人教A版高中數學第五章第5節(jié)《三角恒等變換》解答題提升訓練 (十)(含答案解析)

第五章第5節(jié)《三角恒等變換》解答題提升訓練(10)

一、解答題(本大題共30小題，共360.0分)

1.已知向量沆=(一sinacos。,2cosa),n=(2cos(-7r),sin(7r-^?)),其中OVaV^，三＜B＜式,

且記?n=I，求tan(a+0).

2.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知8=2C,3b=4c.

(1)求cosC；(2)若c=3,求△48C的面積.

3.在日ABC中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,已知siMB+siMc=siM4+&sin8sinC.

(1)求角4的大小;

(2)若cosB=5a=3,求c的值.

4.(一)已知角a的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點—§

(I)^sin(a+兀)的值，

(II)若銳角￡滿足sin/?=卷，求cos(a-0)的值.

(二)己知對數函數y=/(x)過點(e,l)

(1)求函數丫=/0)的解析式，

(n)證明方程/(幻+x-3=0有且只有一個根.

5.已知在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,h,c,從以下三個條件中選取一個解答該題.

①弛_￡=上=；②4cos(8+C)+2cos24=-3;@=Z-

acosA)V3cosAsin(A+sCin)+n

(1)求角A的大小；

(2)若a=g,b+c=4VL求△ABC的面積.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

6.在△力BC中，a,b,c分別是角4,B,C的對邊，且岑=一名-

cosC2a+c

(1)求B的大小；

(2)若b=V13a+c=4,求△ABC的面積.

7.如圖，以Ox為始邊作角a與。(0</?<a<7i),它們的終邊分別與單位圓相交于P,Q兩點,

已知點P的坐標為(一》求

sin2a+cos2a+l的值;

(1)1+tana

(2)若COSQCOSS+sinasinp=0,求sin(a+0)的值.

8.已知ZM8C的內角4,B,C的對應邊分別為Q,b,c,在V5cosc(QCOSB+bcos4)=csinC;

②asin=csinA；(3)(sinB-sinA)2=sin2C-sinBsin/這三個條件中任選一個，補充在

下面問題中，當_______時，求sin/LsinB的最大值.

1(九、

9.在①函數/(司=三萬(25+到0>0,闞<7的圖象向右平移套個單位長度得到g(%)的圖

象,g(x)圖象關于原點對稱；

②向量記=(V3sincox,COS2CDX),n=Qcosa)x,,o)>0,/(x)=nJ-n；

n

③函數f(x)=cosoxsina)x+——*>o).

6

這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.

已知,函數/(%)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為最

jr

⑴求勺:

(2)求函數/(x)在［0,2兀］上的單調遞減區(qū)間.

10.在①acosC+V3asinC—b—c=0,@2>/3cos2+sin(B+C)=V3,③asinB=V3>a<b

這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.

在團ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,b=2,c=l,。為線段BC上一點，回4DC與

EMB。的面積分別為S「52，且Si=2Sz，,求線段的長.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

11.設函數/'(x)=sinx(J5cosx+sinx)—

(1)求函數〃尤)的單調遞增區(qū)間；

(2)在△ABC中，a,b,c分別為內角A,B,C的對邊，若/(B)=1,b=2,且b(2-cos4)=

a(cosB+1),求△ABC的面積.

12.已知角a為銳角，且滿足：迫竺曳=_。

tana2

(1)求tan2a的值；

(2)求cos(2a-：)的值.

13.在△ABC中，B=8,點。在BC邊上，且CD=2,cosZ/lDC=

(1)求sinNBAD;

(2)求BD4c的長.

14.已知函數/(%)=cosx?sin(%+*)—V3cos2x+x6.

(1)求/(%)的最小正周期；

(2)求/⑺在閉區(qū)間［-3,可上的值域.

15.已知a,0為銳角，tana=g,tan(a4-/?)=-2.

(1)求cos2a的值.

(2)求tan(a-￡)的值.

16.已知函數/1(x)=4sin@x+w)(4>0,(o>0,\(p\<今的部分圖象如圖所

(1)求函數f(x)的解析式；

(2)將函數y=的圖象向右平移%個單位得到函數g。)，當xe［。,§時，求函數九。)=/(%)+

g(x)的值域.

17.△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為上?.

