2024年福建省中考+專用數(shù)學(xué)一輪知識(shí)點(diǎn)梳理復(fù)習(xí)4.3-全等三角形課件

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全等三角形

全等三角形的概念及性質(zhì)1.全等三角形的概念：能夠

的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性質(zhì)（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等、周長(zhǎng)相等、面

積相等；完全重合

（2）全等三角形的對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線都分別

相等.尋找全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的常用的方法對(duì)應(yīng)角的尋找方法全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊

所夾的角是對(duì)應(yīng)角有公共角的，公共角一定是對(duì)應(yīng)角有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角全等三角形中最大角是對(duì)應(yīng)角，最小角也是對(duì)應(yīng)角尋找全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的常用的方法對(duì)應(yīng)邊的尋找方法全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角

所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊全等三角形中最長(zhǎng)的邊是對(duì)應(yīng)邊，最短邊也是對(duì)應(yīng)邊

全等三角形的判定1.判定方法已知條件兩個(gè)三

角形三

邊對(duì)應(yīng)

相等兩個(gè)三角

形兩邊及

其夾角對(duì)

應(yīng)相等兩個(gè)三

角形兩

角及其

夾邊對(duì)

應(yīng)相等兩個(gè)三角

形兩角及

其中一角

的對(duì)邊對(duì)

應(yīng)相等兩個(gè)直角

三角形中

斜邊和一

條直角邊

對(duì)應(yīng)相等圖形示例適用的定理SSSSASASAAASHL2.常見模型（1）基本模型模型圖形示例歸納總結(jié)平移模型

可看成是由一個(gè)三角形沿其一條

邊所在直線平移得到模型圖形示例歸納總結(jié)對(duì)稱模型

兩個(gè)三角形關(guān)于某一直線對(duì)稱，

即這條直線兩邊的部分能完全重

合，重合的頂點(diǎn)就是全等三角形

的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)模型圖形示例歸納總結(jié)旋轉(zhuǎn)模型

可看成由三角形繞某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

而成，故一般有一對(duì)相等的角隱

含在平行線、對(duì)頂角、某些角的

和或者差中（2）對(duì)角互補(bǔ)模型

角平分線＋對(duì)角互補(bǔ)

結(jié)論：∠ADC＝∠CEO，CD＝CE.

輔助線作法：分別過點(diǎn)C作CF⊥AO，CG⊥OB（3）截長(zhǎng)補(bǔ)短模型角平分線＋等腰（一邊一角）

輔助線作法：①“截長(zhǎng)”，即將三者中最長(zhǎng)的那條線段一分為二，使其中的

一條線段等于已知的兩條較短線段中的一條，然后證明其中的

另一段與已知的另一條線段相等；②“補(bǔ)短”，即將一個(gè)已知的較短的線段延長(zhǎng)至與另一個(gè)已知

的較短的長(zhǎng)度相等，然后求出延長(zhǎng)后的線段與最長(zhǎng)的已知線段

的關(guān)系.（4）倍長(zhǎng)中線模型輔助線作法：將中點(diǎn)處的線段延長(zhǎng)一倍。

注意點(diǎn)①構(gòu)造出一組全等三角形；②構(gòu)造出一組平行線，將分散的條件集中到一個(gè)三角形中去。

（如圖AD是△ABC底邊的中線）.（5）半角全等模型圖1圖2①等邊三角形半角輔助線作法：延長(zhǎng)FC到G，使得CG＝BE，連接DG結(jié)論：△DEF≌△DGF；EF＝BE＋CF②正方形含半角輔助線作法：延長(zhǎng)CB到G，使得CG＝DF，連接AG結(jié)論：△AEF≌△AGE；EF＝BE＋DF（6）手拉手模型

特點(diǎn)：雙等腰，共定點(diǎn)，頂角相等（7）一線三垂直（等角）型注意點(diǎn)常用到同（等）角的余角相等這一結(jié)論，相等的角就是對(duì)應(yīng)角.3.全等三角形判定方法的合理選擇從判定兩個(gè)三角形全等的方法可知，要判定兩個(gè)三角形全等，

需知這兩個(gè)三角形分別有三個(gè)元素（其中至少一個(gè)元素是邊）

對(duì)應(yīng)相等，可利用題目中的已知邊（角）確定要補(bǔ)充的邊

（角），完善三角形全等的條件，可得到判定兩個(gè)三角形全等

的思路.

注意點(diǎn)①判定全等三角形的條件中，必須至少有一組邊對(duì)應(yīng)相等；②用“SAS”判定全等時(shí)切記角為兩邊的夾角，當(dāng)兩個(gè)三角形

具備“SSA”條件時(shí)，兩個(gè)三角形不一定全等；③在判定兩個(gè)三角形全等或應(yīng)用其性質(zhì)時(shí)，要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊、對(duì)

應(yīng)角；④若題中沒有全等的三角形，則可根據(jù)題中條件合理地添加輔

助線，如運(yùn)用作高法、倍長(zhǎng)中線法、截長(zhǎng)補(bǔ)短法、分解圖形法

等來(lái)解決運(yùn)動(dòng)、拼接、旋轉(zhuǎn)等探究性題目.

角平分線的性質(zhì)與判定文字描述性質(zhì)定理：角平分線

上的點(diǎn)到角兩邊的距

離相等.判定定理：角的內(nèi)部到角兩

邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上.圖例

文字描述性質(zhì)定理：角平分線

上的點(diǎn)到角兩邊的距

離相等.判定定理：角的內(nèi)部到角兩

邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上.已知條件OP平分∠AOB，PD⊥OA于點(diǎn)D，

PE⊥OB于點(diǎn)E.PD＝PE，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于

點(diǎn)E.結(jié)論P(yáng)D＝PEOP平分∠AOB注意點(diǎn)①三角形的三條角平分線都在三角形內(nèi)部且交于一點(diǎn)，這點(diǎn)是

三角形內(nèi)切圓的圓心；②內(nèi)心到三角形三邊的距離相等.

線段垂直平分線的性質(zhì)與判定1.定義：經(jīng)過線段的

且

?這條線段的直線，叫

做線段的垂直平分線.2.性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到

?的距

離相等.3.判定定理：到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在

?

?.中點(diǎn)

垂直于

這條線段兩端點(diǎn)

這條線段的垂

直平分線上

注意點(diǎn)①三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)是三角形外接圓

的圓心（銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形外心是

斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部）；②外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

類型一

全等三角形的概念及性質(zhì)1.（2023·哈爾濱模擬）如圖，△ABC≌△DEC，點(diǎn)A和點(diǎn)D是對(duì)

應(yīng)頂點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為點(diǎn)

F，若∠BCE＝65°，則∠CAF的度數(shù)為（B）第1題圖A.30°B.25°C.35°D.65°B2.在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝

3，BC＝4，B1C1＝2，點(diǎn)D、D1分別在邊AB、A1B1上，且

△ACD≌△C1A1D1，那么AD的長(zhǎng)是

?.

類型二

全等三角形的判定3.（2023·涼山州）如圖，點(diǎn)E、點(diǎn)F在BC上，BE＝CF，∠B＝

∠C，添加一個(gè)條件，不能證明△ABF≌△DCE的是

（D）A.∠A＝∠DB.∠AFB＝∠DECC.AB＝DCD.AF＝DE第3題圖D4.（2023·長(zhǎng)春）如圖，工人師傅設(shè)計(jì)了一種測(cè)零件內(nèi)徑AB的卡

鉗，卡鉗交叉點(diǎn)O為AA'、BB'的中點(diǎn)，只要量出A'B'的長(zhǎng)度，

就可以知道該零件內(nèi)徑AB的長(zhǎng)度.依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是

（A）A.兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等B.兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等C.兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段

成比例D.兩點(diǎn)之間線段最短第4題圖A5.（2023·牡丹江）如圖，AB∥CD，AD與BC交于點(diǎn)O，請(qǐng)?zhí)砑?/p>

一個(gè)條件

，使△AOB≌△DOC.

（只填一種情況即可）第5題圖AB＝DC（答案不唯一）

6.（2023·遼寧）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為BC

的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE∥AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若AC＝4，

CE＝5，則CD的長(zhǎng)為

?.第6題圖

7.（2023·重慶）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，

點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接AD.過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作

CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若BE＝4，CF＝1，則EF的長(zhǎng)度

為

?.3

第7題圖8.（2023·福建）如圖，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB.

求證：AB＝CD.第8題圖

9.（2023·杭州模擬）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝

FC這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并完

成問題的解答.問題：如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，點(diǎn)D在AB邊上

（不與點(diǎn)A，點(diǎn)B重合），點(diǎn)E在AC邊上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)C重

合），連接BE，CD，BE與CD相交于點(diǎn)F.若①AD＝AE，②

∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC，求證：BE＝CD.第9題圖

第9題圖

第9題圖

第9題圖10.（2023·北京質(zhì)檢）在△ABC中，∠ACB＝90°，D為△ABC內(nèi)

一點(diǎn)，連接BD，DC，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)E，使得CE＝DC.（1）如圖1，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，使得CF＝BC，連接AF，EF.若

AF⊥EF，求證：BD⊥AF；

（2）連接AE，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接CH，依題意補(bǔ)全

圖2.若AB2＝AE2＋BD2，用等式表示線段CD與CH的數(shù)量關(guān)

系，并證明.第10題圖（2）由題意補(bǔ)全圖形如下：CD＝CH.證明：延長(zhǎng)BC到F，使CF＝BC，連接AF，EF，∵AC⊥BF，BC＝CF，∴AB＝AF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，第10題圖∵AB2＝AE2＋BD2，∴AF2＝AE2＋EF2，∴∠AEF＝90°，∴AE⊥EF，∴BD⊥AE，∴∠DHE＝90°，又∵CD＝CE，∴CH＝CD＝CE.第10題圖類型三

角平分線的性質(zhì)與判定11.（2023·鄂爾多斯質(zhì)檢）如圖，∠AOE＝15°，OE平分

∠AOB，DE∥OB交OA于點(diǎn)D，EC⊥OB，垂足為C.若EC＝

2，則OD的長(zhǎng)為（C）

'A.2C.4C12.（2023·牡丹江模擬）如圖，直線l1、l2、l3表示三條相互交叉

的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離

相等，則可供選擇的地址有（D）A.一處B.二處C.三處D.四處第12題圖D13.（2023·北京模擬）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，

DE⊥AB.若AC＝2，DE＝1，則S△ACD＝

.

第13題圖1

類型四

線段垂直平分線的性質(zhì)與判定14.（2023·臺(tái)州質(zhì)檢）如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊BC上，點(diǎn)P在射

線AD上（不與點(diǎn)A，D重合），連接PB，PC.下列命題中，假

命題是（D