2017年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)ⅱ）（含解析版）

2017年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)口）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的。

1.（5分）&±=（）

1+i

A.l+2iB.1-2iC.2+iD.2-i

2.（5分）設(shè)集合A二{1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若AGB={1},則B=（）

A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}

3.（5分）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠看巍巍塔七層，

紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？〃意思是：一座7層塔

共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的

頂層共有燈（）

A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞

4.（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為L粗實線畫出的是某幾何體的三

視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為

（）

A.90nB.63nC.42nD.36n

‘2x+3y-3<0

5.（5分）設(shè)x,y滿足約束條件,則z=2x+y的最小值是（）

A.-15B.-9C.1D.9

6.（5分）安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1

人完成，則不同的安排方式共有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

7.（5分）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去問老師詢問成語競賽的成績.老師說:

你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙

的成績，給丁看甲的成績.看后甲對大家說：我還是不知道我的成績.根據(jù)

以上信息、，則（）

A.乙可以知道四人的成績B.丁可以知道四人的成績

C.乙、丁可以知道對方的成績D.乙、丁可以知道自己的成績

8.（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的a=-l,則輸出的S=（）

22

9.（5分）若雙曲線C：工-匚=1（a>0,b>0）的一條漸近線被圓（x-2）

2,2

ab

2+y2=4所截得的弦長為2,則C的離心率為（）

A.2B.V3C.V2D.

3

10.（5分）已知直三棱柱ABC-AiBiJ中,ZABC=120",AB=2,BC=CCi=l,則

異面直線ABi與BCi所成角的余弦值為（）

A.區(qū)B.C.D.V3

2553

11.（5分）若x=-2是函數(shù)f（x）=（x2+ax-1）exr的極值點，則f(x)的極

小值為（）

A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1

12.（5分）已知^ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則笆?

（PB+PC）的最小值是（）

A.-2B.-1C.-AD.-1

23

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放

回地抽取100次.X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX=.

14.（5分）函數(shù)f（x）=sin2x+?cosx-史（xG[0,—）的最大值是.

42

（分）等差數(shù)列｛｝的前項和為則￡—=?

15.5annSn,a3=3,S4=10,

k=l

16.（5分）已知F是拋物線C：y2=8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交

y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~

21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根

據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分。

17.（12分）ZkABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin（A+C）=8sin2A.

2

(1)求cosB；

(2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求b.

18.（12分）海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲

時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）,其頻率分

布直方圖如圖：

舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法

（1）設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件"舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低

于50kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg〃，估計A的概率;

（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖

方法有關(guān)：

箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量三50kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值（精

確至U0.01).

附:

P(K2^k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

心_____n(ad-bc)2______

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

19.(12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面

ABCD,AB=BC=1AD,ZBAD=ZABC=90°,E是PD的中點.

(1)證明：直線CE〃平面PAB；

(2)點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角M-AB

-D的余弦值.

_2

20.(12分)設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓C：1+y2=i上，過M作x軸的

垂線，垂足為N,點P滿足而=加而.

(1)求點P的軌跡方程;

(2)設(shè)點Q在直線x=-3上，且希?西=1.證明：過點P且垂直于OQ的直線

I過C的左焦點F.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)NO.

(1)求a；

(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點xo，且er<f(xo)<22.

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，

則按所做的第一題計分。［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

22.（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建

立極坐標(biāo)系，曲線Ci的極坐標(biāo)方程為pcos6=4.

（1）M為曲線Ci上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|?|OP|=16,求點

P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點A的極坐標(biāo)為（2,工），點B在曲線C2上，求aOAB面積的最大值.

3

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.已知a>0,b>0,a3+b3=2.證明:

(1)(a+b)(a5+b5)24；

(2)a+bW2.

2017年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)口）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的。

1.（5分）上包=（）

1+i

A.l+2iB.1-2iC.2+iD.2-i

【考點】A5：復(fù)數(shù)的運算.

