江蘇省南京市師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

江蘇省南京市師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C略2.（5分）過點(diǎn)P（﹣，﹣1）的直線l與圓x2+y2=1有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A．（0，]B．（0，]C．[0,π/6]

D．[0,π/3]參考答案：D【考點(diǎn)】：直線與圓的位置關(guān)系．【分析】：用點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，根據(jù)直線和圓有交點(diǎn)、圓心到直線的距離小于或等于半徑可得≤1，由此求得斜率k的范圍，可得傾斜角的范圍．解：由題意可得點(diǎn)P（﹣，﹣1）在圓x2+y2=1的外部，故要求的直線的斜率一定存在，設(shè)為k，則直線方程為y+1=k（x+），即kx﹣y+k﹣1=0．根據(jù)直線和圓有交點(diǎn)、圓心到直線的距離小于或等于半徑可得≤1，即3k2﹣2k+1≤k2+1，解得0≤k≤，故直線l的傾斜角的取值范圍是，故選：D．【點(diǎn)評】：本題主要考查用點(diǎn)斜式求直線方程，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．3.若為偶函數(shù)，則在區(qū)間上

（

）A．單調(diào)遞增

B．單調(diào)遞減

C．先增后減

D．先減后增參考答案：C略4.二項式的展開式中只有第四項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是（）A． B． C．5 D．15參考答案：B【考點(diǎn)】二項式定理的應(yīng)用．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；演繹法；二項式定理．【分析】先利用展開式中只有第四項的二項式系數(shù)最大求出n=6，再求出其通項公式，令x的指數(shù)為0，求出r，再代入通項公式即可求出常數(shù)項的值．【解答】解：的展開式中只有第四項的二項式系數(shù)最大，所以n=6．其通項公式Tr+1=C6r?（）r?，令3﹣=0，求得r=2，可得展開式中的常數(shù)項為C62?（）2=，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查二項式定理中的常用結(jié)論：如果n為奇數(shù)，那么是正中間兩項的二項式系數(shù)最大；如果n為偶數(shù)，那么是正中間一項的二項式系數(shù)最大．5.若||=||=2||，則向量+與的夾角為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個向量的夾角；向量的模．【分析】將已知式子平方可得=0，代入向量的夾角公式可得其余弦值，結(jié)合夾角的范圍可得答案．【解答】解：∵，∴，兩邊平方可得=，化簡可得=0，設(shè)向量與的夾角為θ則可得cosθ====，又θ∈[0，π]，故θ=故選B．6.設(shè)不等式組所表示的區(qū)域為M，函數(shù)y=﹣的圖象與x軸所圍成的區(qū)域為N，向M內(nèi)隨機(jī)投一個點(diǎn)，則該點(diǎn)落在N內(nèi)的概率為（

）A．B． C．D．參考答案：B【分析】作出平面區(qū)域，根據(jù)面積比得出概率．【解答】解：作出圖形如圖所示：則區(qū)域M為△ABC，區(qū)域N為單位圓的下半圓，點(diǎn)O到直線x+y=﹣和直線x﹣y=的距離均為=1，故半圓與AB，BC相切．∴向M內(nèi)隨機(jī)投一個點(diǎn)，則該點(diǎn)落在N內(nèi)的概率為P===．故選B．【點(diǎn)評】本題考查了幾何概型的概率計算，屬于基礎(chǔ)題．

7.若集合,,則A．

B．

C．

D．參考答案：C略8.邊長為2的正三角形ABC中，D，E，M分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，N為DE的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起至A'DE位置，使A'M=，設(shè)MC的中點(diǎn)為Q,A'B的中點(diǎn)為P，則

①A'N平面BCED

③NQ∥平面A'EC

③DE平面A'MN，

④平面PMN∥平面A'EC

以上結(jié)論正確的是

A.①②④

B.②③④.

C.①②③

D.①③④參考答案：【知識點(diǎn)】空間幾何體

G4

G5C解析：由題意可知MN與CE在同一平面內(nèi)且不平行，所以一定有交點(diǎn)，即平面PMN與平面A'EC有交點(diǎn)，所以不平行，④錯誤，其它可計算出正確.所以C為正確選項.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)空間幾何體的位置關(guān)系進(jìn)行計算可判定結(jié)果.9.已知向量，向量滿足，則||的值為

（

）A．

B．

C．4

D．參考答案：B10.已知全集U=R，集合A＝，B＝，則等于A．{x|1＜x＜2} B．{x|x≤-2}C．{x|x≤1或x≥2} D．{x|x＜1或x＞2}參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.cos275°+cos215°+cos75°cos15°的值等于

