2024年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)幾何綜合題的三類折疊問題（原卷版）

方法必備09幾何綜合題的三類折疊問題題型一：翻折與幾何基本圖形題型二：翻折與隱形圓題型三：翻折與二次函數(shù)題型一：翻折與幾何基本圖形1．（2024·山東泰安·一模）如圖，把平行四邊形紙片沿折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)E．求證：2．（2023·江蘇泰州·二模）如圖，將紙片按照下列圖示方式折疊：①將沿折疊，使得點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為；②將沿折疊，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為；③將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，展開后如圖，、、、為圖折疊過程中產(chǎn)生的折痕．(1)求證：；(2)若落在的右側(cè)，求的范圍；(3)是否存在使得與的角平分線重合，如存在，請(qǐng)求的大??；若不存在，請(qǐng)說明理由．3．（2023·吉林松原·三模）如圖①，在中，，，是斜邊上的中線，點(diǎn)E為射線上一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F．

(1)若，直接寫出的長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示）；(2)若點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，連接，如圖②，判斷四邊形的形狀，并說明理由；(3)若，直接寫出的度數(shù)．4．（2023·廣東茂名·二模）如圖，正方形中，E是邊的中點(diǎn)，將沿折疊，得到，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)P．

(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．5．（2023·廣西貴港·二模）綜合與實(shí)踐【問題情境】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干張正方形紙片，組織同學(xué)們進(jìn)行折紙?zhí)骄炕顒?dòng)．【初步嘗試】把正方形對(duì)折，折痕為，然后展開，沿過點(diǎn)A與點(diǎn)E所在的直線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，連接，如圖1，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．【能力提升】把正方形對(duì)折，折痕為，然后展開，沿過點(diǎn)A與上的點(diǎn)G所在的直線折疊，使點(diǎn)B落在上的點(diǎn)P處，連接，如圖2，猜想的度數(shù)，并說明理由．【拓展延伸】在圖2的條件下，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，如圖3，求的度數(shù)．6．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，平面上，四邊形中，，，，，，點(diǎn)M在邊上，且．點(diǎn)P沿折線以1個(gè)單位速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)是點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)P在該折線上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．(1)直接寫出線段的長(zhǎng)；(2)如圖2，連接．①求的度數(shù)，并直接寫出當(dāng)、M、A共線時(shí)t的值；②若點(diǎn)P到的距離為1，求的值；(3)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)到直線的距離（用含t的式子表示）．7．（2023·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展實(shí)踐活動(dòng)．(1)操作判斷操作一：如圖（1），正方形紙片，點(diǎn)是邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合）任意一點(diǎn)，沿折疊到，如圖（2）所示；操作二：將圖（2）沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在上，得到折痕，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)記為，如圖（3）所示；操作三：將紙片展平，連接，如圖（4）所示．根據(jù)以上操作，回答下列問題：①，，三點(diǎn)（填“在”或“不在”一條直線上；②和的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；③如圖（5），連接，改變點(diǎn)在上的位置，（填“存在”或“不存在”點(diǎn)，使平分．(2)遷移探究蘇鈺同學(xué)將正方形紙片換成矩形紙片，，，按照（1）中的方式操作，得到圖（6）或圖（7）．請(qǐng)完成下列探究：①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖（6），和有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；②當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為1時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．8．（2023·山東棗莊·中考真題）問題情境：如圖1，在中，，是邊上的中線．如圖2，將的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C分別沿折疊后均與點(diǎn)D重合，折痕分別交于點(diǎn)E，G，F(xiàn)，H．

猜想證明：(1)如圖2，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．問題解決；(2)如圖3，將圖2中左側(cè)折疊的三角形展開后，重新沿折疊，使得頂點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，折痕分別交于點(diǎn)M，N，的對(duì)應(yīng)線段交于點(diǎn)K，求四邊形的面積．9．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，有一位同學(xué)操作過程如下：操作一：對(duì)折正方形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；操作二：在上選一點(diǎn)P，沿折疊，使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，連接．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在上時(shí)，___________度；(2)改變點(diǎn)P在上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合）如圖2，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．10．（2023·遼寧大連·中考真題）綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì)．已知，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，將以為對(duì)稱軸翻折．同學(xué)們經(jīng)過思考后進(jìn)行如下探究：獨(dú)立思考：小明：“當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，．”小紅：“若點(diǎn)為中點(diǎn)，給出與的長(zhǎng)，就可求出的長(zhǎng)．”實(shí)踐探究：奮進(jìn)小組的同學(xué)們經(jīng)過探究后提出問題1，請(qǐng)你回答：

