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河南省扶溝高中2023-2024學(xué)年高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球,有放回的摸取5次,設(shè)摸得白球數(shù)為,已知,則A. B. C. D.2.已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn),若點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.23.若P是的充分不必要條件,則p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的最大值為().A. B. C. D.5.陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一,但陀螺這個(gè)名詞,直到明朝劉侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一書中才正式出現(xiàn).如圖所示的網(wǎng)格紙中小正方形的邊長均為1,粗線畫出的是一個(gè)陀螺模型的三視圖,則該陀螺模型的表面積為()A. B.C. D.6.寧波古圣王陽明的《傳習(xí)錄》專門講過易經(jīng)八卦圖,下圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每一卦由三根線組成(“—”表示一根陽線,“——”表示一根陰線).從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率為()A. B. C. D.7.已知數(shù)列,,,…,是首項(xiàng)為8,公比為得等比數(shù)列,則等于()A.64 B.32 C.2 D.48.集合的子集的個(gè)數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.89.設(shè)函數(shù),則使得成立的的取值范圍是().A. B.C. D.10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的,則輸出的()A.9 B.31 C.15 D.6311.如圖,矩形ABCD中,,,E是AD的中點(diǎn),將沿BE折起至,記二面角的平面角為,直線與平面BCDE所成的角為,與BC所成的角為,有如下兩個(gè)命題:①對(duì)滿足題意的任意的的位置,;②對(duì)滿足題意的任意的的位置,,則()A.命題①和命題②都成立 B.命題①和命題②都不成立C.命題①成立,命題②不成立 D.命題①不成立,命題②成立12.復(fù)數(shù)的虛部為()A.—1 B.—3 C.1 D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______.14.已知為偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則__________.15.若關(guān)于的不等式在時(shí)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____16.某校高二(4)班統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)中午在食堂用餐時(shí)間,有7人用時(shí)為6分鐘,有14人用時(shí)7分鐘,有15人用時(shí)為8分鐘,還有4人用時(shí)為10分鐘,則高二(4)班全體同學(xué)用餐平均用時(shí)為____分鐘.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四邊形中,,,.(1)求的長;(2)若的面積為6,求的值.18.(12分)某企業(yè)原有甲、乙兩條生產(chǎn)線,為了分析兩條生產(chǎn)線的效果,先從兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本,檢測一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值.該項(xiàng)指標(biāo)值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品,否則為不合格品.乙生產(chǎn)線樣本的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)合計(jì)頻數(shù)2184814162100(1)根據(jù)甲生產(chǎn)線樣本的頻率分布直方圖,以從樣本中任意抽取一件產(chǎn)品且為合格品的頻率近似代替從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任意抽取一件產(chǎn)品且為合格品的概率,估計(jì)從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取5件恰有2件為合格品的概率;(2)現(xiàn)在該企業(yè)為提高合格率欲只保留其中一條生產(chǎn)線,根據(jù)上述圖表所提供的數(shù)據(jù),完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有90%把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與生產(chǎn)線有關(guān)?若有90%把握,請(qǐng)從合格率的角度分析保留哪條生產(chǎn)線較好?甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計(jì)合格品不合格品合計(jì)附:,.0.1500.1000.0500.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.87919.(12分)已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、,滿足.有三個(gè)條件:①;②;③.其中三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確,請(qǐng)選出正確的條件完成下面兩個(gè)問題:(1)求;(2)設(shè)為邊上一點(diǎn),且,求的面積.20.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)若是第二象限角,且,求的值;(Ⅱ)求函數(shù)的定義域和值域.21.(12分)如圖,四棱錐,側(cè)面是邊長為2的正三角形,且與底面垂直,底面是的菱形,為棱上的動(dòng)點(diǎn),且.(I)求證:為直角三角形;(II)試確定的值,使得二面角的平面角余弦值為.22.(10分)已知函數(shù).(1)若,求不等式的解集;(2)若“,”為假命題,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
由題意知,,由,知,由此能求出.【詳解】由題意知,,,解得,,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意二項(xiàng)分布的靈活運(yùn)用.2、A【解析】
