全等三角形之角平分線模型

角平分線模型【理論準備1】：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分線．作法：（1）以O為圓心，適當長為半徑作弧，分別交OA、OB于M、N．（2）分別以M、N為圓心，大于?MN的長為半徑作?。畠苫≡凇螦OB內部交于點C．（3）作射線OC，射線OC即為所求．CCＣOBＢAAAＮＭ【理論依據】：三邊對應相等的三角戲是全等三角形ＣＯＢ（SSS）、全等三角形對應角相等ＣＯＢ【理論準備2】：角平分線性質定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．【幾何語言】：∵OC為∠AOB的角平分線，D為OC上一點DE⊥OA，DF⊥OB∴DE=DF【理論準備3】：角平分線判定定理：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．【幾何語言】：∵DE⊥OA，DF⊥OB且DE=DF∴OD為∠AOB的角平分線【說明】：利用角平分線的性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，構造模型，為邊相等、角相等、三角形全等創(chuàng)造更多的條件，進而可以快速找到解題的突破口。【例題1】證明：三角形三個內角的角平分線交于一點．【跟蹤訓練】如圖，△ABC的∠B、∠C的外角平分線交于點D．求證：AD是∠BAC的平分線．如圖，△ABC的外角一平分線CP和內角平分線BP相交于點P，若∠BAC=80°，則∠CAP=________.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分線，DE⊥AB，DE=3cm，BD=5cm，則BC=__________．如圖，△ABC的周長是22，OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，求△ABC的面積．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，若點P是△ABC的三條角平分線的交點，則點P到邊BC的距離是________.如圖，畫∠AOB=90°，并畫∠AOB的平分線OC，將三角尺的直角頂點落在OC的任意一點P上，使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊分別相交于點E、F，試猜想PE、PF的大小關系，并說明理由．在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點，且∠EDF+∠EAF=180°，求證DE=DF．【理論準備4】【說明】：構造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個全等的直角三角形，進而得到對應邊、對應角相等。這個模型巧妙地把角平分線和三線合一聯系了起來?！纠}2】如圖所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE．求證：CE=?BD．【跟蹤訓練】如圖所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE．求證：AC-AB=2BE．如圖，在△ABC中，BE是角平分線，AD⊥BE，垂足為D。求證：∠2=∠1+∠C。如圖，△ABC內有一點D，AD平分∠CAB，CD⊥AD于點D，連接DB，若△ADB的面積為3cm2，則△ABC的面積為________.【理論準備5】【說明】：利用角平分線圖形的對稱性，在角的兩邊構造對稱全等三角形，可以得到對應邊、對應角相等。利用對稱性把一些線段或角進行轉移，這是經常使用的一種解題技巧。【例題3】如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于O．求∠AOC的度數；（2）求證：AC=AE+CD．【跟蹤訓練】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A的角平分線AE交DC于E，BE是∠B的角平分線．求證：（1）AE⊥BE；（2）AD+BC=AB．如圖，△ABC中AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D點．求證：BC=AC+CD.如圖，四邊形ABCD中,BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求證：∠BAD+∠BCD=180°.（跟蹤訓練8做對比）【理論準備6】【說明】：有角平分線時，常過角平分線上一點作角的一邊的平行線，構造等腰三角形，為證明結論提供更多的條件，體現了角平分線與等腰三角形之間的密切關系?！纠}3】已知等腰△ABC，∠A=100°，∠ABC的平分線交AC于D．求證：BD+AD=BC．【跟蹤訓練】（1）如圖①，在中，BD、CD分別平分和，．如果，則的周長為__________．（2）如圖②，的平分線與的外角平分線相交于點D，過點D作EF//BC，交AB于E，交AC于F，若，，則________．（3）如圖③，的內角和外角的平分線相交于點E，BE交AC于點F，過點E作EG//BD交AB于點G，交AC于點H，連接AE，有以下結論：①；②；③；④，其中正確的結論有_____________（只填序號）（1）如圖，在△ABC中，BF、CF是角平分線，DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E，DE經過點F．結論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE