磁場的矢勢及其微分方程省公開課一等獎全國示范課微課金獎課件

2.5

磁場矢勢及其微分方程2.5.1

矢勢穩(wěn)恒磁場基本方程是：穩(wěn)恒磁場是無源有旋場

靜電場是有源無旋場，因為其無旋性，能夠引入標勢來描述（

0）。而磁場因為其有旋性不能引入一個標勢來描述整個空間磁場。不過依據(jù)磁場無源性，我們能夠引入另一個矢量來描述它。

依據(jù)矢量場論，若

B

0，B能夠表示為矢量旋度，即

(

A)

0，

B

A，A稱為磁場矢勢。1/242.5

磁場矢勢及其微分方程2.5.1

矢勢穩(wěn)恒磁場基本方程是：穩(wěn)恒磁場是無源有旋場

靜電場是有源無旋場，因為其無旋性，能夠引入標勢來描述（

0）。而磁場因為其有旋性不能引入一個標勢來描述整個空間磁場。不過依據(jù)磁場無源性，我們能夠引入另一個矢量來描述它。

依據(jù)矢量場論，若

B

0，B能夠表示為矢量旋度，即

(

A)

0，

B

A，A稱為磁場矢勢。2/24

由B

A，能夠看出：由矢勢A能夠確定磁場B。不過由磁場B并不能唯一地確定矢勢A。比如：沿z軸方向均勻磁場B0（為常數(shù)）求A

?即Bx

By

0，Bz

B0依據(jù)

A

B則有有解：①

有另一解：②

還存在其它解3/24普通說來，若A是磁場B矢勢，那么

也是同一個B矢勢（

為任意連續(xù)可微標量函數(shù)）。因為

0

A’

A

B表明：A

與A對應同一個磁場B，也就是說，對于一個磁場B，A不是唯一，它能夠相差一個任意標量函數(shù)梯度。對任一給定磁場B，矢勢可按照A

A’=A

變到A’。這種變換稱為規(guī)范變換。磁場含有規(guī)范變換下不變性。

4/24

既然，規(guī)范變換A

A’=A

，A存在這么任意性，能夠?qū)加上一個限制條件，使問題簡化。

是任意標量函數(shù)，對

限制就是對A限制?？蛇x一個特定

使問題簡化。

通常要求

A

0稱為庫侖規(guī)范

下面說明對A加上限制條件

A

0總是能夠，即總能夠找到一個A滿足

A

0。假設有一個不滿足

A

0A可另取一個解

取

為泊松方程

2

u一個解，用這么A去作規(guī)范變換，那么變換后A’滿足：這個A’不影響物理結果，總能夠找到適合

A’

0矢勢A’。以后所取A都滿足

A

0。5/242.5.2矢勢A微分方程靜磁場基本方程之一對各向同性非鐵磁介質(zhì)B

H，均勻介質(zhì)

常數(shù)。能夠?qū)懗桑河?/p>

關于A微分方程注意：這是矢量方程，假如寫分量式（直角坐標中）每個分量滿足泊松方程6/24Ai滿足方程和靜電場中電勢

方程有相同形式靜電場中，泊松方程解：對比靜電勢解，可寫寫成矢量式：而且已證實

A

0。說明：此式在2.2中為了求

B，令：所以，上式確實是矢勢微分方程解。7/24線電流分布全空間電流分布給定時，可用上式求解磁場。下面舉例由矢勢A求磁場。在2.2中，從畢奧沙伐爾定律出發(fā)，導出磁場微分方程。本節(jié)把磁場散度，旋度作為基本定律，從微分方程出發(fā)引入矢勢A，由A方程取得特解求出A取旋度即可求出B。畢奧沙伐爾沙定律8/24例應用矢勢A，求在空氣中長直載流細導線磁場。P點坐標是（x,y,0），取導線沿z軸，P點到導線垂直距離為R，電流元Idz到P點距離為細導線jdV

