湖北省武漢市武昌區(qū)拼搏聯(lián)盟2023-2024學年八年級下學期期中數(shù)學試卷

2023-2024學年湖北省武漢市武昌區(qū)拼搏聯(lián)盟八年級（下）期中數(shù)學試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）式子在實數(shù)范圍內有意義，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥2 B．a(chǎn)＜2 C．a(chǎn)＞﹣2 D．a(chǎn)≥﹣22．（3分）下列各式計算正確的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．4．（3分）以下由線段a、b、c組成的三角形中，不是直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝1，b＝2， B．a(chǎn)＝5，b＝12，c＝13 C．，b＝1， D．a(chǎn)＝3，，5．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC C．AB＝DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD6．（3分）我國古代數(shù)學著作《九章算術》記載了一道有趣的問題．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何．譯為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達池邊的水面，水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？設蘆葦?shù)拈L度是x尺．根據(jù)題意，可列方程為（）A．x2+102＝（x+1）2 B．（x﹣1）2+52＝x2 C．x2+52＝（x+1）2 D．（x﹣1）2+102＝x27．（3分）數(shù)學課上，大家一起探究三角形中位線定理的證明方法．已知：D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點，求證：DE∥BC，且．嘉嘉和淇淇各自嘗試作了一種輔助線，如圖1，2．其中輔助線作法能夠用來證明三角形中位線定理的是（）嘉嘉的輔助線作法：延長DE到點F，使EF＝DE，連接DC，AF，F(xiàn)C．淇淇的輔助線作法：過點E作GE∥AB，過點A作AF∥BC，GE與AF交于點F．A．嘉嘉的輔助線作法不可以，淇淇的可以 B．嘉嘉的輔助線作法可以，淇淇的不可以 C．嘉嘉和淇淇的輔助線作法都不可以 D．嘉嘉和淇淇的輔助線作法都可以8．（3分）如圖，在?ABCD中，AB＝2，BC＝3．以點C為圓心，適當長為半徑畫弧，交BC于點P，交CD于點Q，再分別以點P，Q為圓心，大于PQ的長為半徑畫弧，兩弧相交于點N，射線CN交BA的延長線于點E，則AE的長是（）A． B．1 C． D．9．（3分）如圖①叫做一個基本的“勾股樹”，也叫做第一代勾股樹．讓圖①中兩個小正方形各自長出一個新的勾股樹（如圖②），叫做第二代勾股樹．從第二代勾股樹出發(fā)，又可以長出第三代勾股樹（如圖③）．這樣一生二、二生四、四生八，繼續(xù)生長下去，則第五代勾股樹圖形中正方形的個數(shù)為（）A．31 B．51 C．53 D．6310．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點P為AB邊上一動點（不與點A，B重合），PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，若AC＝8，BD＝6，則EF的最小值為（）A．3 B．2 C． D．二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）計算：＝．12．（3分）如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，AB＝6，則CD的長度是．13．（3分）請寫出一個正整數(shù)m的值使得是整數(shù)，則m＝．14．（3分）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E、F分別是線段AO、BO的中點，若AC+BD＝24cm，△OAB的周長是18cm，則EF＝cm．15．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為（10，0），（0，4），點D是OA的中點，點P在BC邊上運動，點Q是坐標平面內的任意一點．若以O，D，P，Q為頂點的四邊形是邊長為5的菱形時，則點Q的坐標為．16．（3分）如圖，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC與BD交于點O，E為CD延長線上一點，且CD＝DE，連結BE，分別交AC，AD于點F、G，連結OG，則下列結論：①OG＝AB；②S四邊形ODGF＞S△ABF；③由點A、B、D、E構成的四邊形是菱形；④S△ACD＝4S△BOG；其中正確的結論是．（請?zhí)顚懻_的序號）三、解答題（共8個小題，共72分）17．（8分）計算：（1）；（2）．18．（8分）已知a＝3+2，b＝3﹣2，分別求下列代數(shù)式的值：（1）a2﹣b2；（2）a2﹣3ab+b2．19．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E、F在BD上，AE∥CF，且AE＝CF．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．20．