【專題】11：計算題.

【分析】分子和分母同時乘以分母的共輾復(fù)數(shù),再利用虛數(shù)單位i的哥運算性質(zhì)，

求出結(jié)果.

【解答】解：9=（3+i）』-i）=lzgj_=2-i,

1+i（l+i）（l-i）2

故選：D.

【點評】本題考查兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的累運算性質(zhì)，兩個

復(fù)數(shù)相除，分子和分母同時乘以分母的共輾復(fù)數(shù).

2.（5分）設(shè)集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若ACB={1},則B=（）

A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}

【考點】IE：交集及其運算.

【專題】34：方程思想；40：定義法；5J：集合.

【分析】由交集的定義可得1CA且1CB,代入二次方程，求得m,再解二次

方程可得集合B.

【解答】解：集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.

若AAB={1},則IGA且1GB,

可得1-4+m=0,解得m=3,

即有B={x|x?-4x+3=0}={1,3}.

故選：C.

【點評】本題考查集合的運算，主要是交集的求法，同時考查二次方程的解法,

運用定義法是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題："遠看巍巍塔七層，

紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？"意思是：一座7層塔

共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的

頂層共有燈（）

A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞

【考點】89：等比數(shù)列的前n項和.

【專題】34：方程思想；40：定義法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】設(shè)塔頂?shù)腶i盞燈，由題意{a。}是公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列

前n項和公式列出方程，能求出結(jié)果.

【解答】解：設(shè)塔頂?shù)陌啾K燈，

由題意{an}是公比為2的等比數(shù)列，

解得a1=3.

故選：B.

【點評】本題考查等比數(shù)列的首項的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注

意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用.

4.（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三

視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為

（）

C.42rlD.36n

【考點】L!：由二視圖求面積、體積.

【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；5Q：立體幾何.

【分析】由三視圖可得，直觀圖為一個完整的圓柱減去一個高為6的圓柱的一

半，即可求出幾何體的體積.

【解答】解：由三視圖可得，直觀圖為一個完整的圓柱減去一個高為6的圓柱

的一半，

V=n?32X10-l?n?32X6=63n,

2

故選：B.

【點評】本題考查了體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

r2x+3y-3<0

5.（5分）設(shè)x,y滿足約束條件.2x-3y+3>0，則z=2x+y的最小值是（)

y+3>0

A.-15B.-9C.1D.9

【考點】7C：簡單線性規(guī)劃.

【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；5T：不等式.

【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解目標(biāo)函數(shù)的最小

值即可.

‘2x+3y-3<0

【解答】解：x、y滿足約束條件,2x-3y+3>0的可行域如圖：

y+3》0

z=2x+y經(jīng)過可行域的A時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，

由‘尸與解得A（-6,-3）,

[2x-3y+3=0

則z=2x+y的最小值是：-15.

故選：A.

【點評】本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及計算能力.

6.（5分）安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1

人完成，則不同的安排方式共有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

【考點】D9：排列、組合及簡單計數(shù)問題.

【專題】11：計算題；49：綜合法；50：排列組合.

【分析】把工作分成3組，然后安排工作方式即可.

【解答】解：4項工作分成3組，可得：c?=6,

安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成,

可得：6X&3=36種.

n3

故選：D.

【點評】本題考查排列組合的實際應(yīng)用，注意分組方法以及排列方法的區(qū)別，

考查計算能力.

7.（5分）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去問老師詢問成語競賽的成績.老師說:

你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙

的成績，給丁看甲的成績.看后甲對大家說：我還是不知道我的成績.根據(jù)

以上信息，則（）

A.乙可以知道四人的成績B.丁可以知道四人的成績

C.乙、丁可以知道對方的成績D.乙、丁可以知道自己的成績

【考點】F4：進行簡單的合情推理.

【專題】2A：探究型；35：轉(zhuǎn)化思想；48：分析法；5M：推理和證明.

