了對稱思想．例如，用，，，…，構(gòu)造階幻方的方法是：先將，，，…，依次排成圖③，然后以外四角對換，即與對換，與對換，再以內(nèi)四角對換……請你在圖④中填寫用這種“對換”方法得出的階幻方．8．把數(shù)字，，，…，分別填入圖中的個圈內(nèi)，要求三角形和三角形的每條邊上三個圈內(nèi)數(shù)字之和都等于．（1）給出一種符合要求的填法；（2）共有多少種不同填法？證明你的結(jié)論．微探究商品的利潤商品的利潤涉及商品進(jìn)價、售價、利潤、利潤率、打折銷售等名詞術(shù)語，理解相關(guān)概念并熟悉它們之間的關(guān)系是解這類問題的基礎(chǔ)．（1）；（2）利潤=售價-進(jìn)價；（3）售價=進(jìn)價+利潤=進(jìn)價×（利潤率）．例1一家商店將某件商品按成本價提高后，標(biāo)價為元，又以折出售，則售出這件商品可獲利潤_______元．試一試從求出成本價切入．例2某商店出售某種商品每件可獲利元，利潤率為．若這種商品的進(jìn)價提高，而商店將這種商品的售價提高到每件仍可獲利元，則提價后的利潤率為（）．A．B．C．D．試一試?yán)毛@利不變建立方程．例3某房地產(chǎn)開發(fā)商開發(fā)一套房子的成本隨著物價上漲比原來增加了，為了賺錢，開發(fā)商把售價提高了倍，利潤率比原來增加了，求開發(fā)商原來的利潤率．試一試因售價=成本×（利潤率），故還需設(shè)出成本．例4某超市對顧客實行優(yōu)惠購物，規(guī)定如下：（1）若一次購物少于元，則不予優(yōu)惠；（2）若一次購物滿元，但不超過元，按標(biāo)價給予九折優(yōu)惠；（3）若一次購物超過元，其中元部分給予九折優(yōu)惠，超過元部分給予折優(yōu)惠．小明兩次去該超市購物，分別付款元與元．現(xiàn)在小亮決定一次去購買小明分兩次購買的同樣多的物品，他需付款多少？分析與解第一次付款元，可能是所購物品的實價，未享受優(yōu)惠；也可能是按九折優(yōu)惠后所付的款，故應(yīng)分兩種情況加以討論．情形l當(dāng)元為購物不打折付的錢時，所購物品的原價為元，又，其中元為購物元打九折付的錢，元為購物打八折付的錢，（元）．因此，元所購物品的原價為（元），于是購買小明花（元）所購的全部物品，小亮一次性購買應(yīng)付（元）．情形2當(dāng)元為購物打九折付的錢時，所購物品的原價為（元）．仿情形1的討論，購（元）物品一次性付款應(yīng)為（元）．練一練1．某商品的進(jìn)價為元，售價為元，則該商品的利潤率可表示為_______．2．某商店老板將一件進(jìn)價為元的商品先提價，再打八折賣出，則賣出這件商品所獲利潤為_______元．3．某商場推出全場打八折的優(yōu)惠活動，持貴賓卡可在八折基礎(chǔ)上繼續(xù)打折，小明媽媽持貴賓卡買了標(biāo)價為元的商品，共帶省元，則用貴賓卡又享受了_______折優(yōu)惠．4．某商品的價格標(biāo)簽已丟失，售貨員只知道“它的進(jìn)價為元，打七折售出后，仍可獲利”，你認(rèn)為售貨員應(yīng)標(biāo)在標(biāo)簽上的價格為________．5．一商場對某款羊毛衫進(jìn)行換季打折銷售，若這款羊毛衫每件按原銷售價的八折銷售，售價為元，則這款羊毛衫每件的原銷售價為_______元．6．甲用元購買了一些股票，隨即他將這些股票轉(zhuǎn)賣給乙，獲利．