人教A版高中數(shù)學(xué)必修二第六章第1節(jié)《平面向量的概念》解答題 (三)(含答案解析)

必修二第六章第1節(jié)《平面向量的概念》解答題(3)

一、解答題(本大題共30小題，共360.0分)

1.平面直角坐標(biāo)系宜萬中，4(1,0),8(0,1),C(2,5),。是AC上的動(dòng)點(diǎn)，滿足前=4萬(2eR).

(1)求|2荏+於用勺值；

(2)求COSNB力C；

(3)若前，瓦5,求實(shí)數(shù)4的值.

2.已知|小=VIU,|b|=遍，a-b=-5>c=xa+(1—x)/?.

(1)當(dāng)El力時(shí),求實(shí)數(shù)x的值；

(2)當(dāng)|c|取最小值時(shí)，求向量。與c的夾角的余弦值.

3.已知兩個(gè)不共線的向量五，石夾角為。，且|?=3,|K|=1，為正實(shí)數(shù).

(1)若方+2石與五一4片垂直，求cos。的值;

(2)若。=也求氏五一B|的最小值及對(duì)應(yīng)的x的值，并指出此時(shí)向量。與％五-另的位置關(guān)系.

(3)若。為銳角，對(duì)于正實(shí)數(shù)相，關(guān)于x的方程|%五一至|=方|兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解，且工。m,

求m的取值范圍.

4.已知向量五，至滿足|24+E|=5且|=1，|石|=3.

(1)求(2萬-K)-(3—2?)的值

(2)求|五十方|的值

5.如圖，在△力BC中，已知1|襦|=1，|而|=2，/-ACB=60°.

⑴求|而「

(2)已知點(diǎn)。是邊48上一點(diǎn)，滿足而=4近，點(diǎn)E是邊CB上一點(diǎn)，滿足能=4能.

①當(dāng);1=；時(shí)，求荏.方；

②是否存在實(shí)數(shù)；1(4。0),使得裾1而?若存在，求出力若不存在，說明理由.

6.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4(1,0)和點(diǎn)8(-1,0),|元|=1,且N40C=X,其中。

為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若X=97T,設(shè)點(diǎn)O為線段OA上的動(dòng)點(diǎn)，求|死+成|的最小值;

(2)若xG[0,^-],向量沆—BC,n=(1—cosx,sinx—2cosx),求布?云的最小值及對(duì)應(yīng)的x值.

7.在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量五=(-1,2),且點(diǎn)4(8,0),C(ks"t),

ee(0,5

⑴若荏i亦且|而I=何耐I，求向量而；

(2)若向量而與向量五共線，當(dāng)％>4,且ts譏。取最大值4時(shí)，求瓦？?無.

8.已知向量五=(1,2),方=(一3,k)，

(1)若五〃3，求同的值;

(2)若方,0+23),求實(shí)數(shù)k的值；

(3)若方與石的夾角是銳角，求實(shí)數(shù)A的取值范圍.

9.已知向量五與B的夾角為120。，|方|=3,但|=2.

(1)求(2五+B)?①一2石)的值；

(2)求|2方+1|的值.

10.已知⑺=/,|方|=1，五與了的夾角為45。.

(1)求忖+23的值；

(2)若向量(2五一；1方)與(/I蒼一33)的夾角是銳角，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

11.已知平面上三個(gè)向量五,3兄的模均為1,它們相互之間的夾角均為120

(1)求證:(a-K)1c;

(2)若%五+7+才|>l(keR),求實(shí)數(shù)％的取值范圍.

12.已知平面上三個(gè)向量優(yōu)b，［的模均為1,它們相互之間的夾角均為120。.

(1)求證：(a-b)1c；

(2)若生辛+1+/>i(keR),求A的取值范圍.

13.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)2(1,0)和點(diǎn)阮|=1,且zAOC=x,其中。

為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若％=：兀，設(shè)點(diǎn)。為線段OA上的動(dòng)點(diǎn)，求|玩+而|的最小值;

(2)若x6[0,^],向量記=BC,n=(1—cosx,sinx—2cosx),求記?記的最小值及對(duì)應(yīng)的x值.

14.已知同=4,@=8,五與石的夾角為學(xué)

(1)求|)+司;(2)求我為何值時(shí)，(a+2fe)1(fca-6)

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F(2,0),M(-2,3),動(dòng)點(diǎn)尸滿足g|碇?麗|=|再j.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(2)過點(diǎn)。(1,0)作直線AB交C于A,B兩點(diǎn),若△”口的面積是A8FD的面積的2倍，求|AB|.

