2023-2024學(xué)年重慶市榮昌中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年重慶市榮昌中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知點(diǎn)A(0,1),BA.(-7,-4) B.(2.把△ABC按斜二測(cè)畫法得到△A′B′C′(如圖所示)，其中

A.等邊三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.三邊互不相等的三角形3.已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=1，且|A.π6 B.π3 C.5π4.在△ABC中，acA.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形

C.等邊三角形 D.等腰三角形5.在正四面體P?ABC中，棱長(zhǎng)為2，且E是棱AB中點(diǎn)，則異面直線PEA.?36 B.36 6.如圖1，一個(gè)正三棱柱容器，底面邊長(zhǎng)為1，高為2，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個(gè)側(cè)面作為底面，如圖2，這是水面恰好是中截面，則圖1中容器水面的高度是(

)A.54 B.53 C.437.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)E在線段A1A.FM//A1C1

B.當(dāng)E為A1C1中點(diǎn)時(shí)，BE⊥FM

8.在△ABC中，AB?AC=9，sinB=cA.116+63 B.116二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列命題中的真命題是(

)A.若直線a不在平面α內(nèi)，則a/?/α

B.若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l/?/α

C.平行于同一平面的兩直線可以相交

10.已知復(fù)數(shù)z=21+3A.復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的模為1

B.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限

C.復(fù)數(shù)z是方程x2+x+1=0的解

D.復(fù)數(shù)11.在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛，這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝蠺rulli，于1996年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄.現(xiàn)測(cè)量一個(gè)Trulli的屋頂，得到圓錐SO(其中S為頂點(diǎn)，O為底面圓心)，母線SA的長(zhǎng)為6m，C是母線SA.圓錐SO的側(cè)面積為12πm2

B.過點(diǎn)S的平面截此圓錐所得截面面積最大值為82m2

C.圓錐SO三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若一個(gè)球的體積為43π，則它的表面積為______13.平面向量a=(0,2),b=(4,2),14.正三棱柱ABC?A1B1C1中，所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱BB1，A1C1的中點(diǎn)，則直線EF四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

回答下列問題．

(1)已知復(fù)數(shù)z=m+2i是方程x2+6x+13=0的根(i是虛數(shù)單位，m∈R)，求|z16.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，D是AC邊上的點(diǎn)，2bsinB=(2a?c)s17.(本小題15分)

如圖：在正方體ABCD?A1B1C1D1中AB=2，M為DD1的中點(diǎn)．

(1)求三棱錐M?A18.(本小題17分)

如圖，某公園改建一個(gè)三角形魚塘，∠C=90°，AB=2，BC=1，現(xiàn)準(zhǔn)備養(yǎng)一批觀賞魚供游客觀賞．

(1)若在△ABC內(nèi)部取一點(diǎn)P，建造APC連廊供游客觀賞，如圖①，使得點(diǎn)P是等腰三角形PBC的頂點(diǎn)，且∠CPB=2π3，求連廊AP+19.(本小題17分)

三階行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算的算法，其運(yùn)算法則如下：a1a2a3b1b2b3c1c2c3=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2?a3b2c1?a2b1c3?a1b3c2.若a×b=ijk答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】求出有向線段AB，然后由BC=【解答】

解：由已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，

得到AB2.【答案】A

【解析】解：根據(jù)斜二側(cè)畫法還原直線△ABC在直角坐標(biāo)系的圖形，如下圖所示：

由圖易得AB=BC=AC=2

故△ABC3.【答案】B

【解析】【分析】本題考查向量的數(shù)量積的求法，模的運(yùn)算法則以及向量的夾角的求法，屬于基礎(chǔ)題．

利用向量的模的運(yùn)算法則以及向量的數(shù)量積求解向量的夾角即可．【解答】

解：向量a，b滿足|a|=1，|b|=1，且|a+b|=3，

可得a2+2a?b+b2=4.【答案】B

【解析】解：∵acosA=bcosB，

∴根據(jù)正弦定理，得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=s5.【答案】B

【解析】解：如圖，取AC的中點(diǎn)G，連接EG，PG，

因?yàn)镋是棱AB中點(diǎn)，

所以EG/?/BC，故∠PEG或其補(bǔ)角為異面直線PE與BC夾角，

又正四面體棱長(zhǎng)為2，故PE=PG=3,EG=1，

cos∠PEG=PE6.【答案】D

【解析】解：在圖2中，水中部分是四棱柱，

四棱柱底面積為S=12×12×sin60°?12×(12)2×sin60°=3316，高為2，

∴四棱柱的體積為V=27.【答案】D

【解析】解：對(duì)A選項(xiàng)：因?yàn)镕、M分別是AD、CD的中點(diǎn)，所以FM//AC//A1C1，所以A選項(xiàng)正確；

對(duì)B選項(xiàng)：因?yàn)楫?dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，BE⊥A1C1，所以BE⊥FM，所以B選項(xiàng)正確；