3sinB

(1)求sinAsinC；

(2)若cos/cosC=，，Z?=3,求a+c的值.

18.在①V5sinB=cosB4-1>@2bsinA=atanB>③(a—c)sinA+csinC=bsinB這三個條件中

任選一個，補充在下面的橫線上，并加以解答.已知日ABC的內角A、B、C所對的邊分別是

b、c,a=?b=遮，若.求角B的值與團48c的面積.(注：如果選擇多個條件分別

解答，按第一個解答計分.)

19設函數/'(%)=V5cos+sin&wccoscox+a(其中3>0,aE7?),且/'(%)的圖象在y軸右側的第

一個高點的橫坐標為?

O

(1)求3的值；

(2)如果/⑶在區(qū)間［/期上的最小值為禽，求a的值.

20.(1)已知角a的終邊在直線y=4無上，求2sina-3cosa的值.

(2)若0<aV-cos(：+a)=1,cosQ-=y,求cos(a+§的值.

21.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cosA=—3

(I)求$也2+cos24的值；

(11)若°=g，求AABC面積的最大值.

22.求證:

l-2sinxcosx1-tanx

(1)cos2x-sin2x1+tanx

1+sin2x-cos2x

⑵=tanx.

1+sin2x+cos2x

23.在直角坐標系xOy中，圓G的參數方程為｛；二為參數).以坐標原點。為極點，

x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C2的極坐標方程p=4sin0.

(1)求圓Q的普通方程與圓C2的直角坐標方程，并判斷圓G與圓C2的位置關系；

(2)直線2:8=a(aeGR)與圓G的異于極點的交點為A,與圓C2的異于極點的交點為8,

求|0川+|08|的最大值及此時直線/的直角坐標方程.

24.,已知函數f(x)=cosxsin(x+》—V3cos2x+^-l(xe/?).

(1)求/(x)的最小正周期及對稱軸；

(2)求/(乃在區(qū)間[-%力上的最大值和最小值，并分別寫出相應的x的值.

25.在①函數/(無)=sin(2s:+w)(3>0,|初<§的圖象向右平移汐單位長度得到g(x)的圖像,

g(x)圖像關于仁,0)對稱；②函數/(x)=2cos3xsin(3尤+-[3>0)這兩個條件中任選一

個，補充在下而問題中，并解答.

已知,函數/(久)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為最

⑴若/⑺在［0,a］上的值域為層1］,求a的取值范圍；

(2)求函數f(x)在［0,2兀］上的單調遞增區(qū)間.

26.已知f(%)=2sinx-cos(x+g)+當

(1)求/(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間；

(2)若/(a)=|,且ae(0,$,求cos(2a+J的值.

27.44BC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知asinC=ccos*

(I)求A;

(11)已知6=1,c=3,且邊BC上有一點。滿足=3544%，求AD

28.已知函數/'(x)=2sin2(x+￡)—V3cos2x-l,xG弓,與

(/)求f(x)的單調遞增區(qū)間；

(II)若不等式|/(為-叫＜2在xe[?外上恒成立，求實數〃?的取值范圍.

29.已知0</?<pcos(E+a)=-gsin(午+S)=*

444

(1)求sin(a+S)值.

(2)求cos(a-/?)的值.

30.已知函數/'(x)=V5sin2x+cos2x，x&R.

(1)求函數/(x)的最小正周期；

(2)求函數/(X)在％e［一不§的最值.

【答案與解析】

1.答案：解：,??沅?元=—sinacos/??2cos(-TT)+2cosa-sin(;r—0)

=2sinacosg+2cosasin^

=2sin(a+/?)=|,

???sin(cr+/7)=|.

又0VaV；,

<a+/?<y,

又sin(a+/?)=|>0,

-?^<a+p<n,cos(a+夕)=—%

:.tan(a+0)=—[.

解析：本題考查了向量的數量積和同角三角函數的基本關系，同時考查了兩角和與差的三角函數公

式以及誘導公式，屬于中檔題.

由記?元=：和兩角和與差的三角函數公式以及誘導公式，可得sin(a+0)=|,故可得cos(a+￡)=

~1，再由同角三角函數的基本關系可得tan(a+￡).

bc

2.答案：(l)?.?3b=4c根據正弦定理：，一=-^可得：3sinB=4sinC，

sinBsinC

B=2C，3sin2C=4sinC?3sinCcosC=2sinC,，Ce(0,〃)，sinC#0,

2

/.cosC=—.