16.如圖，己知河水自西向東流速為|%|=lm/s,設(shè)某人在靜水中游泳的速度為%,在流水中實(shí)際

速度為

(1)若此人朝正南方向游去，且|%|=Wm/s,求他實(shí)際前進(jìn)方向與水流方向的夾角a和藝的大

??；

(2)若此人實(shí)際前進(jìn)方向與水流垂直，且|以|=V3m/s，求他游泳的方向與水流方向的夾角A和巧

的大小.

17.已知向量0/=(/lsinl4°,；lcosl4°)，礪=(cos16°,sin16°)，其中O為原點(diǎn).

(1)若4<0,求向量土彳與方的夾角；(2)若;1=2，求|而

18.已知|己=2,\b\=l>(2a-3h)-(2a+b)=17.

⑴求五與方的夾角和I五+9I的值;

(2)設(shè)不=機(jī)4+2方，d=2a-b＞若下與Z共線，求實(shí)數(shù)，”的值.

19.在@4BC中，CA=CB=2,記之=&,5=a，且|k^+b|=我日—kb|(k為正實(shí)數(shù))，

(1)求證：@+b)1G-b)；

(2)將：與b的數(shù)量積表示為關(guān)于A的函數(shù)/(k)；

(3)求函數(shù)的最小值及此時(shí)角A的大小.

20.已知五=(2,-2),b=(-3,2).

⑴求|方一21|的值.

(2)當(dāng)上為何值時(shí)，言+3與方一2方平行？

21.設(shè)瓦，石是兩個(gè)不共線的非零向量，

(1)如果南=瓦(+石，布=2瓦+8甌而=3?-五)，求證：A、B、。三點(diǎn)共線.

(2)欲使4百+石和宣+k弒共線，試確定實(shí)數(shù)上的值.

22.已知向量可，心滿足:￡4,b，5,且W與面的夾角為以求

(1)(2^-b)-(a+3b);

(2)|：$-r-2b.

23.設(shè)&,各是兩不平行向量，求3否一4委與;1否+卜了2(尢卜€(wěn)外平行的充要條件?

24.平面上有〃個(gè)向量，其中至少有兩個(gè)向量不共線，且任意n-l個(gè)向量的和都與剩下的一個(gè)向量

平行，求證：這〃個(gè)向量的和是零向量.

25.設(shè)耳，,是不共線的非零向量,且。=ex-2e2,b=+3e2.

(1)若4e1—3e?=4a+ub,求心"的值.

(2)若可,右是互相垂直的單位向量，求五與b的夾角8.

26.已知|五|=2,|司=1，(2a-3b)-(2a+b)=17.

(1)求力與石的夾角和|a+B|的值;

(2)設(shè)3=ni五+2弓，d=2a-若不與Z共線，求實(shí)數(shù)，"的值.

27.已知點(diǎn)4(2,—1),B(x,3),C(2,x),。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若直線。A〃BC,求實(shí)數(shù)x的值.

(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)x,使得荏與無的方向相反?

28.設(shè)/為實(shí)數(shù)，已知向量五=(1,2)范=(—1").

⑴若t=3,求|五+B|和|方一引的值；

(2)若向量蒼+石與五一3方的夾角為135。，求r的值.

29.在AaBC中，sinB—sinC=sin(i4—C).

(1)求角A；

(2)若|四+前j=2近，\'BC\=2,求△ABC的面積.

30.在A/IBC中，AB=1,AC=近，/-BAC=45°,M為BC的中點(diǎn).

(1)試用荏，就表示而?；

(2)求翁的長.

【答案與解析】

1.答案：解：(1)由題意，AB=(-1,1).AC=(1,5).

2AB+AC=2(-1,1)+(1,5)=(-1,7).

\2AB+AC\=J(-l)2+72=5V2.

⑵cos的C-超而=T+5一巫

⑷COSN8AC-由網(wǎng)V2XV26_13.

(3)AD=AAC&R).

.-.BD^AD-AB=AAC-AB=2(1,5)-(-1,1)=(4+1,5/1-1).

???BD1~BA，???(A+1)x1-(5A-1)=0.

解得：A=

解析：本題考查了向量的模，向量的夾角公式、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考

查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

(1)由題意求得2南+南=(-1,7)，即可得出|2四+而

(2)利用COSNBAC=濡潟「求解即可.

