第五章 三角函數(shù) 尖子生必刷卷 - 2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

第五章三角函數(shù)尖子生必刷卷一、單選題。本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一個選項符合題意。1．設(shè)函數(shù)，在區(qū)間上至少有2個不同的零點，至多有3個不同的零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)，現(xiàn)給出如下結(jié)論：①是奇函數(shù)；②是周期函數(shù)；③在區(qū)間上有三個零點；④的最大值為.其中所有正確結(jié)論的編號為（）A．①③ B．②③ C．②④ D．①④3．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上有且僅有一個解，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．在中，已知，其中（其中），若為定值，則實數(shù)的值是（）A． B． C． D．5．已知，，且，，則（）A． B． C． D．6．若不等式．對x∈恒成立，則sin(a+b)和sin(a-b)分別等于（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點及直線對稱，且在不存在最值，則的值為（）A． B． C． D．8．已知，若在區(qū)間上單調(diào)時，的取值集合為，對不等式恒成立時，的取值集合為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題。本大題共4小題，每小題5分，共20分，每小題有兩項或以上符合題意。9．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．點是的對稱中心B．直線是的對稱軸C．在區(qū)間上單調(diào)減D．的圖象向右平移個單位得的圖象10．如圖，已知函數(shù)（其中，，）的圖象與軸交于點，與軸交于點，，，.則下列說法正確的有（）A．的最小正周期為12 B．C．的最大值為 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增11．已知函數(shù)（其中，，），，恒成立，且在區(qū)間上單調(diào)，則下列說法正確的是（）A．存在，使得是偶函數(shù) B．C．是奇數(shù) D．的最大值為312．已知集合，若對于，使得成立則稱集合是“互垂點集”．給出下列四個集合．其中是“互垂點集”集合的為（）A． B． C． D．三、填空題。本大題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)對任意都有，若在上的取值范圍是，則實數(shù)的取值范圍是__________．14．已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是_____．15．已知函數(shù)，既有最小值也有最大值，則實數(shù)的取值范圍是_______.16．已知是定義域為的單調(diào)函數(shù)，且對任意實數(shù)，都有，則______.四、解答題。本大題共6小題，共70分，解答過程必修有必要的文字說明，公式和解題過程。17．已知函數(shù)，．(1)若圖象縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再向右平移個單位，得到的圖象在上單調(diào)遞增，求的最大值；(2)若函數(shù)在內(nèi)恰有3個零點，求的取值范圍．18．已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的最大值與最小值；（2）求的取值范圍，使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)．19．已知函數(shù)在內(nèi)取得一個最大值和一個最小值,且當時,有最大值3,當時,有最小值

(1)求函數(shù)的解析式;

