2023-2024學年北京高二（上）段考數(shù)學試卷（10月份）

2023-2024學年北京高二（上）段考數(shù)學試卷（10月份）一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1．（4分）在空間直角坐標系Oxyz中，點A（2，3，4）關(guān)于原點的對稱點坐標為（）A．（2，3，﹣4） B．（﹣2，3，﹣4） C．（﹣2，﹣3，﹣4） D．（2，﹣3，﹣4）2．（4分）設(shè)A是空間一定點，為空間內(nèi)任一非零向量，滿足條件＝0的點M構(gòu)成的圖形是（）A．圓 B．線段 C．直線 D．平面3．（4分）已知空間向量++＝，||＝2，||＝3，||＝4，則cos＜，＞＝（）A． B． C．﹣ D．4．（4分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，已知＝，＝，＝，＝，則＝（）A．﹣+ B．++ C．﹣﹣+ D．﹣﹣+5．（4分）若直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則可能使l∥α的是（）A．＝（1，0，0），＝（﹣2，0，0） B．＝（1，3，5），＝（1，0，1） C．＝（0，2，1），＝（﹣1，0，﹣1） D．＝（1，﹣1，3），＝（0，3，1）6．（4分）已知向量＝（1，x，﹣2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），若，，共面，則x等于（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或07．（4分）在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．（4分）設(shè)向量＝（1，λ，2），＝（2，﹣1，2），若cos＜，＞＝，則實數(shù)λ的值為（）A．2 B．﹣2 C．﹣2或 D．2或9．（4分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，P為側(cè)面ABB1A1內(nèi)動點，且滿足|PD1|＝，則△PBC的面積的最小值為（）A．1 B． C．2 D．2﹣10．（4分）如圖，棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，BB1的中點，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．直線FC1與直線AE的距離為 B．直線FC1與平面AB1E的距離為 C．直線FC1與底面ABCD所成的角為30° D．平面AB1E與底面ABCD夾角的余弦值為二、填空題（本題共5小題，每小題4分，共20分．）11．（4分）設(shè)直線l的方向向量為，平面α的一個法向量為，若直線l⊥平面α，則實數(shù)z的值為．12．（4分）已知平行四邊形ABCD中，A（4，1，3）、B（2，﹣5，1）、C（3，7，﹣5），則頂點D的坐標為．13．（4分）已知空間三點O（0，0，0），A（﹣1，1，0），B（0，1，1），若直線OA上的一點H滿足BH⊥OA，則點H的坐標為．14．（4分）如圖，在一個120°的二面角的棱上有兩點A，B，線段AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都與棱AB垂直，若AB＝，AC＝1，BD＝2，則CD的長為．15．（4分）如圖，四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD．SA＝AB，O，P分別是AC，SC的中點，M是棱SD上的動點，下列結(jié)論中正確的序號是．①OM⊥AP②存在點M，使OM∥平面SBC③存在點M，使直線OM與AB所成的角為30°④點M到平面ABCD與平面SAB的距離和為定值三、解答題（本題共4小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）16．（10分）如圖，在底面ABCD為菱形的平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別在棱AA1，CC1上，且A1M＝AA1，CN＝CC1，且∠A1AD＝∠A1AB＝∠DAB＝60°．（Ⅰ）用向量，，表示向量；（Ⅱ）求證：D，M，B1，N共面；（Ⅲ）當為何值時，AC1⊥A1B．17．（10分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1為正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分別為A1B1，AC的中點．（1）求證：MN∥平面BCC1B1；（2）從條件①：AB⊥MN，條件②：BM＝MN中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．18．（10分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA＝60°，AP＝AC＝AD＝2，E為CD的中點，M在AB上，且＝2．（Ⅰ）求證：EM∥平面PAD；（Ⅱ）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值；（Ⅲ）點F是線段PD上異于兩端點的任意一點，若滿足異面直線EF與AC所成角45°，求AF的長．19．（10分）如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∠BAD＝90°．AD∥BC．且A1A＝AB＝AD＝2BC＝2，點E在棱AB上，平面A1EC與棱C1D1相交于點F．（Ⅰ）證明：A1F∥平面B1CE；（Ⅱ）棱AB上是否存在點E，使二面角A1﹣EC﹣D的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．（Ⅲ）求三棱錐B1﹣A1EF的體積的最大值．