(3)由而=XAC(A6R).可得麗=AD-AB=4而一荏.根據(jù)前1瓦?，可得1)x1-(51-

1)=0.求解即可.

2.答案：解：(1)b1

2

Ab-c=K?[xa+(1—x)K]=xfa-a+(1—x)b——5x+5(1—x)=0>

解得x=

(2)|c|2=[xa+(1—x)b]2=x2a2+2x(1—x)a-￡>+(1—%)2b

=10x2-10x(1-x)+5(x-l)2=25x2-20%+5=25(x-|)2+1.

當(dāng)x=|時(shí)，花|2有最小值1,即|現(xiàn)有最小值I.

此時(shí)，c=|a+|h.

a-c=a-(-a+-K)=-a2+-a-K=-x10+-X(-5)=1,

555555

設(shè)向量正笠的夾角為氏

則858=器=高y/10

10

解析：本題主要考查平面向量的模及數(shù)量積的運(yùn)算、平面向量夾角的運(yùn)算等，屬于中檔題.

(1)把向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，解方程即可得解；

(2)先求?2取最小值時(shí)X的值，進(jìn)一步求出的數(shù)量積，最后求出夾角的余弦值即可.

3.答案：解：(1)由五+2萬與丘一4石垂直，則0+2石)?0-4萬)=0，

2L,1—4]

即位+21)?@一41)=2-2ab-8b2=t3-2a-b-8=0,故。=天

故方?K=|a|-|K|cosQ=3cos0=-,故cos。=

26

(2)|%五—b\2=%2a24-Z?-2xa-b=9x2—3V504-1=9(%—^)2+

當(dāng)％=一時(shí)，—方」最小為故氏五—b|的最小值為5

此時(shí)五?(?五一尤)=?￡一萬不=竽一竽=0,故向量方與x五一另垂直.

(3)|xa-K|=|map即氏五一加『=|小五『，展開整理得到9M-6cos。％+1-9癥=0,

A=36cos2?！?6(1—9m2)>0

管>。,且m>0,解得學(xué)vm*

0

{9

取x=m得到97n2-6cos0m+1—9/^h0,即m豐高,

當(dāng)高制，即cos。即。e[/)時(shí)，me(等

當(dāng)?shù)?lt;焉<9,即8sO>pLsin29<l，即。e(0W)U(%9時(shí)，

當(dāng)月即sin2021,即6=彳時(shí)，

6cos834\63/

綜上所述：。G將5）時(shí)，meG詈湛）,8=即寸,TH6f9,

ee（0,-）uU，E）時(shí)，me（￡i2_￡_2_）（-J—,1）.

J0J

\4/\437'36COSe^6COS63

解析：本題考查向量的數(shù)量積公式，考查方程根的研究，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔

題.

(1)利用五+23與五一4區(qū)垂直，(a+2fe)-(a-4b)=0>可得，化簡，即可求出cos。；

(2)將模平方，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可求既日-牛的最小值及對(duì)應(yīng)的x的值，利用數(shù)量積公式，可

確定向量弓與久五—b的位置關(guān)系；

(3)方程|x五一方|=|m五等價(jià)于9/-3COS8Y+1-97n2=0,利用關(guān)于x的方程一方|=|ma|

有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解，建立不等式，即可確定結(jié)論.

4.答案：解：(1)向量五,另滿足|己|=1,|E|=3，|2方+1|=5;

(2a+匕>=4a2+4a-b+b=4+4a-b+32=52>

a-b=3<

(2a-b)-(a-2b)=2a2-5a-h+262

=2-5x3+2x32=5

(2)v(a+b)2=a2+2a-b+K2=1+2x3+32=16

???|a+6|=4-

解析：本題考查了平面向量數(shù)量積與模長公式的應(yīng)用問題，屬于中檔題.

(1)根據(jù)平面向量的數(shù)量積與模長公式，求出砂石，再計(jì)算(2五一3)?0—2W；

(2)根據(jù)平面向量數(shù)量積公式，求出模長|方+石

5.答案：解：(1)△力BC中，CA=1,CB=2,/LACB=60",

因?yàn)槎?下一襦，

所以荏2=而2+不2_2用.不，

即脈=CA2+CB2-2CA-CB-COSZ.ACB

=12+22-2X1X2XCOS60°=3,

：.AB=V3.即|荏|=V3;

(2)①當(dāng)/I=3時(shí)，AD=^AB,BE=l'BC,

:.D、E分別是48,BC的中點(diǎn)，

.-.AE=AC+CE=AC+-2CB,

CD=^(CA+CB),

.?■AE-CD=(AC+^CBy^(CA+CB)

1—>—>1―>―，1―?―?1—?2

=-AC?CA+-AC-CB+-CB-CA+-CB

2244

1111

=--xl2o4--xlx2xCOS1200+-X2X1XCOS6004--x22

2244

——i.