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入橢圓方程可得,然后分別求出點(diǎn)到兩條漸近線的距離,由距離之積為,并結(jié)合,可得到的齊次方程,進(jìn)而可求出離心率的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,有,得.雙曲線的兩條漸近線方程為和,則點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為,所以,則,即,故,即,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率,構(gòu)造的齊次方程是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.3、B【解析】
試題分析:通過逆否命題的同真同假,結(jié)合充要條件的判斷方法判定即可.由p是的充分不必要條件知“若p則”為真,“若則p”為假,根據(jù)互為逆否命題的等價(jià)性知,“若q則”為真,“若則q”為假,故選B.考點(diǎn):邏輯命題4、C【解析】
由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,求出的最大值.【詳解】解:把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增,在區(qū)間,上,,,則當(dāng)最大時(shí),,求得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】
根據(jù)三視圖可知,該幾何體是由兩個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱構(gòu)成,由此計(jì)算出陀螺的表面積.【詳解】最上面圓錐的母線長為,底面周長為,側(cè)面積為,下面圓錐的母線長為,底面周長為,側(cè)面積為,沒被擋住的部分面積為,中間圓柱的側(cè)面積為.故表面積為,故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查中國古代數(shù)學(xué)文化,考查三視圖還原為原圖,考查幾何體表面積的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
根據(jù)古典概型的概率求法,先得到從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù),再找出這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù),代入公式求解.【詳解】從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù)種,這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù)有6種,分別是(巽,坤),(兌,坤),(離,坤),(震,艮),(震,坎),(坎,艮),所以這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率是.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
根據(jù)題意依次計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)題意知:,,故,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列值的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8、D【解析】
先確定集合中元素的個(gè)數(shù),再得子集個(gè)數(shù).【詳解】由題意,有三個(gè)元素,其子集有8個(gè).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查子集的個(gè)數(shù)問題,含有個(gè)元素的集合其子集有個(gè),其中真子集有個(gè).9、B【解析】
由奇偶性定義可判斷出為偶函數(shù),由單調(diào)性的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增,由此知在上單調(diào)遞減,從而將所求不等式化為,解絕對(duì)值不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意知:定義域?yàn)?,,為偶函?shù),當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則在上單調(diào)遞減,由得:,解得:或,的取值范圍為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題;奇偶性的作用是能夠確定對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性,單調(diào)性的作用是能夠?qū)⒑瘮?shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系,進(jìn)而化簡不等式.10、B【解析】
根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)算,直至滿足條件退出循環(huán)體,即可得出結(jié)果.【詳解】執(zhí)行程序框;;;;;,滿足,退出循環(huán),因此輸出,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果,模擬程序運(yùn)行是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
作出二面角的補(bǔ)角、線面角、線線角的補(bǔ)角,由此判斷出兩個(gè)命題的正確性.【詳解】①如圖所示,過作平面,垂足為,連接,作,連接.由圖可知,,所以,所以①正確.②由于,所以與所成角,所以,所以②正確.綜上所述,①②都正確.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題、空間角、數(shù)形結(jié)合方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.12、B【解析】
對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡計(jì)算,得到答案.【詳解】所以的虛部為故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算,虛部的概念,屬于簡單題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、160【解析】
先求的展開式中通項(xiàng),令的指數(shù)為3即可求解結(jié)論.【詳解】解:因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為:;令,可得;的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為:.故答案為:160.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),關(guān)鍵是熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