【分析】根據(jù)四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說話，繼而可以推出

正確答案

【解答】解：四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說話，

甲不知自己的成績

玲乙丙必有一優(yōu)一良，（若為兩優(yōu)，甲會知道自己的成績；若是兩良，甲也會知

道自己的成績）

玲乙看到了丙的成績，知自己的成績

玲丁看到甲、丁也為一優(yōu)一良，丁知自己的成績，

給甲看乙丙成績，甲不知道自己的成績，說明乙丙一優(yōu)一良，假定乙丙都是優(yōu),

則甲是良，假定乙丙都是良，則甲是優(yōu)，那么甲就知道自己的成績了.給乙

看丙成績，乙沒有說不知道自己的成績，假定丙是優(yōu)，則乙是良，乙就知道

自己成績.給丁看甲成績，因為甲不知道自己成績，乙丙是一優(yōu)一良，則甲

丁也是一優(yōu)一良，丁看到甲成績，假定甲是優(yōu)，則丁是良，丁肯定知道自己

的成績了

故選：D.

【點評】本題考查了合情推理的問題，關(guān)鍵掌握四人所知只有自己看到，老師

所說及最后甲說話，屬于中檔題.

8.(5分)執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的a=-l,則輸出的$=()

A.2B.3C.4D.5

【考點】EF：程序框圖.

【專題】11：計算題；27：圖表型；4B：試驗法；5K：算法和程序框圖.

【分析】執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的S,K值，當(dāng)K=7時，程序終

止即可得到結(jié)論.

【解答】解：執(zhí)行程序框圖，有S=0,K=l,a=-l,代入循環(huán)，

第一次滿足循環(huán)，S=-1,a=l,K=2；

滿足條件，第二次滿足循環(huán)，S=l,a=-1,K=3；

滿足條件，第三次滿足循環(huán)，S=-2,a=l,K=4；

滿足條件，第四次滿足循環(huán)，S=2,a=-1,K=5；

滿足條件，第五次滿足循環(huán)，S=-3,a=l,K=6；

滿足條件，第六次滿足循環(huán)，S=3,a=-l,K=7；

KW6不成立，退出循環(huán)輸出S的值為3.

故選：B.

【點評】本題主要考查了程序框圖和算法,屬于基本知識的考查，比較基礎(chǔ).

22

9.（5分）若雙曲線C：--匚=1（a>0,b>0）的一條漸近線被圓（x-2）

2,2

ab

2+y2=4所截得的弦長為2,則C的離心率為（）

A.2B.V3C.V2D.2M

3

【考點】KC：雙曲線的性質(zhì)；KJ：圓與圓錐曲線的綜合.

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性

質(zhì)與方程.

【分析】通過圓的圓心與雙曲線的漸近線的距離，列出關(guān)系式，然后求解雙曲

線的離心率即可.

22

【解答】解：雙曲線C：二-匚=l（a>0,b>0）的一條漸近線不妨為：bx+ay=O,

2,2

ab

圓（x-2）2+y2=4的圓心（2,0）,半徑為：2,

22

雙曲線C：與-匕=1（a>0,b>0）的一條漸近線被圓（x-2）2+丫2=4所截得

ab

的弦長為2,

可得圓心到直線的距離為：疹/=理=/儂1,

va+b

22

解得：9s：乎_=3,可得e2=4,即e=2.

C

故選：A.

【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，圓的方程的應(yīng)用，考查計算能力.

10.（5分）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ZABC=120",AB=2,BC=CCi=l,則

異面直線ABi與BQ所成角的余弦值為（）

A.返B.C.D.近

2553

【考點】LM：異面直線及其所成的角.

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；40：定義法；5G：空間角.

【分析】【解法一】設(shè)M、N、P分別為AB,BBi和BiCi的中點，得出ABi、BCi

夾角為MN和NP夾角或其補角；根據(jù)中位線定理，結(jié)合余弦定理求出AC、

MQ,MP和/MNP的余弦值即可.