4,

②假設(shè)存在非零實(shí)數(shù);l，使得荏1方，

由而=，荏，得而=/1(而一刀)，??.而=刀+而=刀+；1(方一刀)=4方+(1-4)刀;

又屁=4阮，

.■.AE=AB+'BE=(CB-CA')+A(-Cfi)

=(1-A)CS-C\4s

>-->2--?-->--->-->-->2

???AE-CD=A(1-A)CB-4CB?CA+(1-A)2CB?。4一(1-A)

=42(1—A)—A+(1—A)2—(1—A)

=-3A2+24=0,

解得；1=1或;l=0(不合題意，舍去).

即存在非零實(shí)數(shù)4=|,使得荏1CD.

解析：本題考查向量的模，向量的運(yùn)算，向量的數(shù)量積，向量垂直，屬于中檔題.

(1)由荏=方-不，兩邊分別平方，結(jié)合條件求出A8,即得|布|；

(2)①當(dāng)”泄，分別表示出荏，而，再用向量的數(shù)量積求解荏.而；

②假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)人使得前J.而，分別表示出荏，而，由向量垂直的充要條件得荏?前=0,

求解即可得到答案.

6.答案：解:⑴設(shè)D(t,0)(04t<l),

又爭,

所以元+而=(_孝+心曰)，

所以I元+說|2=i-V2t+t2+|=t2-V2t+1=(t-y)2+1(0<t<1),

所以當(dāng)t=凈寸，I元+而I最小值為爭

(2)由題意得(Kdsiiur),TilB?=(ccw+l.sinz),

貝！JTH?77—l一+siirx—

=1—sin2x—cos2x

1-0sin(21+,),

4

因?yàn)閤e[0,J

所以942x+3《千，

444

所以當(dāng)2x+弓=￡即x=g時(shí)，疝(2,+：)取得最大值1,

428

所以X=g時(shí)，示?討一、公皿2/+：?)取得最小值1一V2，

y4

所以沆?記的最小值為1一企，此時(shí)X=g.

O

解析：本題考查平面向量的模、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和三角函數(shù)的恒等變換，最值等，屬于基礎(chǔ)題.

(1)設(shè)n(t,o)(o《t(1),則靈+瓦i=(一日+t,日)，得至ij|小+加產(chǎn)=1-&t+t2+點(diǎn)配方即

可求I元+而?的最小值；

(2)由平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和三角恒等變換得：萬?記1-、公皿2『+；,結(jié)合xe[0,=]

易求得最小值.

7.答案：解：(1)由題意知四=(九—8,￡).

??.AB1五，

A8—n+2t=0.

又?:V5|oX|=1^1，

???5x64=(n-8)2+t2=5t2.

解得￡=±8.

當(dāng)t=8時(shí)，n=24;當(dāng)￡=—8時(shí)，n=-8,

???OB=(24,8)或證=(-8,-8).

(2)由題意知就=(ksinfl-8,t).

???萬與五共線，

/.t=-2/csinb+16,

tsind=(-2/csin0+16)sin0=-2fc(sin0—軟十牛

4

vk>4,-0<-<1,

k

???當(dāng)sin。=［時(shí)，tsin。取得最大值此

kk

由票=4,得k=8,此時(shí)。=弓，OC=(4,8).

：.OAOC=(8,0)-(4,8)=32.

解析：本題考查向量共線的充要條件，向量的模的計(jì)算，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算等知

識(shí).

(1)由題意知荏=(n-8,t)，根據(jù)向量的數(shù)量積及向量的模的計(jì)算列出方程，即可求出〃、r的值，

從而得出向量方房

(2)由題意知正=(ksin6>-8,t)，根據(jù)向量共線的條件可得tsin。=-2/c(sin6-J)2+^,由題意中=

4,求出鼠從而求出小，根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算即可.

8.答案：解：⑴,響量五=(1,2遙=(-3,k)，且五〃石，

???1xk-2x(-3)=0,解得k=-6,

\b\=J(-3)2+(-6)2=3V5.

