【解析】湖北省宜昌一中龍泉中學(xué)高三下學(xué)期6月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題

2020年高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（6月份）一、選擇題（共12小題）.是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，則的虛部為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，且結(jié)合純虛數(shù)定義求得，進(jìn)而得的虛部.【詳解】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)可得，由純虛數(shù)的定義可知滿足，解得，所以，的虛部為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的定義簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.，集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法化簡(jiǎn)集合A，B，再用交集的定義求解.【詳解】，或，所以，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及一元二次不等式的不等式的解法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)邏輯條件的定義判斷.【詳解】由，得，此時(shí)，反之成立時(shí)，可以取，，不能推出故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查邏輯條件的判斷，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.4.斐波拉契數(shù)列，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在數(shù)學(xué)上，斐波拉契數(shù)列{an}定義如下：a1＝a2＝1，an＝an﹣1+an﹣2（n≥3，n∈N），隨著n的增大，越來越逼近黃金分割0.618，故此數(shù)列也稱黃金分割數(shù)列，而以an+1、an為長和寬的長方形稱為“最美長方形”，已知某“最美長方形”的面積約為200平方厘米，則該長方形的長大約是（）A.20厘米 B.19厘米 C.18厘米 D.17厘米【答案】C【解析】【分析】因?yàn)橛梢阎?.618，又≈200，進(jìn)而解得.【詳解】解：由已知有0.618，得：，由，≈200，即，由于172＝289，182＝324，所以an+1≈18（厘米），故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)文化及數(shù)列新定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由得到首項(xiàng)與公差的關(guān)系，再把S3，S6用含有d的代數(shù)式表示，則答案可求.【詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由，得3（2a1+d）＝4a1+6d，即.∴，.∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)分析導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)可得原函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),再代入求值判斷即可.【詳解】解法一：因?yàn)椋O(shè)，令,得,當(dāng)時(shí),為減函數(shù)，即為減函數(shù)；當(dāng)時(shí),，為增函數(shù)，即為增函數(shù),而,所以原函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),代入原函數(shù),求得,淘汰選項(xiàng)A.解法二：,淘汰選項(xiàng)A,D；當(dāng)時(shí),,淘汰選項(xiàng)C.故選：B.【點(diǎn)睛】本小題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想,考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),屬于中檔題.，方程恰有三個(gè)根，記最大的根為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意，函數(shù)在處的切線為，且，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，再化簡(jiǎn)所求式子即可得解.【詳解】如圖，要使方程恰有三個(gè)根，且最大的根為，則函數(shù)在處的切線為，顯然，當(dāng)時(shí)，，，，可得，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根，解答的關(guān)鍵就是利用化簡(jiǎn)計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.