【解法二】通過補形的辦法，把原來的直三棱柱變成直四棱柱，解法更簡潔.

【解答】解：【解法一】如圖所示，設(shè)M、N、P分別為AB,BBi和BiJ的中點，

則ABi、BCi夾角為MN和NP夾角或其補角

（因異面直線所成角為（0,三］）,

2

可知MN」ABi=返，

22

NP」BCi=返；

22

作BC中點Q,則△PQM為直角三角形；

VPQ=1,MQ」AC,

2

△ABC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB?BC?cosNABC

=4+1-2X2X1X（-1）

2

=7,

.?.AC=V7，

MQ=。

2_

在AMQP中，MP=J^麗=年；

在apiviN中，由余弦定理得

C的m件厚2產(chǎn)［_叵

2-MN-NPV5XV25

’22

又異面直線所成角的范圍是（0,三］,

2

??.ABi與BJ所成角的余弦值為叵.

5

【解法二】如圖所示,

補成四棱柱ABCD-AiBiCiDi,求NBJD即可;

BJ=&,60=^22+12_2><2><1><cos6Qo=73>

CiD=V5>

2+BD2=2J

BC1C1D

AZDBCI=90",

COSNBCID=YI'」.

V55

故選：C.

【點評】本題考查了空間中的兩條異面直線所成角的計算問題，也考查了空間

中的平行關(guān)系應(yīng)用問題，是中檔題.

11.(5分)若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)exl的極值點，則f(x)的極

小值為()

A.-1B.-2e3C.5e3D.1

【考點】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用極值點，求出a,然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解

函數(shù)的極小值即可.

【解答】解：函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex*

可得F(x)=C2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1,

*=-2是函數(shù)￡(x)=(x2+ax-1)ex「i的極值點，

可得：f'(-2)=(-4+a)e-3+(4-2a-1)e-3=0,即-4+a+(3-2a)=0.

解得a=-1.

可得「(x)=C2x-1)ex-1+(x2-x-1)ex-1,

=(x2+x-2)ex*函數(shù)的極值點為：x=-2,x=l,

當(dāng)xV-2或x>l時，「(x)>0函數(shù)是增函數(shù)，xG(-2,1)時，函數(shù)是減

函數(shù)，

x=l時，函數(shù)取得極小值：f(1)=(I2-1-1)e「1=-1.

故選：A.

【點評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的求法，

考查計算能力.

12.(5分)已知^ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則柒?

(PB+PC)的最小值是()

A.-2B.-3.C.-AD.-1

23

【考點】90：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；4R：轉(zhuǎn)化法；5A：平面向量及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的

公式進行計算即可.

【解答】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，以BC中點為坐標(biāo)原點，

貝IA(0,5)，B(-1,0),C(1,0),

設(shè)P(x,y),則PA=(-x,遙-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y),

則蘇?(PB+PC)=2x2_2?y+2y2=2以2+(y-返)2-旦］

24

【點評】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，利用坐

標(biāo)法是解決本題的關(guān)鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放

回地抽取100次.X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX=1.96.

【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差.

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；51：概率與統(tǒng)計.

【分析】判斷概率滿足的類型，然后求解方差即可.

【解答】解：由題意可知，該事件滿足獨立重復(fù)試驗，是一個二項分布模型，

其中，p=0.02,n=100,

則DX=npq=np(1-p)=100X0.02X0.98=1.96.

故答案為：1.96.

【點評】本題考查離散性隨機變量的期望與方差的求法，判斷概率類型滿足二

項分布是解題的關(guān)鍵.

14.(5分)函數(shù)f(x)=sin2x+?cosx-史(xG[0,—])的最大值是1.

42

【考點】HW：三角函數(shù)的最值.

【專題】U：計算題；33：函數(shù)思想；4J：換元法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；57：

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

【分析】同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.