(2)va+2b=(-5,2+2/c)，且五1值+2區(qū))，

1x(-5)+2x(2+2k)=0,解得k=

(3):3與五的夾角是銳角，

則4不>0且2與壞共線，

即1x(-3)+2xk>0且k豐-6,

k>~.

2

解析：本題考查的是平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量平行和垂直的性質(zhì)，平面向量的數(shù)量積，平面

向量的模.

(1)由五〃3，可得1xk-2x(—3)=0,即可解得我,從而得出方的模；

(2)因?yàn)槲?2乃=(―5,2+2k)，J3.a1(3+26),所以1x(—5)+2x(2+2k)=0,即可得出A；

(3)因?yàn)锽與五的夾角是銳角，則小3>0且五與石不共線，由平面向量數(shù)量積運(yùn)算即可得出答案.

9.答案：解:(1)???|a|=3,\b\=2,且區(qū)石的夾角為120。,

.—?——?1

a-&=|a|-|6|?cosl200=3x2x(--)=-3,

(2a+K).(a-26)=2|a|2-3a-K-2|b|2=2x9-3x(-3)-2x4=19;

(2)|2a+K|2=4|a|2+4a-K+|fe|2=36-12+4=28-

-.\2a+b\=2夕.

解析：本題考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算，向量的夾角公式，向量的模，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

(1)先求出為小=-3,再根據(jù)向量的數(shù)量積計(jì)算即可，

(2)先平方，再根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算即可.

10.答案：解：(1)-..\a+2b\=J(a+2b)2

=J|a|2+4|a||K|cos450+4|K|2

V2+4+4=V10,

\a+2b\=V10;

（2）（23一tK）與（4五一31）的夾角是銳角,

（2a-Ab）-（Aa-3b）>0，且（2五一；1隊(duì)與（4五一3石）不能同向共線，

由（2五一4萬）?Q為一3］）>0得2川a|2-（A2+6）a-K+3A|K|2>0.即；I?-72+6<0,

解得：1<4<6；

若（2五一立）與（4五一3隊(duì)同向共線，則存在實(shí)數(shù)k>0,使得2五一百=做/1五一3尤），

所以f?=/Cn,-解得：4=遍；

I一4=—3k

又（2三一;iK）與q五一3萬）不能同向共線，所以4力逐，

因此，1<%<乃或<4<6.

解析：本題考查了向量的數(shù)量積，向量的夾角以及向量的模，屬中檔題.

（1）根據(jù)向量的模的平方等于向量的平方求解即可；

⑵向量（2為一高）與口五一3勵(lì)的夾角是銳角，則（21一;1石）.（?一38）>0且Q；-應(yīng)盧畫

3小不能同向共線，列出不等式組則答案可得.

11.答案：解:（1）證明T0—I）?口=。?下一3?下

=|a|-|c|-cosl20°—|b|?|c|-cosl20°=0,

（a-K）1c.

（2）解+1>1o（ka+b+c）2>1，

即1片22

+b+^+2ka-b+2ka-c+2b-c>l-

v|a|=|b|=|c|=1，且W,方,不相互之間的夾角均為120。，

=K2=c2=1>a-b=b-c=a-c=

k2+l-2k>1,即1-2卜>0,

k>2或k<0.

解析：(1)利用向量的分配律及向量的數(shù)量積公式求出位-母?A利用向量的數(shù)量積為0向量垂直

得證.

(2)利用向量模的平方等于向量的平方及向量的數(shù)量積公式將已知等式平方得到關(guān)于上的不等式求出

女的范圍.

本題考查向量垂直的充要條件、向量模的平方等于向量的平方、向量的數(shù)量積公式.

12.答案：解：(1)證明0—方)?mm—方々

=|a|-|c|?cosl20°—||-|c|-cosl20°-0>

(a-b)1c;

(2)解：代年+石+列>1o(k方+3+2)2>i，

22

即1五2+b+S+2ka-b+2ka-c+2b-c>l-

|a|=|b|=|c|=1>且五，石片相互之間的夾角均為120。，

=K2=c2=1>a-b=b-c=a-c=-^,

fc2+1-2/c>1,即k2-2k>0,

???k.>2或k<0.

則k的取值范圍為(一8,0)u(2,+oo).

解析：本題考查向量垂直的充要條件、向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題.

(1)利用向量的數(shù)量積公式求出(五-5)］，利用向量的數(shù)量積為0,則向量垂直得證；

(2)利用向量模的平方等于向量的平方及向量的數(shù)量積公式，將已知等式平方得到關(guān)于k的不等式,

求出”的范圍.