．參考答案：【考點(diǎn)】兩角和與差的余弦函數(shù)．【專題】計算題．【分析】觀察題目中兩角75°和15°的互余關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)的同角公式化簡前二項，反用二倍角公式化簡后一項即可．【解答】解：∵cos275°+cos215°=cos275°+sin275°=1，且cos75°cos15°=cos75°sin75°=sin150°=，∴cos275°+cos215°+cos75°cos15°=．故填：．【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題．12.已知角終邊經(jīng)過點(diǎn)，則

．參考答案：13.從甲、乙、丙、丁四個人中任選兩名志愿者，則甲被選中的概率是__________.參考答案：14.i為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部是____參考答案：分析：直接利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，化簡復(fù)數(shù)，然后求出復(fù)數(shù)的虛部.詳解：由，可得,，可得，所以，的虛部是，故答案為點(diǎn)睛：本題主要考查乘法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)的概念，意在考查對復(fù)數(shù)基本概念與基本運(yùn)算掌握的熟練程度.15.命題“?x＞0，都有sinx≥﹣1”的否定：．參考答案：?x＞0，使得sinx＜﹣1考點(diǎn)：命題的否定．分析：先否定題設(shè)，再否定結(jié)論．解答：解：∵“?x＞0”的否定是“?x＞0”，“都有sinx≥﹣1”的否定是“使得sinx＜﹣1”，∴“?x＞0，都有sinx≥﹣1”的否定是“?x＞0，使得sinx＜﹣1”．故答案為：?x＞0，使得sinx＜﹣1．點(diǎn)評：本題考查命題的否定，解題時要注意審題，認(rèn)真解答．16.在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y=2x﹣4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上，若圓C上存在唯一一點(diǎn)M，使|MA|=2|MO|，則圓心C的非零橫坐標(biāo)是．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】設(shè)M（x，y），由MA=2MO，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)系式，整理后得到點(diǎn)M的軌跡為以（0，﹣1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，由M在圓C上，得到圓C與圓D相切，根據(jù)兩圓的半徑長，能求出結(jié)果．【解答】解：設(shè)點(diǎn)M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化簡得：x2+（y+1）2=4，∴點(diǎn)M的軌跡為以（0，﹣1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，又∵點(diǎn)M在圓C上，圓C上存在唯一一點(diǎn)M，使|MA|=2|MO|，∴圓C與圓D相切，∴|CD|=1或CD=3，∵|CD|=，∴解得a=0或a=．∴圓心C的非零橫坐標(biāo)是．故答案為：．17.若棱長為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積______．參考答案：【分析】由正方體的外接球的半徑為正方體體對角線的一半，可求出R，然后計算體積.【詳解】解：因為正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上所以球的半徑為正方體體對角線的一半，即所以故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的外接球，正方體外接球的直徑即為正方體的體對角線，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)△的內(nèi)角對邊分別為，且，若，求的值．參考答案：19.如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2，沿對角線BD將△ABD向上折起，使點(diǎn)A移至點(diǎn)P，且點(diǎn)P在平面BCD內(nèi)的投影O在CD上．(1)求二面角P－DB－C的正弦值；(2)求點(diǎn)C到平面PBD的距離．

參考答案：.證明：（1）過O作OE⊥BD于點(diǎn)E，連接PE∵BD⊥OP，∴BD⊥平面OPE，∴BD⊥PE，∴∠PEO為二面角P－BD－C的平面角，在△POE中，PE＝3，OE＝1，PO＝2，則sin∠PEO＝；----6分

(2)VC－PBD＝VP－BCD，∴××h＝××2，解得h＝2.即點(diǎn)C到平面PBD的距離為2----12分

20.在中，角所對的邊分別為，已知，（1）求的大小；（2）若，求的取值范圍.參考答案：解：（1）由已知條件結(jié)合正弦定理有：，從而有：，.（2）由正弦定理得：，，，即：.略21.（本小題滿分12分）

已知中，、、是三個內(nèi)角、、的對邊，關(guān)于的不等式的解集是空集．

（I）求角的最大值；

（II）若，的面積，求當(dāng)角取最大值時的值．參考答案：解：（1）顯然

不合題意，則有，--------2分即，即，故，∴角的最大值為-----6分（2）當(dāng)=時，，∴-------------8分由余弦定理得，∴，∴--------------------12分22.（本小題滿分13分）已知數(shù)列中，（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項公式；（III），，求使對所有的都成立的最大正整數(shù)的值．參考答案：（I）

……………2分