3

(2)???c=3又???3b=4c可得：6=4，?.??！?0,乃)，/.sinC=Vl-cos2C=y^,

二sin8=sin2。=2sinCcosC=，cosB=cos2C=cos2C-sin2C=-^-,

99

sinA=sin(7U—B—C)=sin(fi+C)=sinBcosC+cosSsinC=""x---x

939327

?。1人.彳l…瑋14后

??S人4舞(、=—besinA=-x4x3x------=--------

22279

解析：本題主要考查了正弦定理、三角形面積公式、二倍角公式、誘導公式、兩角和與差的三角函

數、同角三角函數基本關系式，屬于中檔題.

(1)根據正弦定理得到3s仇8=4sinC,結合條件B=2c利用二倍角公式得到3s出CcosC=2sinCf進

?步求得cosC.

(2)由c=3結合條件得到b=4,由cosC：',用同角三角函數基本關系式求得sinC=些，進一步求

J3

得sinB,cosB,再用誘導公式及和角的正弦公式求導sinA,最后利用面積公式求得結果.

3.答案：解：(1)由正弦定理可得/+02=.2+近比，

由余弦定理得8sA=筆貯=字

因為46(0,n)，所以4=今

(2)由(1)可知sinA=y,

因為cosB=g8為團ABC的內角，所以sinB=2,

33

故sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

^i+—x—=—,

=-2x3T23-6’

由正弦定理心=看得

sin4sme

asinC3X學L

-^=2V2+1.

sinA

解析：本題主要考查了正弦定理、余弦定理、同角三角函數基本關系式、誘導公式及兩角和的正弦

公式，屬于中檔題.

(1)由正弦定理將角的條件化為邊的條件，再用余弦定理求得cosA,進一步結合角的范圍求得2;

(2)由(1)的結論和已知用同角三角函數基本關系式求得sinA,sinB,再利用誘導公式及和角的正弦公

式求得sinC,最后用正弦定理求得結果.

4.答案：(-)

解：(I)???角a的頂點與原點0重合，始邊與x軸非負半軸重合，

終邊過點P(—1,—Jx=-|,y=一打=\0P\=J(-1?+(-1=1，

???sin(a+兀)=—sina=-*=：；

(11)由％=-|,y=-g,r=\0P\=1,

得sina=-：,cosa=-|,由銳角6滿足sin。=堤得cos/?=

OOXX>3

cos(Q—￡)=cosa-cos/?+sina?sin￡=——,

65

??.cos(a-S)的值為一號.

(-)

(I)設/(“)的解析式為/1(%)=logax(a>0且aH1),

代入點(e,1),得。=6,

故函數的解析式為f(x)=Inx.

(11)令。(%)=/(x)+x-3=lnx+x-3,即證g(x)只有一個零點，

g'(x)=；+1>0(x>0)恒成立，故g(x)在定義域內單調遞增，

又g⑴=-2<0,g(3)=ln3>0,

故g(x)在(1,3)上有一個零點，又g(x)在定義域內單調遞增，

故g(x)在定義域內只有一個零點，即方程/(x)+x-3=0有且只有一個根.

解析：(一)

本題考查兩角和與差的三角函數公式及同角三角函數的基本關系，涉及誘導公式，是基礎題.

(I)由已知條件即可求r,則sin(a+兀)的值可得；

(H)由己知條件即可求sina,cosa,cos0,再由cos(a-夕)=cosa?cos0+sina?sin0代值計算得

答案.

(-)

本題考查對數函數的解析式，函數的零點與方程根的關系，考查利用導數研究函數的單調性，屬于

基礎題.

(I)設出函數的解析式，代入點即可得解.

(n)5(x)=/(x)+x-3=lnx+x-3,求出g(x)的導函數，得到其在定義域內單調遞增，即可證

明.

5.答案：解：若選①，(1)根據正弦定理知，

亞二_2smB-sinc=空￡,即2sinB-cosA=cosC?sin4+sinC?cosA,

asinAcosA

即2sinB?cosA=sin(4+C),因為44-C=冗一B,所以2sinB?cosA=sinB,

1_TT

又sin8H0,解得cosA=］又AE(0,兀)，所以

(2)因為a?=h2+c2-2bccosi4=(h4-c)2-2bc-2bccosA,a=V14,b+c=4近，』=

所以(Sq)2=(4V2)2-2bc-2bcxI，得be=6,所以S』BC=1尻-sin=|x6xsin^=手.