13.答案：解：⑴設(shè)。(t,0)(04t(l),

又。(-當(dāng)凈,

所以歷+而=(-y+t,y)，

所以|元+而『—或t+t2+：

=t2-\/2t+1=(t-g(04t41)，

所以當(dāng)￡=號(hào)時(shí)，|旅+說|最小值為日.

(2)由題意得('("NT.sin/),Tnlid■(cot^z4-l.siiu)，

貝lj汀?”=1—CO?2T+siirx—2sin/co?jT

=1—sin2x—cos2x

=1—0sin(2工+7),

I

因?yàn)椋[o,g,

所以gC2%4-<尹，

444

所以當(dāng)2x+￡=*即時(shí)，sin(2_r+9取得最大值1,

428

所以x=g時(shí)，777-7/1-、欠siu(2工+：)取得最小值1一版,

84

所以沆?元的最小值為1一世，此時(shí)x=F

O

解析：本題考查平面向量的模、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和三角函數(shù)的恒等變換，最值等，屬于中檔題.

(1)設(shè)。(t,0)(04t《l),則元+麗=(一立+t,返)，得至1」|走+而產(chǎn)=；一魚t+t2+3配方即

22NN

可求|走+而I的最小值；

(2)由平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和三角恒等變換得：萬?”1一、e3"(2]+彳)，因?yàn)閤e[0,§,

4乙

則乂2丫+彳《手，易得當(dāng)x=軻，示?k1一vaiu(21+取得最小值.

444o

14.答案：解：⑴因?yàn)橥?4,|方|=8,五與棘角是拳

所以五不=|a||K|cosy=4x8x(-|)=-16,

22;

因此+了I=,婆2+12+2"石=V/4+8+2X(-16)=4\/3

(2)因?yàn)?N+27)1^0*-1)，

所以(Z+2力)"?才-T)=fea>2-21>2+(2k-1)H.了=0，

整理得16*：-128+(24-l)x(-16)=0,解得k=—7.

即當(dāng)k=-7值時(shí)，(N+27)，(點(diǎn)示-了).

解析：本題考查了數(shù)量積定義及其運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

(1)利用數(shù)量積定義及其運(yùn)算性質(zhì)即可得出；

(2)由于0+2至)，(卜社一石)，(a+2b)-(fca-K)=0.展開即可得出.

15.答案：解：(1)設(shè)P(x,y),則而=(x+2,y-3),而=(2,0),冏=(2-x,-y)，

由支蘇?而|=|而|,得|x+2|=，(2—x)2+y2,

化簡，得y2=8x,

即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2=8x；

(2)設(shè)A(x“i),B(X2，y2)，

由題意知，SAAFD=l\FD\-\yi\,SABFD=\\FD\-\y2\,

因?yàn)椤?FD的面積是小BFD的面積的2倍，

所以1%1=21y21，①

設(shè)直線AB的方程為x=my+l,

聯(lián)立,2=8x消去x,得y2_8my_8:0,

(%=my+1

則4=64瓶2+32>0,

71+y2=8m②，y,2=-8③，

由①②③聯(lián)立，解得m=±%

2

所以|AB|=Vl+m^—y2\

=Vl+m2\24m\—Jl+]x6=彳

解析：【試題解析】

本題考查圓錐曲線中的軌跡問題、直線與拋物線的位置關(guān)系、平面向量的數(shù)量積和模長，屬于中檔

題.

⑴設(shè)P(無,y),得出而，而，麗的坐標(biāo)，利用而?而|=|而|,即可求出結(jié)果；

(2)設(shè)4(與,％),8(X2,丫2)，由題意得出Wil=2僅21，設(shè)直線A8的方程為x=my+l,與拋物線方程

聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出結(jié)果.

16.答案：解：設(shè)族=/，麗=五,元=記，

則由題意知可=詬+詬，|次|=1，

根據(jù)向量加法的平行四邊形法則得四邊形OACB為平行四邊形.

(1)由此人朝正南方向游去得四邊形OACB為矩形，且|而|=4C=B，如下圖所示:

則在直角△Q4C中，|五|=0C=4。矣+4c2=2奶，

tan/40C=^=百，又a=Z40C6(0潦)，所以a=%

14J

所以他實(shí)際前進(jìn)方向與水流方向的夾角a為全方的大小為2zn/s；

(2)由題意知乙4。。=今且|五|=|OC|=B，BC=1,如下圖所示,

則在直角^OBC中，|五|=。8=7OC2+BC2=2m/s，

tan/BOC=4==—>

V33

又乙8。。6(05)，所以NBOC=g

4O

則”*=等

所以他游泳的方向與水流方向的夾角，為與，女的大小為2m/s.