位同學(xué)組成四個(gè)宣傳小組，其中可回收物宣傳小組有位同學(xué)，其余三個(gè)宣傳小組各有位同學(xué)中選派人到某小區(qū)進(jìn)行宣傳活動(dòng)，則每個(gè)宣傳小組至少選派人的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用組合計(jì)數(shù)原理計(jì)算出基本事件的總數(shù)以及事件“從這位同學(xué)中選派人到某小區(qū)進(jìn)行宣傳活動(dòng)，則每個(gè)宣傳小組至少選派人”所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可計(jì)算出所求事件的概率.【詳解】某市將垃圾分為四類：可回收物、餐廚垃圾、有害垃圾和其他垃圾.某班按此四類由位同學(xué)組成四個(gè)宣傳小組，其中可回收物宣傳小組有位同學(xué)，其余三個(gè)宣傳小組各有位同學(xué).現(xiàn)從這位同學(xué)中選派人到某小區(qū)進(jìn)行宣傳活動(dòng)，基本事件總數(shù)，每個(gè)宣傳小組至少選派人包含的基本事件個(gè)數(shù)為，則每個(gè)宣傳小組至少選派人的概率為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的計(jì)算，涉及組合計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與拋物線相交于A，B，點(diǎn)A在第一象限，且|AF|﹣|BF|，則（）A. B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，再過B作AA'的垂線，由拋物線的性質(zhì)及三角形相似可得對(duì)應(yīng)邊成比例，求出|AF|，|BF|的值，進(jìn)而求出比值.【詳解】解：設(shè)|BF|＝m，則由|AF|﹣|BF|可得|AF|m，由拋物線的方程可得：F（1，0），過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線交于A'，B'，過B作AA'的垂線交AA'，OF分別于C，D點(diǎn)，則△BFD∽△BAC，所以，即，解得：m，所以2，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10.某幾何體的三視圖如圖所示，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則該幾何體的外接球的表面積為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首項(xiàng)根據(jù)幾何體的三視圖換元得到幾何體，進(jìn)一步求出三棱錐的外接球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解.【詳解】根據(jù)幾何體三視圖可得：該幾何體是底面為等腰直角三角形，高為的三棱錐，如圖所示：設(shè)該三棱錐的外接球的球心為，則外接球的半徑為，則，即，解得，所以外接球的表面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的三視圖的轉(zhuǎn)換，以及幾何體的外接球的半徑的求法和表面積的計(jì)算，著重考查運(yùn)算能力，以及空間想象能力，屬于中檔試題.f（x）滿足，，當(dāng)x＞0時(shí)，下列說法正確的是（）①只有一個(gè)零點(diǎn)；②有兩個(gè)零點(diǎn)；③有一個(gè)極小值點(diǎn)；④有一個(gè)極大值點(diǎn)A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】B【解析】【分析】令，則，所以，即，由，解得，所以，求導(dǎo)得，利用導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得在處取得極大值，而這也是最大值，從而可對(duì)③和④作出判斷；又，且當(dāng)時(shí)，恒成立，所以只有一個(gè)零點(diǎn)為，從而可對(duì)①和②作出判斷.【詳解】令，則，，即，∴，∵，∴，∴，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，在處取得極大值，而這也是最大值，即③錯(cuò)誤，④正確；又，且當(dāng)時(shí)，恒成立，只有一個(gè)零點(diǎn)為，即①正確，②錯(cuò)誤.∴正確的有①④，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于難度題．ABCD滿足AB∥CD，∠BAD＝45°，以A，D為焦點(diǎn)的雙曲線Γ經(jīng)過B，CCD＝7AB，則雙曲線Γ的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先畫出大致圖象，結(jié)合雙曲線的定義以及余弦定理求得a，c之間的關(guān)系即可得到結(jié)論.【詳解】如圖：連接AC，BD，設(shè)雙曲線的焦距AD＝2c，實(shí)軸長為2a，則BD﹣AB＝AC﹣CD＝2a，設(shè)AB＝m，則CD＝7m，BD＝2a+m，AC＝2a+7m，∠BAD＝45°，∠ADC＝135°，在△ABD中，由余弦定理及題設(shè)可得：（2a+m）2＝m2+4c2﹣2，在△ACD中，由余弦定理及題設(shè)可得：（2a+7m）2＝49m2+4c2+14，整理得：（c2﹣a2）＝m（a+c），（c2﹣a2）＝7m（a﹣c），兩式相結(jié)合得：a+c＝7（a﹣c），故6a＝8c，∴雙曲線Γ的離心率為e.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）ABC中，||＝5，8，則_____.【答案】﹣17.