而后乙又將這些股票反賣給甲，但乙損失了，最后甲按乙賣給甲的價格的九折將這些股票賣給了乙．若上述股票交易中的其他費用忽略不計，則甲（）．A．盈虧平衡B．盈利元C．盈利元D．虧損元7．年爆發(fā)的世界金融危機(jī)，是自世紀(jì)年代以來世界最嚴(yán)重的一場金融危機(jī)，受金融危機(jī)的影響，某商品原價為元，連續(xù)兩次降價后售價為元，下列所列方程正確的是（）．A．B．C．D．8．某商店出售某種商品每件可獲利元，利潤率為．若這種商品的進(jìn)價提高，而商店將這種商品的售價提高到每件仍可獲利元，則提價后的利潤率為（）．A．B．C．D．9．某種商品的進(jìn)價為元，出售標(biāo)價為元，后來由于該商品積壓，商店準(zhǔn)備打折銷售，但要保證利潤率不低于，則最多可打（）．A．新B．折C．折D．折10．某商場對顧客實行優(yōu)惠，規(guī)定：①如一次購物不超過元，則不予折扣；②如一次購物超過元但不超過元，按標(biāo)價給予九折優(yōu)惠；③如一次購物超過元，則其中元按第②條給予優(yōu)惠，超過元的部分則給予八折優(yōu)惠．某人兩次去購物，分別付款元和元，如果他只去一次購買同樣的商品，則應(yīng)付款是（）．A．元B．元C．元D．元11．某商場用元購進(jìn)、兩種新型節(jié)能臺燈共盞，這兩種臺燈的進(jìn)價、標(biāo)價如下表所示：類別價格型型進(jìn)價（元/盞）標(biāo)價（元/盞）（1）這兩種臺燈各購進(jìn)多少盞？（2）若型臺燈按標(biāo)價的九折出售，型臺燈按標(biāo)價的八折出售，那么這批臺燈全部售完后，商場共獲利多少元？12．某公司銷售、、三種產(chǎn)品，在去年的銷售中，高新產(chǎn)品的銷售金額占總銷售金額的．由于受國際金融危機(jī)的影響，今年、兩種產(chǎn)品的銷售金額都將比去年減少，因而高新產(chǎn)品是今年銷售的重點．若要使今年的總銷售金額與去年持平，問：今年高新產(chǎn)品的銷售金額應(yīng)比去年增加多少？13．某大型超市元旦假期舉行促銷活動，規(guī)定一次購物不超過元的不給優(yōu)惠，超過元而不超過元時，按該次購物全額折優(yōu)惠，超過元的其中元仍按折優(yōu)惠，超過部分按折優(yōu)惠．小美兩次購物分別用了元和元，現(xiàn)小麗決定一次購買小美分兩次購買的同樣的物品，那么小麗應(yīng)該付款多少元？微探究多變的行程問題行程問題按運動方向可分為相遇問題、追及問題；按運動路線可分為直線形問題、環(huán)形問題等．相遇問題、追及問題是最基本的類型，它們的特點與常用的等量關(guān)系如下：1．相遇問題其特點是：兩人（或物）從兩地沿同一路線相向而行，而最終相遇．一般地，甲行的路程+乙行的路程=兩地之間的距離．2．追及問題其特點是：兩人（或物）沿同一路線、同一方向運動，由于位置或者出發(fā)時間不同，造成一前一后，又因為速度的差異使得后者最終能追及前者，一般地，快者行的路程-慢者行的路程=兩地之間的距離．例1（1）在公路上，汽車、、分別以、、的速度勻速行駛，從甲站開往乙站，同時，、從乙站開往甲站．在與相遇小時后又與相遇，則甲、乙兩站相距_____．（2）小王沿街勻速行走，他發(fā)現(xiàn)每隔從背后駛過一輛路公交車；每隔迎面駛來一輛路公交車．