線性矩陣不等式市公開課一等獎(jiǎng)省賽課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

基于LMI區(qū)域極點(diǎn)配置理論1/40問題提出準(zhǔn)確極點(diǎn)配置必須以準(zhǔn)確數(shù)學(xué)模型為依據(jù)因?yàn)椴淮_定性及各種擾動(dòng)存在，使得準(zhǔn)確極點(diǎn)配置不可實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確極點(diǎn)配置并非是唯一路徑，將系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)配置在復(fù)平面上一個(gè)適當(dāng)區(qū)域，即可確保系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特征和穩(wěn)態(tài)特征2/403/40主要內(nèi)容LMI區(qū)域描述D-穩(wěn)定性分析含有區(qū)域極點(diǎn)約束狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)含有區(qū)域極點(diǎn)約束輸出反饋控制器設(shè)計(jì)4/40LMI區(qū)域描述定義對(duì)復(fù)平面中區(qū)域D，假如存在一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，使得 則稱D是一個(gè)線性矩陣不等式區(qū)域(簡記為LMI區(qū)域)。矩陣值函數(shù) 稱為LMI區(qū)域D特征函數(shù),特征函數(shù)維Hermite矩陣，表示矩陣是負(fù)定。是復(fù)數(shù)變量。取值是和實(shí)矩陣5/40注意：LMI區(qū)域是凸LMI區(qū)域是關(guān)于復(fù)平面上實(shí)軸對(duì)稱6/40常見LMI區(qū)域左半開復(fù)平面對(duì)應(yīng)特征值函數(shù)7/40對(duì)應(yīng)特征值函數(shù)8/40左半復(fù)平面垂直條形區(qū)域?qū)?yīng)特征值函數(shù)9/40如圖陰影部分所表示：對(duì)應(yīng)特征值函數(shù)10/40由r>0可推出:復(fù)平面上半徑為r，中心在(-q,0)圓盤D(r,q)11/40所以，對(duì)應(yīng)特征值函數(shù)可寫為：12/40

區(qū)域極點(diǎn)配置與動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)之間關(guān)系為使閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能滿足一定要求，考慮復(fù)平面上以下所表示圓盤：阻尼比自然振蕩頻率衰減振蕩頻率調(diào)整時(shí)間閉環(huán)系統(tǒng)特征值13/40D－穩(wěn)定性分析定義

對(duì)復(fù)平面中給定LMI區(qū)域D和實(shí)矩陣假如實(shí)矩陣A全部特征值都位于區(qū)域D中，即，則稱實(shí)矩陣A是D-穩(wěn)定。14/40定理4-1給定LMI區(qū)域其中：，使得則實(shí)矩陣是D-穩(wěn)定充分必要條件是存在一個(gè)對(duì)稱正定實(shí)矩陣15/40證實(shí)：僅證充分性。假定存在對(duì)稱陣X滿足MD(A,X)<0.設(shè)λ是矩陣A任意特征值，且有應(yīng)用Kronecker乘積性質(zhì)，可得16/4017/40由MD(A,X)<0和X>0可推出即因?yàn)槿我庑?，依?jù)D-穩(wěn)定定義，可得矩陣A是D-穩(wěn)定（必要性證實(shí)請(qǐng)見書第102頁）。定理得證。18/40D穩(wěn)定性定理應(yīng)用一、LMI區(qū)域?yàn)樽蟀腴_復(fù)平面對(duì)于左半開復(fù)平面，其特征函數(shù)是則由D穩(wěn)定性定理，可得，矩陣A全部特征值均在左半開復(fù)平面充分必要條件是存在對(duì)稱正定矩陣X，使得Lyapunov不等式19/40二、復(fù)平面上半徑為r，中心在(-q,0)圓盤D(r,q)對(duì)于圓盤D(r,q)，其特征函數(shù)是20/40矩陣A全部特征值均在圓盤D(q,r)充分必要條件是存在對(duì)稱正定矩陣X，使得21/40

推論給定兩個(gè)LMI區(qū)域D1和D2，矩陣A同時(shí)是D1-穩(wěn)定和D2-穩(wěn)定充分必要條件是存在一個(gè)對(duì)稱正定陣X，使得22/40含有區(qū)域極點(diǎn)約束狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)不確定參數(shù)矩陣和是反應(yīng)不確定性結(jié)構(gòu)常數(shù)矩陣，是時(shí)變不確定矩陣，且滿足。