【解析】【分析】直接利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】在三角形ABC中，因?yàn)閨|＝5，8，所以258，所以17.故答案為：﹣17.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面整理的數(shù)量積運(yùn)算以及向量的加法運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為．【答案】540【解析】【詳解】若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，解得，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為.，中，，，，設(shè)數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和_____.【答案】.【解析】【分析】首先根據(jù)遞推公式求出和，代入中求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后由等比數(shù)列求和公式即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】數(shù)列，中，，①，，②所以①+②得：，整理得（常數(shù)），所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列.所以.①×②得：，所以（常數(shù)），故數(shù)列是以為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列，所以，由于數(shù)列滿足，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了由遞推公式求通項(xiàng)公式的應(yīng)用，由遞推公式證明數(shù)列為等比數(shù)列，等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于中檔題.P﹣ABC中，PA，PB＝PC＝AB＝AC＝2，BC＝2，動(dòng)點(diǎn)Q在△ABC的內(nèi)部（含邊界），設(shè)∠PAQ＝α，二面角P﹣BC﹣A的平面角的大小為β，△APQ和△BCQ的面積分別為S1和S2，且滿足，則S2的最大值為_____.【答案】4﹣2.【解析】【分析】取BC的中點(diǎn)M，由題意可得AM＝PM＝PA，則β＝∠PMA＝60°，作QH⊥BC于H，則sinα，再由BC＝2PA＝2，可得AQ＝QH，即Q為三角形ABC內(nèi)的一條拋物線，當(dāng)Q在AB或AC上時(shí)，S2最大，求出S2的最大值.【詳解】如圖所示：取BC的中點(diǎn)M，連接AM，PM，因?yàn)镻B＝PC＝AB＝AC，AM⊥BC，PM⊥BC，且PA，PB＝PC＝AB＝AC＝2，BC＝2，所以AM＝PM＝PA，所以β＝∠PMA＝60°，作QH⊥BC于H，所以sinα，所以而BC＝2PA＝2，所以AQ＝QH，所以Q的軌跡是△ABC內(nèi)的一條拋物線，當(dāng)Q在AB或AC上時(shí)，S2最大，不妨設(shè)在AB上，此時(shí)，即，解得AQ＝QH＝2（1），所以S2＝4﹣2.故答案為：4﹣2【點(diǎn)睛】本題主要考查二面角的求法以及面積比與相似比的應(yīng)用，拋物線的定義，還考查了空間想象和邏輯推理的能力，屬于難題.三、解答題：（本大題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求C；（2）如圖，若點(diǎn)D在邊AC上，,E為垂足，且，求BD的長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理將方程中的邊化成角，再利用誘導(dǎo)公式，可求得的值，即可得答案；（2）在中，由正弦定理得，即，求出的值，即可得答案；【詳解】（1），∴由正弦定理得，，，...（2），..在中，由正弦定理得，即，整理得.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、正余弦定理解三角形，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意邊角關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化.18.如圖，在矩形中，將沿對(duì)角線折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面.（1）求證：；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由四邊形是矩形，得，推導(dǎo)出平面，可得出，再由，可得出平面，由此能證明；（2）過作于點(diǎn)，則平面，以所在直線為軸，過作軸平行于，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由平面，得出直線與平面所成角為，設(shè)，可得，然后利用空間向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】（1）由四邊形是矩形，得，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，則，又，，平面，平面，；（2）過作，垂足為點(diǎn)，平面平面，平面平面，平面，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，過作軸平行于，以所在直線為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由（1）知平面，是直線與平面所成角，即，在中，，設(shè)，則，，平面，可取平面的一個(gè)法向量，由（1）知，，在中，，，，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，由，取，則，，所以，平面的一個(gè)法向量為，.