安徽省馬鞍山市第七中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年安徽省馬鞍山七中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.如果，則下列各式不成立的是(

)A. B. C. D.2.若點在拋物線上，那么下列各點中一定在該拋物線的是(

)A. B. C. D.3.拋物線的圖象最低點的坐標(biāo)是(

)A. B. C. D.4.點和點是反比例函數(shù)圖象上的兩點，當(dāng)時，，則k的取值范圍(

)A. B. C. D.5.如圖，將放在正方形網(wǎng)格中，則的值為(

)A.

B.

C.2

D.6.一個矩形沿某對稱軸對折后和原矩形相似，則對折后的矩形長邊與短邊之比為(

)A.4：1 B.2：1 C.3：2 D.7.在中，，，則的值是(

)A. B. C. D.不能確定8.如圖，已知AD為的角平分線，交AC于點E，如果，那么等于(

)

A. B. C. D.29.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，AB上的點，且滿足，連接CF，過點B作，垂足為G，連接DG，有下列說法不正確的是(

)A.

B.

C.

D.∽10.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①；②；③；④；⑤，其中正確的結(jié)論有(

)A.2個

B.3個

C.4個

D.5個二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。11.一竹竿高米，影長1米，同一時刻，某塔影長20米，則塔高為______米.12.如圖，反比例函數(shù)圖象上一點C，過點C作軸，垂足為D，連接OC，，那么此反比例函數(shù)的表達(dá)式為______.

13.已知∽，其中一組對應(yīng)邊BC與EF的長分別為32cm和12cm，它們的周長相差45cm，則的周長為______14.已知，且，則______.15.已知點C是線段AB的黃金分割點，且，則AB的長為______.16.如圖，的高BD、CE相交于F點，連接若，則______.

17.已知：，，m，n為實數(shù)，則p的最大值為______.18.在中，，AD是BC邊上的高，并且，則的度數(shù)為______.三、解答題：本題共6小題，共46分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.本小題6分

計算：20.本小題8分

如圖所示，在的正方形方格中，和的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上．

填空：______，______；

判斷與是否相似？并證明你的結(jié)論．21.本小題8分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，對四邊形OABC依次進(jìn)行下列兩個變換：①關(guān)于y軸對稱；②以原點為位似中心，位似比為3的位似變換；

在平面直角坐標(biāo)系中畫出四邊形OABC及上述兩個變換后的圖形；

若四邊形OABC內(nèi)一點，用坐標(biāo)表示上述變換是：______，____________，______22.本小題8分

如圖，在梯形ABCD中，，過AC和BD的交點O作交AD于點M，交BC于點

猜想：OM______填“>”，“<”或“=”

求證：23.本小題8分

如圖，已知在中，，邊BC上的高為80，在這三角形內(nèi)有一個內(nèi)接矩形DEFG，矩形的邊DE在BC邊上，點F、G分別在邊AC、AB上，設(shè)矩形的邊DE長為x，邊EF長為

請用x的代數(shù)式表示y；

當(dāng)x，y分別為多少時，這個矩形的面積最大.24.本小題8分

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸于C點，且對稱軸為直線

求拋物線的表達(dá)式和頂點D的坐標(biāo)；

若點是y軸上的一個動點，是否存在以P、A、D三點為頂點的三角形與相似？如果存在，求點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：A、如果，則，所以A選項的等式不成立；

B、如果，則，所以B選項的等式成立；

C、如果，則，所以C選項的等式成立；

D、如果，則，所以D選項的等式成立．

故選：

根據(jù)比例性質(zhì)，前項加或減后項等式成立，則可對A、B、C進(jìn)行判斷；利用后項都乘以2可對D進(jìn)行判斷．

本題考查了比例的性質(zhì)：若，則熟練運用比例的性質(zhì)可提高運算的速度．2.【答案】B

【解析】解：點在拋物線上，

，

當(dāng)時，，故點不在拋物線上，不符合題意；

當(dāng)時，，故點在拋物線上，符合題意；

當(dāng)時，，故點不在拋物線上，不符合題意；

當(dāng)時，，故點不在拋物線上，不符合題意；

故選：

由題意得，只需把各點的橫坐標(biāo)代入解析式，即可判斷．

本題主要考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，所有在二次函數(shù)上的點的坐標(biāo)適合解析式．3.【答案】D

