高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.3.3最大值與最小值省公開課一等獎(jiǎng)新名師獲獎(jiǎng)?wù)n件

3.3.3最大值與最小值第三章§3.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中應(yīng)用1/331.了解函數(shù)最值概念，了解其與函數(shù)極值區(qū)分與聯(lián)絡(luò).2.會(huì)求某閉區(qū)間上函數(shù)最值．學(xué)習(xí)目標(biāo)2/33欄目索引知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)題型探究重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測(cè)自查自糾3/33知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上最值函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上圖象是一條連續(xù)不停曲線，則該函數(shù)在[a，b]上一定能夠取得最大值與最小值，函數(shù)最值必在

處或

處取得．知識(shí)點(diǎn)二求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上最值步驟(1)求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)

．(2)將函數(shù)y＝f(x)各極值與

函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大一個(gè)是

，最小一個(gè)是

．答案端點(diǎn)極值點(diǎn)極值端點(diǎn)處最大值最小值4/33知識(shí)點(diǎn)三最值與極值區(qū)分與聯(lián)絡(luò)(1)極值是對(duì)某一點(diǎn)附近(即局部)而言，最值是對(duì)函數(shù)定義區(qū)間整體而言．(2)在函數(shù)定義區(qū)間內(nèi)，極大(小)值可能有多個(gè)，但最大(小)值只有一個(gè)(或者沒有)．(3)函數(shù)f(x)極值點(diǎn)為定義域中內(nèi)點(diǎn)，而最值點(diǎn)能夠是區(qū)間端點(diǎn)．(4)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)最大(小)值必在極大(小)值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)取得．如圖是y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上函數(shù)圖象．顯然f(x1)，f(x3)，f(x5)為極大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)為極小值．最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分別在x＝x3及x＝b處取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4處取得．返回5/33題型探究重點(diǎn)突破解析答案題型一求函數(shù)在閉區(qū)間上最值例1

求以下各函數(shù)最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；解f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．當(dāng)x改變時(shí)，f′(x)，f(x)改變情況以下表令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.x－2(－2,0)0(0,2)2(2,4)4f′(x)

＋0－0＋

f(x)－37↗極大值3↘極小值－5↗35∴當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)取最大值35.即f(x)最大值為35，最小值為－37.當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)取最小值－37.6/33解析答案反思與感悟(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．解f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]內(nèi)恒大于0，∴f′(x)在[－1,1]上為增函數(shù)．故x＝－1時(shí)，f(x)最小值＝－12；x＝1時(shí)，f(x)最大值＝2.即f(x)最小值為－12，最大值為2.7/33反思與感悟(1)求函數(shù)最值，顯然求極值是關(guān)鍵一步．但僅僅是求最值，可用下面簡(jiǎn)化方法求得．①求出導(dǎo)數(shù)為零點(diǎn)．②比較這些點(diǎn)與端點(diǎn)處函數(shù)值大小，就可求出函數(shù)最大值和最小值．(2)若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)且單調(diào)，則最大、最小值在端點(diǎn)處取得．8/33解析答案跟蹤訓(xùn)練1求以下函數(shù)最值：當(dāng)x改變時(shí)，f′(x)，f(x)改變情況以下表：所以當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)有最小值f(0)＝0；即f(x)最小值為0，最大值為π.當(dāng)x＝2π時(shí)，f(x)有最大值f(2π)＝π.9/33解析答案(2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a為正實(shí)數(shù)．當(dāng)x∈[0，a]時(shí)，f′(x)＜0恒成立，即f(x)在[0，a]上是減函數(shù)．故當(dāng)x＝a時(shí)，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.即f(x)最小值為e－a－ea，最大值為0.10/33解析答案題型二含參數(shù)函數(shù)最值問題例2

已知函數(shù)f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)單調(diào)遞減區(qū)間；解f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)．令f′(x)＜0，得x＜－1或x＞3，故函數(shù)f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，(3，＋∞)．11/33解析答案(2)若f(x)在區(qū)間[－2,2]上最大值為20，求它在該區(qū)間上最小值．解因?yàn)閒(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)＞f(－2)，因?yàn)樵?－1,3)上f′(x)＞0，所以f(x)在[－1,2]上單調(diào)遞增，所以f(－1)是f(x)極小值，且f(－1)＝a－5，所以f(2)和f(－1)分別是f(x)在區(qū)間[－2,2]上最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2.所以f(－1)＝－2－5＝－7，即函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,2]上最小值為－7.反思與感悟12/33反思與感悟函數(shù)最值與極值及單調(diào)性親密相關(guān)，因而在求解函數(shù)最值問題時(shí)，普通都要判斷函數(shù)單調(diào)性與極值點(diǎn)．導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)與極值有力工具．13/33解析答案跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上有最大值3，最小值－29，求a，b值．14/33解析答案解由題意，知a≠0.所以令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4(舍去)．若a＞0，當(dāng)x改變時(shí)，f′(x)，f(x)改變情況以下表：x[－1,0)0(0,2]f′(x)＋0－f(x)單調(diào)遞增↗極大值單調(diào)遞減↘