若選②，(1)由題意可得4cos(8+C)+2(2cos2A-1)=—3,又cos(B+C)=—cosA,

所以一4cosA+2(2COS2A-1)=—3,所以4cos24—4cos>1+1=0,解得cos4=｝又4e(°，兀)，

所以4=與

(2)因為a?=fa2+c2-2bccos4=(b+c)2-2bc—2bccosA,a=V14,b+c=4或，^4=p

所以(VT?)2=(4\/2)2-2bc-2bcxI，得be=6,所以=2bc.sinA=1x6xsing=當.

若選③，(1)由正弦定理及高=而扁，得號=湍%，

又sin(A+C)=sin(zr—B)=sinB,所以、黑\=得tanA=V3-

又4€(0,TT),所以

22

(2)因為a?=fa4-c-2bccos4=(b+c)2—2bc—2bccosAfa=V14,b+c=4V2,=p

所以(VH)2=(4V2)2-2bc-2bcxi,得兒=6,所以乂而。=：兒?sina=：x6xsin；=苧.

解析：本題主要考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式、兩角和與差的三角函數、同角三角函數之

間的關系及三角形面積公式，考查了學生的計算能力，培養(yǎng)了學生分析問題與解決問題的能力.

若選①，(1)根據正弦定理及兩角和與差的三角函數即可求得結果；

(2)利用余弦定理及三角形面積公式即可求得結果.

若選②，(1)可以二倍角公式即可求得結果；

(2)利用余弦定理及三角形面積公式即可求得結果.

若選③，(1)利用正弦定理及同角三角函數之間的關系即可求得結果；

(2)利用余弦定理及三角形面積公式即可求得結果.

6.答案：(1)由正弦定理得，a=2Rs譏A,b=2RsinB,c=2RsinC,

cosBsiid?

cosC2siiu4+siiiC'

即2sinAcos8+cosBsinC=-sin^cosC,

:.2sinAcosB=—(cosBsinC+sinBcosC)

=-sin(B4-C)=—sinA,

???A為三角形的內角，si幾4HO,

/.ct)?2?=，

???8為三角形的內角，

*)

(2)由余弦定理得，b2=a24-c2—2accosB,

得廬=(a+c)2—2ac—2accosB,

因為b=a4-c=4,B=-n,

.-.13=16-2acx(l-i),

**?CLC—3,

°1??3/i

解析：本題考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，考查運算求解能力，屬于中檔題.

(1)由正弦定理得，號二半BK，可得結合B的范圍即可求出結果；

cusC2SIIL4+sniC2

(2)由余弦定理得，b2=a2+c2—2accosB,可得13=16—2acx(1-解得ac=3,利用三角

形面積公式即可求出答案.

7.答案：解：(1)由三角函數定義得cosa=—|,sina=p

百2sinac°sa+2c°s%_2cosa(sina+cosa)_?2?乂/_三避_竺

??原式]?sinasina+cosa/COSCC/X(2s.

cosacosa

(2)vcosacosp+sinasin/?=cos(a—6)=0,且0</?<a<TT,

:?a-0='/.y?=a-p

???sinp=sin(a-；)=—cosa=|,

cos/?=cos(a—1)=sina=1.

44337

:.sin(a+￡)=sinacos￡+cosasin/?=-x-+(—-)x-=—.

解析：本題考查了三角函數的定義及基本關系式，誘導公式，二倍角公式，兩角和與差的三角函數

公式等，記住基本的三角恒等變形式是關鍵.

(1)先利用倍角公式將s譏2a,cos2a化為單角的三角函數，利用同角三角函數的基本關系將tcma用

sina,cosa表示，再根據三角函數的定義可求得；

(2)由cosacos/?+sinasin0=0得a—，=],故可求得si"0、cos。，由兩角和與差的三角函數公式求

值.

8.答案：解：若選①，

由正弦定理得加cosC(sirh4cosB+sinBcos4)=sinCsinC.