【解答】解：f(x)=sin2x+V3cosx-^=1-cos2x+V3cosx-—,

44

令cosx=t且tG[0,1],

貝Iy=-t2+V3t+l=-(t-返)2+i,

42

當(dāng)1=近時，f(t)max=l,

2

即f(x)的最大值為1,

故答案為：1

【點評】本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題

15.(5分)等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,a3=3,S4=10,則￡—=_^_.

k=lSk曲

【考點】85：等差數(shù)列的前n項和；8E：數(shù)列的求和.

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】利用已知條件求出等差數(shù)列的前n項和，然后化簡所求的表達式，求

解即可.

【解答】解：等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，a3=3,S4=10,s4=2(a2+a3)=10,

可得a2=2,數(shù)列的首項為1,公差為1,

Sn=n(n+1),2-2(1-__5—),

2Snn(n+1)nn+1

貝I]￡—=2[1-l+4L+LJL+...+L^^]=2(1-)=^L.

k=i$k22334nn+1n+ln+1

故答案為：_22_.

n+l

【點評】本題考查等差數(shù)列的求和，裂項消項法求和的應(yīng)用，考查計算能力.

16.(5分)已知F是拋物線C：y2=8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交

y軸于點N.若M為FN的中點，則1FN1=6.

【考點】K8：拋物線的性質(zhì).

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】求出拋物線的焦點坐標(biāo)，推出M坐標(biāo)，然后求解即可.

【解答】解：拋物線C：y2=8x的焦點F(2,0),M是C上一點，F(xiàn)M的延長線

交y軸于點N.若M為FN的中點，

可知M的橫坐標(biāo)為：1,則M的縱坐標(biāo)為：±2?,

FN=2FM=2?-2)2+(±2&-。產(chǎn)6?

故答案為：6.

【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~

21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根

據(jù)要求作答.(一)必考題：共60分。

17.(12分)4ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2l.

2

(1)求cosB；

(2)若a+c=6,4ABC的面積為2,求b.

【考點】GS：二倍角的三角函數(shù)；HP：正弦定理.

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；58：解三角形.

【分析】(1)利用三角形的內(nèi)角和定理可知A+C=n-B,再利用誘導(dǎo)公式化簡sin

(A+C),利用降塞公式化簡8sir?2,結(jié)合siMB+cos2B=l,求出cosB,

2

(2)由(1)可知sinB=A,利用勾面積公式求出ac,再利用余弦定理即可求

17

出b.

【解答】解：(1)sin(A+C)=8sin2A,

2

.\sinB=4(1-cosB),

Vsin2B+cos2B=l,

/.16(1-cosB)2+cos2B=l,

A16(1-cosB)2+cos2B-1=0,

/.16(cosB-1)2+(cosB-1)(cosB+1)=0,

(17cosB-15)(cosB-1)=0,

/.cosB=—；

17

(2)由(1)可知sinB=A,

17

*.*SAABC=-ac?sinB=2,

2

???1a7c——,

2

b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2xXLXAll

217

=a2+c2-15=(a+c)2-2ac-15=36-17-15=4,

b=2.

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的面積公式，二倍角公式和

同角的三角函數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題

18.（12分）海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲

時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）,其頻率分

布直方圖如圖：

舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法

(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件"舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低

于50kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”,估計A的概率；

(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖

方法有關(guān)：

箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量三50kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精

確至U0.01).

附:

P(K2》k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

心_____n(ad-bc)2_____

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【考點】B8：頻率分布直方圖；BE：用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征；

BL：獨立性檢驗.

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；51：概率與統(tǒng)計.

【分析】(1)由題意可知：P(A)=P(BC)=P(B)P(C),分布求得發(fā)生的頻

率，即可求得其概率；

(2)完成2X2列聯(lián)表：求得觀測值，與參考值比較，即可求得有99%的把握

認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：

(3)根據(jù)頻率分布直方圖即可求得其中位數(shù).