（8分）如圖是由小正方形組成的6×6網(wǎng)格，每個邊長為1的小正方形的頂點叫做格點，圖中A，B，C，D都是格點，E是AB上一點，M是AB與網(wǎng)格線的交點，僅用無刻度的直尺在網(wǎng)格中完成下列畫圖，畫圖過程用虛線，結果用實線表示．（1）直接寫出正方形的邊長＝；（2）在圖1中，在線段CD上找點F使得CF＝AE；（3）在圖1中，在線段AD上找點Q使得AQ＝AE；（4）在圖2中，在BC邊上畫點H，連接DH，MH，使得∠ADH＝∠DHM．21．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，過點A作AE∥BC，且AE＝BD，連接BE，交AD于點F，連接CE．（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）若CE＝6，求AF的長．22．（10分）2023年7月五號臺風“杜蘇芮”登陸，使我國很多地區(qū)受到嚴重影響．據(jù)報道，這是今年以來對我國影響最大的臺風，風力影響半徑250km（即以臺風中心為圓心，250km為半徑的圓形區(qū)域都會受臺風影響）．如圖，線段BC是臺風中心從C市移動到B市的大致路線，A是某個大型農(nóng)場，且AB⊥AC．若A，C之間相距300km，A，B之間相距400km．（1）判斷農(nóng)場A是否會受到臺風的影響，請說明理由；（2）若臺風中心的移動速度為20km/h，則臺風影響該農(nóng)場持續(xù)時間有多長？23．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點P是射線BD上一動點，以AP為邊向右側作等邊△APE，連接CE．（1）如圖1，當點E在邊AD上時，填空：①BP與CE的數(shù)量關系是，②CE與AD的位置關系是；（2）如圖2，當點E在菱形ABCD外部時，（1）中的結論是否仍成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由．（3）如圖3，在點P的移動過程中，連接AC，DE，若，PD＝1，請直接寫出四邊形ACDE的面積．24．（12分）如圖1，在平面直角坐標系中，矩形AOCD的頂點A（0，2），C（2，0）．（1）求點D到直線AC的距離；（2）如圖2，∠AOC的角平分線交AD于點B，交CD的延長線于點E，F(xiàn)為BE的中點，連接CF，求∠ACF的大??；（3）如圖3，M，N分別是邊CD和對角線AC上的動點，且AN＝CM，則OM+ON的最小值＝．（直接寫出結果）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）式子在實數(shù)范圍內有意義，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥2 B．a(chǎn)＜2 C．a(chǎn)＞﹣2 D．a(chǎn)≥﹣2【解答】解：由題意可知：a+2≥0，∴a≥﹣2，故選：D．2．（3分）下列各式計算正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．與不能合并，所以A選項不符合題意；B．5﹣2＝3，所以B選項符合題意；C．×＝＝2，所以C選項不符合題意；D．÷＝＝，所以D選項不符合題意．故選：B．3．（3分）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是最簡二次根式，故符合題意；B、，不是最簡二次根式，不符合題意；C、＝，不是最簡二次根式，不符合題意；D、＝，不是最簡二次根式，不符合題意；故選：A．4．（3分）以下由線段a、b、c組成的三角形中，不是直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝1，b＝2， B．a(chǎn)＝5，b＝12，c＝13 C．，b＝1， D．a(chǎn)＝3，，【解答】解：A、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，此選項不符合題意；B、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，此選項不符合題意；C、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，此選項不符合題意；D、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，此選項符合題意；故選：D．5．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC C．AB＝DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【解答】解：A、“一組對邊平行，另一組對邊相等”是四邊形也可能是等腰梯形，故本選項符合題意；B、根據(jù)“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項不符合題意；C、根據(jù)“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項不符合題意；D、根據(jù)“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項不符合題意；故選：A．6．（3分）我國古代數(shù)學著作《九章算術》記載了一道有趣的問題．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何．譯為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達池邊的水面，水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？設蘆葦?shù)拈L度是x尺．根據(jù)題意，可列方程為（）A．x2+102＝（x+1）2 B．（x﹣1）2+52＝x2 C．