參考答案與試題解析一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1．【分析】在空間直角坐標系Oxyz中，點（a，b，c）關(guān)于原點的對稱點坐標為（﹣a，﹣b，﹣c）．【解答】解：在空間直角坐標系Oxyz中，點A（2，3，4）關(guān)于原點的對稱點坐標為（﹣2，﹣3，﹣4）．故選：C．【點評】本題考查點的坐標的求法，考查空間直角坐標系的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．【分析】由＝0得⊥或＝，則可判斷M點在過A且以為法向量的平面上．【解答】解：由＝0，得⊥或＝，∴M點在過A且以為法向量的平面上．故選：D．【點評】本題考查空間向量的數(shù)量積運算，考查平面的法向量，屬中檔題．3．【分析】設(shè)＝，，，則△ABC中，||＝2，||＝3，||＝4，cos＜，＞＝﹣cos∠ABC，利用余弦定理能求出結(jié)果．【解答】解：空間向量++＝，||＝2，||＝3，||＝4，如圖，設(shè)＝，，，則△ABC中，||＝2，||＝3，||＝4，∴cos＜，＞＝﹣cos∠ABC＝﹣＝﹣＝．故選：D．【點評】本題考查向量夾角的余弦值的求法，考查余弦定理、構(gòu)造法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．4．【分析】利用空間向量加法法則求解．【解答】解：因為在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，＝，＝，＝，＝，所以＝（+）＝﹣+（+）＝﹣++＝﹣+（﹣）+（﹣）＝﹣++＝﹣+．故選：A．【點評】本題考查空間向量的基本定理，注意空間向量加法法則的合理運用，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】根據(jù)l∥α時，?＝0，分別判斷A、B、C、D是否滿足條件即可．【解答】解：若l∥α，則?＝0，而A中?＝﹣2，不滿足條件；B中?＝1+5＝6，不滿足條件；C中?＝﹣1，不滿足條件；D中?＝﹣3+3＝0，滿足條件．故選：D．【點評】本題考查了向量語言表述線面的垂直和平行關(guān)系的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．6．【分析】由，，共面，設(shè)＝，列出方程組，能求出x．【解答】解：∵向量＝（1，x，﹣2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），，，共面，∴設(shè)＝，即（1，x，﹣2）＝（0，m，2m）+（n，0，0）＝（n，m，2m），∴，解得．∴x＝﹣1．故選：A．【點評】本題考查實數(shù)值求法，考查共面向量的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．【分析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AD1與DB1所成角的余弦值．【解答】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，∵在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，∴A（1，0，0），D1（0，0，），D（0，0，0），B1（1，1，），＝（﹣1，0，），＝（1，1，），設(shè)異面直線AD1與DB1所成角為θ，則cosθ＝＝＝，∴異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為．故選：C．【點評】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．8．【分析】利用空間向量的夾角余弦公式能求出結(jié)果．【解答】解：∵向量＝（1，λ，2），＝（2，﹣1，2），cos＜，＞＝，∴cos＜＞＝＝＝，解得λ＝﹣2或λ＝．故選：C．【點評】本題考查實數(shù)值的求法，考查空間向量的夾角余弦公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．9．【分析】以點D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標，得到點D1的坐標，設(shè)P（2，y，z），由|PD1|＝可得y2+（z﹣2）2＝2，所以點P的軌跡是在側(cè)面ABB1A1內(nèi)，以點A1（2，0，2）為圓心，半徑為的圓的一部分圓弧，從而求出|BP|的最小值，得到△PBC的面積的最小值．【解答】解：以點D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標，如圖所示，則D1（0，0，2），設(shè)P（2，y，z），∵|PD1|＝，∴，整理得：y2+（z﹣2）2＝2，所以點P的軌跡是在側(cè)面ABB1A1內(nèi)，以點A1（2，0，2）為圓心，半徑為的圓的一部分圓弧，所以|BP|min＝|BA1|﹣＝2﹣＝，∴△PBC的面積的最小值為＝＝，故選：B．