【解答】解：(1)記B表示事件"舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”,C表示事件"新

養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg",

由P(A)=P(BC)=P(B)P(C),

則舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg：(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)X5=0.62,

故P(B)的估計值0.62,

新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg：(0.068+0.046+0.010+0.008)X5=0.66,

故P(C)的估計值為，

則事件A的概率估計值為P(A)=P(B)P(C)=0.62X0.66=0.4092；

?..A發(fā)生的概率為0.4092；

(2)2X2列聯(lián)表：

箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量250kg總計

舊養(yǎng)殖法6238100

新養(yǎng)殖法3466100

總計96104200

則I<2_200(62X66-38X34)2,7Q5

'100X100X96X104-'

由15.705>6.635,

...有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；

(3)由新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50kg的直方圖的面

積：

(0.004+0.020+0.044)X5=0.34,

箱產(chǎn)量低于55kg的直方圖面積為：

(0.004+0.020+0.044+0.068)X5=0.68>0.5,

故新養(yǎng)殖法產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為：50+°-5~0-34^52.35(kg),

0.068~

新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值52.35(kg).

【點評】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查獨立性檢驗，考查計算能力，

屬于中檔題.

19.(12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面

ABCD,AB=BC=1AD,NBAD=NABC=90°,E是PD的中點.

2

(1)證明：直線CE〃平面PAB；

(2)點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角M-AB

-D的余弦值.

【考點】LS：直線與平面平行；MJ：二面角的平面角及求法.

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5F：空間位置關(guān)系與距

離；5G：空間角.

【分析】(1)取PA的中點F,連接EF,BF,通過證明CE〃BF,利用直線與平面

平行的判定定理證明即可.

(2)利用已知條件轉(zhuǎn)化求解M到底面的距離，作出二面角的平面角，然后求解

二面角M-AB-D的余弦值即可.

【解答】(1)證明：取PA的中點F,連接EF,BF,因為E是PD的中點，

所以EFRLAD,AB=BC=1AD,NBAD=NABC=90°,BC/7.1AD,

旦222

.?.BCEF是平行四邊形，可得CE〃BF,BFu平面PAB,CE。平面PAB,

二直線CE〃平面PAB；

(2)解：四棱錐P-ABCD中,

側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=1AD,

2

ZBAD=ZABC=90°,E是PD的中點.

取AD的中點O,M在底面ABCD上的射影N在OC上，設(shè)AD=2,則AB=BC=1,

OP=V3>

/.ZPCO=60°,直線BM與底面ABCD所成角為45。，

可得：BN=MN,CN=2Z1MN,BC=1,

3

可得：I+1BN2=BN2,BN=?MN=返，

322

作NQ，AB于Q,連接MQ,AB±MN,

所以NMQN就是二面角M-AB-D的平面角，MQ=^2^^2

=叵，

丁，

二面角M-AB-D的余弦值為：J-二運.

V105

2

【點評】本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法,

考查空間想象能力以及計算能力.

_2

20.（12分）設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓C：1+y2=i上，過M作X軸的

2

垂線，垂足為N,點P滿足而=正就.

（1）求點P的軌跡方程；

（2）設(shè)點Q在直線x=-3上，且加?同=1.證明：過點P且垂直于OQ的直線

I過C的左焦點F.

【考點】J3：軌跡方程；KL：直線與橢圓的綜合.

【專題】34：方程思想；48：分析法；5A：平面向量及應(yīng)用；5B：直線與圓.

【分析】(1)設(shè)M(xo,y0),由題意可得N(xo,0),設(shè)P(x,y),運用向量

的坐標(biāo)運算，結(jié)合M滿足橢圓方程，化簡整理可得P的軌跡方程；

(2)設(shè)Q(-3,m),P(&cosa,&sina),(0<a<2n),運用向量的數(shù)量積

的坐標(biāo)表示，可得m,即有Q的坐標(biāo)，求得橢圓的左焦點坐標(biāo)，求得OQ,

PF的斜率，由兩直線垂直的條件：向量數(shù)量積為0,即可得證.