由偶函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可【詳解】.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性,對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算,考查運(yùn)算求解能力15、【解析】
利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將不等式去掉對(duì)數(shù)符號(hào),再依據(jù)分離參數(shù)法,轉(zhuǎn)化成求構(gòu)造函數(shù)最值問題,進(jìn)而求得的取值范圍?!驹斀狻坑傻?,兩邊同除以,得到,,,設(shè),,由函數(shù)在上遞減,所以,故實(shí)數(shù)的取值范圍是。【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,以及恒成立問題的常規(guī)解法——分離參數(shù)法。16、7.5【解析】
分別求出所有人用時(shí)總和再除以總?cè)藬?shù)即可得到平均數(shù).【詳解】故答案為:7.5【點(diǎn)睛】此題考查求平均數(shù),關(guān)鍵在于準(zhǔn)確計(jì)算出所有數(shù)據(jù)之和,易錯(cuò)點(diǎn)在于概念辨析不清導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)利用余弦定理可得的長;(2)利用面積得出,結(jié)合正弦定理可得.【詳解】解:(1)由題可知.在中,,所以.(2),則.又,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形,已知角較多時(shí)一般選用正弦定理,已知邊較多時(shí)一般選用余弦定理.18、(1)0.0081(2)見解析,保留乙生產(chǎn)線較好.【解析】
(1)先求出任取一件產(chǎn)品為合格品的頻率,“從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取5件,恰有2件為合格品”就相當(dāng)于進(jìn)行5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),恰好發(fā)生2次的概率用二項(xiàng)分布概率即可解決.(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)算出的觀測值即可判斷.【詳解】(1)根據(jù)甲生產(chǎn)線樣本的頻率分布直方圖,樣本中任取一件產(chǎn)品為合格品的頻率為:.設(shè)“從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件且為合格品”為事件,事件發(fā)生的概率為,則由樣本可估計(jì).那么“從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取5件,恰有2件為合格品”就相當(dāng)于進(jìn)行5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),事件恰好發(fā)生2次,其概率為:.(2)列聯(lián)表:甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計(jì)合格品9096186不合格品10414合計(jì)100100200的觀測值,∵,,∴有90%把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與生產(chǎn)線有關(guān).由(1)知甲生產(chǎn)線的合格率為0.9,乙生產(chǎn)線的合格率為,∵,∴保留乙生產(chǎn)線較好.【點(diǎn)睛】此題考查獨(dú)立重復(fù)性檢驗(yàn)二項(xiàng)分布概率,獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)點(diǎn),認(rèn)準(zhǔn)特征代入公式即可,屬于較易題目.19、(1);(2).【解析】
(1)先求出角,進(jìn)而可得出,則①②中有且只有一個(gè)正確,③正確,然后分①③正確和②③正確兩種情況討論,結(jié)合三角形的面積公式和余弦定理可求得的值;(2)計(jì)算出和,計(jì)算出,可得出,進(jìn)而可求得的面積.【詳解】(1)因?yàn)椋?,得,,,為鈍角,與矛盾,故①②中僅有一個(gè)正確,③正確.顯然,得.當(dāng)①③正確時(shí),由,得(無解);當(dāng)②③正確時(shí),由于,,得;(2)如圖,因?yàn)?,,則,則,.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形綜合應(yīng)用,涉及三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.20、(Ⅰ)(Ⅱ)函數(shù)的定義域?yàn)?,值域?yàn)椤窘馕觥?/p>
(1)由為第二象限角及的值,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出及的值,再代入中即可得到結(jié)果.(2)函數(shù)解析式利用二倍角和輔助角公式將化為一個(gè)角的正弦函數(shù),根據(jù)的范圍,即可得到函數(shù)值域.【詳解】解:(1)因?yàn)槭堑诙笙藿?,且,所?所以,所以.(2)函數(shù)的定義域?yàn)?化簡,得,因?yàn)?,且,,所以,所?所以函數(shù)的值域?yàn)?(注:或許有人會(huì)認(rèn)為“因?yàn)?,所以”,其?shí)不然,因?yàn)?)【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,三角函數(shù)函數(shù)值求解以及定義域和值域的求解問題,涉及到利用二倍角公式和輔助角公式整理三角函數(shù)關(guān)系式的問題,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力,屬于??碱}型.21、(1)見解析;(II).【解析】
試題分析:(1)取中點(diǎn),連結(jié),以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明為直角三角形;(2)設(shè),由,得,求出平面的法向量和平面的法向量,,根據(jù)空間向量夾角余弦公式能求出結(jié)果.試題解析:(I)取中點(diǎn),連結(jié),依題意可知均為正三角形,所以,又平面平面,所以平面,又平面,所以,因?yàn)?所以,即,從而為直角三角形.(II)法一:由(I)可知,又平面平面,平面平面,平面,所以平面.以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,由可得點(diǎn)的坐標(biāo)所以,設(shè)平面的法向量為,則,即解得,令,得,
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