2024北京清華附中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷及答案

第1頁/共1頁2024北京清華附中高二（下）期中數(shù)學(xué)（清華附中高22級）2024.4第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.設(shè)集合，，則集合的元素的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.32.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，其前項和為，若，則等于（）A.2 B.3 C.4 D.53.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點坐標為，則復(fù)數(shù)等于（）A. B. C. D.4.設(shè)，若，則的值為（）A.4 B.6 C.7 D.85.已知圓，直線經(jīng)過點，且與圓相切，則的方程為（）A. B. C. D.6.若，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.7.已知拋物線的焦點為，準線為直線，橫坐標為3的點在拋物線上，過點作的垂線，垂足為，若，則等于（）A.1 B.2 C.3 D.48.已知的外接圓的半徑為1，，則的最大值為（）A. B. C. D.19.已知是公比為的等比數(shù)列.則“，恒成立”是“是的一個最值”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.即不充分也不必要條件10.已知曲線，點在曲線上，給出下列四個結(jié)論：①曲線關(guān)于直線對稱：②當時，點不在直線上：③當時，；④當時，曲線所圍成的區(qū)域的面積大于.其中所有正確結(jié)論的有（）A.②③④ B.①②③ C.①② D.③④第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.在正方體中，直線與平面所成的角的正弦值為______.12.已知雙曲線，其焦點到漸近線的距離是其焦距的倍，則雙曲線的離心率為______.13.已知函數(shù)，若，，使得，則正數(shù)的最小值為______.14.設(shè)，函數(shù)①若，則______；②若函數(shù)有且僅有兩個零點，則的取值范圍為______.15.訓(xùn)練師是一種新型的工作，通過向提問，能讓軟件更加準確地回答問題.訓(xùn)練師需要和數(shù)據(jù)標注員緊密協(xié)作，把控好整個流程的輸入規(guī)則和輸出結(jié)果，最終輸出標注準確的數(shù)據(jù).通過訓(xùn)練師每次提問后，軟件回答問題的正確率可能發(fā)生變化.某軟件初始回答問題的正確率記為，設(shè)第次訓(xùn)練后，可將該軟件回答問題的正確率從改變?yōu)?，其中，，，，，，…，給出下列四個結(jié)論：①當，若，，時，該軟件無法通過訓(xùn)練提高正確率；②若，時，該軟件經(jīng)過第一次訓(xùn)練提高了正確率：③當，若，，時，該軟件經(jīng)過5次訓(xùn)練后，正確率高于：④當，若，時，該軟件無論怎么訓(xùn)練，正確率都不高于.其中，所有正確結(jié)論的序號是______.三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）在中，.（I）求的值；（II）以下三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件，并求：條件①：；條件②：；條件③：的面積為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（II）問得0分.（17）（本小題13分）如圖，在四棱錐中，，，，和都是等邊三角形，且.（I）求證：平面；（II）求平面與平面所成角的余弦值.（18）（本小題14分）為了解某地區(qū)居民每戶月均用電情況，采用隨機抽樣的方式，從該地區(qū)隨機調(diào)查了100戶居民，獲得了他們每戶月均用電量的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)每戶月均用電量都在之間，進行適當分組后（每組為左閉右開區(qū)間），得到如下頻率分布直方圖：（I）記頻率分布直方圖中從左到右的分組依次為第1組，第2組，…，第6組.從樣本中第1組和第2組中，任取2戶，求他們月均用電量都不低于的概率；（II）從該地區(qū)全體居民中隨機抽取3戶，設(shè)月均用電量在之間的用戶數(shù)為，以樣本的頻率估計總體的概率，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（III）用圖中數(shù)據(jù)估計該地區(qū)全體用戶的月均用電量.有人估計該地區(qū)全體用戶的月均用電量低于.請分析這一估計是否正確，說明理由.（19）（本小題15分）已知橢圓過點，點是橢圓的右焦點，且.過點作兩條互相垂直的弦，.（I）求橢圓的方程；（II）若直線，的斜率都存在，設(shè)線段，的中點分別為，.求點到直線的距離的最大值.（20）（本小題15分）已知函數(shù)，其中.（I）判斷曲線在處切線是否與軸平行；（II）求的單調(diào)區(qū)間；（III）若有兩個極值點，設(shè)極大值點為，且，判斷與2的大小關(guān)系，并說明理由.（21）（本小題15分）已知整數(shù)，集合，，，滿足，對任意的，都有且.記.（I）若，寫出兩組滿足條件的集合，并寫出相應(yīng)的；（II）證明：；（III）求的所有可能取值.

參考答案一、1-5CADBA 6-10DBCAA二、11. 12. 13.14.①2；②或得15.①②，不能確定③，表示首項為，公比為的等比數(shù)列.則.④，得，，得.當變大時，越來越趨近于0，，則，得16.解：（I）因為，所以，即，因為，所以.（II）由（I）知，，由余弦定理知，，所以，而條件①中，所以，顯然不符合題意，即條件①錯誤；由條件②，條件③，解得，由余弦定理知，，所以，由正弦定理知，，所以.17.解：（I）法：1：取線段中點為.由，為等邊三角形知，.，平面.平面，.，平面.法2：求得，得，得，得.，平面.（II）取線段的中點0，連接，則.由平面，知.作交于.由，，則有，.則，，兩兩垂直.如圖建立坐標系.，，，.，.平面的一個法向量.設(shè)平面的法向量，，，則有，，即，令，得.則.由于平面與平面所成的角是銳角，則其余弦值為.18.解：（I）由頻率分布直方圖可知，100戶居民中，第1組的居民戶數(shù)為，第2組的居民戶數(shù)為，從第1組、第2組中任取2戶居民，他們月均用電量都不低于300千瓦時的概率為；（II）該地區(qū)月均用電量在千瓦時之間的用戶所占的頻率為.由題意可知，，；；；，所以的分布列為：0123.（III）這一推斷是不正確的.由于抽樣的數(shù)據(jù)具有隨機性，當總體的數(shù)據(jù)集中于區(qū)間的左端時，該地區(qū)全體用戶月均用電量為：千瓦時.所以這一結(jié)論是不正確的.19.解：（1），，則橢圓的方程為.（2），斜率均存在，設(shè)直線方程為：，設(shè)，，聯(lián)立：，消去得：，，，.即，將上式中的換成，同理可得：，①若直線斜率不存在，此時，解得：，直線過點；②若直線?率存在，則，直線為，得，直線過點；綜上，直線恒過定點.因為，故斜率不為0，設(shè)直線，，當時，.20.解：（I），，，所以曲線在處切線為，與軸平行.（II）令，則或.當時，時，，；時，，.故，，所以單增區(qū)間為當時，，則有000極大值極小值所以單增區(qū)間為和，單減區(qū)間為.當時，，則有000極大值極小值所以單增區(qū)間為和，單減區(qū)間為.（III）由知，則.若有兩個極值點，則.當時，，，則有，則.當時，，即，又得則設(shè)，.，令，得.0極大值故，此時，.所以當時，；當時，.21.解：（I）（共6組，任寫2組即可），，.，，.，，.，，.，，.，，.（II）若，則，而，，，…，，所以.，所以，，結(jié)論成立.若，則