由圖形可知，二面角的平面角為銳角，它的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用線面垂直證明線線垂直，同時(shí)也考查了利用線面角的定義求長度，以及利用空間向量法求二面角，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.O：x2+y2＝3，直線PA與圓O相切于點(diǎn)A，直線PB垂直y軸于點(diǎn)B，且|PB|＝2|PA|.（1）求點(diǎn)P的軌跡E的方程；（2）過點(diǎn)（1，0）且與x軸不重合的直線與軌跡E相交于P，Q兩點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)D，使得x軸是∠PDQ的角平分線，若存在，求出D點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在；定點(diǎn)D（4，0）【解析】【分析】（1）設(shè)P（x，y），根據(jù)直線PA與圓O相切于點(diǎn)A，利用切線長公式得到|PA|2＝x2+y2﹣3，|再根據(jù)直線PB垂直y軸于點(diǎn)B，得到|PB|2＝x2，然后由|PB|＝2|PA|求解.（2）設(shè)直線l的方程為：x＝my+1，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到，，代入kPD+kQD＝0，化簡(jiǎn)整理得，解得x0即可.【詳解】（1）設(shè)P（x，y），因?yàn)橹本€PA與圓O相切于點(diǎn)A，所以|PA|2＝|PO|2﹣3＝x2+y2﹣3，|又因?yàn)橹本€PB垂直y軸于點(diǎn)B，所以|PB|2＝x2，又因?yàn)閨PB|＝2|PA|所以x2+y2﹣3＝x2，即x2＝4（x2+y2﹣3），化簡(jiǎn)得，∴點(diǎn)P的軌跡E的方程為：；（2）設(shè)直線l的方程為：x＝my+1，P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立方程，整理得：（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，∴，，假設(shè)存在定點(diǎn)D（x0，0），使得x軸是∠PDQ的角平分線，則kPD+kQD＝0，∴，∴，∴，∴，即，解得：x0＝4，所以存在定點(diǎn)D（4，0），使得x軸是∠PDQ的角平分線.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程的求法以及直線的對(duì)稱問題，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20.某工廠的一臺(tái)某型號(hào)機(jī)器有2種工作狀態(tài)：正常狀態(tài)和故障狀態(tài).若機(jī)器處于故障狀態(tài)，則停機(jī)檢修.為了檢查機(jī)器工作狀態(tài)是否正常，工廠隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了該機(jī)器以往正常工作狀態(tài)下生產(chǎn)的1000個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得出如圖1所示頻率分布直方圖.由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中近似為這1000個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)，近似為這1000個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表）.若產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值全部在之內(nèi)，就認(rèn)為機(jī)器處于正常狀態(tài)，否則，認(rèn)為機(jī)器處于故障狀態(tài).（1）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)從該機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件測(cè)得的質(zhì)量指標(biāo)值：294555636773788793113請(qǐng)判斷該機(jī)器是否出現(xiàn)故障？（2）若機(jī)器出現(xiàn)故障，有2種檢修方案可供選擇：方案一：加急檢修，檢修公司會(huì)在當(dāng)天排除故障，費(fèi)用為700元；方案二：常規(guī)檢修，檢修公司會(huì)在七天內(nèi)的任意一天來排除故障，費(fèi)用為200元.現(xiàn)需決策在機(jī)器出現(xiàn)故障時(shí)，該工廠選擇何種方案進(jìn)行檢修，為此搜集檢修公司對(duì)該型號(hào)機(jī)器近100單常規(guī)檢修在第i（，2，…，7）天檢修的單數(shù)，得到如圖2所示柱狀圖，將第i天常規(guī)檢修單數(shù)的頻率代替概率.已知該機(jī)器正常工作一天可收益200元，故障機(jī)器檢修當(dāng)天不工作，若機(jī)器出現(xiàn)故障，該選擇哪種檢修方案？附：，，.【答案】（1）可判斷該機(jī)器處于故障狀態(tài)；（2）選擇加急檢修更為適合【解析】【分析】（1）由圖1可估計(jì)1000個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和方差，所以，，從而得到產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值允許落在的范圍為（28.87，111.13），由于抽取產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值出現(xiàn)了113，不在（28.87，111.13）之內(nèi)，故機(jī)器處于故障狀態(tài)；