即次cosCsin(A+B)=sinCsinC，

因為sMCH0,

所以次=tanC,

又0<C<n,

則C與

若選②，

由正弦定理知:sinAsin芋=sinCsin定

所以cosg=sinf=2sin^cosp

因為cos^HO,所以

因為0VCV7T,所以C=g;

若選③，

由正弦定理知(b-a)2=c2-ab,

222

:.ft4-a—c=abf

由余弦定理知：cosC=I，

由0VCVTT得c=g,

所以4+8=拳

2n

???sinA-sinB=sinA-sin(———A)

V31

=sinA?(—cosA+-sin4)

V31

=—sin>l?cosA4--sin9z?l

V31

=—sin2A4--(1—cos24)

44

=isin(2/l-5+i,

???46(0,爭,

???2"W爺，

所以當4=(時,sinA?sinB的最大值是

34

解析：本題考查了正弦定理、余弦定理、三角函數的最值和三角恒等變換，是中檔題.

若選①，則由正弦定理口」得，5cosC(sin4cosB+sinBcosTl)=sinCsinC,化簡口丁得遮=tanC,則C=

n

3；

若選②，則由正弦定理知：sinAsin?=sinCsin/,化簡得sing=｝得C=g；

若選③，則由正弦定理知(b-a)2=c2-c,則82+彥―2=兒，由余弦定理可得C=全

所以4+8=拳則sin/?sinB=sinA,sin(g—/),由三角恒等變換和三角函數性質可得最大值.

9.答案：解：選條件①

由題意可知，T=三=7T,??,3=1

2a)

???/(X)=］in(2x+>),二g(x)=］in(2x+p—§,

又函數g(x)圖象關于原點對稱，二8=1兀+,卜62,

=?,-/(X)=isin(2x+^),

/OZ\o/

(l)f《)=；sin|"F；

(2)由衛(wèi)+2/CTTq2.x+'W27T+2.kji,kWZ,得巴+kii<xW2zr+kTi,kEZ,

26263

令k=0,得令k=1,得Z"工、工9兀，

6363

二函數f(x)在［0,2兀］上的單調遞減區(qū)間為長,|兀］,［3兀(兀］.

方案二：選條件②

???m=(V3sincox,cos2(ox),n=Qcosaix,,

V31

???/(%)=m-n=—sina)xcosa)x+-cos2a)x

1/V31\

—sin2a)x+-cos2toxI

2

=［sin(23%+》

又T=—=yr,???3=1,???f(x)=1sin(2x+

2coJ

(1)/(-)=-sin-7r=—;

'W234

(2)由—F2fc/rW2.xH—W'兀+2fc/r,kWZ,得°+kjiW%W-TT+kn,kWZ,

26263

令k=0,得!4工工；"，令k=1,得:"4x4=71,

6363

???函數/(x)在［0,2兀］上的單調遞減區(qū)間為長,|兀］,［，|斗

方案三：選條件③

/(%)=coscoxsin(o>x+§-［=cosa)x(sincoxcos,+cosa)%sin§—［

6.,121V3.,1

=-sino)xcosx+-cosza)x——=—sin2Qa)x+-cos2neox

22444

=2Csin2a%+jcos2eox)=jsin(2a%+/),

又7=1^=7'?,?3=1,???f(x)=［sin(2%+§,

⑴心=封承=?；

(2)由1+2kli<2X+^<|TT4-2kn,k6Z,得專4-fc7r<x<|7r+kn,keZ,

令k=0,得,<工工|兀，令k=1,得3〃工工工［九.

.??函數f(x)在［0,2兀］上的單調遞減區(qū)間為t，|可D］

解析：本題考查三角恒等變換、三角函數的性質和數量積，屬于基礎題型.

選條件①，利用周期性和對稱性求出解析式；

選條件②，由數量積的坐標表示和三角恒等變換公式得fW=：sin(23x+9，由周期性

求出解析式；

選條件③，由三角恒等變換公式得=：sin(23x+9,由周期性求出解析式.

(1)求出解析式后，賦值計算即可；

(2)利用正弦型三角函數的性質即可求解.

10.答案：解：選①：因為acosC+V5asinC—b—c=0,

所以sin/cosC+巡sinAsinC-sinB-sinC=0,

又因為4+C=TT-8,

所以sinAcosC+V3siny4sinC-sin(X+C)—sinC=0,

所以sinCsin(力一/)=|sinC,

又因為A,CG(0,7r),所以4=%

又因為b=2,c=1,所以a?=h24-c2—2bccosA=3,

所以〃=。2+<2,故8=方

因為Si=2Sz，所以2x：BDxc=[CDxc,

所以2BD=CD,BD=-BC=-.