假設(shè)每輛路公交車行駛速度相同，而且路總站每隔固定時間發(fā)一輛車，那么，發(fā)車的間隔時間為_______．試一試對于（2），“背后駛過與迎面駛來”，其實質(zhì)就是追及與相遇，距離是同向行駛的相鄰兩車的間距．例2（1）一艘輪船從港到港順?biāo)叫?，需小時，從港到港逆水需小時，若在靜水條件下，從港到港需（）小時．A．B．C．D．（2）甲、乙兩動點分別從正方形的頂點、同時沿正方形的邊開始移動．甲點依順時針方向環(huán)行，乙點依逆時針方向環(huán)行，若乙的速度是甲的速度的倍，則它們第次相遇在邊（）．A．上B．上C．上D．上試一試對于（2），設(shè)正方形邊長為，甲的速度為，相遇時甲行的路程為，利用“相遇時甲、乙兩動點運動時間相等”建立方程，把用的代數(shù)式表示．例3有甲、乙兩輛小汽車模型，在一個環(huán)形軌道上勻速行駛，甲的速度大于乙．如果它們從同一點同時出發(fā)沿相反方向行駛，那么每隔分鐘相遇一次．現(xiàn)在，它們從同一點同時出發(fā)，沿相同方向行駛，當(dāng)甲第一次追上乙時，乙已經(jīng)行駛了圈，此時它們行駛了多少分鐘？試一試當(dāng)甲追上乙時，甲行駛了多少圈？由此可導(dǎo)出甲、乙的速度之比．例4甲、乙二人分別從、兩地同時出發(fā)，在距離地千米處相遇，相遇后兩人又繼續(xù)按原方向、原速度前進(jìn)，當(dāng)他們分別到達(dá)地、地后，又在距地千米處相遇，求、兩地相距多少千米？解法一第一次相遇時，甲、乙兩人所走的路程之和，正是、兩地相距的路程，即當(dāng)甲、乙合走完、間的全部路程時，乙走了千米，第二次相遇時，兩人合走的路程恰為兩地間距離的倍（如圖，圖中實線表示甲所走路程，虛線表示乙所走路線），因此，這時乙走的路程應(yīng)為（千米）．考慮到乙從地走到后又返回了千米，所以、兩地間的距離為（千米）．解法二甲、乙兩人同時動身，相向而行，到相遇時兩人所走時間相等，又因為兩人都做勻速運動，應(yīng)有：兩人速度之比等于他們所走路程之比，且相同時間走過的路程亦成正比例．到第一次相遇，甲走了（全程）千米，乙走了千米；到第二次相遇，甲走了（全程）千米，乙走了（全程）千米．設(shè)全程為，易得到下列方程，解得，（舍去），所以、兩地相距千米．解法三設(shè)全程為千米，甲、乙兩人速度分別為，．則，①÷②得，解得或（舍去）．乘車方案例5老師帶著兩名學(xué)生到離學(xué)校千米遠(yuǎn)的博物館參觀，老師乘一輛摩托車，速度為千米／時，這輛摩托車后座可帶乘一名學(xué)生，帶人速度為千米／時，學(xué)生步行的速度為千米／時，請你設(shè)計一種方案，使師生三人同時出發(fā)后到達(dá)博物館的時間都不超過個小時．分析若能使人車同時到達(dá)目的地，則時間最短，而要實現(xiàn)“同時到達(dá)”，必須“機(jī)會均等”，即兩名同學(xué)平等享受交通工具，各自乘車的路程相等，步行的路程也相等，這是設(shè)計方案的關(guān)鍵．解要使師生三人都到達(dá)博物館的時間盡可能短，可設(shè)計如下方案：設(shè)學(xué)生為甲、乙二人．乙先步行！，老師帶甲乘摩托車行駛一定路程后，讓甲步行，老師返回接乙，然后老師搭乘乙，與步行的甲同時到達(dá)博物館．如圖，設(shè)老師帶甲乘摩托車行駛了千米，用了小時，比乙多行了（千米）．這時老師讓甲步行前進(jìn)，而自己返、回接已，遇到乙時，用了（小時）．