問題1：在等腰中，由翻折得到．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，求證：；（2）如圖2，若點(diǎn)為中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．問題解決：小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：若將問題1中的等腰三角形換成的等腰三角形，可以將問題進(jìn)一步拓展．問題2：如圖3，在等腰中，．若，則求的長(zhǎng)．11．（2023·江蘇無錫·中考真題）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形沿翻折得到四邊形．

(1)當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，設(shè)，四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．12．（2023·重慶·中考真題）在中，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接．

(1)如圖1，若，，求線段的長(zhǎng)．(2)如圖2，以為邊在上方作等邊，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，求證：．(3)在取得最小值的條件下，以為邊在右側(cè)作等邊．點(diǎn)為所在直線上一點(diǎn)，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到．連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，當(dāng)取最大值時(shí)，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的值．題型二：翻折與隱形圓一、單選題1．（湖北鄂州·中考真題）如圖，菱形ABCD的邊AB=8，∠B=60°，P是AB上一點(diǎn)，BP=3，Q是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，將梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′．當(dāng)CA′的長(zhǎng)度最小時(shí)，CQ的長(zhǎng)為（）A．5 B．7 C．8 D．2．如圖，菱形ABCD邊長(zhǎng)為4，∠A＝60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是（

）A．2 B．+1 C．2﹣2 D．33．（22-23九年級(jí)上·浙江金華·期末）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且．連結(jié)，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、填空題4．（2022·廣東汕頭·一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一點(diǎn)，且CD＝3，E是BC邊上一點(diǎn)，將△DCE沿DE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連接BF，則BF的最小值為．5．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中點(diǎn)，E為AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)在△ABC內(nèi)（不含△ABC的邊上），則BE長(zhǎng)的范圍為．6．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，將ΔEBF沿EF所在直線折疊得到ΔEB'F，連接B'D，則B'D的最小值是．7．（22-23九年級(jí)下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，矩形，，，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為直線上動(dòng)點(diǎn)，B、G關(guān)于對(duì)稱，連接，點(diǎn)P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則的最小值．三、解答題8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且∠AFE＝90°（1）證明：△ABF∽△FCE；（2）當(dāng)DE取何值時(shí)，∠AED最大．9．（2022·天津河?xùn)|·二模）已知，平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，將沿直線對(duì)折，使點(diǎn)落在處．(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖②，連接，當(dāng)時(shí)．①求點(diǎn)的坐標(biāo)；②連接，求與重疊部分的面積；(3)當(dāng)點(diǎn)在線段（不包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的取值范圍．10．（2022·重慶·三模）在中，，CA＝2CB．將線段CA繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到線段CD．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D落在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)D作交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若BC＝2，求DE的長(zhǎng)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D落在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AD，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)E，連接BE，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，將沿AC翻折得到，M為直線AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接BM，將沿BM翻折得到．當(dāng)最小時(shí)，直接寫出的值．題型三：翻折與二次函數(shù)1．（21-22九年級(jí)下·湖南株洲·開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，的延長(zhǎng)線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，以為軸，翻折直線，與拋物線相交于另一點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求出與的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出自變量t的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，連接，點(diǎn)在上，且，連接，若，求點(diǎn)坐標(biāo)．2．（2023·天津河西·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，在y軸正半軸上有一點(diǎn)C，．點(diǎn)D，E分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且均不與端點(diǎn)重合．(1)求此拋物線的解析式；(2)如圖①，連接，將沿x軸翻折得到，當(dāng)點(diǎn)G在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；(3)如圖②，連接，當(dāng)時(shí)，求的最小值．3．（2023·廣西貴港·三模）拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且直線軸，點(diǎn)M是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式與A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)若點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為0，且以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．(3)過點(diǎn)M作直線的垂線，垂足為N，若將沿翻折，點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)則恰好落在x軸上？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明段理由．4．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知拋物線交軸于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求的值以及拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)已知為拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），若點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)恰好在直線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，平移拋物線，使其頂點(diǎn)始終在直線上，且與相交于點(diǎn)，求面積的最小值．5．（2023·貴州·中考真題）如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學(xué)習(xí)