33

選②：因為28cos2+sin(B+C)=V3,

所以sin(B+C)=-V3cos(5+C)，所以sin4=A/5COS4,

因為4c(0,兀),所以4=4

又因為b=2,c=1,所以a?=b2+c2—2bccosA—3,

所以/?2=a2+c2,故8=]，

因為品=252，所以2xgB0xc=TC0xc,

所以2BD=CD,BD=-BC=—.

33

選③：因為asinB=8，所以2asin8=2遮，

又因為b=2,所以2asinB=V3b,

由正弦定理知,2sin4sinB=V3sinB>

又因為A,BG(0,yr),且aVb,所以力=g,

又因為C=1,所以。2=匕2+_2bcCQSA=3,

所以62=Q2+C2,故8=今

因為SI=252，所以2X[BOXC=TC￡)XC,

所以28D=CD,BD=-BC=—.

33

解析：本題考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，三角恒等變換在解三角形中的運用，考

查了分析和運算能力，屬于中檔題.

選擇條件①，結合正弦定理和三角恒等變換將已知式子進行化簡得到sinCsin。!-§=《sinC,即可

求出角A,從而利用余弦定理可得方2=a?+c2,則B=p進而根據Si=2s2,利用三角形面積公式

可求出BD.

選擇條件②，利用二倍角公式可推出sin4=遍cosA，即可求出角A,下同①；

選擇條件③，利用正弦定理可得2sin4sinB=gsinB,由此可求出角4,下同①.

11.答案：解：(1)由題意得：

,l、1

/(x)=sinx[yj3cosx4-sinx)—~

L1

=v3sinxcosx+sin9zx--

y/31-cos2x1

=—sinlx+----------------

=sin(2x-*),

則——+2/CTTW2X—W—F2kR,kGZ,

262

解得一￡+kn<xknkeZ

63t9

即函數/GO的單調遞增區(qū)間為[一廿時,升同，kez；

⑵???/(B)=1,BG(0,兀)，

：.f(B)=sin(2B-勻=1,

B=-,

3

由正弦定理得：

vb(2—cosA)=a^cosB+1),

???sinB(2—cosA)=sinA(cosB+1),

..D—

?D——9

???-sinA+—cosA=V3,

22

即sin(A+*)=1,

??FC(。書,

???4+8+C=7T,

??.△4BC為邊長為2的正三角形，

故又48c=|a^sinC=1x2x2Xy=V3.

解析：本題考查三角形面積公式，考查正弦定理，兩角和差公式，難度較大.

(1)先將括號展開，利用兩角和差公式將函數化簡，根據函數圖象的性質找出函數的遞增區(qū)間；

(2)先求出8的值，再將已知等式利用正弦定理進行化簡，可得出△ABC為正三角形，即可求出三角

形的面積.

tana+tan

12.答案：解：⑴由3誓7,得—13'即3tan2a-5tana-2=0,

解得tana=2或tana=-

???角a為銳角，???tana=2,

???tan2a=2tana4

1-tan2a1-43

222

(2)當tana=2時，cos2a=cosa-sina1-tana1-4

cos2a+sin2a1+tan2a1+4

2sinacosa2tana_4_4

sin2a=cos2a+sin2a1+tan2a1+45'

nnn

cos(2a——)=cos2acos—+sin2asin—

44

一X立+〃立=立

525210

解析：本題考查兩角和與差的三角函數公式以及二倍角公式.

(1)由已知利用兩角和的正切公式化簡求出tana的值，然后再由正切的二倍角公式即可求解;

(2)由題意求出cos2a和sin2a的值，然后利用兩角差的余弦公式進行求解.

13.答案：解：(1)在A/WC中，???COSZTIOC=3

???sinZ-ADC=—7>

???sinZ-BAD=sin(Z.ADC—乙B)

=sinZ-ADCcos3-3-co1s4Z-ADCsin-=—?

(2)sin±/D8=sin^ADC=手

則在△的中，由正弦定理得皿=黑辭=3,

則8c=BD+DC=5.