由上表，知當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3，又因?yàn)閒(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，故f(－1)＞f(2)，所以當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，解得a＝2.因?yàn)閒′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，x∈[－1,2]，15/33若a＜0，當(dāng)x改變時(shí)，f′(x)，f(x)改變情況以下表：x[－1,0)0(0,2]f′(x)－0＋f(x)單調(diào)遞減↘

極小值單調(diào)遞增↗所以當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得最小值，所以f(0)＝b＝－29.又因?yàn)閒(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，故f(2)＞f(－1)．所以當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得最大值，即－16a－29＝3，解得a＝－2.16/33解析答案題型三函數(shù)最值應(yīng)用例3設(shè)函數(shù)f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．(1)求f(x)最小值h(t)；解∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，∴當(dāng)x＝－t時(shí)，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.17/33解析答案(2)若h(t)＜－2t＋m對(duì)t∈(0,2)恒成立，求實(shí)數(shù)m取值范圍．解令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合題意，舍去)．當(dāng)t改變時(shí)g′(t)、g(t)改變情況以下表：t(0,1)1(1,2)g′(t)＋0－g(t)單調(diào)遞增1－m單調(diào)遞減∴對(duì)t∈(0,2)，當(dāng)t＝1時(shí)，g(t)max＝1－m，h(t)<－2t－m對(duì)t∈(0,2)恒成立，也就是g(t)<0對(duì)t∈(0,2)恒成立，反思與感悟只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.故實(shí)數(shù)m取值范圍是(1，＋∞)．18/33反思與感悟(1)“恒成立”問題向最值問題轉(zhuǎn)化是一個(gè)常見題型，普通地，可采取分離參數(shù)法進(jìn)行轉(zhuǎn)化．λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min.對(duì)于不能分離參數(shù)恒成立問題，直接求含參函數(shù)最值即可．(2)這類問題尤其要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等號(hào)”情況，以此來確定參數(shù)范圍能否取得“＝”．19/33解析答案跟蹤訓(xùn)練3

已知函數(shù)f(x)＝ax4lnx＋bx4－c(x＞0)在x＝1處取得極值－3－c，其中a，b，c為常數(shù)，若對(duì)任意x＞0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c取值范圍．20/33解析答案解由題意，知f(1)＝－3－c.所以b－c＝－3－c，從而b＝－3.所以對(duì)f(x)求導(dǎo)，得＝x3(4alnx＋a－12)．由題意，知f′(1)＝0，即a－12＝0，得a＝12.所以f′(x)＝48x3lnx(x＞0)，令f′(x)＝0，得x＝1.當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0，此時(shí)f(x)為減函數(shù)；21/33當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)＞0，此時(shí)f(x)為增函數(shù)．所以f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝－3－c，而且此極小值也是最小值．所以要使f(x)≥－2c2(x＞0)恒成立，只需－3－c≥－2c2即可．22/33解析答案返回解后反思思想方法分類討論思想應(yīng)用23/33解析答案解后反思分析

(1)求出g(x)表示式是解題關(guān)鍵；(2)結(jié)構(gòu)輔助函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性求解；(3)顯然g(x)最值決定了參數(shù)a取值范圍．當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)＜0，故g(x)單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞)．所以，x＝1是g(x)唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以g(x)最小值為g(1)＝1.當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)＞0，24/33解析答案解后反思當(dāng)x∈(0,1)∪(1，＋∞)時(shí)，h′(x)＜0，h′(1)＝0，所以，h(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減．25/33解后反思(3)由(1)，知g(x)最小值為1.解得0＜a＜e.26/33返回解后反思27/33當(dāng)堂檢測(cè)12345解析答案1.函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上最大值和最小值分別是______.解析∵f′(x)＝－2x＋4，∴當(dāng)x∈[3,5]時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在[3,5]上單調(diào)遞減，故f(x)最大值和最小值分別是10,2.10,228/33解析答案123452.函數(shù)f(x)＝x3－3x(|x|<1)________.①有最大值，但無(wú)最小值

②有最大值，也有最小值③無(wú)最大值，但有最小值

④既無(wú)最大值，也無(wú)最小值解析f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是單調(diào)遞減函數(shù)，無(wú)最大值和最小值，故④正確.④29/3312345解析答案解析因?yàn)閥′＝1－cosx，所以y最大值為ymax＝π－sinπ＝π.π30/33解析答案123454.函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋k在區(qū)間[－4,4]上最大值為10，則其最小值為________.解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x