對(duì)C選項(xiàng)：三棱錐B?CEF是以面BC8.【答案】C

【解析】解：設(shè)|AB|=c，|AC|=b，根據(jù)題意得bccosA=9b=ccosA12bcsinA=6，

解得b=3，c=5，sinA=45，cosA=35，∴|CB|=4，∴CP=9.【答案】CD【解析】解：對(duì)于A，若直線a不在α內(nèi)，則aa//α或a與α相交，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，a和α相交時(shí)，直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知平行于同一個(gè)平面的兩條直線可能相交，平行，或異面，故C正確．

對(duì)于D，根據(jù)線面平行的定義可知，若l/?/α，則l與α內(nèi)任何一條直線都沒有公共點(diǎn)，故D正確．

故是真命題的為：CD．

故選：CD．

對(duì)于A，根據(jù)直線和平面的位置關(guān)系判斷；

對(duì)于B，利用直線和平面的位置關(guān)系判斷；10.【答案】AB【解析】解：z=2(1?3i)1+3=12?32i，

∴z?=12+32i，|z?|=1，A正確；

復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(12,?32)，在第四象限，B正確；

解x2+x+1=0得，x=?12?32i或?12+32i，∴復(fù)數(shù)z不是方程x211.【答案】AB【解析】解：對(duì)于A：設(shè)圓錐底面半徑為r，如圖，

在△A′SC中，A′S=6，SC=2，A′C=213，

所以cos∠A′SC=A′S2+SC2?A′C22A′S?SC=36+4?522×6×2=?12，

所以∠A′SC=2π3，

所以2πr=2π3×6，∴r=2(米)，

所以圓錐的側(cè)面積為：12×6×2π×2=12π(m2)，故A正確；

對(duì)于B，在△ASB中，cos∠ASB=SA2+SB12.【答案】12π【解析】解：由4π3R3=43π13.【答案】5【解析】解：a=(0,2)，b=(4,2)，c=ma+b=(4,2m+2)，

∵c與14.【答案】34

2【解析】解：取CC1的中點(diǎn)M，連接EM，F(xiàn)M，

因?yàn)辄c(diǎn)E為棱BB1的中點(diǎn)，所以BC//EM，BC=EM=2，

所以∠FEM為異面直線EF與直線BC所成角，

連接B1F，因?yàn)锽B1⊥平面A1B1C1，B1F?平面A1B1C1，所以BB1⊥B1F，

因?yàn)椤鰽1B1C1為邊長(zhǎng)是2的正三角形，F(xiàn)為A1C1的中點(diǎn)，所以B1F=3，

所以EF=B1F2+B1E2=3+1=2，

MF=C1F2+C1M2=2，

所以由余弦定理得cos∠FEM=EF2+EM2?FM22EF?EM=4+4?22×2×2=34，

所以直線EF與直線BC所成角的余弦值為34，

連接AE并延長(zhǎng)交A1B1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接FG交B1C1于點(diǎn)D，連接ED，15.【答案】解：(1)因?yàn)閺?fù)數(shù)z=m+2i是方程x2+6x+13=0的根，

所以(m+2i)2+6(m+2i)+13=0，整理得m2+6m+【解析】(1)將z代入方程求出m，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解即可；

(2)根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)16.【答案】解：(1)由正弦定理以及已知可得2b2=a(2a?c)+c(2c?a)，

整理可得，a2+c2?b2=ac．

所以cos∠ABC=a2+c2?b22ac=ac2ac=12．

又∠ABC∈(【解析】(1)由正弦定理角化邊，整理可得a2+c2?b2=ac，然后根據(jù)余弦定理即可求得cos∠ABC=117.【答案】解：(1)∵正方體ABCD?A1B1C1D1中AB=2，M為DD1的中點(diǎn)，

∴MD⊥底面ABC，VM?ABC=13?S△ABC?MD=13×12×2×2×1=23；

(2)證明：如圖，連接BD，設(shè)交AC于點(diǎn)O，∵O是DB的中點(diǎn)，M是DD1的中點(diǎn)，

【解析】(1)根據(jù)條件可得出三棱錐M?ABC的高為MD=1，底面ABC的面積為2，然后根據(jù)三棱錐的體積公式求出體積即可；

(2)連接BD，設(shè)交AC于點(diǎn)O，容易說明BD1//M18.【答案】解：(1)∵點(diǎn)P是等腰三角形PBC的頂點(diǎn)，且∠CPB=2π3，BC=1，

∴∠PCB=π6且由余弦定理可得：cos∠CPB=PB2+PC2?BC22PB?PC=2PC2?12PC2=?12，

解得PC=33，

又∵∠ACB=π2，∴∠ACP=π3，

∵在Rt△【解析】(1)由余弦定理即可求得PC=33，在△ACP中，確定∠A