【點評】本題主要考查了建立空間直角坐標，利用空間中兩點間距離公式找到點P的軌跡，是中檔題．10．【分析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法分別求出直線FC1與直線AE的距離、直線FC1與平面AB1E的距離，直線FC1與底面ABCD所成的角、平面AB1E與底面ABCD夾角的余弦值、由此能求出結(jié)果．【解答】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，對于A，＝（﹣1，0，），＝（﹣1，0，），＝（﹣1，﹣1，0），所以直線FC1與直線AE的距離為：d＝||?＝?＝，故A正確；對于B，因為FC1∥AE，AE?平面AB1E，F(xiàn)C1?平面AB1E，所以FC1∥平面AB1E，又因為＝（0，1，），平面AB1E的法向量＝（1，﹣2，2），所以直線FC1與平面AB1E的距離為：h＝＝＝，故B正確．對于C，F(xiàn)（1，1，），C1（0，1，1），＝（﹣1，0，），所以平面ABCD的法向量＝（0，0，1），設(shè)直線FC1與底面ABCD所成的角為θ，則sinθ＝＝＝，所以直線FC1與底面ABCD所成的角為arcsin，故C錯誤；對于D，A（1，0，0），B1（1，1，1），E（0，0，），＝（0，1，1），＝（﹣1，0，），設(shè)平面AB1E的法向量＝（x，y，z），則，取z＝2，得＝（1，﹣2，2），設(shè)平面AB1E與底面ABCD夾角為α，則cosα＝＝，所以平面AB1E與底面ABCD夾角的余弦值為，故D正確．故選：C．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬中檔題．二、填空題（本題共5小題，每小題4分，共20分．）11．【分析】由題意可知∥，代入坐標計算即可．【解答】解：因為直線l⊥平面α，所以∥，所以，解得z＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題考查向量在判斷直線與平面的位置關(guān)系中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】設(shè)D（x，y，z），令，列方程組解出D點坐標．【解答】解：設(shè)D（x，y，z），則＝（﹣2，﹣6，﹣2），＝（3﹣x，7﹣y，﹣5﹣z）．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴．∴，解得．∴D（5，13，﹣3）．故答案為：（5，13，﹣3）．【點評】本題考查了向量的坐標運算，向量的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】根據(jù)已知中空間三點O（0，0，0），A（﹣1，1，0），B（0，1，1），根據(jù)點H在直線OA上，我們可以設(shè)出H點的坐標（含參數(shù)λ），進而根據(jù)BH⊥OA即⊥，根據(jù)向量垂直數(shù)量積為0，構(gòu)造關(guān)于λ的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：設(shè)H點的坐標為（x，y，z）則∵O（0，0，0），A（﹣1，1，0），B（0，1，1），∴＝（﹣1，1，0），＝（x，y，z），∵點H在直線OA上，則∥，即存在λ∈[0，1]，使＝λ即（x，y，z）＝λ（﹣1，1，0）＝（﹣λ，λ，0）∴＝（﹣λ，λ﹣1，﹣1），又∵BH⊥OA，即?＝0即λ+λ﹣1＝0，解得λ＝∴點H的坐標為（﹣，，0）故答案為：（﹣，，0）．【點評】本題考查的知識點是向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直，利用向量法，可以簡化空間線面、線線、面面夾角、垂直、平行問題，是我們處理立體幾何線面關(guān)系問題最常用的方法．14．【分析】由，兩邊平方后展開整理，即可求得，則CD的長可求．【解答】解：∵，∴+2+2+2，∵線段AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且均與棱AB垂直，AB＝，AC＝1，BD＝2，∴+2＝1+2+4﹣2×1×2×（）＝9，即，得＝3，故答案為：3．【點評】本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的運算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．15．【分析】以A為坐標原點，AB，AD，AS所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法判斷ACD，根據(jù)線面平行的判定定理判斷【解答】解：四棱錐中，底面ABCD．是正方形，SA⊥平面ABCD，SA＝AB，O，P分別是AC，SC的中點，M是棱SD上的動點，以A為坐標原點，AB，AD，AS所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖，設(shè)SA＝AB＝2，則A（0，0，0），C（2，2，0），B（2，0，0），D（0，2，0），S（0，0，2），O（1，1，0），由M是棱SD上的動點，設(shè)M（0，λ，2﹣λ），（0≤λ≤2），∵＝（1，1，1），＝（﹣1，λ﹣1，2﹣λ），∴?＝﹣1+λ﹣1+2﹣λ＝0，∴OM⊥AP，故①正確；當M為SD中點時，OM是△SBD的中位線，∴OM∥SB，∵OM?