八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)18.2.1矩形的性質(zhì)與判定十大題型

18.2.1矩形的性質(zhì)與判定矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.注意：矩形定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形；②有一個(gè)角是直角.即矩形首先是一個(gè)平行四邊形，然后增加一個(gè)角是直角這個(gè)特殊條件.矩形的性質(zhì)1.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2.矩形的對(duì)角線相等；3.矩形的四個(gè)角都是直角；4.矩形是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸.注意：（1）矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對(duì)稱圖形.過中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部分.（2）矩形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（分別通過對(duì)邊中點(diǎn)的直線）.對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)角線的交點(diǎn)（即對(duì)稱中心）.（3）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，從而矩形的性質(zhì)可以歸結(jié)為從三個(gè)方面看：從邊看，矩形對(duì)邊平行且相等；從角看，矩形四個(gè)角都是直角；從對(duì)角線看，矩形的對(duì)角線互相平分且相等.題型1：理解矩形的性質(zhì)1.（2022八下·梧州期末）下列語句中，不是屬于矩形性質(zhì)的是（）A．兩條對(duì)角線互相平分 B．兩條對(duì)角線相等C．四個(gè)內(nèi)角都是直角 D．兩條對(duì)角線互相垂直【變式1-1】矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，3），則點(diǎn)D坐標(biāo)為．【變式1-2】∠A和∠C是矩形ABCD的一組對(duì)角，則：①∠A與∠C相等；②∠A與∠C互補(bǔ)；③∠A是直角；④∠C是直角，以上結(jié)論中，正確的有．題型2：利用矩形的性質(zhì)判定三角形全等2.（2022九上·歷城月考）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)M在DC上，AM=AB，且BN⊥AM，垂足為N，證明：△ABN≌△MAD；【變式2-1】已知：如圖，在矩形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，EF⊥CE，交AB于點(diǎn)F，DE＝2，矩形的周長為16，且CE＝EF．求AE的長．【變式2-2】（2022九上·寶雞月考）如圖，點(diǎn)E為矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且EA=EB．求證：ED=EC．題型3：矩形的性質(zhì)與求角度3.如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，則∠DGF等于（）A．70° B．60° C．80° D．45°【變式3-1】用兩把完全相同的長方形直尺按如圖方式擺放，一把直尺壓住射線OB交射線OA于點(diǎn)M，另一把直尺壓住射線OA交第一把直尺于點(diǎn)P，作射線OP．若∠BOP＝28°，則∠AMP的大小為（）A．46° B．52° C．56° D．62°【變式3-2】如圖，矩形ABCD中，連接AC，延長BC至點(diǎn)E，使BE＝AC，連接DE．若∠E＝70°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．40° B．45° C．50° D．60°【變式3-3】（2021八下·敘州期末）如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O.若∠AOB＝50°，則∠OAD的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．35° D．15°【變式3-4】（2022九上·惠陽月考）如圖，在矩形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO=15°，則A．85° B．80° C．題型4：矩形的性質(zhì)與求線段4.如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，若∠AOB＝60°，BD＝8，則DC長為（）A．4 B．4 C．3 D．5【變式4-1】（2023九上·成華期末）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在對(duì)角線AC上，且AF=14AC，連接EF.若AC=10A．52 B．3 C．4 【變式4-2】（2022九上·平遙期末）如圖，在矩形COED中，點(diǎn)D的坐標(biāo)是(2，4)，則A．13 B．8 C．25 D．題型5：矩形性質(zhì)綜合5.如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的對(duì)角線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作EF∥BC，分別交AB，CD于E，F(xiàn)，連接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，則圖中陰影部分的面積為（）A．3 B．6 C．9 D．12【變式5-1】（提升題）（2022·綏化模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E為CD邊的中點(diǎn)，P，Q為BC邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ＝2，當(dāng)四邊形APQE的周長最小時(shí)，BP的長為（）A．