【解析】解：，則其頂點坐標(biāo)是

故選：

將已知函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點式方程，然后求得其頂點坐標(biāo)即可．

本題考查了二次函數(shù)的最值．拋物線的圖象最高點的坐標(biāo)就是拋物線的頂點坐標(biāo)，解題時，利用了完全平方公式將拋物線一般式方程轉(zhuǎn)化為頂點式方程，由此直接求得拋物線的頂點坐標(biāo)．4.【答案】B

【解析】解：點和點是反比例函數(shù)圖象上的兩點，當(dāng)時，，

，

，

故選：

根據(jù)已知條件可知，函數(shù)在第四象限內(nèi)y隨x的增大而增大，得，即得k的取值范圍．

本題考查反比例函數(shù)圖象上的點的特征，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)．5.【答案】A

【解析】解：如圖，

設(shè)小正方形的邊長為1，

則在中，根據(jù)勾股定理得，

，

故選：

構(gòu)造直角三角形，設(shè)小正方形的邊長為1，則在中，，利用余弦函數(shù)的定義計算即可．

本題考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是將求銳角三角函數(shù)值的角構(gòu)造到直角三角形中．6.【答案】D

【解析】解：如圖：矩形ABCD沿EF對折后，所得矩形ABFE與矩形ADCB相似，

，

由折疊得：

，

，

，

，

：：1，

對折后的矩形長邊與短邊之比為：1，

故選：

利用相似多邊形的性質(zhì)可得，再利用折疊的性質(zhì)可得，然后進(jìn)行計算即可解答．

本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，翻折變換折疊問題，熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.【答案】D

【解析】解：當(dāng)AB是斜邊時，，

當(dāng)AB是直角邊時，，

則，

故的值不確定．

故選：

由于在中，，，13可能是斜邊，也可能是直角邊，故的大小不確定，依此即可求解．

本題考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意進(jìn)行分類討論．8.【答案】B

【解析】解：平分，

，

，

，

，

，

，

，

，

∽，

，即，

故選：

根據(jù)等腰三角形的判定定理得到，證明∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．

本題考查的是平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9.【答案】C

【解析】解：四邊形ABCD是正方形，

，即，

，

，

，A正確，不符合題意；

，，

∽，

，

，，

，

，

∽，

正確，不符合題意；

∽，

，

，

，即，B正確，不符合題意；

故選：

根據(jù)正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行證明，判斷即可．

本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．10.【答案】A

【解析】解：拋物線開口向下，

，

拋物線對稱軸為直線，

，

，

拋物線與y軸交點在x軸上方，

，

，①錯誤．

時，，

，②錯誤．

拋物線對稱軸為直線，時，

時，，③正確．

，

，

，

，

，④錯誤．

時y取最大值，

，即，⑤正確．

故選：

由拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與壓軸交點位置可判斷①，由時可判斷②，由拋物線對稱性及時可判斷③，由a與b的數(shù)量關(guān)系及可得a與c的數(shù)量關(guān)系，從而判斷④，由時y取最大值可判斷⑤．

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．11.【答案】30

【解析】解：設(shè)塔高為h米，根據(jù)同一時刻物高和影長成正比，則有h：：1；

，

所以塔的高度為30米．

故答案為：

在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似．

本題考查了相似三角形在測量高度時的應(yīng)用，解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題．12.【答案】

【解析】解：軸，，而，

，

，

反比例函數(shù)為

故答案為：

根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義得到，然后去絕對值即可得到滿足條件的k的值．

本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值13.【答案】27

【解析】解：∽，其中一組對應(yīng)邊BC與EF的長分別為32cm和12cm，

和的相似比為32：：3，

他們周長的比為8：3，

設(shè)的周長為8xcm，則的周長為3xcm，

根據(jù)題意得：，

解得：，

的周長為，

故答案為：

根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比解答．

本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長比等于相似比是解題的關(guān)鍵．14.【答案】