x2+52＝（x+1）2 D．（x﹣1）2+102＝x2【解答】解：設蘆葦長x尺，由題意得：（x﹣1）2+52＝x2，故選：B．7．（3分）數(shù)學課上，大家一起探究三角形中位線定理的證明方法．已知：D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點，求證：DE∥BC，且．嘉嘉和淇淇各自嘗試作了一種輔助線，如圖1，2．其中輔助線作法能夠用來證明三角形中位線定理的是（）嘉嘉的輔助線作法：延長DE到點F，使EF＝DE，連接DC，AF，F(xiàn)C．淇淇的輔助線作法：過點E作GE∥AB，過點A作AF∥BC，GE與AF交于點F．A．嘉嘉的輔助線作法不可以，淇淇的可以 B．嘉嘉的輔助線作法可以，淇淇的不可以 C．嘉嘉和淇淇的輔助線作法都不可以 D．嘉嘉和淇淇的輔助線作法都可以【解答】解：嘉嘉的作法：∵AE＝EC，DE＝EF，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∴AD＝CF，AD∥CF，∵AD＝BD，∴BD＝CF，BD∥CF，∴四邊形DBCF是平行四邊形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝DF＝BC；淇淇的作法：∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠C，∠F＝∠CGF，在△AEF和△CEG中，，∴△AEF≌△CEG（AAS），∴AF＝CG，EF＝EG，∵AF∥BG，AB∥FG，∴四邊形ABGF是平行四邊形，∴AB＝FG，∵BD＝AB，GE＝FG，∴BD＝EG，AF＝BG，∵BD∥EG，∴四邊形DBGE是平行四邊形，∴DE∥BG，DE＝BG＝AF＝CG，∴DE∥BC，DE＝BC，∴嘉嘉和淇淇的輔助線作法都可以，故選：D．8．（3分）如圖，在?ABCD中，AB＝2，BC＝3．以點C為圓心，適當長為半徑畫弧，交BC于點P，交CD于點Q，再分別以點P，Q為圓心，大于PQ的長為半徑畫弧，兩弧相交于點N，射線CN交BA的延長線于點E，則AE的長是（）A． B．1 C． D．【解答】解：∵由題意可知CE是∠BCD的平分線，∴∠BCE＝∠DCE．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠DCE＝∠E，∴∠BCE＝∠AEC，∴BE＝BC＝3，∵AB＝2，∴AE＝BE﹣AB＝1，故選：B．9．（3分）如圖①叫做一個基本的“勾股樹”，也叫做第一代勾股樹．讓圖①中兩個小正方形各自長出一個新的勾股樹（如圖②），叫做第二代勾股樹．從第二代勾股樹出發(fā)，又可以長出第三代勾股樹（如圖③）．這樣一生二、二生四、四生八，繼續(xù)生長下去，則第五代勾股樹圖形中正方形的個數(shù)為（）A．31 B．51 C．53 D．63【解答】解：∵第一代勾股樹中正方形有1+2＝3（個），第二代勾股樹中正方形有1+2+22＝7（個），第三代勾股樹中正方形有1+2+22+23＝15（個），∴第四代勾股樹圖形中正方形的個數(shù)有1+2+22+23+24＝31（個）；∴第五代勾股樹圖形中正方形的個數(shù)有1+2+22+23+24+25＝63（個）；故選：D．10．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點P為AB邊上一動點（不與點A，B重合），PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，若AC＝8，BD＝6，則EF的最小值為（）A．3 B．2 C． D．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×8＝4，OB＝OD＝BD＝×6＝3，在Rt△AOB中，AB＝＝＝5，如圖所示，連接OP，∵PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，∴四邊形OEPF是矩形，∴EF＝OP，當OP⊥AB時，OP的值最小，即EF的值最小，∵S△AOB＝OA?OB＝AB?OP，∴OP＝＝＝，∴EF的最小值為，故選：C．二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）計算：＝8．【解答】解：原式＝|﹣8|＝8．故答案為：8．12．（3分）如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，AB＝6，則CD的長度是3．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，∴CD＝AB＝3，故答案為：3．13．（3分）請寫出一個正整數(shù)m的值使得是整數(shù)，則m＝6（答案不唯一）．【解答】解：∵，∴當m＝6時，，符合題意，故答案為：6（答案不唯一）．14．（3分）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E、F分別是線段AO、BO的中點，若AC+BD＝24cm，△OAB的周長是18cm，則EF＝3cm．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，又∵AC+BD＝24cm，∴OA+OB＝12cm，∵△OAB的周長＝OA+OB+AB＝18cm，∴AB＝18﹣12＝6（cm），∵點E，F(xiàn)分別是線段AO，BO的中點，∴EF是△OAB的中位線，∴EF＝AB＝3cm．故答案為：3．15．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為（10，0），（0，4），點D是OA的中點，點P在BC邊上運動，點Q是坐標平面內的任意一點．若以O，D，P，Q為頂點的四邊形是邊長為5的菱形時，則點Q的坐標為（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．