乙遇到老師時，已經(jīng)步行了（千米），離博物館還有（千米）．要使師生三人能同時到達(dá)博物館，甲、乙二人搭乘摩托車的路程應(yīng)相同，則有，解得．即甲先乘摩托車千米，用時小時，再步行千米，用時小時，共計小時．因此，上述方案可使師生三人同時出發(fā)后都到達(dá)博物館的時間不超過個小時．另解：設(shè)乙先步行的時間為小時，步行的路程為，則（千米），此時老師帶甲走的路程為（千米），老師返回接乙走的路程為．故有，解得，甲乘車的時間為（小時），故甲從學(xué)校到博物館共用（小時）．練一練1．甲、乙兩人從兩地同時出發(fā)，若相向而行，則小時相遇；若同向而行，則小時甲追及乙，那么甲、乙兩人的速度之比為_______．2．一輪船從甲地到乙地順流行駛需小時，從乙地到甲地逆流行駛需小時，有一木筏由甲地漂流至乙地，需_______小時．3．甲、乙兩列客車的長分別為和，它們相向行駛在平行的軌道上．已知甲車上某乘客測得乙車在他窗口外經(jīng)過的時間為秒，那么，乙車上的乘客看見甲車在他窗口外經(jīng)過的時間是______．4．甲、乙分別自、兩地同時相向步行，小時后中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了千米／時，當(dāng)甲到達(dá)地后立刻按原路向地返行，當(dāng)乙到達(dá)地后也立刻按原路向地返行．甲、乙兩人在第一次相遇后小時分又再次相遇，則、兩地的距離是_______千米．5．甲、乙兩人沿同一路線騎車（勻速）從到，甲需要分鐘，乙需要分鐘．如果乙比甲早出發(fā)分鐘，則甲出發(fā)后經(jīng)______分鐘可以追上乙．6．甲、乙、丙三人一起進(jìn)行百米賽跑（假定三人均為勻速直線運動），如果當(dāng)甲到達(dá)終點時，乙距終點還有米，丙距終點還有米，那么當(dāng)乙到達(dá)終點時，丙距終點還有______米．7．小李騎自行車從地到地，小明騎自行車從地到地，兩人都勻速前進(jìn)．已知兩人在上午時同時出發(fā)，到上午時，兩人還相距千米，到中午時，兩人又相距千米，求、兩地間的路程．8．目前自駕游已成為人們出游的重要方式．“五一”節(jié)，林老師駕轎車從舟山出發(fā)，上高速公路途經(jīng)舟山跨海大橋和杭州灣跨海大橋到嘉興下高速，其間用了小時；返回時平均速度提高了千米／時，比去時少用了半小時回到舟山．（1）求舟山與嘉興兩地間的高速公路路程；（2）兩座跨海大橋的長度及過橋費見下表：大橋名稱舟山跨海大橋杭州灣跨海大橋大橋長度千米千米過橋費元元據(jù)浙江省交通部門規(guī)定：轎車的高速公路通行費（元）的計算方法為：，其中（元／千米）為高速公路里程費，（千米）為高速公路里程（不包括跨海大橋長），（元）為跨海大橋過橋費，若林老師從舟山到嘉興所花的高速公路通行費為元，求轎車的高速公路里程費．9．鐵路旁的一條平行小路上有一行人與一騎車人同時向東行進(jìn)，行人速度為千米／時，騎車人的速度為千米／時，如果有一列火車從他們背后開過來，它通過行人用了秒，通過騎車人用了秒．問這列火車的車身長為多少米？10．如圖，甲、乙兩人分別在、兩地同時相向而行，于處相遇后，甲繼續(xù)向地行走，乙則休息了分鐘，再繼續(xù)向地行走．甲和乙到達(dá)和后立即折返，仍在處相遇．已知甲每分鐘行走米，乙每分鐘行走米，則和兩地相距多少米？11．