直線與平面的夾角市公開課一等獎省賽課微課金獎?wù)n件

第1頁第2頁1．知識與技能掌握直線和平面所成角．能夠求直線和平面所成角．2．過程與方法經(jīng)過合作、探究、展示、點評培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習能力．3．情感態(tài)度與價值觀培養(yǎng)學(xué)生辯證對待事物，體會事物在一定條件下能夠相互轉(zhuǎn)化．第3頁第4頁重點：直線和平面所成角．難點：求直線和平面所成角．第5頁第6頁第7頁2．公式cosθ＝cosθ1·cosθ2.如圖所表示，OA為平面α斜線，AB是OA平面α內(nèi)射影，AC為平面α內(nèi)過A點任一直線，設(shè)∠OAB＝θ1，∠BAC＝θ2，∠OAC＝θ，則cosθ＝cosθ1·cosθ2.(1)由0<cosθ2<1，∴cosθ<cosθ1，從而θ1<θ，這就是最小角定理．第8頁(2)在公式中，令θ2＝90°，則cosθ＝cosθ1·cos90°＝0，∴θ＝90°，即當AC⊥AB時，AC⊥AO.此即三垂線定理；反之，若令θ＝90°，則有cosθ1·cosθ2＝0.∵θ1≠90°，∴θ2＝90°，即若AC⊥AO，則AC⊥AB，此即三垂線定理逆定理，由此可知三垂線定理及逆定理能夠看成是此公式特例．(3)公式也叫“三余弦”公式，θ1，θ2，θ分別是斜線與射影，射影與平面內(nèi)直線，斜線與平面內(nèi)直線所成角．若已知θ1，θ2，θ中兩個值能夠求另一個值．第9頁第10頁第11頁1．如圖：cosθ＝________.2．最小角定理斜線和________所成角，是斜線和這個平面內(nèi)全部直線所成角中最小角．第12頁3．直線與平面夾角(1)假如一條直線與一個平面垂直，這條直線與平面夾角為________．(2)假如一條直線與一個平面平行或在平面內(nèi)，這條直線與平面夾角為________．(3)斜線與它在平面內(nèi)________叫做斜線和平面所成角(或斜線和平面夾角)．第13頁[答案]1.cosθ1·cosθ22．它在平面內(nèi)射影3．(1)90°(2)0°(3)射影所成角第14頁第15頁

[例1]如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.求BD與平面PAB所成角．第16頁第17頁第18頁[說明]定義法就是指將斜線與平面夾角轉(zhuǎn)化為斜線與其平面內(nèi)射影夾角．此種方法關(guān)鍵在于確定斜線在平面內(nèi)射影．第19頁如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC中點．(1)證實：PA∥平面EDB；(2)求EB與底面ABCD所成角正切值．第20頁[解析]

(1)證實：連結(jié)AC，AC交BD于O，連接EO.∵底面ABCD是正方形，∴點O是AC中點．在△PAC中，EO是中位線，∴PA∥EO.而EO?平面EDB且PA?平面EDB.所以，PA∥平面EDB.(2)作EF⊥DC交DC于F，連結(jié)BF.設(shè)正方形ABCD邊長為a，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC.第21頁∴EF∥PD，F(xiàn)為DC中點．∴EF⊥底面ABCD，BF為BE在底面ABCD內(nèi)射影，故∠EBF為直線EB與底面ABCD所成角．在Rt△BCF中．第22頁[分析]解答本題首先建立空間直角坐標系，求出平面AFEG法向量和AH方向向量，再求兩向量夾角余弦絕對值即可．第23頁[解析]

建立如圖所表示空間直角坐標系，則G(0,0,1)，A(0,4,0)，F(xiàn)(4,4,1)，E(4,0,2)，H(2,0,0)，第24頁第25頁令x＝1，則z＝－4，y＝－1.即n＝(1，－1，－4)，即AH與平面AFEG夾角為θ，第26頁在如圖所表示幾何體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE，M是AB中點．(1)求證：CM⊥EM.(2)求CM與平面CDE所成角．第27頁[解析]

以點C為坐標原點，以CA，CB分別作為x軸和y軸，過點C作與平面ABC垂直直線為z軸，建立空間直角坐標系C－xyz，設(shè)EA＝a，則A(2a,0,0)，B(0,2a,0)，E(2a,0，a)，D(0,2a,2a)，M(a，a,0)．第28頁第29頁第30頁[例3](·湖南理，18)如圖所表示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1中點．(1)求直線BE和平面ABB1A1所成角正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F∥平面A1BE？證實你結(jié)論．第31頁第32頁第33頁第34頁第35頁[點評]本題考查了直線與平面所成角，直線與平面平行性質(zhì)與判定．綜合考查了學(xué)生空間想象能力、探究能力和運算能力．第36頁第37頁第38頁[誤解]建立如圖所表示直角坐標系，依據(jù)題意得：第39頁第40頁①建立適當空間直角坐標系；②將斜線和它在平面上射影或者斜線和平面法線用向量或坐標表示出來；③利用向量夾角公式求解．第41頁第42頁第43頁A．90°B．60°C．45° D．30°[答案]

D第44頁[解析]

由已知O為外心，且AB⊥OC，第45頁2．平面一條斜線和這個平面所成角θ范圍是 ()A．0°<θ<180° B．0°≤θ≤90°C．0°<θ≤90° D．0°<θ<90°[答案]

D[解析]

由斜線和平面所成角定義知選D.第46頁3．直線l與平面θ成45°角，若直線l在α內(nèi)射影與α內(nèi)直線m成45°角，則l與m所成角是 ()A．30° B．45°C．60° D．90°[答案]

C第47頁二、填空題4．若AB與平面α成30°角，且A∈α，則AB與α內(nèi)不過點A全部直線所成角中最大角________．[答案]90°[解析]

在平面α內(nèi)，過A點垂直于AB在平面內(nèi)射影直線與AB所成角最大，為90°.第48頁5．自平面α外一點P向平面α引垂線段PO及兩條斜線段PA，PB，它們在平面α內(nèi)射影長分別為2cm和12cm，且這兩條斜線與平面α所成角相差45°，則垂線段AO長為________．[答案]

4cm或6cm[解析]

設(shè)PA，PB與α所成角分別為α1，α2，且α1＝α2＋45°，第49頁三、解答題6．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.PD＝DC，E是PC中點．求EB與平面ABCD夾角余弦值．第50頁[解析]

取CD中點M，則