Idz解

(1)先求導線外任一點P矢勢A9/24A方向即電流方向，此時I沿z方向，則：當L>>R時，

10/24(2)求B利用柱坐標求旋度公式則

只有z分量

（Az僅與R相關）

得到11/24還能夠用另外一個方法令

用公式：

12/242.5.3關于矢量勢A物了解釋●矢量勢與磁通量關系：

矢量勢A本身沒有直接物理意義，有物理意義是B?！裰钡缴鲜兰o60年代普遍認為：13/24因為B

A，則在A附加任一個

，對應B不變。即：

，而

可見同一個B對應無數(shù)個A，A是由數(shù)學上引進，通常認為有物理意義B是而不是A。上世紀60年代，試驗證實了阿哈朗諾夫和玻姻提出構想，A能夠直接影響體系量子行為。●

A-B效應14/24

起初螺線管不通電流，當然管內(nèi)外B和A均為零。電子行為用波函數(shù)表示，因為兩束電子有相位差，在屏上得到一幅干涉圖象。然后螺線管通以電流，這時也可得到一幅干涉圖象，但其干涉條紋極值位置較前一幅有了變動，此時管外仍是B

0，但A

0。所以A對電子量子行為產(chǎn)生影響，稱為A-B效應。

試驗指出：

電子束K射向雙縫，縫后放一無限長密繞螺線管

，電子穿過雙縫后被一透鏡聚焦在屏y上，

上加以電壓以確保電子只在螺線管外飛行。這么電子行為僅與管外空間性質(zhì)相關。15/24●關于矢量勢A另一個物了解釋在靜電場中在靜磁場中可見：

與j相當，

與A相當。在靜電場中，電勢

表示將單位正電荷從無限遠處移至電場某點外力克服庫侖力所作功。用表示，A也與

有類似解釋。它表示在靜磁場中，將一個正電荷從無限遠處移到穩(wěn)恒磁場某點總外力克服洛侖茲力所需沖量。16/24

矢量勢A就是移動單位正電荷到電流磁場某點時場電磁動量值。這就是對定義A物了解釋。

能夠證實:靜磁場中某點矢量勢A在數(shù)值上等于將單位正電荷從無限遠處移到該點外力克服洛侖茲力所需施加沖量。在力學中，外力對一個物體所加沖量增加了物體機械動量。在電磁場中，所加這部分沖量在電磁場中儲備起來，增加了電磁場動量。將電荷q從A移動到B時，外力所加沖量應等于電磁場動量增量。G——電磁場動量17/24

將電荷q從A點遲緩地至B點，在移動過程中，j’所產(chǎn)生磁場對移動電荷產(chǎn)生洛侖茲力。因移動電荷q需要時間，故外力在q上需要施加沖量。證實

為簡單起見，假定產(chǎn)生磁場穩(wěn)定電流只有一個閉合線圈電流j’。如圖示。這個假設是允許，因為空間任何穩(wěn)恒電流分布總能夠分成許多閉合電流管迭加。

另首先，q在移動過程中，在j’處也會產(chǎn)生磁場，j’受到磁場力，外力克服這個磁場力也要沖量。把這兩部分沖量加到起來，就得到需要結果。18/24j’在q處產(chǎn)生磁場為q所受洛侖茲力為在q處外力在dt時間內(nèi)克服洛侖茲力所加沖量為：q以速度v運動，在j’處產(chǎn)生磁場為：取負號原因是

R表示從q到j’位移19/24當q移動dt時間，在j’上所施加沖量（外力克服洛侖茲力所需沖量）外力所施加總沖量為：20/24則：將電荷q從A到B所加總沖量為：21/24相關

積分公式22/24

假如A點在無限遠處，AA

0得到所需結果。靜磁場中某點矢量勢A在數(shù)值上等于將單位正電荷從無限遠處移到該點外力克服洛侖茲力所需施加沖量。此結果和移動點電荷路徑無關。在力學中，外力對一個物體所加沖量增加了物體機械動量。在電磁場中，所加這部分沖量在電磁場中儲備起來，增加了電磁場動量。