【解答】解：∵A（10，0），C（0，4），∴OC＝AB＝4，BC＝OA＝10，∵點D是OA的中點，∴OD＝5，①如圖1所示，以OP為對角線，點P在點D的左側時，PD＝OD＝5，過點P作PE⊥x軸于點E，則PE＝OC＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：，∴OE＝OD﹣DE＝5﹣3＝2，∴點P的坐標為（2，4），此時，點Q的坐標為（﹣3，4）；②如圖2所示，以OQ為對角線，點P在點D的左側時，OP＝OD＝5．過點P作PE⊥x軸于點E，則PE＝4．在Rt△POE中，由勾股定理得：，∴點P的坐標為（3，4），此時，點Q的坐標為（8，4）；③如圖3所示，以OP為對角線，點P在點D的右側時，PD＝OD＝5，過點P作PE⊥x軸于點E，則PE＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：，∴OE＝OD+DE＝5+3＝8，∴點P的坐標為（8，4），此時，點Q的坐標為（3，4）；綜上所述，點Q的坐標為（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）；故答案為：（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．16．（3分）如圖，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC與BD交于點O，E為CD延長線上一點，且CD＝DE，連結BE，分別交AC，AD于點F、G，連結OG，則下列結論：①OG＝AB；②S四邊形ODGF＞S△ABF；③由點A、B、D、E構成的四邊形是菱形；④S△ACD＝4S△BOG；其中正確的結論是①③④．（請?zhí)顚懻_的序號）【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ABD的中位線，∴OG＝AB，故①正確；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等邊三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴平行四邊形ABDE是菱形，故③正確；∵OA＝OC，AG＝DG，∴OG是△ACD的中位線，∴OG∥CD∥AB，OG＝CD，∴S△ACD＝4S△AOG，∵S△AOG＝S△BOG，∴S△ACD＝4S△BOG，故④正確；連接FD，如圖：∵△ABD是等邊三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，∴F到△ABD三邊的距離相等，∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四邊形ODGF，∴S四邊形ODGF＝S△ABF，故②錯誤；正確的是①③④，故答案為：①③④．三、解答題（共8個小題，共72分）17．（8分）計算：（1）；（2）．【解答】解：（1）＝9﹣3﹣2＝4．（2）＝2×＝2×＝8．18．（8分）已知a＝3+2，b＝3﹣2，分別求下列代數(shù)式的值：（1）a2﹣b2；（2）a2﹣3ab+b2．【解答】解：（1）∵a＝3+2，b＝3﹣2，∴a+b＝（3+2）+（3﹣2）＝6，a﹣b＝（3+2）﹣（3﹣2）＝4，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×4＝24；（2）a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）2﹣ab＝﹣）（3+2）（3﹣2）﹣＝32﹣1＝31．19．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E、F在BD上，AE∥CF，且AE＝CF．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【解答】證明：∵AE∥CF，∴∠AED＝∠CFB，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，∴，∴△AED≌△CFB（AAS），∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．20．（8分）如圖是由小正方形組成的6×6網(wǎng)格，每個邊長為1的小正方形的頂點叫做格點，圖中A，B，C，D都是格點，E是AB上一點，M是AB與網(wǎng)格線的交點，僅用無刻度的直尺在網(wǎng)格中完成下列畫圖，畫圖過程用虛線，結果用實線表示．（1）直接寫出正方形的邊長＝；（2）在圖1中，在線段CD上找點F使得CF＝AE；（3）在圖1中，在線段AD上找點Q使得AQ＝AE；（4）在圖2中，在BC邊上畫點H，連接DH，MH，使得∠ADH＝∠DHM．【解答】（1）解：由網(wǎng)格可得：．故答案為：；（2）解：連接AC，BD交于點O，連接EO并延長交CD于點F，如圖，∵ABCD是正方形，∴點O是正方形的中心，∴OA＝OC，OE＝OF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（SAS），∵AE＝CF，∴點F即為所求的點；（3）解：連接ED交AC于點T，連接BT并延長交AD于點Q，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，AB＝AD，∴BT＝DT，∠ABD＝∠ADB，∴∠TBD＝∠TDB，∴∠EBT＝∠QDT，在△ETB和△QTD中，，∴△ETB≌△QTD（ASA），∴EB＝QD，∴AQ＝AE，∴點Q即為所求；（4）解：將△ADM逆時針旋轉90°，得到△CDN，取格點G，連接DG并延長交BC于H，連接HM，如圖，由旋轉性質可知：DN＝DM，由網(wǎng)格可知，DH平分∠MDN，∴∠MDH＝∠NDH＝45°，在△MDH和△NDH中，，∴△MDH≌△NDH（SAS），∴∠MHD＝∠NHD，∵ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠ADH＝∠NHD，∴∠ADH＝∠DHM，∴點H即為所求．