0 B．3 C．4 D．6【變式5-2】如圖，已知矩形ABCD，延長CB至點(diǎn)E，使得BE＝BC，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)F，連結(jié)EF．（1）求證：四邊形AEBD是平行四邊形；（2）若BC＝4，CD＝8，求EF的長．【變式5-3】（2022·梧州模擬）如圖，在矩形ABCD中，EF是對(duì)角線AC的垂直平分線，分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AB=8，A．4 B．8 C．5 D．2直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.注意：（1）直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是矩形性質(zhì)的推論.性質(zhì)的前提是直角三角形，對(duì)一般三角形不可使用.（2）學(xué)過的直角三角形主要性質(zhì)有：①直角三角形兩銳角互余；②直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；③直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.（3）性質(zhì)可以用來解決有關(guān)線段倍分的問題.題型6：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半6.直角三角形的兩條直角邊分別為5和12，那么這個(gè)三角形的斜邊上的中線長為（）A．6 B．6.5 C．10 D．13【變式6-1】已知：如圖，∠ABC=∠ADC=90°，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，MN⊥BD于點(diǎn)N，求證：N是【變式6-2】如圖，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M為BC的中點(diǎn)．（1）求證：△MEF是等腰三角形；（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度數(shù)．【變式6-3】如圖，BD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E在邊AB上，且DE∥BC，AE＝BE．（1）若BE＝5，求DE的長；（2）求證：AB＝BC．矩形的判定矩形的判定有三種方法：1.定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（對(duì)角線互相平分且相等）.3.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.注意：在平行四邊形的前提下，加上“一個(gè)角是直角”或“對(duì)角線相等”都能判定平行四邊形是矩形.題型7：矩形的判定（三直角）7.（2022八下·長春期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作AD的平行線交外角∠BAF的平分線于點(diǎn)E．求證：四邊形ADBE是矩形．【變式7-1】（2023九上·鳳翔期末）如圖，過△ABC的頂點(diǎn)A分別作∠ACB及其外角的平分線的垂線，垂足分別為E、F，求證：四邊形AECF是矩形；【變式7-2】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE，BF，CN，DM分別是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的角平分線，且相交于點(diǎn)O，K，H，G，求證：四邊形HGOK是矩形．題型8：矩形的判定（平行四邊形+一個(gè)直角）8.如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊BC，AB，AC的中點(diǎn)，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，想一想，四邊形AEDF是什么特殊的四邊形？證明你的結(jié)論．【變式8-1】已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，AE平分∠BAC的外角，DE∥AB交AE于點(diǎn)E．試說明四邊形ADCE是矩形．【變式8-2】如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，求證：四邊形EFGH是矩形．題型9：矩形的判定（平行四邊形+對(duì)角線相等）9.如圖，在?ABCD中對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠1＝∠2，試判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論．【變式9-1】如圖，將平行四邊形ABCD的邊DC延長到點(diǎn)E，使CE＝DC，連結(jié)AE，交BC于點(diǎn)F，∠AFC＝2∠D，連結(jié)AC、BE．求證：四邊形ABEC是矩形．【變式9-2】如圖，在△AEC、△BED中，∠AEC＝∠BED＝90°，AC、BD相交于點(diǎn)O，且O是AC、BD的中點(diǎn)．求證：四邊形ABCD是矩形．【變式9-3】如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．（1）若DE⊥AC于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，求證：AE＝CF；（2）若DO＝AC，求證：四邊形ABCD為矩形．題型10：矩形的判定綜合10.（2022八下·溫州期末）如圖，O是?ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，BE⊥OC于點(diǎn)E，延長BE至點(diǎn)F，使EF=BE，連結(jié)DF．（1）求證：∠F=90°．（2）當(dāng)?ABCD為矩形，AC=6，BF=25【變式10-1】（2022九上·大田期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且△ABO是等邊三角形.