平面SBC，SB?平面SBC，∴OM∥平面SBC，故②正確；＝（2，0，0），＝（﹣1，λ﹣1，2﹣λ），若存在點M，使直線OM與AB所成的角為30°，則cos30°＝＝＝，化簡，得3λ2﹣9λ+7＝0，無解，故③錯誤；點M到平面ABCD的距離d1＝2﹣λ，點M到平面SAB的距離：d2＝＝＝λ，∴點M到平面ABCD與平面SAB的距離和為：d1+d2＝2﹣λ+λ＝2，是定值，故④正確．故答案為：①②④．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．三、解答題（本題共4小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）16．【分析】（Ⅰ）利用空間向量的線性運算求解即可．（Ⅱ）利用空間向量的線性運算求出＝即可證明．（Ⅲ）利用空間向量的線性運算和垂直求出?＝0即可．【解答】解：（Ⅰ）＝+++＝﹣+++＝+﹣．證明：（Ⅱ）∵＝﹣＝﹣，＝﹣＝﹣，∴＝，∴D，M，B1，N共面．解：（Ⅲ）當＝1，AC1⊥A1B，證明：設(shè)＝，＝，＝，∵底面ABCD為菱形，則當＝1時，||＝||＝||，∵＝++＝++，＝﹣＝﹣，∠A1AD＝∠A1AB＝∠DAB＝60°，∴?＝（++）?（﹣）＝+?﹣?﹣＝0，∴AC1⊥A1B．【點評】本題考查空間向量的線性運算和垂直，四點共面的證明，考查運算求解能力，是中檔題．17．【分析】（1）取AB的中點為K，連接MK，NK，易得MK∥BB1，由線面平行的判定證MK∥平面BCC1B1、NK∥平面BCC1B1，再由面面平行的判定和性質(zhì)證結(jié)論；（2）根據(jù)所選條件證BC，BA，BB1兩兩垂直，構(gòu)建空間直角坐標系，向量法求線面角的正弦值即可．【解答】（1）證明：取AB的中點為K，連接MK，NK，由三棱柱ABC﹣A1B1C1得：四邊形ABB1A1為平行四邊形，∵M是B1A1中點，則MK∥BB1，又MK?平面BCC1B1，BB1?平面BCC1B1，故MK∥平面BCC1B1，同理得NK∥平面BCC1B1，又NK∩MK＝K，NK?平面MKN，MK?平面MKN，故平面MKN∥平面BCC1B1，MN?平面MKN，故MN∥平面BCC1B1；（2）∵側(cè)面BCC1B1為正方形，故CB⊥BB1，而CB?平面BCC1B1，平面CBB1C1⊥平面ABB1A1，又平面CBB1C1∩平面ABB1A1＝BB1，故CB⊥平面ABB1A1，AB?平面ABB1A1，∴CB⊥AB，又NK∥BC，∴NK⊥AB，若選①：AB⊥MN，已證NK⊥AB，又NK∩MN＝N，NK?平面MNK，MN?平面MNK，故AB⊥平面MNK，MK?平面MNK，故AB⊥MK，又MK∥BB1，∴AB⊥BB1，∴BC，BA，BB1兩兩垂直．故可建立如圖所示的空間直角坐標系B﹣xyz，則B（0，0，0），A（0，2，0），N（1，1，0），M（0，1，2），故，，，設(shè)平面BNM的法向量為，則，取z＝1，則，設(shè)直線AB與平面BNM所成的角為θ，則．若選②：BM＝MN，已證CB⊥平面ABB1A1，又NK∥BC，故NK⊥平面ABB1A1，而KM?平面ABB1A1，故NK⊥KM，又BM＝MN，，，AB＝BC＝2，故△MKB?MKN，∴∠MKB＝∠MKN＝90°，∴MK⊥AB，又MK∥BB1，∴AB⊥BB1，∴BC，BA，BB1兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標系B﹣xyz，則B（0，0，0），A（0，2，0），N（1，1，0），M（0，1，2），故，，，設(shè)平面BNM的法向量為，則，取z＝1，則，設(shè)直線AB與平面BNM所成的角為θ，則．【點評】本題主要考查直線與平面平行的證明，直線與平面所成角的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題．18．【分析】（Ⅰ）以A為原點，AD為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立如圖的空間直角坐標系，利用向量法能證明EM∥平面PAD．（Ⅱ）求出平面PBC的法向量和平面PAD的法向量，利用向量法能求出平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值．（Ⅲ）令，，求出，由此利用向量法能求出AF的長．【解答】證明：（Ⅰ）以A為原點，AD為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立如圖的空間直角坐標系，A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，2，0），E（1，1，0），，P（0，0，2），…（2分）設(shè)M（x，y，z），∵，∴，∴，∴，∴，…（3分）∴，平面PAD的法向量…（4分）∴，∴，又∵EM?平面PAD，∴EM∥平面PAD，…（5分）解：（Ⅱ）設(shè)平面PBC的法向量，∵，，即，令x＝﹣1，∴∴，…（7分）平面PAD的法向量，設(shè)二面角所成的銳二面角為θ，∴，平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為．…（9分）（Ⅲ）令，，∴F（2λ，0，2﹣2λ）…（10分），∴…（11分）∴4λ2﹣6λ+2＝0，∴或λ＝1（舍）∴F（1，0，1），∴．…（13分）【點評】本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．19．【分析】（Ⅰ）利用棱柱的性質(zhì)以