在^ABC中，由余弦定理得AC?=AB2+BC2_248.BC?cosB=49,

?-AC=7.

解析：本題考查了正弦定理、余弦定理和兩角和與差的三角函數公式，是中檔題.

(1)先由cos乙4DC=｝得出sinZTlDC=竽，再由sinZ_B4。=sin(乙4DC—Z_B)展開計算即可;

(2)根據三角形邊角之間的關系，結合正弦定理和余弦定理即可得到結果.

14.答案：解:(1)由已知，有/(%)=cos%gsinx+號cos%)—+=

1.V3V3

=-sinxcosx———■cos2zx+—

224

=—sin2x———(1+cos2x)+—

1V3

=—sin2x-----cos2x

44

噌*D

/(%)的最小正周期T=y=7T.

(2)由％e［-；,；］＞

所以一—三Wg

o36

所以當2x冶屋時，f(x)的最大值為%

當2X一；=一與時，/(x)的最小值為一點

???函數/(x)在閉區(qū)間［十引上的最大值為方最小值為-i.

“X)在閉區(qū)間卜？用上的值域為［一言

解析：本題考查正弦型函數的性質，考查兩角的和差公式和二倍角公式，屬于中檔題.

(1)由已知利用兩角和與差的三角函數公式及倍角公式將/(%)的解析式化為一個復合角的三角函數

式，再利用正弦型函數y=As譏(3%+*)+8的最小正周期計算公式7="，即可求得函數/(x)的最

小正周期；

(2)根據三角函數性質求出最值即可，故得答案

_sina_4

tan。=加■,

{sin2a+cos2a=1

sina=1

解得:3'

cosa=-

???cosQ2a=cos2za—si.n2za=-9------1-6-=-----7-；

252525

(2)由(1)知，sin2a=2sinacosa=2x^x|=|^,

24

sin2a24

則tan2a=

cos2a7

tan(a-0)=tan[2a—(a+1)]=tan2a-tan(a+/?)

1+tan2atan(a+0)'

24、io

_(__-7_2

1+(號>(-2)=亨=一五'

故tan（a-夕）=一M

解析：本題主要考查同角三角函數的基本關系，二倍角公式，兩角和差的正弦，正切公式的應用,

屬于中檔題.

(1)利用同角三角函數的關系以及二倍角公式即可求值；

(2)先求出tan2a=-y,再利用tan(a—￡)=tan[2a—(a+/?)]即可求解.

16.答案：解：(1)■.■7=2x(^-^)=7r,.-.a)=-=2

6371

則/(%)=Asin(2x4-(p),

由圖可得，/(工)=一4

7Q-TT

即2X石7r+=-7T+2/CTT(/CGZ),\(p\<

??.(p=三,即f(%)=Asin(2x+g)

又/'(())=Asin日=百，即34=6，

則A=2

???f(x)=2sin(2x+

(2)依題意g(%)=2sin2xf

nb1

九(%)=2sin(2x+—)4-2sin2x=3sin2x+\3cos2x=2v3(—sin2x+-cos2x)

=2V3sin(2x+》

,:xG[0勺,2x+e碎，?，

2V3sin(2x+-)6[-V3,273],

6

/I(x)的值域為[一四,2g].

解析：(1)根據三角函數的圖象求出4,3和租的值即可

(2)根據三角函數的平移關系求出9(%)和h(x)的解析式，結合三角函數的有界性進行求解即可

本題主要考查三角函數的圖象和性質，根據條件求出函數的解析式是解決本題的關鍵.

17.答案：解：(1)由三角形的面積公式，

可得SBIABC=^bcsinA=

???3csinBsinA=2b,

由正弦定理可得3s譏CsinBsinA=2sinB,

vsinB工0,

2

???sinAsinC=一；

3

(II)vcosAcosC=",

6

???cos/lcosC—sinAsinC=-

2

???cos(/l+C)=—I，

???cosB=

2

???0VBV7T,

??.B=p

???由正弦定理得一二二=2R2X/3,

SIIL4sinHsmC

2

sin/lsinC=

3

???ac=8,

由余弦定理得爐=a234-c2-2accosB,

???a2+c2—ac=9,

:、(a+c)2=33,

???a+c=V33-

解析：本題考查了三角形的面積公式，兩角和差的余弦公式，正弦定理，余弦定理的應用，屬于中

檔題.