21．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，過點A作AE∥BC，且AE＝BD，連接BE，交AD于點F，連接CE．（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）若CE＝6，求AF的長．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ADC＝90°，∵AE＝BD，∴AE＝CD，∵AE∥BC，∴四邊形ADCE是平行四邊形，又∵∠ADC＝90°，∴四邊形ADCE為矩形；（2）解：由（1）得：四邊形ADCE為矩形，∴AD＝CE＝6，∵AE∥BC，∴∠AEF＝∠DBF，在△AEF和△DBF中，，∴△AEF≌△DBF（AAS），∴AF＝DF＝AD＝3．22．（10分）2023年7月五號臺風“杜蘇芮”登陸，使我國很多地區(qū)受到嚴重影響．據(jù)報道，這是今年以來對我國影響最大的臺風，風力影響半徑250km（即以臺風中心為圓心，250km為半徑的圓形區(qū)域都會受臺風影響）．如圖，線段BC是臺風中心從C市移動到B市的大致路線，A是某個大型農(nóng)場，且AB⊥AC．若A，C之間相距300km，A，B之間相距400km．（1）判斷農(nóng)場A是否會受到臺風的影響，請說明理由；（2）若臺風中心的移動速度為20km/h，則臺風影響該農(nóng)場持續(xù)時間有多長？【解答】解：（1）農(nóng)場A會受到臺風的影響，理由如下：過A作AH⊥BC于H，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝500（km），∵△ABC的面積＝BC?AH＝AB?AC，∴500AH＝300×400，∴AH＝240（km），∵AH＜250km，∴農(nóng)場A會受到臺風的影響；（2）如圖，臺風從點M開始影響該農(nóng)場，到點N以后結束影響，連接AN，AM，∴AM＝AN＝250km，∵AM＝AN，AH⊥BC，∴MH＝NH，由勾股定理得：MH＝NH＝＝70（km），∴MN＝2×70＝140（km），∵臺風中心的移動速度為20km/h，∴臺風影響該農(nóng)場持續(xù)時間是140÷20＝7（小時）．23．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點P是射線BD上一動點，以AP為邊向右側作等邊△APE，連接CE．（1）如圖1，當點E在邊AD上時，填空：①BP與CE的數(shù)量關系是BP＝CE，②CE與AD的位置關系是CE⊥AD；（2）如圖2，當點E在菱形ABCD外部時，（1）中的結論是否仍成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由．（3）如圖3，在點P的移動過程中，連接AC，DE，若，PD＝1，請直接寫出四邊形ACDE的面積．【解答】解：（1）①如圖1，連接AC，在菱形ABCD中，AB＝CB，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵四邊形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，∵△PAE是等邊三角形，且點E在邊AD上，∴AP＝AE，∠DAP＝60°，∴∠BAP＝∠BAD﹣∠DAP＝60°＝∠BAC，∴點P在AC上，在△ABP和△ACE中，，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP＝CE，故答案為：BP＝CE；②由①知，點P在AC上，∵BD，AC是菱形ABCD的對角線，∴AC⊥BD，∴∠APB＝90°，由①知，△ABP≌△ACE，∴∠AEC＝∠APB＝90°，∴CE⊥AD，故答案為：CE⊥AD；（2）當點E在菱形ABCD外部時，（1）中的結論仍成立，理由如下：①當點P在線段BD上時，如圖2，連接AC交BD于O，設CE交AD于H．∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵△APE是等邊三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE，在△BAP和△CAE中，，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE，∠PBA＝∠ACE＝30°，∵∠CAH＝60°，∴∠CAH+∠ACH＝90°，∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD．②當點P在BD的延長線上時，如圖3，連接AC交BD于O，設CE交AD于H．∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵△APE是等邊三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE．在△BAP和△CAE中，，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，∵∠CAH＝60°，∴∠CAH+∠ACH＝90°，∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD．（3）由（2）知，BD⊥AC，∴∠AOB＝90°，∵BD是菱形ABCD的對角線，∴BD＝2OB，，在Rt△AOB中，，∴OA＝AB＝×2＝，OB＝＝＝3，∴BD＝