高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象課件省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)新名師獲獎(jiǎng)?wù)n件

1.4.3正切函數(shù)性質(zhì)與圖象1/51【知識(shí)提煉】函數(shù)y=tanx圖象和性質(zhì)解析式y(tǒng)=tanx圖象定義域___________________________值域__R2/51解析式y(tǒng)=tanx周期___奇偶性_______單調(diào)性在開(kāi)區(qū)間___________________上都是增函數(shù)π奇函數(shù)3/51【即時(shí)小測(cè)】1.判斷(1)正切函數(shù)定義域和值域都是R.(

)(2)正切函數(shù)在整個(gè)定義域上是增函數(shù).(

)(3)正切函數(shù)在定義域內(nèi)無(wú)最大值和最小值.(

)(4)正切函數(shù)圖象既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形.(

)4/51【解析】(1)錯(cuò)誤.正切函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≠kπ+，k∈Z}，值域?yàn)镽.(2)錯(cuò)誤.正切函數(shù)在(kπ-，kπ+)，k∈Z是增函數(shù)，在整個(gè)定義域上不含有單調(diào)性.(3)正確.正切函數(shù)在定義域內(nèi)值域?yàn)镽，無(wú)最大值、最小值.(4)錯(cuò)誤.正切函數(shù)圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形，但不是軸對(duì)稱(chēng)圖形.答案：(1)×(2)×(3)√(4)×5/512.函數(shù)y=tan(x-)定義域?yàn)開(kāi)_____.【解析】函數(shù)自變量x應(yīng)滿(mǎn)足x-≠kπ+，k∈Z.即x≠kπ+，k∈Z.所以，函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≠kπ+，k∈Z}.答案：{x|x≠kπ+，k∈Z}6/513.函數(shù)y=tan(x-3)周期為_(kāi)______.【解析】因?yàn)閒(x)=tan(x-3)=tan(x-3+π)=tan[(x+4)-3]=f(x+4).所以函數(shù)周期為4.答案：47/514.函數(shù)y=tanx，x∈[]值域?yàn)開(kāi)_____.【解析】因?yàn)閥=tanx在[]上是增函數(shù)，且tan(-)=-1，tan=所以函數(shù)值域?yàn)椋?1，

］.答案：［-1，

］8/515.比較大?。簍an167°_____tan173°(填“>”或“<”).【解析】因?yàn)?0°<167°<173°<180°，且y=tanx在(，π)上是增函數(shù).所以tan167°<tan173°.答案：<9/51【知識(shí)探究】知識(shí)點(diǎn)1

正切函數(shù)性質(zhì)觀察如圖所表示內(nèi)容，回答以下問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：正切函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)嗎？是周期函數(shù)嗎？問(wèn)題2：正切函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)？10/51【總結(jié)提升】1.正切函數(shù)單調(diào)性三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)正切函數(shù)在定義域上不含有單調(diào)性.(2)正切函數(shù)無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間，有沒(méi)有數(shù)個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，在(

),()，…上都是增函數(shù).(3)正切函數(shù)每個(gè)單調(diào)區(qū)間均為開(kāi)區(qū)間，不能寫(xiě)成閉區(qū)間，也不能說(shuō)正切函數(shù)在()∪()∪…上是增函數(shù).11/512.確定正切函數(shù)奇偶性步驟(1)確定定義域{x|x≠kπ+，k∈Z}關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).(2)由誘導(dǎo)公式：tan(-x)=-tanx，知正切函數(shù)是奇函數(shù).3.函數(shù)y=Atan(ωx+φ)+k(ω≠0)周期計(jì)算公式普通地，函數(shù)y=Atan(ωx+φ)+k(ω≠0)最小正周期12/51知識(shí)點(diǎn)2正切函數(shù)圖象觀察圖形，回答以下問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：畫(huà)正切曲線關(guān)鍵點(diǎn)和關(guān)鍵線分別是什么？問(wèn)題2：正切曲線是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？是中心對(duì)稱(chēng)圖形嗎？13/51【總結(jié)提升】1.正切函數(shù)圖象兩種作法(1)幾何法：利用單位圓中正切線作圖，該方法較為準(zhǔn)確，但畫(huà)圖時(shí)較煩瑣.(2)三點(diǎn)兩線法：“三點(diǎn)”是指(-，-1)，(0，0)，(，1)，“兩線”是指x=-和x=，大致畫(huà)出正切函數(shù)在(-，)上簡(jiǎn)圖后向左、向右擴(kuò)展即得正切曲線.14/512.正切函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性(1)對(duì)稱(chēng)性：正切函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)中心是(，0)(k∈Z)，不存在對(duì)稱(chēng)軸.(2)漸近線：直線x=kπ+(k∈Z)稱(chēng)為正切曲線漸近線，漸近線把正切曲線分成無(wú)數(shù)個(gè)不連續(xù)部分.正切曲線在漸近線右側(cè)向下無(wú)限靠近漸近線，在漸近線左側(cè)向上無(wú)限靠近漸近線.15/51【題型探究】類(lèi)型一正切函數(shù)定義域問(wèn)題【典例】(·益陽(yáng)高一檢測(cè))若f(x)=，求函數(shù)定義域?yàn)?【解題探究】本例中解三角不等式tanx≥m基本方法是什么？提醒：數(shù)形結(jié)合，求y=tanx圖象在y=m上方點(diǎn)橫坐標(biāo)取值范圍.16/51【解析】由tanx-≥0，得tanx≥，利用圖象知，所求定義域?yàn)閇kπ+，kπ+)(k∈Z).答案：[kπ+，kπ+)，k∈Z17/51【延伸探究】1.(變換條件、改變問(wèn)法)將本例函數(shù)改為f(x)=tan(2x+)，求與此函數(shù)圖象不相交與x軸垂直直線方程.【解析】由得