【解答】解：(1)設(shè)M(xo,yo),由題意可得N(xo,0),

設(shè)P(x,y),由點P滿足而=?而.

可得(x-xo,y)=^2(。，yo))

可得x-xo=O,y=V2yo-

^i*xo=x,

222

代入橢圓方程。+y2=l,可得=+—=1,

222

即有點P的軌跡方程為圓x2+y2=2;

(2)證明：設(shè)Q(-3,m),P(亞cosa,?sina),(0<a<2n),

OP*PQ=1>可得(&cosa，&sina)?(-3-?cosa，m--&sina)=1,

即為-3巫cosa-2cos2a+V2msina-2sin2a=1,

當(dāng)a=0時，上式不成立，則0<a〈2Ti,

解得m=3(*c°sa),

Vasina

即有Q(-3,3(1聲。sa)),

V2sinCI.

2

橢圓5_+y2=l的左焦點F(-1,0),

由而?質(zhì)二(-1-V2cosa,-Vssina)?(-3,))

Vasina

=3+3\/2cosa-3(l+?cosa)=0.

可得過點P且垂直于OQ的直線I過C的左焦點F.

另解：設(shè)Q(-3,t),P(m,n),由加?笆=1,

可得(m,n)?(-3-m,t-n)=-3m-m2+nt-n2=l,

又P在圓x2+y2=2上，可得m2+n2=2,

即有nt=3+3m,

又橢圓的左焦點F(-1,0),

PF*0Q=(-1-m,-n)?(-3,t)=3+3m-nt

=3+3m-3-3m=0,

則而，而，

可得過點P且垂直于OQ的直線I過C的左焦點F.

【點評】本題考查軌跡方程的求法，注意運用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法和向量的加減運算，

考查圓的參數(shù)方程的運用和直線的斜率公式，以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示

和兩直線垂直的條件：向量數(shù)量積為0,考查化簡整理的運算能力，屬于中

檔題.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)20.

(1)求a；

(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點xo,且er<f(xo)<22.

【考點】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【分析】(1)通過分析可知f(x)等價于h(x)=ax-a-InxNO,進而利用

卜(x)=2-2可得卜(x)min=h(1),從而可得結(jié)論；

xa

(2)通過(1)可知f(x)=x2-x-xlnx,記t(x)=f(x)=2x-2-Inx,解不

等式可知t(x)min=t(L)=ln2-l<0,從而可知f'(x)=0存在兩根Xo,X2,

2

利用f(x)必存在唯一極大值點Xo及Xo〈L可知f(xo),另一方面可知

24

f(xo)>f(-)=^-.

2

ee

【解答】(1)解：因為f(x)=ax2-ax-xlnx=x(ax-a-Inx)(x>0),

則f(x)20等價于h(x)=ax-a-Inx^O,求導(dǎo)可知h'(x)=a--.

x

則當(dāng)aWO時h，(x)<0,即y=h(x)在(0,+°°)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)xo>l時，h(xo)<h(1)=0,矛盾，故a>0.

因為當(dāng)OVxV工時hz(x)<0>當(dāng)x>工時h'(x)>0,

aa

所以h(X)min=h(工)，

a

又因為h(1)=a-a-lnl=O,

所以L=1,解得a=l；

a

另解：因為f(1)=0,所以f(x)20等價于f(x)在x>0時的最小值為f(1),

所以等價于f(x)在x=l處是極小值，

所以解得a=l；

(2)證明：由(1)可知f(x)=x2-x-xlnx,f(x)=2x-2-Inx,

令「(x)=0,可得2x-2-lnx=0,t己t(x)=2x-2-Inx,貝！Jt'(x)=2-—,

x

令(x)=0,解得：x=L

2

所以t(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在(!，+8)上單調(diào)遞增，

22

所以t(x)min=t(―)=ln2-1<0,從而t(x)=0有解，即「(x)=0存在兩根

2

xo,X2,

且不妨設(shè)f'(X