解析：本題主要考查向量在物理中的應(yīng)用.

(1)設(shè)訶，OB=而=好根據(jù)向量加法的運(yùn)算法則進(jìn)行求解.

(2)根據(jù)向量加法的運(yùn)算法則以及向量模長的公式進(jìn)行求解.

17.答案：解：(1)OAOB=Asinl4°cosl60+Acosl4osinl6°=|/l,

網(wǎng)=V(Asinl4°)2+(Acosl40)2=\A\=-A(2<0)，\OB\=1

3(顯布>=磊=心，

(0X05)€[0,7r]

所以夾角為I”.

⑵|荏|2=\0B-0A\2=|明2一2次南+|西2

=A2-2(2sinl40cosl6°+Acosl40sinl6°)+1

=A2—A+1

當(dāng)4=2時(shí)，|AB|=V3.

解析：本題考查了向量的夾角、向量的數(shù)量積、向量的模，是基礎(chǔ)題

(1)由向量的夾角公式可求得答案

(2)由|荏產(chǎn)=|詬一萬/2="一4+1,代入％的值可得答案

18.答案：解：(1)|答|=2,|K|=1，(2五一3?)?(2五+石)=”，

4a2-3b2-4a-K=17-

16-3-4a-K=17.

a-b=—1<

所以cos(落==

又ow位，b)<n，

所以充與石的夾角為拳

\a+b\=Ja2+b2+2a-b^^

(2)由(1)可得：蒼與B不共線，

c=ma+2d=2為一6,若蕓與d共線，

則必存在非零實(shí)數(shù)4使得：c=Ad?即7n為+2石=4(2方一石)，

所以?n=2尢2=—九

得m=-4.

解析：本題考查了向量的數(shù)量積和模的計(jì)算，向量的運(yùn)算法則，向量的夾角和向量共線的充要條件,

屬于中檔題.

(1)根據(jù)(2方一3石),(2方+3)=17求出17=—1，根據(jù)數(shù)量積關(guān)系求出夾角，|有+另|=

孱W求出模長；

(2)根據(jù)共線定理必存在4使得：c=Ad>ma+2^=A(2a—K)>求解參數(shù).

19.答案:解：(1)證明：因?yàn)橥?|司,

所以0+K)-(a-K)=a2-K2=|a|2-|K|2=4-4=0>

所以0+3)1(a-b\

(2)因?yàn)椋ノ?1|=>/3\a-kb\>

所以|k五+If=3\a-kb\2>

即H方2+2卜五不+,=3(a2-2ka-b+k2b2)<

8ka-b=(.3-k2>)a2+(3k2-=4(3-fc2)4-4(3/-1)=8+8H，

所以f(k)=E-b=k+?

(3)f?=a-b=k+^>2Jk*=2.

當(dāng)且僅當(dāng)卜=機(jī)寸，即k=l時(shí)，等號(hào)成立，

所以外幻的最小值為2,即2b=2，

此時(shí)c°sC=]Si=：=￡

c7T

???0<C<71,-,?C=-,

又C4=CB,所以△ABC為等邊三角形,

所以4=*

解析：本題考查向量的應(yīng)用，向量的數(shù)量積以及對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

(1)利用已知條件，結(jié)合向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化證明：(a+K)1(a-b)；

(2)通過向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，化簡向量的模關(guān)系，即可將日與石的數(shù)量積表示為關(guān)于々的函數(shù)/"(k)；

(3)利用對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)/(k)的最小值，求出C的值，判斷三角形ABC為正三角形，即可得到

角A的大小.

20.答案:解:(1)因?yàn)槲逡?3=(2,-2)-2(-3,2)=(8,-6),

所以2至|=,82+(-6)2=10;

(2)因?yàn)閗方+石=fc(2,-2)+(-3,2)=(2k-3,-2k+2).

由k4+E與3-2方平行，則8(-2k+2)=-6(2fc-3),

解得k=-p

故當(dāng)k=W時(shí)，kZ+E與日一2方平行.

解析：(1)求出向量五-2萬的坐標(biāo)，即可求解；

(2)求出向量上1+石的坐標(biāo)，利用向量共線定理即可求解.