（2）方案一：工廠需要支付檢修費(fèi)和損失收益之和為700＋200＝900元；方案二：設(shè)損失收益為元，求出的可能值，然后由圖2可得出每個(gè)的取值所對(duì)應(yīng)的概率，求出數(shù)學(xué)期望，可得工廠需要支付檢修費(fèi)和損失收益之和，與900對(duì)比，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由圖1可估計(jì)1000個(gè)產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和方差分別為，，依題意知，，，所以，，所以產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值允許落在的范圍為，又抽取產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值出現(xiàn)了113，不在之內(nèi)，故可判斷該機(jī)器處于故障狀態(tài)；（2）方案一：若安排加急檢修，工廠需要支付檢修費(fèi)和損失收益之和為元；方案二：若安排常規(guī)檢修，工廠需要要支付檢修費(fèi)為200元，設(shè)損失收益為X元，則X的可能取值為200，400，600，800，1000，1200，1400，X的分布列為：X200400600800100012001400P元；故需要支付檢修費(fèi)和損失收益之和為元，因?yàn)?，所以?dāng)機(jī)器出現(xiàn)故障，選擇加急檢修更為適合.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖中的數(shù)字特征、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，及期望的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的分析與處理能力，屬于基礎(chǔ)題.f（x）＝（x﹣1）2﹣alnx（a＜0）.（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），且關(guān)于x的方程f（x）＝b（b∈R）恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根x3，x4，x5（x3＜x4＜x5），求證：2（x2﹣x1）＞x5﹣x3.【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得f′(x)，令f′(x)＝0，即2x2﹣2x﹣a＝0，＝4+8a，分兩種情況①≤0，②＞0，討論f(x)單調(diào)性；（2）由題意得a＜0，畫出草圖，知0＜x3＜x1＜x4＜x2＜x5，0＜x1＜x2＜1，要證：2(x2﹣x1)＞x5﹣x3，即證：2(x2﹣x1)＞(x5+x4)﹣(x3+x4)，只需證：，先證：x3+x4＞2x1.即證x4＞2x1﹣x3，由（1）f(x)單調(diào)遞減，只需證f(x4)＜f(2x1﹣x3)，即證：f(x3)＜f(2x1﹣x3)，令g(x)＝f(x)﹣f(2x1﹣x)，0＜x＜x1，求導(dǎo)數(shù)，分析單調(diào)性，可得g(x)＜g(x1)＝0，故f(x)＜f(2x1﹣x)，在(0，x1)恒成立，f(x3)＜f(2x1﹣x3)得證，同理可以證明：x3+x4＜2x2，綜上，2(x2﹣x1)＞x5﹣x3，得證.【詳解】（1）由題意得＝2(x﹣1)，令＝0，即2x2﹣2x﹣a＝0，＝4+8a，①當(dāng)a時(shí)，≤0，≥0，函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，②當(dāng)a＜0時(shí)，＞0，2x2﹣2x﹣a＝0的兩根為x1，x2且0＜x1x2，當(dāng)x∈(0，)，(，+∞）時(shí)，＞0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(，)時(shí)，＜0，f(x)單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在(0，）上單調(diào)遞增，在(，）上單調(diào)遞減，在(，+∞)上單調(diào)遞增.（2）證明：由題意得a＜0，0＜x3＜x1＜x4＜x2＜x5，0＜x1＜x2＜1，如圖，要證：2(x2﹣x1)＞x5﹣x3，即證：2(x2﹣x1)＞(x5+x4)﹣(x3+x4)；只需證：先證：x3+x4＞2x1.即證x4＞2x1﹣x3，又由（1）知f(x)在(x1，x2)上單調(diào)遞減，只需證f(x4)＜f(2x1﹣x3)，而f(x4)＝f(x3)，即證：f(x3)＜f(2x1﹣x3)，令g(x)＝f(x)﹣f(2x1﹣x)，0＜x＜x1，＝+＝2x﹣22(2x1﹣x)﹣2，＝4(x1﹣1)又2(x1﹣1)0，即x1﹣1，那么，，而0＜x＜x1，且，則＞0，故