某單位有人要到千米外的某地參觀，因為步行時速只有千米，為了使他們上午到達(dá)，配備了一輛最多載人名、時速千米的大客車．于是早晨時整出發(fā)，若人員上下車的時間不計，試擬一個運行方案，說明步車如何安排，才能使全體人員在最短時間內(nèi)全部到達(dá)目的地，并求該地的時刻，畫出汽車往返的運行圖．12．、、三輛車在同一條直路上同向行駛，某一時刻，在前，在后，在、正中間．分鐘后，追上；又過了分鐘，追上．問再過多少分鐘，追上?9．絕對值與方程問題解決例1由，得或，所以或．經(jīng)檢驗知時，方程左右兩邊不等，故舍去．從而原方程的解為．例2A，，，由題意得，，，從而，．例3（1）或．原方程化為或，即或．（2）當(dāng)時，原方程化為，得．當(dāng)時，原方程化為，得．當(dāng)時，原方程化為，得．綜上知原方程的解為，，．（3）由絕對值的幾何意義得原方程的解為．例4（1）；（2）存在，或（3）或數(shù)學(xué)沖浪1．；或2．或；；或3．4．A5．D6．C7．（1）或；（2）；（3）或；（4）或．8．，，，得，，，，故．9．當(dāng)，原方程無解；當(dāng)時，原方程有兩解：或；當(dāng)時，原方程化為，此時原方程有四解：；當(dāng)時，原方程化為，此時原方程有三解：或或；當(dāng)時，原方程有兩解：．10．或，又、都是整數(shù)，得，，．當(dāng)，則，即矛盾；若，令，滿足題意；若，令，滿足題意．11．12．13．C14．B由數(shù)軸知，且為偶數(shù)15．D16．（1）或可以得到；（2）．17．由絕對值幾何意義知：當(dāng)時，方程有一解；當(dāng)時，方程有無窮多個解，當(dāng)或時，方程無解．18．（1），，；（2）存在點，點對應(yīng)的數(shù)為或；（3），為常數(shù)．19．，同理，，得．當(dāng)且僅當(dāng)，，時，上面各式等號成立．又，由得①+②③，，因此，的最大值為，最小值為．從三階幻方談起（微探究）例l由已知條件得：，這樣前面兩個式子之和等于后面的兩個式子之和，即，，得．例2與的最小值是，所以，即．而為整數(shù)，且是不同于，，，，，，，的正整數(shù)，故．練一練1．，，；，，設(shè)中間的圓圈中的數(shù)是，同一直線上的個數(shù)的和是，則，．2．如圖3．如圖：4．由條件得：，，．上述三式相加有，故．5．如圖，由及，得，，從而（注：這個幻方是可以完成的，如第行為，，；第行為，，；第行為，，）．6．這個數(shù)的積為，所以每行、每列、每條對角線上三個數(shù)字積為，得，，，、、、分別為、、、中的某個數(shù)，推得．7．略8．（1）略（2）顯然有①圖中六條邊，每條邊上三個圈中之?dāng)?shù)的和為，得．②②-①，得．③把、、每一邊上三圈中之?dāng)?shù)的和相加，得．④聯(lián)立③、④解得，，進(jìn)而．在中三個數(shù)之和為的僅有，，，所以在、、三處圈內(nèi)，只能填，，三個數(shù)，共有種不同填法．顯然，當(dāng)這三個圈中之?dāng)?shù)一旦確定，根據(jù)題目要求，其余六個圈內(nèi)之?dāng)?shù)也隧之確定，從而得到結(jié)論，共有種不同的填法．商品的利潤（微探究）例l設(shè)成本為，則，得，所求利潤為（元）．例2C設(shè)原進(jìn)價為元，提價后的利潤率為，則，解得．例3設(shè)原來的利潤率是，原來的成本是，