本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量共線定理，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

21.答案：解：(1)?.?前=阮+而=2可+8孩+3(前一或)=5?+葭)=5荏，

RD//AB，又就，荏有共同點(diǎn)8，

.?"、B、。三點(diǎn)共線.

(2)設(shè)ke1+e2=A(ej*+ke；),化為(k—A)ej*+(1—Afc)Q=0,

???”一憶'解得k=±l.

解析：(1)利用向量共線定理證明向量前與超共線即可；

(2)利用向量共線定理即可求出.

充分理解向量共線定理是解題的關(guān)鍵.

22.答案：解：(1)IM^,=2a2+5a-b-3b2=2x16+5x4x5cos^-3x25=7;

(2)原式=Jg片—]2日i+4■92=^9x16-12x4x5cos^+4x25=2VH-

解析：本題考查了向量的數(shù)量積及向量的模，屬于基礎(chǔ)題.

(1)根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求得；

(2)根據(jù)公式|五|2=/即可求得.

23.答案:解：若3再一4委與;I瓦+k&(4與6R)平行,

設(shè)3若1—4e2=久(A前+k6=xAe^+xk瓦,

??,我/2是兩不平行向量，

???啰:]即—落

當(dāng);I=-|k時(shí)，4百+k行=百+k孩=一((3再一4杳)，

則；I司t+k￡與3&-4&平行，

即3再一4委與;+ke2{k,kGR)平行的充要條件是；I=-|fc.

解析：根據(jù)充要條件的定義進(jìn)行求解即可.

本題主要考查充分條件和必要條件的證明，利用定義分別證明充分性和必要性是解決本題的關(guān)鍵,

是基礎(chǔ)題.

24.答案：證明：不妨設(shè)右，記不平行，

由題意得，尻+/H---1■4=4匹，且而+/■!---1■樂=〃局，

所以+U2+的+…+Q九=ASj*+%，且+^3+…+&n=(〃+1)^2，

從而(1+4)瑞=(/1+1)口,

因?yàn)檎f，石不平行，

根據(jù)向量共線定理得，1+4=4+1=0,

所以4=〃=—1,石+/H---F詬=2布=一西，

則宣+詼+???+猊=1

解析：不妨設(shè)碼，記不平行，由題意得，石+運(yùn)+…+布=2近，且而+尻+…+或=〃布，變

形可得(1+4)碼=(〃+1)石，從而可求4,”，可證.

本題主要考查了平面向量共線定理的應(yīng)用，還考查了考生分析，解決問題的能力，邏輯推理的核心

素養(yǎng).

25.答案：解：(1乂方+“石=4?—2硝+"回+3硝=(；1++5+(3〃-2用司，

：4瓦—3筱=4Z+〃b，

,0+〃=4,

"(3M-2A=-3,

???a=3,〃=1.

(2)五不=(可-2或)?回+3或=蛾+區(qū)運(yùn)-6行2=-5,

lai=J(瓦一2匹尸=卜2-4部.可+4可2=75)

而I=J(藥+3的2=J^2+6可.可+9用2=同,

八a,b-5yJ2

..?8$9=麗=；^=一萬'

又??,0E[0,n],

0=—

4

解析：本題主要考查了平面向量共線的充要條件，向量垂直的性質(zhì)，向量的數(shù)量積，向量的模及向

量的夾角，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

(1)根據(jù)平面向量共線的充要條件可得_3由此可求出入〃的值；

(2)由向量垂直與向量數(shù)量積的關(guān)系，從而可求出五?],進(jìn)而利用向量的夾角公式求解即可.

26.答案:解：(l)|a|=2,|K|=1，(2a-3fe)-(2a+K)=17，

4a2-3b2-4a-b=17>

16—3—4五.b=17>

a-b=-1，

所以cos?b)=^=~l，

又0<(萬，b)<江，

所以五與方的夾角為半，

|a+b|=Ja2+K2+2a-K=V3!

(2)由(1)可得：五與石不共線，

c=ma+2h?d=2a-b^若不與Z共線，

則必存在2使得：c=Ad?ma+2b=A(2a—b),

所以zn=24,2=—A,

得m=-4.

解析：本題考查了向量的數(shù)量積和模的計(jì)算，向量的運(yùn)算法則，向量的夾角和向量共線的充要條件,

屬于中檔題.

(1)根據(jù)(2方一3母?(2元+方)=17求出—1，根據(jù)數(shù)量積關(guān)系求出夾角，|有+方|=

出+黃+2小薩出模長;

(2)根據(jù)共線定理必存在4使得：c=Xd，ma+2