，k∈Z，所以所求直線方程為x=，k∈Z.18/512.(變換條件)將本例函數(shù)改為“”，其定義域又是什么？【解析】依據(jù)題意，得解得所以函數(shù)定義域?yàn)?9/51【方法技巧】求正切函數(shù)定義域方法及求值域注意點(diǎn)(1)求與正切函數(shù)相關(guān)函數(shù)定義域時(shí)，除了求函數(shù)定義域普通要求外，還要確保正切函數(shù)y=tanx有意義即x≠+kπ，k∈Z.而對(duì)于構(gòu)建三角不等式，常利用三角函數(shù)圖象求解.(2)求正切型函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(A≠0，ω>0)定義域時(shí)，要將“ωx+φ”視為一個(gè)“整體”.令ωx+φ≠kπ+，k∈Z，解得x.20/51(3)解形如tanx>a不等式步驟21/51【變式訓(xùn)練】函數(shù)定義域是______.【解析】x應(yīng)滿(mǎn)足所以所以0<x<或π≤x≤4，所以所求定義域?yàn)?0，)∪［π，4］．答案：(0，)∪［π，4］22/51【延伸探究】1.(變換條件)將本題中“tanx”改為“tanx+1”，其它條件不變，結(jié)果又怎樣？【解析】x應(yīng)滿(mǎn)足即所以所以0<x<或≤x≤4.所以所求定義域?yàn)?0，)∪[，4].23/512.(變換條件、改變問(wèn)法)，將本題函數(shù)改為“”試畫(huà)出此函數(shù)在［0，π］上圖象.【解析】由tanx≠0，x∈［0，π］，解得x≠0，且x≠且x≠π.其圖象以下.24/51類(lèi)型二正切函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用【典例】1.(·上海高一檢測(cè))函數(shù)y=tan(-x)單調(diào)遞減區(qū)間是.2.利用正切函數(shù)單調(diào)性比較以下各組中兩個(gè)正切值大小.(1)tan220°與tan200°.(2)tan與25/51【解題探究】1.典例1中y=tan(-x)單調(diào)性與y=tan(x-)單調(diào)性有什么關(guān)系？提醒：y=tan(-x)單調(diào)遞減區(qū)間是y=tan(x-)單調(diào)遞增區(qū)間.2．典例2中，比較兩個(gè)正切值大小，首先要怎樣變形？提醒：先用誘導(dǎo)公式將兩個(gè)角轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上.26/51【解析】1.因?yàn)樗詙=tan(-x)單調(diào)遞減區(qū)間是y=tan(x-)單調(diào)遞增區(qū)間.由kπ-<x-<kπ+，k∈Z得kπ-<x<kπ+，k∈Z，所以函數(shù)y=tan(-x)單調(diào)遞減區(qū)間是(kπ-，kπ+)k∈Z.答案：(kπ-，kπ+)k∈Z27/512.(1)因?yàn)閠an220°=tan(180°+40°)=tan40°，tan200°=tan(180°+20°)=tan20°，且y=tanx在0°＜x＜90°是增函數(shù)，所以tan40°>tan20°，即tan220°>tan200°.28/51(2)因?yàn)閥=tanx在()上單調(diào)遞增，所以即29/51【延伸探究】將本例1中函數(shù)改為，試求此函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間.【解析】由k∈Z得k∈Z.所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為30/51【方法技巧】1.利用正切函數(shù)單調(diào)性比較大小方法(1)利用函數(shù)周期性或誘導(dǎo)公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).(2)利用單調(diào)性比較大小關(guān)系.31/512.求函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(A，ω，φ