（1）證明：平行四邊形ABCD是矩形；（2）若AB=4，求矩形ABCD的面積.【變式10-2】（2022九上·高陵期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，BD⊥AB，延長AB至點(diǎn)E，使BE=AB，連接EC．（1）求證：四邊形BECD是矩形．（2）連接AC，若AD=3，CD=2，求【變式10-3】（2022八上·蓮湖月考）已知，在長方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，連接DE，DF，EF．（1）如圖①，當(dāng)CF＝2BE＝2時(shí)，試說明△DEF是直角三角形；（2）如圖②，若點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，DE平分∠ADF，求BF的長．【變式10-4】（2022九上·吳江月考）（1）課本情境：如圖，已知矩形AOBC，AB＝6cm，BC＝16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以3cm/s的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)O為止；動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，與點(diǎn)P同時(shí)結(jié)束運(yùn)動(dòng)，出發(fā)時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離是10cm；（2）逆向發(fā)散：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s時(shí)，P，Q兩點(diǎn)的距離為多少？當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4s時(shí)，P，Q兩點(diǎn)的距離為多少？（3）拓展應(yīng)用：若點(diǎn)P沿著AO→OC→CB移動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)P隨點(diǎn)Q的停止而停止移動(dòng)，求經(jīng)過多長時(shí)間△POQ的面積為12cm2？一、單選題1．（2021·茅箭模擬）下列命題中正確的是（）A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形B．四個(gè)角都相等的四邊形是矩形C．對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形D．有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形2．（2021八下·南沙期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OA=2，若要使平行四邊形ABCD為矩形，則OB的長應(yīng)該為（）A．4 B．3 C．2 D．13．（2020·黃岡模擬）將矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使得C與C'重合，若DC'A．1 B．2 C．3 D．44．（2022七下·淮陰期末）如圖，長方形ABCD是由30個(gè)大小相等的正方形拼成的，E、F、G、H分別在AD、AB、BC、CD邊上，且是某個(gè)小正方形的頂點(diǎn)，若四邊形EFGH的面積為1，則長方形ABCD的面積是（）A．2 B．43 C．32 5．（2022八下·萊蕪期末）直角三角形兩條直角邊長分別為5-3和A．12 B．2 C．1 6．（2021八下·岑溪期末）某小區(qū)有一個(gè)直角三角形小花園ABC（如圖），其中∠ABC＝90°，AB＝12m，BC＝5m，為了方便和美觀，準(zhǔn)備在小花園中間修一條小路，從頂點(diǎn)B修到AC邊的中點(diǎn)D，則所修小路BD的最短距離為（）A．6m B．6.5m C．7m D．8.5m二、填空題7．（2021八下·開州期末）如圖，矩形ABCD中，BE⊥AC于點(diǎn)E，若∠ACB＝35°，則∠DBE＝度.8．（2021九上·沈河期末）如圖，公路AC與BC互相垂直，垂足為點(diǎn)C，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開，若測(cè)得AB的長為4.6km，則點(diǎn)M與C之間的距離是km.9．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=3，點(diǎn)E在邊BC上，將△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，若∠EAC=∠ECA，則AC的長是.10．（2021九上·清澗期末）如圖，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別在邊OM，ON上，當(dāng)點(diǎn)B在邊ON上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A隨之在邊OM上移動(dòng)，AB=2，BC=1，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為.11．（2022七下·金華月考）如圖，在一塊長AB＝15m，寬BC＝11m的長方形草地上，修建三條寬均為1m的長方形小路，則這塊草地的綠地面積（圖中空白部分）為m2.三、解答題12．（2021八下·硚口期末）如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于E，點(diǎn)F在邊AD上，BE=DF，求證：四邊形AECF是矩形.13．（2021八下·吉林期中）如圖，在Rt△ABC中∠ACT=90°，CD是斜邊AB上的中線，AC=4，CD=3。求直角邊BC的長四、綜合題14．（2021八下·漢陽期末）如圖1，已知AD//BC，AB//CD，∠B=∠C.（1）求證：四邊形ABCD為矩形（2）如圖2，M為AD的中點(diǎn)，N為AB的中點(diǎn)，BN=2.若∠BNC=2∠DCM