⑴由三角形的面積公式，得到3csinBs譏4=2b,利用正弦定理進行化簡整理，即可求出sinAsinC；

(2)由已知cosAcosC=得到cos(A+C)=-；,可得8=三利用正弦定理列式，得到ac=8,再

623

由余弦定理得到a+c=后，即可求出a+c.

18.答案：解:選①由遍sinB=cosB+1，可得sin(B-}

因為86(0,兀)，所以8*=也所以B=g,

由正弦定理：&=目，得sinA=烏又因為a<b,所以4=三

smAsinB24

所以sinC=sin75°=sin(45°4-30°)

=sin45°cos30°+cos450sin300='"+'",

4

所以Sgj/Bc=|nbsinC=

選②由2bsin4=atanB得2bsin4cosB=asinB,

由正弦定理：三b化簡得cosB=1

sinB，

因為8W(0,7r),所以B=%以下與選①相同.

選③由正弦定理：-T—=-T--=(。-c)sin4+csinC=bsinB

可化簡為小—ac+c2=b2而cosB="+，一”=-

2ac2

因為Be(0,7T),所以B=泉以下與選①相同.

解析：本題考查解三角形和三角恒等變換，屬于一般題.

選①，由條件得得sin(BY)=1,求出8,再由正弦定理求A,進一步求C,從而求出三角形的面

積；

選②，利用正弦定理即可求3,以下與選①相同.

選③，利用正弦定理和余弦定理即可求8,以下與選①相同.

19.答案:

解：(l)/(x)=V3x+|sin2a)x+a=sin(2cox+g)+?+a，

由題意知，23XB+T=M得3=：；

(2)由(1)知，/")曲1卜+1)++a,

7T//571

,一產工47

?,,0工%+左？

36

-1<sin(x+^)<1,

??.f(x)的最小值為：-^4-y+a=V3,

解析：本題考查二倍角公式及輔助角公式，同時考查函數y=As譏(wc+w)的圖象與性質.

(I)利用二倍角公式和兩角和公式對函數解析式化簡，求得3即可；

(U)根據的解析式求得函數的最小值的表達式，進而求得a.

20.答案：解：⑴因為角a的終邊在直線y=4x上,

則tana=4,角a的終邊在第一象限或第三象限

①當角a的終邊在第一象限時，cosa=*,sina=?會,

2……迎皿="

171717

②當角a的終邊在第三象限時，cosa=—詈,sina=~~~~

2疝。-3--g+啦=5v/17

1717

5V街或—5僅

綜上所述2sine-3co?c

1717

(2)v0<a<p-=</?<0,

，一冗〈，一冗+ia<-——3冗，式一<,——冗-B<,冗

4444422

???COSg+a)=i,C0Sg-Q=^,

1十筆有哈加J1-1=^

???sin+a

33

則

1瓜瓜

+-x—4-X——

(7°(%。3

解析：本題主要考查三角函數的定義，考查象限角，兩角和與差公式，是基礎題.

(1)由角a的終邊在直線y=4%上，得tana=4,角a的終邊在第一象限或第三象限，對

角a的終邊在第一象限與第三象限分類討論即可求值，

⑵易求得sin(;+?)==誓，/仁一與)==爭而

<xw(c+9)=cos[(：+一一4)]利用兩角和與差公式即可解.

O1p

21.答案：解：(1)由「二蕓,+CS2.A

/71-A\

=sino2(---j+2coso24—1

=co?2—+2cos?！?

2

1+Cd,c241

=「一+22.4-1

W+2x(-?lT

(2)在4ABC中，cosA=-I，

可得sinA=\/l—cctiiA=yl—9

由余弦定理可得

Q2=非+c2+2兒》2bc+-bc=-be,

333

即be《療2,

o=o

當且僅當b=c=乎時.，取到等號，

則^ABC面積為三besinA<-x-x—=

22838

所以△ABC面積的最大值為延.

8

解析：本題考查了誘導公式、二倍角公式的化簡求值問題，同角三角函數關系式的應用，余弦定理

的應用，基本不等式求最值問題，屬于中檔題.

(1)由已知利用誘導公式、二倍角公式進行化簡求值，即可得結果；

(2)由已知利用同角三角函數關系式，可得37部，再利用余弦定理結合基本不等式求最值,

即可求出△AB