【解析】解：，

，

，

故答案為：

利用等比性質(zhì)，進(jìn)行計算即可解答．

本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握等比性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15.【答案】

【解析】解：設(shè)，

，

，

，

點C是線段AB的黃金分割點，，

，

，

整理得：，

解得：，舍去，

，

故答案為：

設(shè)，則，從而可得，然后根據(jù)黃金分割的定義可得，從而可得，進(jìn)行計算即可解答．

本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．16.【答案】

【解析】解：和CE是的高，

于點D，于點E，

，，

∽，

，

，

∽，

，，

，

，

，

，

，

，，

∽，

，

故答案為：

由，，證明∽，得，變形為，再證明∽，由，，，所以，則，再證明∽，則，于是得到問題的答案．

此題重點考查等角的余角相等、直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明∽及∽是解題的關(guān)鍵．17.【答案】4

【解析】解：把代入得：

，

當(dāng)時，P最大為

故答案為：

把代入得到用m表示p的二次函數(shù)，整理成頂點式，根據(jù)拋物線開口向下，函數(shù)有最大值可得p的最大值．

此題主要是考查了二次函數(shù)的最值，能夠得到用m表示p的二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．18.【答案】或

【解析】解：當(dāng)為銳角時，

，AD是BC邊上的高得，

，，

∽，

，

；

當(dāng)為鈍角時，

同理可得，∽

故答案為：或

根據(jù)已知可得到∽，注意可以是銳角也可是鈍角，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析，從而確定度數(shù)．

本題考查了相似三角形的性質(zhì)，分類討論思想，知道分類討論是解題的關(guān)鍵．19.【答案】解：原式

【解析】根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值，代入計算即可．

本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，掌握特殊銳角的三角函數(shù)值是正確計算的關(guān)鍵．20.【答案】；

；

∽

證明：在的正方形方格中，

，，

，，，，

，，

，

∽

【解析】【分析】

此題主要考查學(xué)生對勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是認(rèn)真觀察圖形，得出兩個三角形角和角，邊和邊的關(guān)系．

根據(jù)已知條件，結(jié)合正方形網(wǎng)格的特征可以求出的度數(shù)，利用勾股定理即可求出線段BC的長；

根據(jù)相似三角形的判定定理，對應(yīng)邊成比例且夾角相等即可證明與相似．

【解答】

解：，

；

故答案為；

；

見答案.21.【答案】，

【解析】解：如圖，四邊形，四邊形即為所求．

，

故答案為：，n，，

利用軸對稱變換，位似變換的性質(zhì)作出圖形即可；利用軸對稱變換，位似變換的性質(zhì)求解即可．

利用軸對稱變換，位似變換的性質(zhì)求解即可．

本題考查作圖-軸對稱變換，位似變換等知識，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換，位似變換的性質(zhì)，屬于中考常考題型．22.【答案】=

【解析】解：經(jīng)過點O，且，

，，

∽，∽，

，，

，

，

，

，

故答案為：

由得，

∽，

，

，，

，

∽，

，

，

先證明∽，∽，則，，根據(jù)平行線分線段成比例定理得，所以，則，于是得到問題的答案；

由∽，得，由∽，得，則，而，即可推導(dǎo)出

此題重點考查平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明∽、∽及∽是解題的關(guān)鍵．23.【答案】解：如圖，過A作于K，交GF于M，

四邊形GDEF是矩形，

，，，，

∽，

，

，，，

，

；

--，

而，所以S有最大值，

當(dāng)時，

，

當(dāng)，時，這個矩形的面積最大．

【解析】如圖，過A作于K，交GF于M，再證明∽，可得，再整理可得答案；

由，而，所以S有最大值，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．

本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的應(yīng)用，主要利用了相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，二次函數(shù)的最值問題，掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24.【答案】解：拋物線的對稱軸為直線，

，

，

，

，

頂點；

存在以P、A、D三點為頂點的三角形與相似，理由如下：

令，則，

解得或，

，，

令，則，

，

，，

，

，

，

，

，，，

當(dāng)時，，

，

解得或舍，

；

當(dāng)時，

，，

過點D作軸交于點H，

，，

，

，

，

，

，