都是常數(shù))單調(diào)區(qū)間方法(1)若ω>0，因?yàn)閥=tanx在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上都是增函數(shù)，故可用“整體代換”思想，令kπ-<ωx+φ<kπ+，k∈Z，解得x范圍即可.(2)若ω<0，可利用誘導(dǎo)公式先把y=Atan(ωx+φ)轉(zhuǎn)化為y=Atan［-(-ωx-φ)］=-Atan(-ωx-φ)，即把x系數(shù)化為正值，再利用“整體代換”思想，求得x范圍即可.32/51【變式訓(xùn)練】試用正切函數(shù)單調(diào)性比較tan8和tan()大小.【解題指南】先用誘導(dǎo)公式將已知角絕對(duì)值化小，再用單調(diào)性比較大小.33/51【解析】因?yàn)閠an8=tan(-3π+8)=-tan(3π-8)，tan()=tan(-9π-)=-tan，因?yàn)?π-8-=-8=-1)>0，3π-8-=-8=(5π-16)<0，所以0<<3π-8<.又y=tanx在(0，)上為增函數(shù)，所以tan<tan(3π-8)，故-tan>-tan(3π-8)，即tan8<34/51【賠償訓(xùn)練】tan1，tan2，tan3，tan4從小到大排列次序?yàn)開(kāi)_______.【解析】y=tanx在區(qū)間()上是單調(diào)增函數(shù)，且tan1=tan(π+1)，又<2<3<4<π+1<，所以tan2<tan3<tan4<tan1.答案：tan2<tan3<tan4<tan135/51類(lèi)型三正切函數(shù)奇偶性與周期性應(yīng)用【典例】1.直線y=a(a為常數(shù))與正切曲線y=tanωx(ω為常數(shù)，且ω≠0)相交兩個(gè)相鄰點(diǎn)間距離為()2.(1)求函數(shù)

與函數(shù)f(x)=tanx+|tanx|最小正周期.(2)判斷函數(shù)g(x)=tan2x奇偶性.36/51【解題探究】1.典例1中，兩個(gè)相鄰交點(diǎn)距離有什么意義？提醒：兩個(gè)相鄰交點(diǎn)距離是周期.2.典例2(1)中，求周期方法是什么？(2)中判斷奇偶性步驟是什么？提醒：求y=Atan(ωx+φ)周期可依據(jù)公式其它形式函數(shù)可考慮圖象法.判斷奇偶性首先要求定義域并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若對(duì)稱(chēng)再判斷f(-x)與f(x)關(guān)系，最終依據(jù)奇偶性定義回答.37/51【解析】1.選C.因?yàn)橹本€y=a(a為常數(shù))與正切曲線y=tanωx相交相鄰兩點(diǎn)間距離就是正切函數(shù)周期，又因?yàn)閥=tanωx周期是，所以直線y=a(a為常數(shù))與正切曲線y=tanωx相交相鄰兩點(diǎn)間距離是38/512.(1)函數(shù)最小正周期為T(mén)=；f(x)=tanx+|tanx|=作出f(x)=tanx+|tanx|簡(jiǎn)圖，如圖所表示，易得函數(shù)f(x)=tanx+|tanx|周期T=π.39/51(2)函數(shù)g(x)=tan2x定義域是{x|x≠，k∈Z}，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又g(-x)=tan(-2x)=-tan2x=-g(x)，所以函數(shù)g(x)=tan2x是奇函數(shù).40/51【方法技巧】與正切函數(shù)相關(guān)函數(shù)周期性、奇偶性問(wèn)題處理策略(1)普通地，函數(shù)y=Atan(ωx+φ)最小正周期為T(mén)=，經(jīng)常利用此公式來(lái)求周期.(2)判斷函數(shù)奇偶性要先求函數(shù)定義域，判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).若不對(duì)稱(chēng)，則該函數(shù)無(wú)奇偶性，若對(duì)稱(chēng)，再判斷f(-x)與f(x)關(guān)系.41/51【變式訓(xùn)練】1.(·南昌高一檢測(cè))給出以下四個(gè)函數(shù)①f(x)=5sin(x-)；②f(x)=cos(sinx)；③f(x)=xsin2x；④f(x)=，其中奇函數(shù)個(gè)數(shù)是()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)42/51【解析】選B.①是非奇非偶函數(shù)；②定義域?yàn)镽.f(-x)=cos(sin(-x))=cos(-sinx)=cos(sinx)=f(x)是偶函數(shù)；③定義域?yàn)镽，f(-x)=-xsin2(-x)=-xsin2x=-f(x)，是奇函數(shù)；④定義域由1-tan2x≠0得tanx≠±1，{x|x≠kπ±且x≠kπ+，k∈Z}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)f(-x)==-f(x)是奇函數(shù).43/512.已知函數(shù)f(x)=2tan(kx+)最小正周期T滿(mǎn)足1<T<2，求自然數(shù)k值.【解析】T=，由1<<2得<k<π，而k∈N，所以k=2或3.44/51【賠償訓(xùn)練】判斷以下函數(shù)奇偶性：(1)f(x)=(2)f(x)=【解析】(1)由得f(