考慮以下線性不確定系統(tǒng)（4-1）23/40

設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制律閉環(huán)系統(tǒng)可寫為（4-2）24/40定理4-2

給定LMI區(qū)域不確定矩陣，使得對(duì)全部允許參數(shù)假如存在則稱不確定系統(tǒng)(4-2)是二次D-穩(wěn)定。二次D-穩(wěn)定性一個(gè)對(duì)稱正定實(shí)矩陣，都有25/40二次D-穩(wěn)定性定理應(yīng)用

定理4-3

對(duì)于給定LMI區(qū)域圓盤D(q,r)，假如存在對(duì)稱正定矩陣X，使得以下不等式成立則不確定系統(tǒng)(4-2)是二次D-穩(wěn)定。非LMI26/40

定理4-4

對(duì)于給定LMI區(qū)域圓盤D(q,r)，假如存在對(duì)稱正定矩陣V，矩陣W，標(biāo)量ε>0，使得以下線性矩陣不等式成立則u(t)=WV-1x(t)為閉環(huán)系統(tǒng)(4-2)含有圓盤極點(diǎn)約束魯棒控制律，且閉環(huán)系統(tǒng)系統(tǒng)(4-2)是二次D-穩(wěn)定。27/40證實(shí)：由定理4.3，知將代入得28/40由引理3.1，對(duì)于全部滿足FTFI實(shí)矩陣F，上式成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在標(biāo)量ε>0,使得以下不等式成立Y+MFE+ETFTMT<0Y+εMMT+ε-1ETE<029/40不等式兩邊分別數(shù)乘ε，并記得應(yīng)用Schur補(bǔ)，得定理得證。30/40含有區(qū)域極點(diǎn)約束輸出反饋控制器設(shè)計(jì)不確定參數(shù)矩陣和是反應(yīng)不確定性結(jié)構(gòu)常數(shù)矩陣，是時(shí)變不確定矩陣，且滿足。

考慮以下線性不確定系統(tǒng)（4-3）31/40

設(shè)計(jì)靜態(tài)輸出反饋控制律閉環(huán)系統(tǒng)可寫為（4-4）32/40

定理4-5

對(duì)于給定LMI區(qū)域圓盤D(q,r)，假如存在對(duì)稱正定矩陣X，使得以下不等式成立則不確定系統(tǒng)(4-4)是二次D-穩(wěn)定。非LMI33/40

定理4-6

對(duì)于給定LMI區(qū)域圓盤D(q,r)，假如存在對(duì)稱正定矩陣V，矩陣W，非奇異陣N，標(biāo)量ε>0，使得等式約束CV=NC和以下線性矩陣不等式成立則u(t)=WN-1y(t)為閉環(huán)系統(tǒng)(4-4)含有圓盤極點(diǎn)約束魯棒控制律，且閉環(huán)系統(tǒng)系統(tǒng)(4-4)是二次D-穩(wěn)定。34/40證實(shí)：前面證實(shí)過程同狀態(tài)反饋，在此不再螯述。不等式兩邊分別數(shù)乘ε，并記得35/40上述不等式包含有”BKCV”和“E2KCV”一項(xiàng),所以該不等式為關(guān)于V和K雙線性矩陣不等式(bilinearmatrixinequality-BMI),無法經(jīng)過Matlab求解.為此,引入等式約束CV=NC,可將其轉(zhuǎn)化為LMI問題

,其中N為一適當(dāng)維數(shù)非奇異實(shí)矩陣.將CV=NC代入上式，并記W=KN,可得定理得證。含有等式約束LMI問題求解起來會(huì)有很多限制。36/40引理4-1假設(shè)一個(gè)實(shí)對(duì)稱正定陣

其中是對(duì)稱實(shí)正定陣,表示正交補(bǔ)。和是列滿秩實(shí)矩陣，那么存在，使得成立，當(dāng)且僅當(dāng),且此時(shí)解可表示為37/40

定理4-7

對(duì)于給定LMI區(qū)域圓盤D(q,r)，假如存在對(duì)稱正定矩陣NC、S，矩陣W，標(biāo)量ε>0，使得以下線性矩陣不等式成立則u(t)=WCCTNC-1