(2)是否存在實數(shù)m滿足若存在,求出實數(shù)m的取值范圍;若不存在,說明理由．20．函數(shù)在內(nèi)只取到一個最大值和一個最小值，且當時，；當時，.（1）求函數(shù)的解析式.（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.（3）是否存在實數(shù)，滿足不等式？若存在，求出的范圍（或值）；若不存在，請說明理由.21．設(shè)函數(shù)為偶函數(shù).（1）求的值；（2）若的最小值為，求的最大值及此時的取值；（3）在（2）的條件下，設(shè)函數(shù)，其中.已知在處取得最小值并且點是其圖象的一個對稱中心，試求的最小值.22．已知函數(shù).（1）證明函數(shù)在上為減函數(shù)；（2）求函數(shù)的定義域，并求其奇偶性；（3）若存在，使得不等式能成立，試求實數(shù)a的取值范圍.參考答案1．A【解析】解：函數(shù)，在區(qū)間上至少有2個不同的零點，至多有3個不同的零點，即在區(qū)間上至少有2個不同的根，至多有3個不同的根．，，當，則，求得；當，，方程在區(qū)間上有1個根，不滿足題意；當，，求得；當，則，方程在區(qū)間上有3個不同的根，滿足條件，此時，，當，，方程在區(qū)間上有5個不同的根，不滿足題意；當時，方程在區(qū)間上至少有5個不同的根，不滿足題意．綜上，可得，故選：A．2．A【解析】對于①中，函數(shù)的定義域為關(guān)于原點對稱，由，所以是奇函數(shù)，所以①正確.對于②中，假設(shè)存在周期，則，，所以①，存在，使得，而，，，由于，故，所以所以，，可得，，，所以，矛盾，所以函數(shù)，沒有周期，所以②錯誤.對于③中，函數(shù)，函數(shù)的零點為方程，可得或，即，所以在區(qū)間上有三個零點，故③正確.對于④中，函數(shù)，若，則，，若，則，，所以，和，兩者不會同時成立，即和不可能同時成立，故的最大值不是，所以④錯誤；則四個命題中正確的為①③；故選：A.3．D【解析】令，解得，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，當時，，因為在區(qū)間上有且僅有一個解，所以，解得.綜上所述，的取值范圍是.故選：D.4．A【解析】由，可得，，因為，得，即，又由（定值），即，即恒成立，可得，解得，.故選：A．5．A【解析】且，，.又，，.當時，，，，不合題意，舍去；當，同理可求得，符合題意.綜上所述：.故選：.6．D【解析】由，則，當或時，即或時，，當時，即時，，所以當或時，，當時，，設(shè)函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，所以，解得，又由，解得，所以，.故選：D.7．C【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于點及直線對稱.則.在不存在最值，則，故時滿足條件，，.，則.當時滿足條件，故.故選：.8．A【解析】，可知函數(shù)周期，由題可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，故該區(qū)間長度需小于等于半個周期，及，∴，對于不等式，；設(shè)，，；∴不等式等價于恒成立，及，對于，，∴，及集合，∴，“”是“”的充分非必要條件，故選：A9．CD【解析】由圖知：且，則，∴，可得，又過，∴，得，又，∴當時，.綜上，.A：代入得：，故錯誤；B：代入得：，故錯誤；C：由，故在上單調(diào)遞減，則上遞減，而，故正確；D：，故正確；故選：CD10．ACD【解析】由題意可得：，，，，，，，，，，把代入上式可得：，.解得，，可得周期，，，解得.可知：不對，，，解得，函數(shù)，可知正確.時，，可得：函數(shù)在單調(diào)遞增.綜上可得：ACD正確.故選：ACD11．BCD【解析】，，則，，故，，，，則，故，，，當時，，，在區(qū)間上單調(diào)，故，故，即，，故，故，綜上所述：或，故CD正確；或，故或，，不可能為偶函數(shù)，A錯誤；當時，，，故；當時，，，故，綜上所述：，B正確；故選：BCD.12．BD【解析】由題意，對于，，，，使得成立即對于任意點，，在中存在另一個點，使得．中，當點坐標為時，不存在對應(yīng)的點．所以所以不是“互垂點集”集合，的圖象中，將兩坐標軸進行任意旋轉(zhuǎn)，均與函數(shù)圖象有交點，所以在中的任意點，，在中存在另一個點，使得．所以是“互垂點集”集合，中，當點坐標為時，不存在對應(yīng)的點．所以不是“互垂點集”集合，的圖象中，將兩坐標軸進行任意旋轉(zhuǎn)，均與函數(shù)圖象有交點，所以所以是“互垂點集”集合，故選：BD．13．【解析】解：，其中，因為函數(shù)對任意，都有，所以的最大值為，所以，即，，所以，所以，因為，所以，若在，上的值域為，所以結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，，解得，即實數(shù)的取值范圍是，．故答案為：，．14．【解析】．由，可得，解得，．因為在區(qū)間內(nèi)沒有零點，所以，且，即且，因為，分別取，1,2,3，，∴的取值范圍是，故答案為：．15．或【解析】解:令.則由可得則.要使其既有最小值又有最大值若最大值為則,解得若最大值為,則,解得.綜上所述:或.故答案為:或.16．【解析】對任意實數(shù),都有令則因為是定義域為的單調(diào)函數(shù)所當時,函數(shù)值唯一,即代入可得,即化簡可得,經(jīng)檢驗可知為方程的解而為單調(diào)遞減函數(shù),為單調(diào)遞增函數(shù)所以兩個函數(shù)只有一個交點,即只有一個根為所以而所以故答案為:17．(1)5π/6；(2)（2,3√2/2）．【解析】(1)圖象縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再向右平移個單位得到函數(shù)，因為，所以，因為，所以，又因為得到的圖象在上單調(diào)遞增，所以，解，所以的最大值為.(2)，令，因為，所以，，所以，，令，顯然不是其方程的解，所以得，，畫出函數(shù)和函數(shù)的圖象，如下圖，則當時，對應(yīng)的，而當時，對應(yīng)的只有一個解，不滿足題意；當時，此時沒有的值對應(yīng)，所以此時無解，不滿足題意；當時，對應(yīng)的，而當時，對應(yīng)的有兩個解，不滿足題意；當時，對應(yīng)的，，而此時對應(yīng)的只有兩個解，不滿足題意；當時，令，得或，此時對應(yīng)的，，而當對應(yīng)的時，對應(yīng)一個的值，而當時對應(yīng)兩個的值，所以此時有三個解，滿足題意；當時，對應(yīng)的，而此時對應(yīng)的只有一個解，不滿足題意；故的取值范圍為.18．（1）；（2）．【解析】（1）當時，，，當時，取最小值為，當時，取最大值為；（2）的圖像的對稱軸為，要使在區(qū)間上單調(diào)，那么，或，即或，又，所以.19．（1）；（2）.【解析】(1)由題意可知:,,

,

則,

,

因為點在此函數(shù)圖象上,

,

,

;

(2),?,

?,

?,

而在上是增函數(shù)

,

,

且且,

,解得:

的取值范圍是,

解得:

的取值范圍是20．（1）；（2）.（3）存在，【解析】（1）由題意，可得，，所以，所以，所以.由點在函數(shù)圖象上，得，因為，所以，所以.（2）當時，即時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（3）由題意，實數(shù)滿足，解得.因為，所以，同理，由（2）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，只需，即成立即可，所以存在，使成立.21．（1）；（2）最大值為，此時的取值為；（3）【解析】（1）因為，是偶函數(shù)，所以對一切恒成立，所以.（2）由（1）知，因為其最小值為，所以，所以，當時，取得最大值，此時；（3）由（2）知：，，，因為在處取最小值，且點是其圖象的一個對稱中心,所以，所以，，所以，則，即，又因為，所以，，當時，，，在處取得最大值，不符合題意；當時，，，在取不到最小值，，不符合題意；當時，，，在處取得最小值，，的圖